12.3 一次函数与二元一次方程（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（沪科版）

第12章 一次函数 12.3 一次函数与二元一次方程 优翼数学教学课件（HK）八上 　　 今天数学王国搞了个家庭 Party，各个成员按照自己所在的集合就坐，这时来了“x + y = 5”. 二元一次方程 一次函数 x + y = 5 到我这里来 到我这里来 这是怎么回事？ x + y = 5 应该坐在哪里呢？ 导入新课 合作探究 问题1. 方程 x + y = 5 的解有多少个？写出其中的几个. 无数个 问题2. 等式 x + y = 5 还可以看成一个一次函数，把它 变成 y = kx + b 的形式是_____________. y = -x + 5 二元一次方程与一次函数图象的关系 新课讲授 问题3. 画出 y = -x + 5 的图象 · · x 0 y = -x + 5 0 y = -x + 5 追问①：以方程 x + y = 5 的解为坐标的点都在一次函数 y = -x + 5 的图象上吗？ 都在 5 5 · · y = -x + 5 追问②：在一次函数 y = -x + 5 的图象上任取一点，点的坐标适合方程 x + y = 5 吗？ 都适合 追问③：以方程 x + y = 5 的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数 y = -x + 5 的图象相同吗？ 相同 在一次函数 y = -x + 5 的图象上 方程 x + y = 5 的解 从形到数 从数到形 归纳总结 二元一次方程的解 一次函数图象上点的坐标 一一对应 二元一次方程与一次函数的关系 例1 下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程 x－2y＝2 的解的是(　　) 解析：观察直线与坐标轴的交点坐标与二元一次方程的相应数值对应情况即可找到答案．对于二元一次方程 x－2y＝2 ，当 x＝0 时，y＝－1；当 y＝0时，x＝2，故直线与两坐标轴的交点应该是 (0，－1)，(2，0)． 典例精析 C 直线与 x 轴的交点的横坐标即是二元一次方程中当 y＝0 时 x 的值；直线与 y 轴的交点的纵坐标即是二元一次方程中当 x＝0 时 y 的值，注意数形结合． 方法总结 1.方程 x – y = 1 有一个解是 ，则一次函数 y = x – 1 的图象上必有一个点的坐标为 . 2.一次函数 y = 2x – 4 的图象上有一个点的坐标为(3，2) ，则方程 2x – y = 4 必有一个解是________. (2，1) 练一练 例2 (1)在同一直角坐标系内分别画出直线 l1： 与 l2：y = 2x + 6 的图象； （2）如果直线 l1 与 l2 相交于点 P，写出 P(__，__)； （3）检验点 P 的坐标是不是下面方程组的解. 二元一次方程组与一次函数的关系 y x 4 1 2 3 5 思考：方程组的解和这两个函数图象的交点坐标有什么关系？ (-2，2) 解： x … 0 2 … … 1 0 … x … 0 -3 … y = 2x + 6 … 6 0 … -1 O -2 -3 -4 1 2 3 4 5 6 y = 2x + 6 解：（1）如图所示； （2）由图可知，直线 l1 与 l2 相交于点 P，点 P 的坐标为(-2，2)； （3）方程 x + 2y = 2 可以转化成一次函数 的形式，因此，直线 l1： 上任意一点的坐标都是 方程 x+2y = 2 的解；同理，直线 l2 上任意坐标都是方程 y = 2x+6 的解，所以两直线交点即方程组 的解. 总结归纳 解方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这个函数值是何值． 数 二元一次方程 组的解 两个一次函数所在直线的交点坐标 对应 形 确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线的交点的坐标. 例3 利用图象解法解方程组 5x - 2y = 4； 10x - 4y = 8. 解： 对于方程①，有 x 0 2 y -2 3 过 (0，-2) 和 (2，3) 画出表示方程①的直线. 同样，(0，-2) 和 (2，3) 也在表示方程②的直线上.故方程①、 ②的图象都是通过 (0，-2) 和 (2，3) 两点的直线，即两直线重合，直线上每一个点的坐标都是原方程组的解，所以原方程组有无穷多组解. ① ② y 1 2 O 2 1 -1 -2 x -1 -2 l：5x - 2y = 4 (10x - 4y = 8) 1 .若二元一次方程组 的解为 ，则函数 y = 5 - x 与 y = -2x + 8 的图象的交点坐标为 　　 . 练一练 2.一次函数 y = 5 - x 与 y = -2x + 8 图象的交点为(3，2)则方程组 　的解为 （3，2） 　　　　　. 例4 已知方程组的图像，你能利用图像法说出下面两个方程组的解吗？ ① ② ① ② 二元一次方程组的解的情况有三种： 归纳总结 （1）图象相交时，原方程组有唯一组解； （2）图象重合时，原方程组有无穷组解； （3）图象平行时，原方程组无解. 我们知道二元一次方程组的解的情况有三种.那么对于 ，当 x、y 的系数之比及常数项之比满足什么关系时，原方程组有唯一组解、有无穷多组解、无解？ 当 a1 : a2  ≠ b1 : b2 时 ，两直线相交，故方程组有唯一解； 当 a1 : a2  = b1 : b2 = c1 : c2 时，两直线重合，故方程组有无穷多组解； 3.当 a1 : a2 = b1 : b2 ≠ c1 : c2 时，两直线平行，故方程组无解. 想一想 2.若二元一次方程组 的解为 ， 则函数 与 的图象的交点坐标 为 . 1.一次函数 y = 5 - x 与 y = 2x - 1 图象的交点为(2，3)， 则方程组 的解为 . (2，2) 当堂练习 3．如图，两条直线的交点坐标可以看作哪个方程组的解？ 解： 3 -1 2 -3 x y O 4.若方程组 ① ② 中两个二元一次方程的 图象如图所示，则此方程组的解是多少？ 解：此方程组的解是 1 2 3 -1 -2 -3 -1 -3 -4 2 O -2 1 4 x y 5.利用图象法解方程组 6x + 4y = -4， 3x + 2y = 2. 方程组的两个方程的图象有怎样的位置关系？方程组的情况怎样？ 解：作出两个方程的图象， 6x + 4y = -4 3x + 2y = 2 如图，两条直线平行，所以方程组无解. y 1 2 O 2 1 -1 -2 x -1 -2 O y x 6. 如图，求直线 l1 与 l2 的交点坐标. 解：因为直线 l1 过点(-1，0)， (0，2) ，用待定系数法可求得 直线 l1 的解析式为 y = 2x + 2.同理 可求得直线 l2 的解析式为 y = -x + 3. 解方程组 y = 2x + 2 y = -x + 3 得 x = y = 即直线 l1 与 l2 的交点坐标为 二元一次方程与一次函数 二元一次方程的解与一次函数图象的关系 二元一次方程组与对应两条相交直线的关系 二元一次方程组与对应两条平行线的关系 课堂小结 $$