2.7 第2课时 二次根式的运算（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（北师大版）

2.7 二次根式 第二章 实数 第2课时 二次根式的运算 优翼数学教学课件（BS）八上 1. 满足什么条件的根式是最简二次根式?试化简下列二次 根式： 2. 上述化简后的二次根式有什么特点? 你会怎么对它们 进行分类? 某些二次根式化简后被开方数相同. 为一组； 为一组. 导入新课 还记得吗? （a≥0，b≥0）， （a≥0，b＞0）． 二次根式的乘法法则和除法法则 （a≥0，b≥0）， （a≥0，b＞0）． 二次根式的乘除运算 新课讲授 3 典例精析 例1 计算： 例2 计算： 解： 只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘，即 . 归纳 可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法法则 例3 计算： 解： 当二次根式根号外的因数不为 1 时，可类比单项式乘单项式的法则计算，即 . 归纳 问题 你还记得单项式乘单项式法则吗？ 试回顾如何计算 3a2·2a3 = . 6a5 提示：可类比上面的计算哦！ 二次根式的乘法法则的推广： 归纳总结 多个二次根式相乘时此法则也适用，即 当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单 项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数(式)的积作为被开方数(式)，即 （2）x2 + 2x2 + 4y = . 1.（1）3x2 + 2x2 = ； 2.类比合并同类项的方法，想想如何计算： 解： 3. 能不能再进行计算?为什么? 答：不能，因为两个加数都是最简二次根式，被开方数不相同，所以不能合并. 5x2 3x2 + 4y 合作探究 二次根式的加减运算 解：(1)原式 = 例4 计算： (2)原式 = (3)原式 = (4)原式 = 解：(5)原式 = (6)原式 = 归纳总结 二次根式的加减法法则 一般地，二次根式相加减时，可以先将各个二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. 要点提醒 1. 加减法的运算步骤：“一化简二判断三合并”. 2. 合并的前提条件：只有被开方数相同的最简二次根式才能进行合并. 化为最简 二次根式 用分配 律合并 整式 加减 二次根 式性质 分配律 整式加 减法则 依据：二次根式的性质、乘法分配律和整式加减法则. 基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题. 解：(1)原式 = 例5 计算： (2)原式 = (3)原式 = 例6 若最简根式 与 可以合并，求 的值. 解：由题意得 解得 即 确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开方数相同，指数都为 2 ，列关于待定字母的方程求解即可. 归纳 【变式题】如果最简二次根式 与 可以合并，那么要使式子 有意义，求 x 的取值范围. 解：由题意得 3a - 8 = 17 - 2a， ∴ a = 5. ∴ ∴ 20 - 2x≥0，x - 5＞0. ∴ 5＜x≤10. 练一练 1. 下列二次根式中，能与 合并的是（ ） A. B. C. D. D 2. 与最简二次根式 能合并，则 m =____. 1 3. 下列二次根式，不能与 合并的是_______ (填 序号）. ②⑤ 分析：(1)若几个非负式的和为零，则这几个非负式必然都为零；(2)根据三角形的三边关系来判断. 例7 已知 a，b，c 满足 . (1) 求 a，b，c 的值； (2) 以 a，b，c 为三边长能否构成三角形？若能构成 三角形，求出其周长；若不能，请说明理由. 解：(1) 由题意得 (2) 能. 理由如下：∵ 即 a＜c＜b. 又∵ ∴ a + c＞b. ∴ 能够成三角形，周长为 【变式题】有一个等腰三角形的两边长分别为 ，求其周长. 解：当腰长为 时， ∵ ∴ 此时能构成三角形，周长为  当腰长为 时， ∵ ∴ 此时能构成三角形，周长为 二次根式的加减与等腰三角形的综合运用，关键是要分类讨论及会比较两个二次根式的大小. 归纳 1. 在括号中填写适当的数或式子使等式成立. （ ）＝10； （ ）＝ 4； 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. B 当堂练习 19 解： (1)原式 = 3. 计算： (2)原式 = (3)原式 = 4. 已知 x + y = －4，xy = 2. 求 的值. 解： 原式= 把 x + y = -4，xy = 2 代入上式，得原式= 解： 5. 计算： 解： 6. 下图是某土楼的平面剖面图，它是由两个相同圆心的圆构成.已知大圆和小圆的面积分别为 763.02 m2 和 150.72 m2，求圆环的宽度 d（π 取 3.14）. d 解： 设大圆和小圆的半径分别为 R，r，面积分别为 ， ，由 ， 可知 则 答：圆环的宽度约为 d 7. 已知 a，b 都是有理数，现定义新运算：a*b = ，求（2*3）-（27*32）的值． 解：∵ a*b = ， ∴ (2*3) - (27*32) = = = 能力提升： 二次根式的运算 乘除法则 加减法则 乘除公式 课堂小结 $$