14.2.2 两角及其夹边分别相等的两个三角形（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（沪科版）

第 14 章 全等三角形 14.2 三角形全等的判定 第 2 课时 两角及其夹边分别相等的两个三角形 优翼数学教学课件（HK）八上 如图，小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具吗？如果可以，带哪块去合适? 3 2 1 导入新课 Ⅰ Ⅱ 思考：观察上面图形变换，你认为应该带哪块去，猜想下这是为什么？ 点击播放视频 问题1：如果已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？ A B C A B C 图一 图二 “两角及夹边” “两角和其中一角的对边” 它们能判定两个三角形全等吗？ 三角形全等的判定（“角边角”） 新课讲授 作图探究 先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′， 使 A′B′ = AB， ∠A′ =∠A， ∠B′ =∠B (即使两角和它们的夹边对应相等).把画好的△A′B′C′ 剪下，放到△ABC 上，它们全等吗？ A C B 作法： （1）画线段 A'B' = AB； （2）在 A'B' 的同旁画∠DA'B' =∠A，∠EB'A' =∠B， A'D，B'E 相交于点 C'. A′ B′ C′ E D 想一想：从中你能发现什么规律？ A C B 知识要点 “角边角”判定方法 文字语言：有两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简记为“角边角”或“ASA”）. 几何语言： ∠A =∠A′ (已知)， AB = A′B′ (已知)， ∠B =∠B′ (已知)， 在△ABC 和△A′B′C′ 中， ∴△ABC≌△A′B′C′ (ASA). A B C A′ B′ C′ 例1 已知：如图，点 A，F，E，C 在同一条直线上，AB∥DC，AB = CD，∠B =∠D. 求证：△ABE≌△CDF. 证明： ∵ AB∥DC， ∴ ∠A =∠C. 在△ABE 和△CDF 中， ∴ △ABE≌△CDF (ASA). ∠A =∠C， AB = CD， ∠B =∠D， 典例精析 已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，求证：△ABC≌△DCB． ∠ABC＝∠DCB(已知）， BC＝CB（公共边）， ∠ACB＝∠DBC（已知）， 证明： 在△ABC 和△DCB 中， ∴△ABC≌△DCB（ASA ）. 练一练 B C A D 如图，已知∠ACB =∠DBC，∠ABC =∠CDB，判别图中的两个三角形是否全等，并说明理由. 不全等，因为 BC 虽然是公共边，但不是对应边. A B C D 议一议 易错点：判定全等的条件中，必须是对应边相等，对应角相等，否则不能判定. 例2 如图， ∠1＝∠2，∠ 3＝∠4，求证：DB＝CB. 证明：∵ ∠DBA +∠3 =180°， ∠ABC +∠4 =180°，∠3＝∠4， ∴∠ABD＝∠ABC(等角的补角相等). 在△ABD 和△ABC 中， ∠1＝ ∠2 (已知)， AB＝AB(公共边)， ∠ABD＝∠ABC(已证)， ∴ △ABD≌△ABC(ASA). ∴ DB＝CB . 1 2 3 4 “ASA”的判定与性质的综合运用 例3 如图，为测量河宽 AB，小军从河岸的 A 点沿着和 AB 垂直的方向走到 C 点，并在 AC 的中点 E 处立一根标杆，然后从 C 点沿着与 AC 垂直的方向走到 D 点，使 D，E，B 恰好在一条直线上. 于是小军说：“CD 的长就是河的宽” 你能说出这个 道理吗？ A B E C D 解：在△AEB 和△CED 中， ∠A＝∠C＝ 90°， AE＝CE， ∠AEB＝∠CED (对顶角相等)， ∴ △AEB≌△CED（ASA）. ∴ AB＝CD (全等三角形的对应边相等). 因此，CD 的长就是河的宽度. A B C D E F 1. 如图，∠ACB =∠DFE，BC = EF，那么应补充一个条件 ，才能使△ABC≌△DEF (写出一个即可). ∠B =∠E （ASA） AB∥DE 或 AC = DF （SAS） D′ ∠B =∠E 当堂练习 2. 如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，AB = AC，∠B =∠C. 求证：AD = AE. 证明：在△ACD 和△ABE 中， ∠A =____（ ）， _______ ( )， ∠C =____( )， ∴△ACD≌△ABE( )， ∴AD = AE（ ）. 分析：只要找出 ≌ ，得 AD = AE. △ACD △ABE ∠A 公共角 AB = AC ∠B ASA 全等三角形的对应边相等 已知 已知 A D B C O E ∵ 3. 已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，CF，C′F′ 分别是∠ACB 和∠A′C′B′ 的平分线. 求证：CF = C′F′. 证明：∵△ABC≌△A′B′C′， ∠A =∠A′， ∠ACB =∠A′C′B′. ∴ AC = A′C′， ∴ CF = C′F′. 又∵CF，C′F′ 分别是∠ACB 和∠A′C′B′ 的平分线， ∴ ∠ACF =∠A′C′F′. ∴ △ACF≌△A′C′F′ (ASA). 4.如图，已知 AB = AE，∠1 =∠2，∠B =∠E， 求证：BC = ED. 证明：∵∠1=∠2， ∴ ∠1 +∠BAD =∠2 +∠BAD， 即∠EAD =∠BAC. 在△AED 和△ABC 中， ∠E =∠B， AE = AB， ∠EAD =∠BAC， A B E C D 1 2 ∴△AED≌△ABC(ASA). ∴ BC = ED. 学以致用：如图，小明不慎将一块三角形模具打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢? 如果可以，带哪块去合适? 你能说明其中理由吗? 3 2 1 答：可以带 1 去，因为两角且夹边分别相等的两个三角形全等. 两角及其夹边分别相等的两个三角形 应用：证明角相等，边相等 三角形全等的“ASA”判定：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 课堂小结 $$null