1.3 勾股定理的应用（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（北师大版）

1.3 勾股定理的应用 第一章 勾股定理 优翼数学教学课件（BS）八上 在 A 点的小狗，为了尽快吃到 B 点的香肠，它选择 A B 路线，而不选择A C B路线，难道小狗也懂数学？ C B A AC+CB>AB（两点之间线段最短） 思考：在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？ 导入新课 数学来源于生活，勾股定理的应用在生活中无处不在，观看视频，你能理解小贤和一菲的做法吗？ 点击视频开始播放↓ 导入新课 问题：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在 B 处，恰好一只在 A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想沿侧面从 A 处爬到 B 处，问怎么走最近？最短路程怎么求？ A B 蚂蚁从 A→B 的路线 将侧面展开后，根据“两点之间线段最短”可得最短路线. 立体图形中两点之间的最短路程 新课讲授 4 若已知圆柱体高为 12 cm，底面半径为 3 cm，π 取 3. B A 3 O 12 侧面展开图 12 3π A B A' A' 解：在 Rt△ABA′ 中，由勾股定理得 AB2 = AA′2 + A′B2 立体图形中求两点间的最短路程，一般把立体图形展开成平面图形，根据“两点之间线段最短”确定最短路线，再根据勾股定理求最短路程. 归纳 = AA′2 + A′B2 ≈ 122 + 92 = 225，故 AB ≈ 15 cm. →最短路程 例1 有一个圆柱形油罐，要从 A 点环绕油罐建梯子，正好建在 A 点的正上方点 B 处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是 2 m，高 AB 是 5 m，π 取 3)? A B A B A' B' 解：油罐的展开图如图，则 AB' 为梯子的最短长度. BB' ≈ 2×3×2 = 12，由勾股定理得 AB′2 = BB′2 + AB2 ≈ 122 + 52 = 169，∴ AB′ ≈ 13，即梯子最短约需 13 m. 数学思想： 立体图形 平面图形 转化 展开 变式1：当小蚂蚁爬到距离上底 3 cm 的点 E 时，小明同学拿饮料瓶的手一抖，一滴甜甜的饮料就顺着瓶子外壁滑到了距离下底 3 cm 的点 F 处，小蚂蚁到达点 F 处的最短路程是多少？（π取3） E F E F E F E F 解：如图，可知△ECF 为直角三角形， 由勾股定理，得 EF2 = EC2 + CF2 = 82 + (12 - 3 - 3)2 = 100， ∴ EF = 10 (cm). B 牛奶盒 A 变式2：看到小蚂蚁终于找到食物的兴奋劲儿，小明灵光乍现，又拿出了长方体形状的牛奶盒，把小蚂蚁放在了点 A 处，并在点 B 处滴了一滴蜂蜜，你能帮小明求出蚂蚁找到蜂蜜的最短路线么？ 6 cm 8 cm 10 cm B B1 8 A B2 6 10 B3 AB12 = 102 + (6 + 8)2 = 296， AB22 = 82 + (10 + 6)2 = 320， AB32 = 62 + (10 + 8)2 = 360， 解：由题意知有三种展开方法， 如图. ∴ AB1＜AB2＜AB3. ∴ 小蚂蚁找到蜂蜜的最短路线为 AB1. 8 6 6 10 8 由勾股定理得 问题：李叔叔想要检测雕塑底座正面的 BC 边是否垂直于底边 AB，但他随身只带了卷尺. （1）你能替他想办法完成任务吗？ 解：连接对角线 AC，只要分别量出AB、BC、AC 的长度即可. AB2 + BC2 = AC2 △ABC 为直角三角形 勾股定理的实际应用 12 （2）如果量得 AD 长是 30 cm，AB 长是 40 cm，BD 长是 50 cm，那么 AD 边垂直于 AB 边吗？ 解：AD2 + AB2 = 302 + 402 = 502 = BD2， 故∠DAB = 90°， 即 AD 边垂直于 AB 边. （3）若随身只有一个长度为 20 cm 的刻度尺，能有办法检验 AD 边是否垂直于 AB 边吗？ 解：在 AD 上取点 M，使 AM = 9 cm，在 AB 上取点 N 使 AN = 12 cm，测量 MN 是否为 15 cm，若是，就垂直；若不是，就不垂直. 例2 如图是一个滑梯示意图，若将滑道 AC 水平放置，则刚好与 AB 一样长. 已知滑梯的高度 CE = 3 m，CD = 1 m，试求滑道 AC 的长. 故滑道 AC 的长为 5 m. 解：设滑道 AC 的长为 x m，则 AB 的长也为 x m，AE 的长为 (x - 1) m. 在 Rt△ACE 中，∠AEC = 90°， 由勾股定理得 AE2 + CE2 = AC2， 即 (x - 1)2 + 32 = x2， 解得 x = 5. 数学思想： 实际问题 数学问题 转化 建模 例3 一个门框的尺寸如图所示，一块长 3 m，宽 2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过? 为什么? 2 m 1 m A B D C 典例精析 解：在 Rt△ABC 中，根据勾股定理， AC2 = AB2 + BC2 = 12 + 22 = 5， 故 AC 的长大于木板的宽， 所以木板能从门框内通过. 分析：可以看出木板横着，竖着都 不能通过，只能斜着过. 门框的对角线 AC 的长度是斜着能通过的最大长度，只要AC 的长大于木板的宽就能通过. 2.22 = 4.84＜5， 例4 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面 6 米处折断，树的顶部落在离树根底部 8 米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？ 8 米 6米 8 米 6米 A C B 解：根据题意可以构建一个直角三角形模型，如图. 在 Rt△ABC 中， AC = 6 米，BC = 8 米， 由勾股定理得 AB2 = AC2 + BC2 = 62 + 82 = 100， ∴ AB = 10 (米). ∴ 这棵树在折断之前的高度是 10 + 6 = 16 (米). 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： （1）读懂题意，分析已知、未知间的关系； （2）构造直角三角形； （3）利用勾股定理等列方程； （4）解决实际问题. 归纳总结 数学问题 直角三角形 勾股定理 实际问题 转化 建构 利用 决解 1. 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 AC ＝ 6 cm，BC ＝ 8 cm，将△ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 BE 的长为（ ） A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 10 cm B 当堂练习 21 2. 有一个高为 1.5 m，半径是 1 m 的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为 0.5 m，求这根铁棒的长度范围. 解：设伸入油桶中的长度为 x m，则最长时 最短时，x = 1.5. 所以最长是 2.5 + 0.5 = 3 (m). 答：这根铁棒的长应在 2~3 m 之间. 所以最短是 1.5 + 0.5 = 2 (m). 解得 x = 2.5. 即梯子的顶端沿墙下滑 4 m，梯子底端外移 8 m. 解：在 Rt△AOB 中， 在 Rt△COD 中， 3. 一个 25 m 长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时 AO 的距离为 24 m，如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 4 m，那么梯子底端 B 也外移 4 m 吗? 4. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面 1 尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ D A B C 解：设水池的水深 AC 为 x 尺， 则这根芦苇长 AD = AB = (x + 1) 尺. 在直角三角形 ABC 中，BC = 5 尺， 由勾股定理，得 BC2 + AC2 = AB2， 即 52 + x2 = (x + 1)2， 25 + x2 = x2 + 2x + 1， 2x = 24， ∴ x = 12，x + 1 = 13. 答：水池深 12 尺，这根芦苇长 13 尺. D A B C 5. 为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图. 已知圆筒的高为 108 cm，其横截面周长为 36 cm，如果在表面均匀缠绕油纸 4 圈，应裁剪多长的油纸？ 侧面展开 解：如右下图，在 Rt△ABC 中， AC＝36 cm，BC＝108÷4 ＝27 (cm). 由勾股定理，得 AB2＝AC2＋BC2 ＝362＋272＝2025＝452. ∴ AB＝45 cm. ∴ 整个油纸的长为 45×4＝180 (cm). 侧面展开 勾股定理的应用 立体图形中两点之间的最短路程问题 勾股定理的实际应用问题 课堂小结 $$nullnull