13.1.3 三角形中几条重要线段（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（沪科版）

第13章 三角形中的边角关系、 命题与证明 13.1 三角形中的边角关系 3.三角形中几条重要线段 优翼数学教学课件（HK）八上 复习回顾 定义 图示 垂线 线段中点 角平分线 O B A A B 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线 把一条线段分成两条相等的线段的点 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线 导入新课 这里有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两个想要平分的话，你该怎么办呢？ 情境引入 问题1 如图，若 OC 是∠AOB 的平分线，你能得到什么结论？ A C B O ∠AOC = ∠BOC 问题2 你能用同样的方法画出任意一个三角形的一个内角的平分线吗？ A B C D 想一想：三角形的角平分线与角的角平分线相同吗? 相同点是： ∠ BAD = ∠ CAD； 不同点是：前者是线段，后者是射线. 三角形的角平分线 新课讲授 B A C 用量角器画最简便，用圆规也能. 在一张纸上画出一个一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合. 折痕 AD 即为三角形的∠A 的平分线. A B C A D 问题4：请画出这个三角形的另外两条角平分线，你发现了什么？ 三角形的三条角平分线交于一点． A B C D E F 问题3：一个三角形有几条角平分线？ 3 思考：观察直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，你又有什么发现？ 三角形的三条角平分线交于一点． 称之为三角形的内心．（后面学到） 例1 如图，DC 平分∠ACB，DE∥BC，∠AED = 80°，求∠ECD 的度数. 解：∵DC平分∠ACB， 又DE∥BC， 典例精析 ∴∠AED =∠ACB = 80°. ∴∠ECD = 40°. ∴∠ECD =∠BCD = ∠ACB. 视频：平均分蛋糕 点击播放视频 在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做这个三角形的中线. 如图，AE 是 BC 边上的中线. 三角形的“中线” B A C A BE = EC E 三角形的中线 (1) 在纸上画出一个锐角三角形，确定它的中线. 你有什么方法？它有多少条中线？它们有怎样的 位置关系？ 三条中线 交于一点 议一议 (2) 钝角三角形和直角三角形的中线又是怎样的？ 折一折，画一画，并与同伴交流. 三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心. 要点归纳 典例精析 例2 在△ABC 中，AC＝5cm，AD 是△ABC 的中线，若△ABD 的周长比△ADC 的周长大 2 cm，则 BA＝____cm. 提示：将△ABD 与△ADC 的周长之差转化为边长的差. 7 三角形的高的定义 从三角形的一个顶点， 向它的对边 A B C 所在直线作垂线， 顶点 和垂足 D 之间的线段 叫做三角形的高线， 简称三角形的高. 如右图，线段 AD 是 BC 边上的高. 和垂足的字母. 注意 ! 标明垂直的记号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 三角形的高 思考：你还能画出一条高来吗？ 一个三角形有三个顶点，应该有三条高. (1) 你能画出三角形的三条高吗？ (2) 这三条高之间有怎样的位置关系？ O (3) 锐角三角形的三条高是在三角 形的内部还是外部？ 锐角三角形的三条高交于同一点. 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 锐角三角形的三条高 如图所示. 直角边 BC 边上的高是 ； 直角边 AB 边上的高是 ； (2) AC 边上的高是 ； 直角三角形的三条高 A B C (1) 画出直角三角形的三条高， AB BC 它们有怎样的位置关系？ D 直角三角形的三条高交于直角顶点. BD 钝角三角形的三条高 (1) 你能画出钝角三角形的三条高吗？ A B C D E F (2) AC 边上的高呢？ AB 边上呢？ BC 边上呢？ BF CE AD A B C D F (3)钝角三角形的三条高 交于一点吗？ (4)它们所在的直线交于 一点吗？ O E 钝角三角形的三条高 不相交于一点. 钝角三角形的三条高所在直线交于一点. 视频：画钝角三角形的高 点击播放视频 例3 作△ABC 的边 AB 上的高，下列作法中，正确的是(　　) 方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上． D 例4 如图所示，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC 于点 D，且 AD＝4，若点 P 在边 AC 上移动，则 BP 的最小值为____． 方法总结：可利用面积相等作桥梁(但不求面积) 求三角形的高，此解题方法通常称为“面积法”． 例5 如图，已知 AD 是△ABC 的角平分线，CE 是△ABC 的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB 的度数． 解：因为 AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC＝60°， 所以∠DAC＝∠BAD＝30°. 因为 CE 是△ABC 的高，∠BCE＝40°， 所以∠B＝50°. 所以∠ADB＝180°－∠B－∠BAD ＝180°－30°－50°＝100°. 例6 如图，△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，若△ABC 的周长为 35 cm，BC = 11 cm，且△ABD 与△ACD 的周长差为 3 cm，求 AB 与 AC 的长. A C D B 解: ∵AD 是△ABC 的中线， ∴CD = BD. ∵△ABC 的周长为 35 cm，BC = 11cm， ∴AC + AB = 35 - 11 = 24（cm）. 又∵△ABD 与△ACD 的周长差为 3 cm，∴AB - AC = 3 cm， ∴AB = 13.5 cm，AC = 10.5 cm. 有关三角形的高、角平分线、中线的计算 A C D B 解：因为 AD 是△ABC 的中线， 所以 CD = BD. 因为△ABC 的周长为 35 cm， BC = 11cm， 所以 AC + AB = 35 - 11 = 24 (cm). 又因为△ABD 与△ACD 的周长差为 3 cm， 所以 AB - AC = 3 cm， 所以 AB = 13.5 cm，AC = 10.5 cm. 例7 如图，在△ABC 中，E 是 BC 上的一点，EC＝2BE，点 D 是 AC 的中点，S△ABC＝12，求 S△ADF－S△BEF 的值. 因为 S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF， 所以 S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2. 解：因为点 D 是 AC 的中点，所以AD＝ AC. 因为 S△ABC＝12，所以S△ABD＝ S△ABC＝ ×12＝6. 因为EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝ S△ABC＝4. 三角形的 重要线段 概念 图形 表示法 三角形的 角平分线 三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC， ∠ADB=∠ADC=90°. 三角形 的中线 三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段 因为 AD是△ABC的边BC上的中线， 所以BD=CD= BC. 三角形 的高线 从三角形的一个顶点到它对边所在的直线的垂线段 因为AD是△ABC的角平分线，所以∠1=∠2= ∠BAC. 知识归纳 A B C D A B C D A B C D 观察下列语句： 1. 无限不循环小数叫做无理数； 2. 两条边相等的三角形叫做等腰三角形； 3. 三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 像这样能明确界定某个对象含义的语句叫做定义． 请你举出你所熟知的一些定义例子. 定义 例如： 1.“具有中华人民共和国国籍的人，叫做中华人民共和国公民” 是“中华人民共和国公民”的定义； 2. “两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离” 是“两点之间的距离”的定义； 3.“在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫做一元一次方程” 是“一元一次方程”的定义. 1．下列说法正确的是（　　） A．三角形三条高都在三角形内 B．三角形三条中线相交于一点 C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可 能在三角形外 D．三角形的角平分线是射线 B 当堂练习 2．在△ABC 中，AD 为中线，BE 为角平分线，则在以下等式中：①∠BAD =∠CAD；②∠ABE =∠CBE；③BD = DC；④AE = EC．其中正确的是（　　） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ D A B C D E 3.如图，△ABC 中∠C = 90°，CD⊥AB，图中线段中可以作为△ABC 的高的有 ( ) A．2 条 B．3 条 C．4 条 D．5 条 4.下列各组图形中，哪一组图形中 AD 是△ABC 的 BC 边上的高 ( ) A D C B A B C D A B C D A B C D A. B. C. D. B D 5.填空： (1) 如图①，AD，BE，CF 是△ABC 的三条中线，则 AB = 2＿＿，BD = ＿＿，AE = ＿＿ . (2) 如图②，AD，BE，CF 是△ABC 的三条角平分线， 则∠1 =_______， ∠3 =_______，∠ABC = 2_____. 图① 图② AF DC ∠CAD ∠2 ∠BCF A B C D E F AC 解：因为 CD 是△ABC 的中线， 所以 BD = AD. 因为 BC - AC = 5cm， 所以△DBC 与△ADC 的周长差是 5 cm. 又因为△DBC 的周长为 25 cm， 所以△ADC 的周长为 25 - 5 = 20 (cm). 6. 如图，在△ABC 中，CD 是中线，已知 BC - AC = 5 cm， △DBC 的周长为 25 cm，求△ADC 的周长. A D B C 7. 如图，AE 是△ABC 的角平分线.已知∠B = 45°， ∠C = 60°，求∠BAE 和∠AEB 的度数. A B C E 解：因为 AE 是△ABC 的角平分线， 因为 ∠BAC +∠B +∠C = 180°， 所以∠BAC = 180°－∠B－∠C = 180°－45°－60° = 75°.所以∠CAE = ∠BAE = 37.5°. 因为 ∠AEC = 180°－∠CAE －∠C = 82.5°， 所以∠AEB = 180°－∠AEC = 180°－82.5° = 97.5°. 所以 ∠CAE = ∠BAE = ∠BAC. 8.如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的角平分线，已知∠BAC = 82°，∠C = 40°，求∠DAE 的大小. 解： 因为 AD 是△ABC 的高， 所以 ∠ADC＝90°. 因为 ∠ADC +∠C +∠DAC = 180°， 所以 ∠DAC=180°－(∠ADC+∠C ) =180°－90°－40°=50°. 因为 AE 是△ABC 的角平分线，∠BAC = 82°， 所以∠CAE = 41°. 所以∠DAE =∠DAC－∠CAE = 50°－41° = 9°. B A C D E 36 三角形重要线段 高 钝角三角形两短边上的高的画法 中线 会把原三角形面积平分 一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差 角平分线 定义 课堂小结 $$nullnull