1.2 一定是直角三角形吗（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（北师大版）

1.2 一定是直角三角形吗 第一章 勾股定理 优翼数学教学课件（BS）八上 问题：同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗? 用 13 个等距的结把一根绳子分成等长的 12 段，一个工匠同时握住绳子的第 1 个结和第 13 个结，两个助手分别握住第 4 个结和第 8 个结，拉紧绳子就得到一个直角三角形，其直角在第 4 个结处. 导入新课 2 下面有三组数，分别是一个三角形的三边长 a，b，c： ① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17. 问题 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ 是 勾股定理的逆定理 新课讲授 3 下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a，b，c： ① 5，12，13； ② 7，24，25； ③ 8，15，17. 问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？ ① 5，12，13 满足 52 + 122 = 132，② 7，24，25 满足 72 + 242 = 252， ③ 8，15，17 满足 82 + 152 = 172. 问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？ 32 + 42 = 52，满足. a2 + b2 = c2 我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差. 我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体. 问题3 据此你有什么猜想呢? 由上面几个例子，我们猜想： 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. △ABC≌△A′B′C′ 　　 ？ ∠C 是直角　　　 △ABC 是直角三角形　　 A　 B　 C　 a b c 已知：如图，△ABC 的三边长 a，b，c，满足 a2 + b2 = c2. 求证：△ABC 是直角三角形． 构造两直角边分别为a，b 的 Rt△A′B′C′ 证一证： 简要说明： 作一个直角∠MC1N， 在 C1M 上截取 C1B1 = a = CB， 在 C1N 上截取 C1A1 = b = CA， 连接 A1B1. 在 Rt△A1C1B1中，由勾股定理，得 A1B12 = a2 + b2 = AB2. ∴ A1B1 = AB. ∴△ABC≌△A1B1C1 (SSS). ∴∠C =∠C1 = 90°. ∴△ABC 是直角三角形. a c b A C B b C1 M N B1 A1 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足 a2 + b2 = c2， 那么这个三角形是直角三角形. A C B a b c 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判定此三角形为直角三角形，最长边所对的角为直角. 特别说明： 归纳总结 典例精析 例1 一个零件的形状如图 1 所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图 2 所示，这个零件符合要求吗? D A B C 4 3 5 13 12 D A B C 图1 图2 9 在△BCD 中， 所以△BCD 是直角三角形，∠DBC 是直角. 因此，这个零件符合要求. 解：在△ABD 中， 所以△ABD 是直角三角形， ∠A 是直角. D A C 4 3 5 13 12 B 例2 下面以 a，b，c 为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？ (1) a = 15，b = 8，c = 17； 解：因为 152+82 = 289，172 = 289，所以 152+82 = 172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C 是直角. (2) a = 13，b = 14，c = 15； 解：因为 132 + 142 = 365，152 = 225，所以 132 + 142 ≠ 152，不符合勾股定理的逆定理，所以这个三角形不是直角三角形. (3) a∶b∶c = 3∶4∶5. 解：设 a = 3k，b = 4k，c = 5k. 因为 a2 + b2 = (3k)2 + (4k)2 = 25k2，c2 = (5k)2 = 25k2， 所以 a2 + b2 = c2，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，∠C 是直角. 根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方. 归纳 变式1：已知 △ABC 中，AB = n² - 1，BC = 2n，AC = n² + 1 (n 为大于 1 的正整数). 试问 △ABC 是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由. 解：∵ AB2 + BC2 = (n² - 1)2 + (2n)2 = n4 - 2n2 + 1 + 4n2 = n4 + 2n2 + 1 = (n2 + 1)2 = AC2， ∴△ABC 是直角三角形，边 AC 所对的角是直角. 变式2：若△ABC 的三边 a，b，c 满足 a2 + b2 + c2 + 50 = 6a + 8b + 10c. 试判断 △ABC 的形状. 解：∵ a2 + b2 + c2 + 50 = 6a + 8b + 10c， ∴ a2 - 6a + 9 + b2 - 8b + 16 + c2 -10c + 25 = 0， 即 (a－3)² + (b－4)² + (c－5)² = 0. ∴ a = 3，b = 4，c = 5. ∴ a2 + b2 = c2. ∴△ABC 是直角三角形. 例3 如图，在正方形 ABCD 中，F 是 CD 的中点，E 为 BC 上一点，且 CE ＝ CB，试判断 AF 与 EF 的位置关系，并说明理由． 解：AF⊥EF. 理由如下： 设正方形的边长为 4a， 则 EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a. 在 Rt△ABE 中，AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2； 在 Rt△CEF 中，EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2； 在 Rt△ADF 中，AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2. ∴ AE2＝EF2＋AF2. ∴△AEF 为直角三角形，且∠AFE＝90°，即 AF⊥EF. 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2， 那么这个三角形是直角三角形. 满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数 a，b，c，称为勾股数. 概念学习 勾股数 常见勾股数： 3，4，5； 5，12，13； 6，8，10； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41； 10，24，26 等等. 勾股数拓展性质： 一组勾股数，都乘相同倍数 k (k 为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数. 如将 3，4，5 都乘 2 和 3，得到的 6，8，10 和 9，12，15 也是勾股数. 下列各组数是勾股数的是 ( ) A. 6，8，10 B. 7，8，9 C. 0.3，0.4，0.5 D. 52，122，132 A 方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最大数的平方是否等于其他两数的平方和即可. 练一练 1. 下列各组数是勾股数的是 ( ) A. 3，4，7 B. 5，12，13 C. 1.5，2，2.5 D. 1，3，5 2. 将直角三角形的三边长扩大同样的倍数，则得到 的三角形 ( ) A. 是直角三角形 B. 可能是锐角三角形 C. 可能是钝角三角形 D. 不可能是直角三角形 B A 当堂练习 19 4. 如果三条线段 a，b，c 满足 a2 = c2 - b2，这三条线段组成的三角形是直角三角形吗? 为什么? 解：是直角三角形. 因为 a2 + b2 = c2，满足勾股定理的逆定理. 3. 以△ABC 的三条边为边长向外作正方形，依次得到的正方形面积是 25，144，169，则这个三角形是______三角形. 直角 5. 如图，在正方形 ABCD 中，AB = 4，AE = 2，DF = 1， 图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同 伴交流. 4 1 2 2 4 3 解：有 4 个，分别是△ABE，△DEF，△FCB，△BEF. 由勾股定理知 BE2 = 22 + 42 = 20， EF2 = 22 + 12 = 5， BF2 = 32 + 42 = 25， ∴ BE2 + EF2 = BF2. ∴ △BEF 是直角三角形. 6. 如图，四边形 ABCD 中，AB⊥AD，已知 AD = 3 cm，AB = 4 cm，CD = 12 cm，BC = 13 cm，求四边形 ABCD 的面积. 解：连接 BD. 在 Rt△ABD 中，由勾股定理， 得 BD2 = AB2 + AD2，∴ BD = 5 cm. 又∵ CD = 12 cm，BC = 13 cm， ∴ BC2 = CD2 + BD2. ∴△BDC 是直角三角形. S四边形ABCD = SRt△BCD－SRt△ABD = BD•CD－ AB•AD = ×(5×12－4×3) = 24 (cm2)． C B A D 变式：如图，在四边形 ABCD 中，AC⊥DC，△ADC 的面积为 30 cm2，DC ＝ 12 cm，AB ＝ 3 cm，BC ＝ 4 cm，求△ABC 的面积. 解：∵ S△ACD = 30 cm2，DC ＝ 12 cm. ∴ AC = 5 cm. 又∵ ∴△ABC 是直角三角形，且∠B 是直角. ∴ D C B A 一定是直角三角形吗 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足a2 + b2 = c2， 那么这个三角形是直角三角形 勾股数：满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数 a，b，c 课堂小结 $$