沪科版八年级数学上册 13.1：三角形的边角关系重难点(讲义+答案)

专题：三角形的边角关系重难点 考点一 三角形的三边关系定理 1．三边关系定理：三角形任意两边之和大于 第三边，两边之差小于 第三边； 注意：该定理的理论依据是 ． 【例1】1．若已知三角形的两边长分别为3和5，则周长L的取值范围是(　D　) A．6＜L＜15 B．6＜L＜16 C．11＜L＜13 D．10＜L＜16 2．若已知一个三角形三边长分别为3，2a－1，4，则a的取值范围是 1＜a＜4 ． 3．已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简：|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为 0 ． 4．如图，已知点P是△ABC内部的一点．比较AB＋AC与PB＋PC的大小并说明理由． 解： AB＋AC>PB＋PC. 理由：如图，连接AP，延长BP交AC于点E. 在△ABE中，有AB＋AE>BE＝PB＋PE，① 在△CEP中，有PE＋CE>PC，② ①＋②，得AB＋AE＋PE＋CE>PB＋PE＋PC， AB＋AC＋PE>PB＋PE＋PC， 所以AB＋AC>PB＋PC. 变式训练1： 1．以长3cm，5cm，7cm，10cm的四条线段为边，可以构成三角形的个数是(　B　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边长为整数，这样的三角形周长的最大值为 19 ． 3．已知a，b，c分别为△ABC的三条边长，请你判断b2＋c2－a2－2bc值的符号，并说明理由． 解：猜想b2＋c2－a2－2bc的值是负数．理由如下： 因为a，b，c分别为三角形ABC的三条边的长度， 所以a＋b>c，a＋c>b， 所以a＋b－c>0，b－c－a<0， 所以b2＋c2－a2－2bc＝(b2＋c2－2bc)－a2 ＝(b－c)2－a2＝(b－c＋a)(b－c－a)<0. 所以b2＋c2－a2－2bc的值是负数． 考点二 三角形的内角与外角关系 1．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 ； 2．三角形外角的概念 三角形一边与另一边的 组成的角叫做三角形的外角． 注意：①三角形共有 个外角，每一个顶点处有 个外角； ②三角形的每一个外角与其相邻的内角的关系是 ； 3．三角形外角的性质 (1)推论1：三角形的一个外角等于和它 的两内角的 ； (2)推论2：三角形的一个外角 和它 的两个内角； 注意：三角形的外角和等于 360° ． 【例2】1．已知在△ABC中，∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A的度数为( A ) A．40° B．60° C．80° D．90° 2．如图1，∠1，∠2，∠3，∠4恒满足的关系式是(　D　) A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B．∠1＋∠2＝∠3－∠4 C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D．∠1＋∠4＝∠2－∠3 图1 图2 图3 3．如图2，AC⊥BD于C，已知∠A＝40°，∠AEF＝70°，则∠D的度数为 20° ． 4．一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如图3所示的图形，其中∠C＝90°，∠B＝45°，∠E＝30°，则∠BFD的度数是 15° ． 5．如图，求证：∠B+∠C+∠A=∠BCD． 变式训练2： 1．小明把一副含45°，30°的直角三角板如图4摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于(　B　) A．180° B．210° C．360° D．270° 图4 图5 图6 2．在△ABC中，6∠A＝3∠B＝∠C，则∠A＝ 20° ． 3．如图5，在△ABC中，在BC延长线上取点D，E，连接AD，AE，则比较大小：∠ACB > ∠2＋∠3． 4．如图6，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝ 180° ． 考点三 三角形的分类及应用 1．三角形的分类一：按边分类 (1)三边都不相等的三角形叫不等边三角形； (2)两边相等的三角形是等腰三角形； (3)三边相等的三角形是等边三角形，也叫做正三角形； 注意：(1)等腰三角形中相等的两边叫腰 ，另一边叫底边 ； (2)等边三角是特殊的等腰三角形． 2．三角形按角分类： 可分为 锐角 三角形、 直角 三角形、 钝角 三角形． 【例3】1．已知△ABC三边满足(a－b)2＋|b－c|＝0，则△ABC的形状是(　C　) A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．以上都不对 2．若一个三角形的一个外角是锐角，则该三