1.1 第1课时 认识勾股定理（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（北师大版）

1.1 探索勾股定理 第一章 勾股定理 第1课时 认识勾股定理 优翼数学教学课件（BS）八上 如图，这是一幅美丽的图案，仔细观察，你能发现这幅图中的奥秘吗？带着疑问我们来一起探索吧. 双击图标开始演示几何画板 导入新课 2 点击视频开始播放 ← （图中每一格 代表 1 cm2） （1）正方形 P 的面积是 cm2； （2）正方形 Q 的面积是 cm2； （3）正方形 R 的面积是 cm2. 1 2 1 SP + SQ = SR R Q P A C B AC2 + BC2 = AB2 等腰直角三角形 ABC 三边长度之间存在什么关系吗？ SP = AC2 SQ = BC2 SR = AB2 上面三个正方形的面积之间有什么关系？ 做一做：观察正方形瓷砖铺成的地面. 勾股定理的初步认识 新课讲授 填一填：观察右边两幅图：完成下表 (每个小正方形的面积为单位 1). A 的面积 B 的面积 C 的面积 左图 右图 4 ？ 怎样计算正方形 C 的面积呢？ 9 16 9 ？ 方法一：割 方法二：补 方法三：拼 分割为四个直角三角形和一个小正方形. 补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积. 将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形. 分析表中数据，你发现了什么？ A 的面积 B 的面积 C 的面积 左图 4 9 13 右图 16 9 25 结论：以直角三角形两直角边为边长的两个小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积. 双击图标开始演示几何画板 13 5 12 A B C 分别以 5 cm、12 cm 为直角三角形的直角边作出一个直角三角形 ABC，测量斜边的长度，然后验证上述关系对这个直角三角形是否成立. 做一做 几何语言： 在 Rt△ABC 中，∵∠C = 90°， ∴ a2 + b2 = c2 (勾股定理). a A B C b c ∟ 总结归纳 定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系. 　直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果 a，b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2 + b2 = c2． 勾股定理 求下列直角三角形中未知边的长： 练一练 8 x 17 12 5 x 解：由勾股定理可得 82 + x2 = 172， x = 15. 解：由勾股定理可得 52 + 122 = x2， x = 13. 我们一起穿越到 2500 年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客， 看到他朋友家用砖铺成的地 面（如图所示）： A B C 穿越毕达哥拉斯做客现场 正方形 A 的面积 正方形 B 的面积 正方形 C 的面积 + = 一直角边2 另一直角边2 斜边2 + = 知识链接 例1 已知∠ACB = 90°，CD⊥AB，AC = 3，BC = 4. 求 CD 的长. 典例精析 解：由勾股定理可得 AB2 = AC2+BC2 = 25， 即 AB = 5. 根据三角形面积公式， 得 AC·BC = AB·CD. ∴ CD = . A D B C 3 4 利用勾股定理进行计算 方法总结 由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，这个规律也称“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用． 例2 如图，已知 AD 是△ABC 的中线． 求证：AB2＋AC2 ＝ 2(AD2＋CD2)． 证明：如图，过点 A 作 AE⊥BC 于点 E. 在 Rt△ACE、Rt△ABE 和 Rt△ADE 中， AB2＝AE2＋BE2，AC2＝AE2＋CE2，AE2＝AD2－ED2， BE＝DB－ED，CE＝CD＋ED. ∴ AB2＋AC2＝(AE2＋BE2)＋(AE2＋CE2) ＝2AD2＋DB2＋DC2＋2ED·(DC－DB)． 又∵ AD 是△ABC 的中线，∴ DB＝DC. ∴ AB2＋AC2＝2AD2＋2DC2＝2(AD2＋CD2)． E 方法总结 构造直角三角形，利用勾股定理把需要证明的线段联系起来．一般地，涉及线段之间的平方关系问题时，通常沿着这个思路去分析问题比较好． 解：当高 AD 在△ABC 内部时，如图①. 在 Rt△ABD 中，由勾股定理， 得 BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162， ∴ BD＝16. 在 Rt△ACD 中，由勾股定理， 得 CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81， ∴ CD＝9. ∴ BC＝BD＋CD＝25. ∴ △ABC 的周长为 25＋20＋15＝60. 例3 在△ABC 中，AB＝20，AC＝15，AD 为 BC 边上的高，且 AD ＝ 12，求△ABC 的周长． 题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD 在△ABC 内的情形，忽视高 AD 在△ABC 外的情形． 当高 AD 在△ABC 外部时，如图②. 同理可得 BD＝16，CD＝9. ∴ BC＝BD－CD＝7. ∴△ABC 的周长为 7＋20＋15＝42. 综上所述，△ABC 的周长为 42 或 60. 方法总结 解：∵ AE＝BE， ∴ S△ABE＝ AE·BE＝ AE2. 又∵ AE2＋BE2＝AB2， ∴ 2AE2＝AB2. ∴ S△ABE＝ AB2＝ . 同理可得 S△AHC＋S△BCF＝ AC2＋ BC2. 又∵ AC2＋BC2＝AB2， ∴阴影部分的面积为 AB2＝ . 例4 如图，以 Rt△ABC 的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形. 若斜边 AB＝3，求△ABE及阴影部分的面积. 方法总结 求解与直角三角形三边有关的图形面积时，要结合图形想办法把图形的面积与直角三角形三边的平方联系起来，再利用勾股定理找到图形面积之间的等量关系． 1. 图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 cm². 8 cm 10 cm 36 当堂练习 20 2. 求下列图中未知数 x、y 的值： 解：由勾股定理可得 81 + 144 = x2， x = 15. 解：由勾股定理可得 y2 + 144 = 169， y = 5. 3. 在△ABC 中，∠C = 90°. （1）若 a = 6，b = 8，则 c = ； （2）若 c = 13，b = 12，则 a = . 4. 若直角三角形中，有两边长是 3 和 4，则第三边长的平方为（ ） A 25 B 14 C 7 D 7 或 25 10 5 D 5. 一长为 2.5 米的木梯，架在高为 2.4 米的墙上(如图)，这时梯脚与墙的距离是多少? 解：在 Rt△ABC 中，根据勾股定理， 得 BC2 = AB2 - AC2 = 2.52 - 2.42 = 0.49， 所以 BC = 0.7. 答：梯脚与墙的距离是 0.7 米. A B C 6. 求斜边长 17 cm、一条直角边长 15 cm 的直角三角形的面积. 解：设另一条直角边长是 x cm. 由勾股定理得 152 + x2 = 172， x2 = 172-152 = 289-225 = 64， 所以另一直角边长为 8 cm. 则直角三角形的面积是 (cm2). 思维拓展 解：S5 = S1 + S2 = 4， S7 = S5 + S6 = 10. 已知 S1 = 1，S2 = 3，S3 = 2，S4 = 4，求 S5，S6，S7 的值. S6 = S3 + S4 = 6， 认识勾股定理 如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2 利用勾股定理进行计算 课堂小结 $$nullnull