12.2 第5课时 一次函数的应用——方案决策（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（沪科版）

第5课时 一次函数的应用 — — 方案决策 第12章 一次函数 12.2 一次函数 优翼数学教学课件（HK）八上 O x y 观察右图，你能发现它们三条函数直线之间的差别吗？这些玩具车下滑的过程中有哪些不同？ 导入新课 2 我们前面学习了一些有关一次函数的知识及如何确定解析式，一次函数也可以帮我们解决很多实际问题． 比如刚才的问题，你知道怎样让玩具小车跑得更快吗？ 实际问题中的方案选择 新课讲授 3 例1 某单位有职工几十人，想在节假日期间组织到外地旅游.当地有甲、乙两家旅行社，它们服务质量基本相同，到此地旅游的价格都是每人 100 元.经联系协商，甲旅行社表示可给予每位游客八折优惠；乙旅行社表示单位先交 1000 元后，给予每位游客六折优惠.问该单位选择哪个旅行社，可使其支付的旅游总费用较少？ 典例精析 分析：假设该单位参加旅游人数为 x，按甲旅行社的优惠条 件，应付费用 80x (元)；按乙旅行社的优惠条件，应付费用 (60x + 1000) (元)．问题变为比较 80x 与 60x+1000 的大小了． 解法一：设该单位参加旅游人数为 x. 那么选甲旅行社，应付费用 80x(元)；选乙旅行社，应付(60x+1000)(元). 记 y1= 80x，y2= 60x+1000.在同一直角坐标系内作出两个函数的图象， y1 与 y2 的图象交于点(50，4000). x/人 50 60 y/元 800 1600 3200 2400 4000 4800 5600 O 10 20 30 40 70 80 90 y1= 80x y2= 60x+1000 观察图象，可知： 当人数为 50 时，选择甲或乙旅行社费用都一样； 当人数为 0～49 人时，选择甲旅行社费用较少； 当人数为 51～100 人时，选择乙旅行社费用较少. x/人 50 60 y/元 800 1600 3200 2400 4000 4800 5600 O 10 20 30 40 70 80 90 y1= 80x y2 = 60x + 1000 解法二：设选择甲、乙旅行社费用之差为 y， 则 y = y1 - y2 = 80x - (60x + 1000) = 20x - 1000. 　 画出一次函数 y = 20x - 1000 的图象如下图. O 20 40 60 -200 -400 -600 -800 -1000 y x y = 20x - 1000 它与 x 轴交点为(50，0) 由图知： （1）当 x = 50 时，y = 0，即 y1 = y2； （2）当 x＞50 时，y＞0，即y1＞y2； （3）当 x＜50 时，y＜0，即y1＜ y2. 解法三： （1）当 y1 = y2，即 80x = 60x + 1000 时，x = 50. 所以当人数为 50 时，选择甲或乙旅行社费用都一样； （2）当 y1＞y2，即 80x＞60x + 1000 时， 得 x＞50. 所以当人数为 51～100 人时 ，选择乙旅行社费用较少； （3）当y1＜y2，即 80x＜60x + 1000 时，得 x＜50. 所以当人数为 0～49 人时，选择甲旅行社费用较少； 例2 某县区大力发展猕猴桃产业，预计今年 A 地将采摘 200 吨，B 地将采摘 300 吨．若要将这些猕猴桃运到甲、乙两个冷藏仓库，已知甲仓库可储存 240 吨，乙仓库可储存 260 吨，从 A 地运往甲、乙两处的费用分别为每吨 20 元和 25 元，从 B 地运往甲、乙两处的费用分别为每吨 15 元和 18 元．设从 A 地运往甲仓库的猕猴桃为x 吨，A、B 两地运往两仓库的猕猴桃运输费用分别为 yA元和 yB 元．(1)分别求出 yA、yB 与 x 之间的函数关系式； 解：(1)yA＝20x＋25(200－x)＝－5x＋5000， yB＝15(240－x)＋18(60＋x)＝3x＋4680. (2)试讨论 A、B 两地中，哪个的运费较少； (2)∵yA－yB＝(－5x＋5000)－(3x＋4680)＝－8x＋320， ∴当－8x＋320＞0，即 x＜40 时，B 地的运费较少； 当－8x＋320＝0，即 x＝40 时，两地的运费一样多； 当－8x＋320＜0，即 x＞40 时，A 地的运费较少. (3)考虑 B 地的经济承受能力，B 地的猕猴桃运费不得超过 4830 元，在这种情况下，请问怎样调运才能使两地运费之和最少？求出这个最小值． (3)设两地运费之和为 y 元，则 y＝yA＋yB＝(－5x＋5000)＋(3x＋4680)＝－2x＋9680. 由题意得 yB＝3x＋4680≤4830，解得 x≤50. ∵y 随 x 的增大而减小，x 最大为 50， ∴y最小＝－2×50＋9680＝9580. ∴在此情况下，当A地运往甲、乙两仓库分别为 50 吨、150 吨；B 地运往甲、乙两仓库分别为 190 吨、110 吨时，才能使两地运费之和最少，最少是 9580 元． 方法总结：阅读理解题的解题关键是读懂题意． 第(2)小题比较大小要注意分类讨论，第(3)小题是利用一次函数的方案设计问题，一般先根据数量之间的关系建立函数，然后再利用一次函数的增减性确定出符合要求的最佳方案． 例3 我边防局接到情报，近海处有一可疑船只 A正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇 B 追赶(如下图). 海 岸 公 海 B A 13 下图中 l1 ，l2 分别表示两船相对于海岸的距离 s 与追赶时间 t 之间的关系. 根据图象回答下列问题： （1）哪条线表示 B 到海岸的距离与追赶时间之间的关系？ 解：观察图象知， 当 t＝0 时，B 距海岸 0 海里，即 s＝0，故 l1 表示 B 到海岸的距离与追赶时间之间的关系. 2 4 6 8 10 O 2 4 6 8 t /分 s /海里 l1 l2 B A （2）A、B 哪个速度快？ t 从 0 增加到 10 时，l2 的纵坐标增加了 2，l1 的纵坐标增加了 5. 2 4 6 8 10 O 2 4 6 8 t /分 s /海里 l1 l2 B A 即 10 分钟内， A 行驶了 2 海里， B 行驶了 5 海里， 所以 B 的速度快. 7 5 当 t＝15 时，l1 上对应点在 l2 上对应点的下方 这表明，15 分钟时 B 不能追上 A. 2 4 6 8 10 O 2 4 6 8 t /分 s /海里 l1 l2 B A 12 14 （3）15分钟内 B 能否追上 A？ 15 2 4 6 8 10 O 2 4 6 8 t /分 s /海里 l1 l2 Ｂ Ａ 12 14 （4）如果一直追下去，那么 B 能否追上 A？ 　　如图延伸 l1 、l2 相交于点 P. 因此，如果一直追下去，那么 B 一定能追上 A. P 2 4 6 8 10 O 2 4 6 8 t /分 s /海里 l1 l2 B A 12 14 P （5）当 A 逃到离海岸12 海里的公海时，B 将无法对其进行检查. 照此速度，B 能否在 A 逃入公海前将其拦截？ 从图中可以看出，l1 与 l2 交点 P 的纵坐标小于 12. 这说明在 A 逃入公海前， 我边防快艇 B 能够追上 A 船. 10 k1表示快艇 B 的速度，k2 表示可疑船只 A 的速度. 可疑船只 A 的速度是 0.2海里/分，快艇 B 的速度是 0.5 海里/分. 2 4 6 8 10 O 2 4 6 8 t /分 s /海里 l1 l2 B A 12 14 （6）l1 与 l2 对应的两个一次函数 y = k1x + b1 与 y = k2x + b2 中，k1，k2 的实际意义各是什么？可疑船只 A 与快艇 B 的速度各是多少？ 下图 l1，l2 分别是龟兔赛跑中 s 与 t 的函数图象. （1）这一次是 　 米赛跑. （2）表示兔子的图象是 . 100 l2 练一练 s /米 l1 l2 100 20 120 40 60 80 1 2 3 4 5 O t /分 6 8 7 12 9 10 11 （3）当兔子到达终点时，乌龟距终点还有 　米； （4）乌龟要与兔子同时到达终点乌龟要先跑 米； （5）乌龟要先到达终点，至少要比兔子早跑 分钟. 40 4 40 s /米 l1 l2 1 2 3 4 5 O 100 20 120 40 60 80 t /分 6 8 7 -1 12 9 10 11 -3 -2 -4 1.小亮和小明周六到距学校 24 km 的湿地公园春游，小亮 8:00 骑自行车从学校出发去湿地公园，小明乘车沿相同路线 8:30 从学校出发去湿地公园，在同一直角坐标系中，小亮和小明的行进路程 S (km)与时间 t (时)的函数图象如图所示．根据图象得到结论，其中错误的是（　　） A．小亮骑自行车的平均速度是 12 km/h B．小明比小亮提前 0.5 h 到达滨湖湿地公园 C．小明在距学校 12 km 处追上小亮 D．9:30 小明与小亮相距 4 km D 当堂练习 解析：设小明的速度为 a 米/秒，小刚的速度为 b 米/秒，由题意得 1600 + 100a = 1400 + 100b， 1600 + 300a = 1400 + 200b. 解得 a = 2，b = 4. 故这次越野跑的全程为 1600 + 300×2 = 2200 (米)． 2.一次越野跑中，当小明跑了1600 米时，小刚跑了1400米，小明、小刚所跑的路程 y (米) 与时间 t (秒) 之间的函数关系如图，则这次越野跑的全程为 米． 2200 3. 如图，射线 OA、BA 分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数的图象，图中 s、t 分别表示行驶距离和时间，则这两人骑自行车的速度相差 km/h. 解析：根据图象可得出：甲的速度为 120÷5 = 24 (km/h)， 乙的速度为(120﹣4)÷5 = 23.2 (km/h)， 速度差为 24 - 23.2 = 0.8 (km/h). 0.8 B 24 4.电信局为满足不同客户的需要，设有 A、B 两种优惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图 (MN∥CD)，若通话时间为 500 分钟，则应选择哪种方案更优惠(　　) A．方案 A B．方案 B C．两种方案一样优惠 D．不能确定 B 5.在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度 y (厘米)与燃烧时间 x (时)之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）甲、乙两根蜡烛燃烧 前的高度分别是 ， 从点燃到燃尽所用的时间 分别是 . 30 厘米、25 厘米 2时、2.5时 （2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时 y 与 x 之间的函数关系式； （3）燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）？ 在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高？ 在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛低？ y甲 = -15x + 30 y乙 = -10x + 25 x = 1 x＞1 x＜1 利用一次函数进行方案决策 列出不等式（方程），求出自变量在取不同值时所对应的函数值，判断其大小关系 从数学的角度分析数学问题，建立函数模型 结合实际需求，选择最佳方案 课堂小结 $$