14.2.1 两边及其夹角分别相等的两个三角形（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（沪科版）

第 14 章 全等三角形 14.2 三角形全等的判定 第 1 课时 两边及其夹角分别相等的两个三角形 优翼数学教学课件（HK）八上 为了庆祝国庆节，老师要求同学们回家制作三角形彩旗（如图），那么，老师应提供多少个数据，才能保证同学们制作出来的三角形彩旗全等呢？一定要知道所有的边长和所有的角度吗？ 导入新课 点击播放视频 A B C D E F 1. 什么叫全等三角形？ 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 3. 已知△ABC≌△DEF，找出其中相等的边与角. ① AB = DE ③ CA = FD ② BC = EF ④∠A =∠D ⑤∠B =∠E ⑥∠C =∠F 2. 全等三角形有什么性质？ 全等三角形的对应边相等，对应角相等. 知识回顾 如果只满足这些条件中的一部分，那么能保证△ABC≌△DEF 吗? 想一想： 即：三条边分别相等，三个角分别相等的两个三角形全等． 探究活动1：一个相等的条件可以吗？ （1）有一条边相等的两个三角形 不一定全等 （2）有一个角相等的两个三角形 不一定全等 结论： 只有一个相等条件不能保证两个三角形全等. 利用“SAS”判定三角形全等 新课讲授 有分别相等的两个条件不能保证三角形全等. 不一定全等 探究活动2：两个相等的条件可以吗？ 3 cm 4 cm 不一定全等 3 cm 4 cm 不一定全等 30° 6cm 结论： (1) 有两个角分别相等的两个三角形 (2) 有两条边分别相等的两个三角形 (3) 有一个角和一条边分别相等的两个三角形 6cm 30° 60° 30° 30° 60° 结论：三个内角分别相等的三角形不一定全等. （1）有三个角分别相等的两个三角形 探究活动3：三个相等的条件可以吗？ 60° 30° 90° 30° 60° 90° 如图，已知△ABC，用尺规作图画出一个△A′B′C′，使 A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A (即两边和它们的夹角分别相等). 把画好的△A′B′C′ 剪下，放到△ABC 上，它们能重合吗？ A B C 探究活动4：SAS 能否判定两个三角形全等? 动手试一试 A B C A′ D E B′ C′ 作法：(1) 画∠DA'E =∠A； (2) 在射线 A'D 上截取 A'B' = AB，在射线 A'E上截取 A'C' = AC； (3) 连接 B'C'. ？ 思考： ① △A′B′C′ 与 △ABC 全等吗？如何验证？ ② 这两个三角形全等是满足哪三个条件？ 在△ABC 和△ DEF 中， ∴△ABC≌△DEF (SAS)． 文字语言：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”. 知识要点 “边角边”判定三角形全等的方法 几何语言： AB = DE， ∠A = ∠D， AC = DF， A B C D E F 必须是两边“夹角” 例1 如图，AB 和 CD 相交于 O，且 AO = BO，CO = DO. 求证：△ACO≌△BDO . 分析： △ACO≌△BDO. 边: 角: 边: AO = BO (已知)， ∠AOC =∠BOD (对顶角)， (SAS) CO = DO (已知). ？ 典例精析 证明：在△ACO 和△BDO 中， ∴ △ACO≌△BDO(SAS). AO = BO， ∠AOC =∠BOD (对顶角相等)， CO = DO， 方法小结：证明三角形全等时，如果题目所给条件不充足，我们要充分挖掘图形中所隐藏的条件.如对顶角相等、公共角(边)相等等. 例2 如图，AB = CB，∠ABD = ∠CBD，那么△ABD 和△CBD 全等吗？ 分析: △ABD≌△CBD 边:角:边: AB = CB (已知)， ∠ABD = ∠CBD (已知)， ？ A B C D (SAS) BD = BD (公共边). 解： 在△ABD 和△CBD 中， AB = CB (已知)， ∠ABD =∠CBD(已知)， ∴△ABD≌△CBD (SAS). BD = BD (公共边)， 变式1： 已知：如图，AB = CB，∠1 =∠2. 求证：AD = CD，DB 平分∠ADC. A D B C 1 2 4 3 在△ABD 与△CBD 中， 证明： ∴△ABD≌△CBD (SAS). AB = CB (已知)， ∠1 =∠2 (已知)， BD = BD (公共边)， ∴ AD = CD，∠3 =∠4. ∴ DB 平分∠ADC. A B C D 变式2： 如图，AD = CD，DB 平分∠ADC，求证：∠A =∠C. 1 2 在△ABD 与△CBD 中， 证明： ∴△ABD≌△CBD (SAS). AD = CD (已知)， ∠1 = ∠2 (已证)， BD = BD (公共边)， ∴∠A =∠C. ∵ DB 平分∠ADC， ∴∠1 =∠2. 例3 已知：如图 AD∥CB ， AD = CB， 求证：△ADC≌△CBA. 证明：∵AD∥CB， 在△ADC 和△CBA 中， AD = CB (已知)， ∠DAC =∠BCA (已证)， ∴ △ADC≌△CBA (SAS). AC = CA (公共边)， A B C D ∴∠DAC =∠BCA (两直线平行， 内错角相等). 例4 如图，有一池塘，要测池塘两端 A、B 的距离，可先在平地上取一个可以直接到达 A 和 B 的点 C，连接 AC 并延长到点 D，使 CD＝CA，连接 BC 并延长到点 E，使 CE＝CB．连接 DE，那么量出 DE 的长就是 A、B 的距离，为什么? C · A E D B 解：在△ABC 和△DEC 中， ∴△ABC≌△DEC (SAS). ∴ AB = DE (全等三角形的对应边相等). CA = CD (已知)， ∠ACB =∠DCE (对顶角相等)， CB = CE (已知) ， 1. 在下列图中找出全等三角形进行连线. Ⅰ ر 30° 8 cm 9 cm Ⅳ Ⅳ 8 cm 5 cm Ⅱ 30° ر 8 cm 5 cm Ⅲ ر 30° 8 cm 8 cm Ⅲ Ⅶ ر 30° 8 cm 9 cm Ⅴ 30° ر 8 cm 5 cm Ⅲ ر 30° 8 cm 8 cm Ⅵ Ⅳ Ⅷ 8 cm 5 cm 当堂练习 ∴ AE + EF = CF + EF，即 AF = CE. 2.如图，点 E、F 在 AC 上，AD∥BC，AD = CB，AE = CF. 求证：△AFD≌△CEB. F A B D C E 证明： ∵ AD∥BC， ∴ ∠A =∠C. ∵ AE = CF， 在△AFD 和△CEB 中， AD = CB (已知)， ∠A = ∠C (已证)， AF = CE (已证)， ∴△AFD≌△CEB (SAS). 3.如图，AC = BD，∠CAB =∠DBA，求证：BC = AD. A B C D 证明：在△ABC 与△BAD 中 AC = BD (已知)， ∠CAB =∠DBA (已知)， AB = BA (公共边)， ∴ △ABC≌△BAD (SAS). ∴ BC = AD(全等三角形的对应边相等). 21 4.小兰做了一个如图所示的风筝，其中∠EDH =∠FDH，ED = FD ，将上述条件标注在图中，小明不用测量就能知道 EH = FH 吗？与同桌进行交流. E F D H 解：能. 在△EDH 和△FDH 中，　　 ED＝FD (已知)， 　 ∠EDH＝∠FDH (已知)， 　 DH＝DH (公共边)， ∴ △EDH≌△FDH (SAS). ∴ EH＝FH(全等三角形对应边相等). 边角边 内容 有两边及夹角对应相等的两个三角形全等（简写成 “SAS”) 应用 为证明线段和角相等提供了新的证法 注意 1.已知两边，必须找“夹角” 2. 已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边 课堂小结 $$