2.7 第1课时 二次根式及其化简（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（北师大版）

null2.7 二次根式 第二章 实数 第1课时 二次根式及其化简 优翼数学教学课件（BS）八上 下面来看某运动员在里约奥运会赛后的采访视频，注意前方高能表情包. 导入新课 通过表情来辨别人物，最重要的是根据个人的面部特征，那么数学的特征是什么呢？ “数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.” ----中科院数学与系统科学研究院 李邦河 复习引入 问题1 什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根. 问题2 什么叫做算术平方根? 怎么表示它？ 如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根，用 表示. 问题3 什么数有平方根? 我们知道，负数没有平方根. 因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是非负数. 思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？ (1)如图的海报为正方形，若面积为2 m2，则边长为_____m；若面积为 S m2，则边长为_____m． (2)如图的海报为长方形，若长是宽的 2 倍，面积为 6 m2，则它的宽为_____m． 图 图 (3) 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度 h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有 h 的式子表示 t，那么 t 为 ． _____ 问题1 这些式子分别表示什么意义？ 分别表示 2，S，3， 的算术平方根． 上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ， ． ① 都含有开方运算； ② 被开方数为非负数. 问题2 这些式子有什么共同特征？ 二次根式的概念及有意义的条件 新课讲授 归纳总结 一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式. “ a ”叫做被开方数. 注意：a 可以是数，也可以是式子. 两个必备特征 ① 外形特征：含有“ ” ② 内在特征：被开方数 a≥0 例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？ 解： (1)(4)(6)均是二次根式，其中 a2 + 1 属于“非负数+正数”的形式，一定大于零. (2)(3)(5)(7)均不是二次根式. 是否为二次根号 被开方数是不是非负数 二次根式 不是二次根式 是 是 否 否 分析： 典例精析 例2 当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义? 解：由 x - 2≥0，得 x≥2. 当 x≥2 时， 在实数范围内有意义. 【变式题1】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解：由题意得 x - 1＞0， ∴ x＞1. 解：∵ 被开方数需大于或等于零， ∴ 3 + x≥0，∴ x≥-3. ∵ 分母不能等于零， ∴ x - 1 ≠ 0，∴ x ≠ 1. ∴ x≥-3 且 x ≠ 1. 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方式≥0，列不等式求解即可. 若式子含分式，应同时考虑分母不为零. 归纳 【变式题2】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 解：(1)∵无论 x 为何实数， ∴当且仅当 x = 1 时， 在实数范围内有意义. (2)∵无论 x 为何实数，-x2 - 2x - 3 = -(x + 1)2 - 2＜0， ∴无论 x 为何实数， 在实数范围内都无意义. 被开方式是多项式时，常常需要将多项式变形为完全平方式加(或减)常数项的形式，再研究其取值范围. 归纳 (1)单个二次根式如 有意义的条件：A≥0； (2)多个二次根式相加如 有意义的 条件： (3)二次根式作为分母如 有意义的条件：A＞0； (4)形如 的式子有意义的条件：A≥0 且 B ≠ 0. 归纳总结 1.下列各式： . 一定是二次根式的有 （ ） A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 B 2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值 范围是_______； (2)若式子 在实数范围内有意义，则 x 的 取值范围是____________. x ≥1 x≥0且 x ≠ 2 练一练 问题1 当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？ 前者 x 为全体实数，后者 x 为非负数. 当 a＞0 时， 表示 a 的算术平方根，因此 ＞0；当 a = 0时， 表示 0 的算术平方根，因此 = 0. 这就是说，当 a≥0 时， ≥0. 问题2 二次根式 的被开方数 a 的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？ 二次根式的双重非负性 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道： （1）a 为被开方数或式，为保证其有意义，必有 a≥0； （2） 表示一个数或式的算术平方根，故 ≥0. 二次根式的被开方数或被开方式非负 二次根式的值非负 二次根式的双重非负性 归纳总结 16 例3 若 ，求 a - b + c 的值. 解： 由题意可知 a - 2 = 0，b - 3 = 0，c - 4 = 0， 解得 a = 2，b = 3，c = 4. 所以 a - b + c = 2 - 3 + 4 = 3. 多个非负式的和为零，则可得每个非负式均为零.初中阶段学过的非负式主要有绝对值式、偶次幂式及二次根式. 归纳 典例精析 例4 已知 y = ，求 3x + 2y 的算术平方根. 解：由题意得 ∴ x = 3．∴ y = 8． ∴ 3x + 2y = 3×3 + 2×8 = 25． ∵ 25 的算术平方根为 5， ∴ 3x + 2y 的算术平方根为 5． 【变式题】已知 a，b 为等腰三角形的两条边长，且 a，b 满足 ，求此三角形的周长． 解：由题意得 ∴ a = 3. ∴ b = 4. 当 a 为腰长时，三角形的周长为 3 + 3 + 4 = 10； 当 b 为腰长时，三角形的周长为 4 + 4 + 3 = 11． 若 ，则根据被开方式大于或等于 0，可得 a = 0，y = b. 归纳 已知 |3x - 3| 和 互为相反数，求 x + 4y 的平方根. 解：由题意得 3x - 3 = 0 且 2y - 4 = 0， 解得 x = 1，y = 2. ∴ x + 4y = 1 + 4×2 = 9. ∴ x + 4y 的平方根为±3. 练一练 （1） ＝ ， ＝ ； ＝ ， ＝ ； ＝ ， ＝ ； ＝ ， ＝ ． 6 6 20 20 填一填 有何发现？ 二次根式的性质及化简 21 ＝ ， 6.480 ＝　 　； （2）用计算器计算： ＝ ， ＝　 　 ． 6.480 0.9255 0.9255 有何发现？ 要点归纳 （a≥0，b≥0） . （a≥0，b＞0）． 商的算术平方根等于算术平方根的商： 积的算术平方根等于算术平方根的积： 例5 化简： 解：(1) (2) (3) （1） ； （2） ； （3） . 最简二次根式： 　　一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式. 要点归纳 例6 化简： 解： 例7 化简： 解：① 最简二次根式的条件： ① 是二次根式； ② 被开方数中不含分母； ③ 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 要点归纳 2.式子 有意义的条件是（ ） A. x＞2 B. x≥2 C. x＜2 D. x≤2 3.若 是整数，则自然数 n 的值有（ ） A. 7 个 B. 8 个 C. 9 个 D. 10 个 D 1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ） C A 当堂练习 4. 当_____________时， 在实数范围内有意义. 解析：要在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数 x + 3≥0 和分母 x + 1 ≠ 0，解得 x≥-3 且 x ≠ -1. 方法总结：使一个式子有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零． x≥-3且x ≠ -1 5. 当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义? 6. (1) 若式子 有意义，求 m 的取值范围； 解：由题意得 m - 2≥0 且 m2 - 4 ≠ 0， 解得 m≥2，且 m ≠ -2，且m ≠ 2， ∴ m＞2. (2) 无论 x 取任何实数，代数式 都有意义，求 m 的取值范围． 解：由题意得 x2 + 6x + m≥0 对任意实数 x 恒成立， 即 (x + 3)2 + m - 9≥0 对任意实数 x 恒成立. ∵ (x + 3)2≥0，∴ m - 9≥0，即 m≥9. 7. 若 x，y 是实数，且 y＜ ，求 的值. 解：根据题意得 ∴ x = 1. ∵ y＜ ， ∴ y＜ . ∴ . 二次根式 定义 带有二次根号 在有意义条件下求字母的取值范围 抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集. 被开方数为非负数 二次根式的双重非负性 二次根式 中,a≥0且 ≥0 最简二次根式 课堂小结 $$