13.1.1 三角形中边的关系（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（沪科版）

第13章 三角形中的边角关系、 命题与证明 13.1 三角形中的边角关系 1.三角形中边的关系 优翼数学教学课件（HK）八上 导入新课 埃及金字塔                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    氨气分子结构示意图 飞机机翼 问题： （1）从古埃及的金字塔到现代的飞机，从宏伟的建筑物到微小的分子结构，都有什么样的形象？ （2）在我们的生活中有没有这样的形象呢？试举例. 问题1：观察下面三角形的形成过程，说一说什么叫三角形? 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的封闭图形叫做三角形. A B C 三角形的概念 新课讲授 7 问题2：三角形中有几条线段?有几个角? 边：线段 AB，BC，CA 是三角形的边. 顶点：点 A，B，C 是三角形的顶点， 角：∠A，∠B，∠C 叫做三角形的内角，简称三角 形的角. 有三条线段，三个角 A B C 记法：三角形 ABC 用符号表示________. 边的表示：三角形 ABC 的边 AB、AC 和 BC 可用小写字母分别表示为________. △ABC c，a，b 边 c 边 b 边 a 顶点C 角 角 角 顶点A 顶点B B C A 在 △ABC 中， AB边所对的角是： ∠A所对的边是： ∠C BC 再说几个对边与对角的关系试试. 三角形的对边与对角： 辨一辨：下列图形符合三角形的定义吗？ 不符合 不符合 不符合 ①位置关系：不在同一直线上； ②联接方式：首尾依次. 三角形应满足以下两个条件： 要点提醒 表示方法： 三角形用符号“△”表示；记作“△ABC”，读作“三角形 ABC”，除此△ABC 还可记作△BCA， △CAB，△ACB 等. 5个，它们分别是△ABE，△ABC，△BEC，△BCD，△ECD. 找一找：(1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形？ A B C D E (2)以 AB 为边的三角形有哪些？ △ABC、△ABE. (3)以 E 为顶点的三角形有哪些？ △ABE 、△BCE、 △CDE. (4) 以∠D 为角的三角形有哪些？ △ BCD、△DEC. (5) 说出△BCD 的三个角和三个顶点所对的边. △BCD 的三个角是∠BCD、∠BDC、∠CBD. 顶点 B 所对应的边为 DC，顶点 C 所对应的边为 BD，顶点 D 所对应的边为 BC. A B C D E 腰 腰 不等边三角形 等腰三角形 等边三角形 底 边 顶角 底角 底角 思考：你能找出下列三角形各自的特点吗？ 三角形按边分类 三条边互不相等的三角形叫做不等边三角形 ； 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形； 三条边都相等的三角形叫做等边三角形． 思考：等边三角形和等腰三角形之间有什么关系？ 总结归纳 三角形按边分类 不等边三角形 等腰三角形 我们可以把三角形按照三边情况进行分类 腰和底不等的等腰三角形 等边三角形（三边都相等的三角形） 判断： （1）等边三角形是特殊的等腰三角形.（ ） √ （2）等腰三角形的腰和底一定不相等.（ ） × （3）等边三角形是等腰三角形.（ ） √ 我要到学校怎么走呀？哪一条路最近呀？ 为什么？ 邮局 学校 商店 小明家 小明 三角形的三边关系 A B C 路线 1：从 A 到 C 再到 B 的路线走； 路线 2：沿线段 AB 走. 请问：路线 1、路线 2 哪条路程较短，你能说出根据吗？ 路线 2 较短；两点之间线段最短. 由此可以得到： 三角形任何两边的和大于第三边 三角形的三边关系定理 想一想：由不等式的变形，三角形的两边之差与第三边有何关系？ 三角形任何两边的差小于第三边 三角形三边的关系定理的理论根据是？ 两点之间，线段最短. 例1 下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？ （1）3 cm、8 cm、4 cm；（2）5 cm、6 cm、11 cm； （3）5 cm、6 cm、10 cm. 典例精析 判断三条线段是否可以组成三角形，只需判断两条较短线段长之和是否大于第三条线段长即可. 解：（1）不能，因为 3 cm + 4 cm < 8 cm． （2）不能，因为 5 cm + 6 cm = 11 cm． （3）能，因为 5 cm + 6 cm > 10 cm． 归纳 例2 一个三角形的三边长分别为 4，7，x，那么 x 的取值范围是(　　) A．3＜x＜11 B．4＜x＜7 C．－3＜x＜11 D．x＞3 判断三角形边的取值范围要同时运用两边 之和大于第三边，两边之差小于第三边． 归纳 解析：因为三角形的三边长分别为 4，7，x，所以7－4＜x＜7＋4，即 3＜x＜11. A 例3 如图，D 是△ABC 的边 AC 上一点，AD = BD，试判断 AC 与 BC 的大小. 解：在△BDC 中， 有 BD + DC＞BC（三角形的 任意两边之和大于第三边）. 又因为 AD = BD， 则 BD + DC = AD + DC = AC， 所以 AC＞BC. 例4 等腰三角形中，周长为 18 cm. (1) 如果腰长是底边长的 2 倍，求各边长； (2) 如果一边长为 4 cm，求另两边长. 解：(1) 设底边长为 x cm，则腰长为 2x cm， x + 2x + 2x = 18. 解得 x = 3.6. 所以三边长分别为 3.6 cm、7.2 cm、7.2 cm. (2) 因为长为 4 cm 的边可能是腰，也可能是底边， 所以需要分情况讨论. ①若底边长为 4 cm，设腰长为 x cm，则有 4 + 2x = 18. 解得 x = 7. ②若腰长为 4 cm，设底边长为 x cm，则有 2×4 + x = 18. 解得 x = 10. 因为 4 + 4＜10，不符合三角形两边的和大于第三边， 所以不能围成腰长是 4 cm 的等腰三角形. 所以，三角形的另两边长都是 7 cm. 1. 下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （1）3，4，8 （ ） （2）2，5，6 （ ） （3）5，6，10 （ ） （4）3，5，8 （ ） 不能 能 能 不能 当堂练习 4.如果等腰三角形的一边长是 4 cm，另一边长是 9 cm，则这个等腰三角形的周长为________cm. 3.如果等腰三角形的一边长是 5 cm，另一边长是 8 cm，则这个等腰三角形的周长为___________cm. 2. 五条线段的长分别为 1cm，2cm，3cm，4cm，5cm，以其中三条线为边长可以构成____个三角形. 3 22 18 或 21 5.若三角形的两边长分别是 2 和 7，第三边长为奇数，求第三边的长. 解：设第三边长为 x，根据三角形的三边关系，可得， 7 - 2＜x＜7 + 2，即 5＜x＜9. 又 x 为奇数，则第三边的长为 7. 6. 若 a，b，c 是△ABC 的三边长，化简 |a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|. 解：根据三角形的三边关系，两边之和 大于第三边，得 a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0. 所以|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b| ＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b ＝3c＋a－b. 拓展提升 三角形 定义及其基本要素 顶点、角、边 按边分类 三边关系 原理 两点之间线段最短 内容 两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 |a - b|＜x＜a + b(a＞b，x 为第三边) 应用 不等边三角形 等腰三角(包括等边三角形) 课堂小结 $$