1.1 第2课时 验证勾股定理（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（北师大版）

nullnullnull1.1 探索勾股定理 第一章 勾股定理 第2课时 验证勾股定理 优翼数学教学课件（BS）八上 观察与思考 活动：请你利用自己准备的四个全等的直角三角形拼出以斜边为边长的正方形． 有不同的拼法吗？ 导入新课 2 据不完全统计，验证的方法有 400多种，你有自己的方法吗？ 问题：上节课我们认识了勾股定理，你还记得它的内容吗？那么如何验证勾股定理呢？ 双击图标 演示几何画板 勾股定理的验证 新课讲授 3 证法1 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧. 4 a a a a b b b b c c c c ∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab. ∴ a2 + b2 = c2. 证明： ∵ S大正方形 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab， S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形 = 4× ab + c2 = c2 + 2ab， a b b c a b c a 证法2 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图，再用所拼的图形证明命题吧. a b c ∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b - a)2， ∴S大正方形＝4S三角形＋S小正方形. 赵爽弦图 b-a 证明： “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲. 因此，这个图案被选为 2002 年在北京召开的国际数学家大会的会徽. a a b b c c ∴ a2 + b2 = c2. 证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形， 求证：a2 + b2 = c2. a b c 青入 青方 青 出 青出 青入 朱入 朱方 朱出 青朱出入图 课外链接 a b c A B C D E F O 达·芬奇对勾股定理的证明 Ⅰ Ⅱ A a B C b D E F O Ⅰ Ⅱ A′ B′ C′ D′ E′ F′ 如图，过 A 点画一直线 AL 使其垂直于 DE，并交 DE 于 L，交 BC 于 M. 通过证明△BCF≌△BDA，利用三角形面积与矩形面积的关系，得到正方形 ABFG 与矩形 BDLM 等积，同理正方形 ACKH 与矩形 MLEC 也等积，于是推得： 欧几里得证明勾股定理 点击视频开始播放→ 视频： 勾股定理 面积法验证 推荐书目 议一议 观察下图，用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足 a2 + b2 = c2. 例1 我方侦查员小王在距离东西向公路 400 m 处侦查，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距 400 m，10 s 后，汽车与他相距500 m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗? 公路 B C A 400 m 500 m 解：由勾股定理，得 AB2 = BC2 + AC2， 即 5002 = BC2 + 4002，所以 BC = 300. 敌方汽车 10 s 行驶了 300 m，那么它 1 h 行驶的路程为 300×6×60 = 108000 (m). 即它行驶的速度为 108 km/h. 勾股定理的简单应用 17 练一练 1. 湖的两端有 A、B 两点，从与 BA 方向成直角的 BC 方向上的点 C 测得 CA = 130 米，CB = 120 米，则 AB 为 ( ) A B C A. 50 米 B. 120 米 C. 100 米 D. 130 米 130 120 ? A A B C 2. 如图，太阳能热水器的支架 AB 长为 90 cm，与 AB 垂直的 BC 长为 120 cm. 太阳能真空管 AC 有多长? 解：在 Rt△ABC 中，由勾股定理， 得 AC2 = AB2 + BC2， AC2 = 902 + 1202， AC = 150 (cm). 答：太阳能真空管 AC 长 150 cm. 例2 如图，高速公路的同侧有 A，B 两个村庄，它们到高速公路所在直线 MN 的距离分别为AA1＝2 km，BB1＝4 km，A1B1＝8 km.现要在高速公路上A1、B1之间设一个出口P，使 A，B 两个村庄到 P 的距离之和最短，求这个最短距离和． 解：作点 B 关于 MN 的对称点 B′， 连接 AB′，交 A1B1 于P 点，连接 BP. 则 AP＋BP＝AP＋PB′＝AB′． 易知 P 点即为到点 A，B 距离之和最短的点． 过点 A 作 AE⊥BB′ 于点 E， 则 AE＝A1B1＝8 km，B′E＝AA1＋BB1＝2＋4＝6 (km)． 由勾股定理，得 AB′2＝AE2＋B′E2＝82＋62＝100， ∴ AB′＝10 (km)，即 AP＋BP＝AB′＝10 km． 故出口 P 到 A，B 两村庄的最短距离和是 10 km． 变式：如图，在一条公路上有 A、B 两站相距 25 km，C、D 为两个小镇，已知 DA⊥AB，CB⊥AB，DA = 15 km，CB = 10 km，现在要在公路边上建设一个加油站 E，使得它到两镇的距离相等，请问 E 站应建在距 A 站多远处? D A E B C 15 10 25-x x 1. 在直角三角形中，满足条件的三边长可以是 . (写出一组即可) 【解析】答案不唯一，只要满足式子a2 + b2 = c2 即可. 如：3，4，5. 2. 如图，王大爷准备建一个蔬菜大棚，棚宽 8 m，高 6 m，长 20 m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，阳光透过的最大面积是_______m2. 200 当堂练习 23 3. 如图，一根旗杆在离地面 9 m 处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部 12 m 处. 旗杆原来有多高? 12 m 9 m 解：设旗杆顶部到折断处的距离为 x m， 根据勾股定理得 解得 x = 15，15 + 9 = 24 (m). 答：旗杆原来高 24 m. 24 4. 如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地 (图中的四边形 ABCD)，经测量，在四边形 ABCD 中，AB = 3m，BC = 4 m，AD = 13 m，∠B =∠ACD = 90°．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米 100 元，试问铺满这块空地共需花费多少元？ 解：在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得 AC2 = AB2 + BC2，∴AC = 5 m. 在 Rt△ACD 中，由勾股定理， 得 CD2 = AD2－AC2，∴ CD = 12 m. S草坪 = SRt△ABC + SRt△ACD = AB•BC + AC•DC = ×(3×4 + 5×12) = 36 (m2)． 故需要的费用为 36×100 = 3600 (元)． 5. 如图，折叠长方形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的 F 点处，若 AB = 8 cm，BC = 10 cm，求 EC 的长. D A B C E F 解：在 Rt△ABF 中，由勾股定理， 得 BF2 = AF2－AB2 = 102－82， ∴ BF = 6，CF = BC－BF = 4. 设 EC = x cm，则 EF = DE = 8－x， 在 Rt△ECF 中，根据勾股定理， 得 x2+ 42 = (8－x)2， 解得 x = 3. ∴ EC 的长为 3 cm. 探索勾股定理 勾股定理的验证 勾股定理的简单运用 课堂小结 $$