12.2 第6课时 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（沪科版）

第6课时 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式 第12章 一次函数 12.2 一次函数 优翼数学教学课件（HK）八上 y＜0 y＞0 让我们来观察一下平面直角坐标系，思考下列问题： (1)纵坐标等于 0 的点在哪里？ (2)纵坐标大于 0 的点在哪里？ (3)纵坐标小于 0 的点在哪里？ x y O y = 0 导入新课 2 问题1：(1)解方程 2x + 20 = 0； (2)当自变量 x 为何值时，函数 y = 2x + 20 的值为 0？ 解：(1) 2x + 20 = 0 2x = -20 x = -10 (2) 当 y = 0 时 ，即 2x + 20 = 0 2x = -20 x = -10 从“函数值” 角度看 两个问题实际上是同一个问题 一次函数与一元一次方程 新课讲授 （3）画出函数 y = 2x + 20 的图象，并确定它与 x 轴的交点坐标. O x y 20 -10 y = 2x + 20 思考： 直线 y = 2x + 20 与 x 轴交点坐标为（____，___），这说明方程 2x＋20＝0 的解是 x＝_____. 从“函数图象”上看 -10 0 -10 3 2 1 2 1 -2 O x y -1 -1 3 　　问题2 下面三个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？ （1）2x + 1 = 3；（2）2x + 1 = 0；（3）2x + 1 = -1 用函数的观点看： 解一元一次方程 ax + b = k 就是求当函 数(y = ax + b)值为 k 时对应的自变量的值． 2x + 1 = 3 的解 y = 2x + 1 2x + 1 = 0 的解 2x + 1 = -1 的解 5 1.直线 y = 2x + 20 与 x 轴交点坐标为（____，____），这说明方程 2x＋20＝0 的解是 x = _____. -10 0 -10 练一练 2.若方程 kx＋2＝0 的解是 x = 5，则直线 y = kx＋2 与 x 轴交点坐标为（____，_____）. 5 0 求一元一次方程 kx + b = 0的解． 一次函数与一元一次方程的关系 一次函数 y = kx + b 中，y = 0 时 x 的值． 从“函数值”看 求一元一次方程 kx + b = 0 的解． 求直线 y = kx + b 与 x 轴交点的横 坐标． 从“函数图象”看 归纳总结 例1 直线 y＝2x＋b 与 x 轴的交点坐标是 (2，0)，则关于 x 的方程 2x＋b＝0 的解是 x＝___． 解析：∵直线 y＝2x＋b 与 x 轴的交点坐标是 (2，0)， 则 x＝2 时，y＝0， ∴关于 x 的方程 2x＋b＝0 的解是 x＝2. 典例精析 2 直线 y＝kx＋b 与 x 轴交点的横坐标就是方程 kx＋b＝0 的解，反之亦然．所以在解题时，常需作出一次函数的草图，结合图形分析更加直观、方便． 方法总结 1.已知一次函数 y = 0.8x - 2 与 x 轴的交点为 (2.5，0)，你能说出 0.8x - 2 = 0 的解吗？ 2.已知一次函数 y = kx - 5 与 x 轴的交点为 (3，0)，那么你能说出 kx - 5 = 0 的解吗？ 3.已知关于 x 的一元一次方程 mx + n = 0 的解是 -3，则直线 y = mx + n 与 x 轴的交点坐标是_______. 试一试 x = 2.5 x = 3 (-3，0) 例2 一个物体现在的速度是 5 米/秒，其速度每秒增加 2 米/秒，再过几秒它的速度为 17 米/秒？(从方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答) 解法1：设再过 x 秒它的速度为 17 米/秒， 由题意得 2x + 5 = 17 解得 x = 6 答：再过 6 秒它的速度为 17 米/秒. 解法2：速度 y (单位：米/秒)是时间 x (单位：秒)的函数 y = 2x + 5 由 2x + 5 = 17 得 2x－12 = 0 由右图看出直线 y = 2x－12 与 x 轴的交点为 (6，0)，得 x = 6. O x y 6 －12 y = 2x－12 由右图可以看出当 y = 17 时，x = 6. y = 2x + 5 x y O 6 17 5 －2.5 解法2：速度 y (单位：米/秒)是时间 x (单位：秒)的函数 y = 2x + 5 观察在 x 轴上方的函数图象所对应的函数值 y 和自变量 x 的取值范围. y = 2x + 6 思考:它们与不等式 2x + 6＞0 及其解集有何关系？ y＞0 x＞-3 1 2 3 -1 -2 -3 -4 -1 1 2 3 4 5 6 7 O x y A(0，6) B(0，-3) 一次函数与一元一次不等式 想一想：你能通过观察函数图象得出一次不等式 2x + 6＜0 的解集吗？ y = 2x + 6 x＜-3 1 2 3 -1 -2 -3 -4 1 3 4 5 7 O A(0，6) B(0，-3) 2 6 4 -1 x y 2 问题：请同学们观察一次函数 y = 2x + 6 和 y = 3 的图象，你能说出 2x + 6 = 3 的解和 2x + 6＞3 的解集吗？ -1.5 1 3 -1 -2 -3 -4 1 3 4 5 7 O A(0，6) B(0，-3) 2 6 4 -1 x y x = -1.5， x＞-1.5 y = 2x + 6 y = 3 求 kx + b＞0 (或＜0) (k ≠ 0)的解集 一次函数与一元一次不等式的关系 　y = kx + b 的值 大于(或小于) 0 时， x 的取值范围 从“函数值”看 求 kx + b＞0 (或＜0) (k ≠ 0)的解集 确定直线 y = kx + b 在 x 轴上方(或下方) 的图象所对应的 x 取值范围 从“函数图象”看 归纳总结 例3 画出函数 y = -3x + 6 的图象，结合图象求： （1）方程 -3x + 6 = 0 的解； （2）不等式 -3x + 6＞0 和 -3x + 6＜0 的解集； （3）当 x 取何值时，y＜3？ 解：（1）作出函数 y = -3x + 6 的图象，如图所示，图象与 x 轴交于点 B(2，0). 所以，方程 -3x + 6 = 0 的解就是交点 B 的横坐标. x O B(2，0) A(0，6) y x O B(2，0) A(0，6) y （2）不等式 -3x + 6＞0 和 -3x + 6＜0 的解集； （3）当 x 取何值时，y＜3？ 解：（2）由图象可知，不等式 -3x + 6＞0 的解集是图象位于 x 轴上方的 x 的取值范围，即 x＜2；不等式 -3x + 6＜0 的解集是图象位于 x 轴下方的 x 的取值范围，即 x＞2； （3）由图象可知，当 x＞1 时，y＜3. 3 1 (1，3) 试一试 1.一次函数 y = -x + 2 的图象如图，你能说出 -x + 2＜0 的解集吗？ x y O y = -x + 2 2 x＞2 2.一次函数 y = kx + b 的图象如图，你能说出 kx + b＜0 的解集吗？ x y O y = kx + b -4 x＜-4 1．利用图象解一元一次方程 x + 3 = 0. −3 y = x + 3 O y 解：作 y = x + 3 图象如右图. 由图象知 y = x + 3 交 x 轴于 (-3，0)， 所以原方程的解为 x = −3. x 3 当堂练习 2.用画函数图象的方法解不等式 5x + 4＜2x + 10. 解：原不等式化为 3x - 6＜0 画出直线 y = 3x - 6 (如图). 可以看出，当x＜2 时这条直线上的点在 x 轴的下方, 即这时 y = 3x - 6＜0，所以不等式的解集为 x＜2. y = 3x - 6 1 2 3 -1 -2 -3 -1 -3 -4 -5 2 O -2 1 4 -6 x y 即 5x + 4＜2x + 10 的解集为 x＜2. 22 解：画出两个函数 y = 5x − 1 和 y = 2x + 5 的图象． 由图象知，两直线交于点 (2，9)，所以原方程的解为 x = 2． O y = 5x − 1 y = 2x + 5 9 2 x y 3．利用函数图象求 x 的值. 5x − 1 = 2x + 5. 4.函数 y = 2x + 6 的图象如图，利用图象求： (1)方程 2x + 6 = 0 的解； 由图象可得：图象过点 (-3，0). ∴方程 2x + 6 = 0 的解为 x = -3； (2)不等式 2x + 6＞0 的解集； 由图象可得：当 x＞-3 时，函数 y = 2x + 6 的图象在 x 轴上方. ∴不等式 2x + 6＞0 的解集为 x＞-3； (3)若 -1≤y≤3，求 x 的取值范围. 由图象可得：函数图象过 F (-1.5，3)，G (-3.5，-1) 两点， 当 -3.5≤x≤-1.5 时，函数y = 2x+6的函数值满足-1≤y≤3， ∴x 的取值范围是 -3.5≤x≤-1.5. 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式 解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为 0 时，求相应的自变量的值，即一次函数与 x 轴交点的横坐标. 解一元一次不等式可以看作：当一次函数的函数值大（小）于 0 时，求自变量相应的取值范围. 课堂小结 $$