13.2 第3课时 三角形内角和定理的证明及推论1、2（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（沪科版）

第 13 章 三角形中的边角关系、 命题与证明 13.2 命题与证明 第 3 课时 三角形内角和定理的证明及推论 1、2 优翼数学教学课件（HK）八上 一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧. 不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的. 我的形状最大，那我的内角和最大. 我的形状最小，那我的内角和最小. 导入新课 活动：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起. 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 你能用数学的方法说明这个结论吗？ 还有其他的拼接方法吗？ 三角形的内角和的证明 新课讲授 验证结论 三角形三个内角的和等于 180°. 求证：∠A +∠B +∠C = 180°. 已知：△ABC . 证法1：过点 A 作 l∥BC， 则∠B =∠1，∠C =∠2 (两直线平行，内错角相等). ∵∠1 +∠2 +∠BAC = 180°， ∴∠B +∠C +∠BAC = 180°. 1 2 点击“拼图”演示 证法2：延长 BC 到 D，过点 C 作 CE∥BA， 则∠A =∠1 (两直线平行，内错角相等)， ∠B =∠2 (两直线平行，同位角相等). 又∵∠1 +∠2 +∠ACB = 180°， ∴∠A +∠B +∠ACB = 180°. C B A E D 1 2 点击“拼图”演示 C B A E D F 证法3：过 D 作 DE∥AC，DF∥AB. ∴∠C = ∠EDB，∠B = ∠FDC (两直线平行，同位角相等)， ∠A +∠AED = 180°， ∠EDF +∠AED = 180° (两直线平行，同旁内角相补). ∴∠A = ∠EDF. ∵∠EDB +∠EDF +∠FDC = 180°， ∴∠C +∠A +∠B = 180°. 想一想：同学们还有其他的证法吗？ 思考：多种方法证明三角形内角和等于 180° 的核心是什么？ 借助的平行线“移角”的功能，将三个角转化到一个平角上. C A B 1 2 3 4 5 l A C B 1 2 3 4 5 l P 6 m A B C D E 知识要点 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 思路总结 为了证明三个角的和为 180°，转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法. 辅助线 C 2 4 A B 3 E Q D F P G H 1 B G C 2 4 A 3 E D F H 1 试一试：同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤？ 例1 如图，在△ABC 中， ∠BAC = 40°，∠B = 75°，AD 是△ABC 的角平分线，求∠ADB 的度数. A B C D 解：由∠BAC = 40°，AD 是△ABC 的角平分线， 得∠BAD = ∠BAC = 20°. 在△ABD 中， ∠ADB = 180° - ∠B - ∠BAD = 180° - 75° - 20° = 85°. 三角形的内角和定理的运用 【变式题】如图，CD 是∠ACB 的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC 的度数． 解：∵∠A＝50°，∠B＝70°， ∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°. ∵CD 是∠ACB 的平分线， ∴∠BCD＝ ∠ACB＝30°. ∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠BCD＝30°. 在△BDC 中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD＝80°. 解：∵ DE⊥AB，∴∠FEA＝90°． ∵ 在△AEF 中，∠FEA＝90°，∠A＝30°， ∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°. 又∵∠CFD＝∠AFE， ∴∠CFD＝60°. ∴ 在△CDF 中，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°. 例2 如图，△ABC 中，D 在 BC 的延长线上，过 D 作 DE⊥AB 于 E，交 AC 于 F. 已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D. 基本图形 由三角形的内角和定理易得∠A +∠B =∠C +∠D. 总结归纳 由三角形的内角和定理易得∠1 +∠2 =∠3 +∠4. 问题1：在△ABC 中，∠C = 90°，求 ∠A +∠B 的度数？由此你能得到什么结论？ 问题2：在△ABC 中，∠A +∠B = 90°，则∠C 度数为多少？由此你能得到什么结论？ 在△ABC 中，∵∠A +∠B +∠C＝180°，∠C＝ 90°， ∴∠A＋∠B＝90°. 在△ABC 中，∵∠A +∠B +∠C＝180°，∠A ＋∠B＝90°， ∴∠C＝90°. 三角形内角和定理的推论1、2 直角三角形的两锐角互余. 三角形内角和推论 1： 三角形内角和推论 2： 有两个角互余的三角形是直角三角形. 像这样，由基本事实、定理直接得出的真命题 叫做推论. 要点归纳 在△ABC 中， （1）∠C = 90°，∠A = 30°，则∠B = ； （2）∠A = 50°，∠B = ∠C，则∠B = ； （3）∠A -∠C = 25°，∠B -∠A = 10°，则 ∠B = ； （4）∠A + ∠B = 90°，则△ABC 是 三角形； 练一练 60° 65° 75° 直角 1.如图，∠ACB = 90°，CD⊥AB 于点 D， 则∠1与∠B 的关系是（ ） A.互余 B.互补 C.相等 D.不确定 2.如图，AB∥CD，AD、BC 交于点 O， ∠A = 42°，∠C = 58°，则∠AOB = ( ) A. 42° B. 58° C.80° D.100° A B C D 1 C A B C D O C 当堂练习 3.如图，△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点 O，若∠BOC = 120°，则∠A =_______. A B C O 60° 证明：∵AD∥BC， ∴∠1＝________ ( )． 又∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠BAD－∠1＝∠BCD－∠2， 即∠3＝∠4. ∴AB∥________( )． 4.已知：如图，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD.求证：AB∥CD. ∠2 内错角相等，两直线平行 CD 两直线平行，内错角相等 A B C D 4 2 1 3 解：∵ DE∥BC 且∠C＝70°， ∴∠AED＝∠C＝70° (两直线平行，同位角相等) . ∵在△ADE 中∠A＝60°， ∴∠A +∠ADE +∠AED＝180° (三角形内角和定理). ∴∠ADE＝180°－60°－70°＝50°. D C B A E 5.如图，在△ABC 中，DE∥BC，∠A = 60°，∠C = 70°.求∠ADE 的度数. 6.如图∠C =∠D = 90°，AD，BC 相交于点 E，∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？ A E D C B 解：∠CAE =∠DBE. 理由如下： 在 Rt△CAE 中，∠CAE +∠CEA = 90°， 在 Rt△DBE 中， ∠DBE + ∠DEB = 90° ∵ ∠CEA =∠DEB ∴ ∠CAE =∠DBE （直角三角形两锐角互余）. （对顶角相等）， （等角的余角相等）. 三角形内角和定理的证明及推论 1、2 三角形内角和定理的证明 推论1：直角三角形的两锐角互余. 推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形. 课堂小结 $$