12.2 第4课时 一次函数的应用——分段函数（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（沪科版）

第4课时 一次函数的应用 — — 分段函数 第12章 一次函数 12.2 一次函数 优翼数学教学课件（HK）八上 小明从家里出发去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家，其中 x 表示时间，y 表示小明离他家的距离． 该图表示的函数是正比例函数吗？是一次函数吗？你是怎样认为的？ 导入新课 2 购买种子 数量/kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 … 付款金额/元 … “黄金1号”玉米种子的价格为 5 元/kg，如果一次购买 2 kg 以上的种子，超过 2 kg 部分的种子的价格打8 折. （1）填写下表： 2.5 5 7.5 10 12 14 16 18 分段函数 新课讲授 3 （2）写出购买量关于付款金额的函数解析式，并画出函数图象. 分析：从题目可知，种子的价格与 有关. 若购买种子量为 x＞2 时，种子价格 y 为： . 若购买种子量为 0≤x≤2 时，种子价格 y为： . 购买种子量 y = 5x y = 4(x - 2) + 10 = 4x + 2 解：设购买量为 x 千克，付款金额为 y 元. 当 x＞2 时，y = 4(x - 2) + 10 = 4x + 2. 当 0≤x≤2 时，y = 5x； （2）写出购买量关于付款金额的函数解析式，并画出函数图象. 叫做分段函数. 注意：1.它是一个函数； 2.要写明自变量取值范围. y = 5x (0≤x≤2) 4x + 2 (x＞2) ｛ y = 5x (0≤x≤2) y = 4x + 2 (x＞2) y x O 1 2 10 3 14 的函数图象为: y = 5x(0≤x≤2) 4x+2(x＞2) ｛ 思考： 你能由上面的函数解析式或函数图象解决以下问题吗？　 （1）一次购买 1.5 kg 种子，需付款多少元？ （2）30 元最多能购买多少种子？ 总结归纳 在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数，分段函数在生活中也有很多应用. 例1 为节约用水，某市制定以下用水收费标准，每户每月用水不超过 8 立方米，每立方米收取 1 元外加 0.3 元的污水处理费；超过时，超过部分每立方米收取 1.5 元外加 1.2 元污水处理费，现设一户每月用水 x 立方米，应缴水费 y 元. （1）求出 y 关于 x 的函数解析式； 解：y 关于 x 的函数解析式为： (1 + 0.3)x = 1.3x (0≤x≤8) (1.5 + 1.2)(x - 8) + 1.3×8 = 2.7x - 11.2 (x＞8) y= 函数图象如图所示； 30 20 10 8 16 O . . (8，10.4) (16，32) y/元 x/m3 （2）画出上述函数图象； 当 x = 5 m3 时，y = 1.3×5 = 6.5（元）； 当 x =10 m3 时，y = 2.7×10 - 11.2 = 15.8. 答：应缴水费为 15.8 元. （3）该市一户某月若用水 x = 3 m3 或 x = 10 m3 时，求应缴水费； ∵1.3×8 = 10.4＜26.6， ∴该用户用水量超过 8 立方米. ∴2.7x - 11.2 = 26.6，解得 x = 14. 答：该户这月用水量为 14 立方米. （4）该市一户某月缴水费 26.6 元，求该户这月用水量. 11 要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程． 方法总结 例2 全国每年都有大量土地被沙漠吞没，改造沙漠，保护土地资源已经成为一项十分紧迫的任务，某地区现有土地 100 万平方千米，沙漠 200 万平方千米，土地沙漠化的变化情况如下图所示. (1)如果不采取任何措施，那么 到第 5 年底，该地区沙漠面积 将增加多少万千米2？ 10 万千米2 (2)如果该地区沙漠的面积继续按此趋势扩大，那么从现在开始，第几年底后，该地区将丧失土地资源？ (3)如果从现在开始采取植树造林措施，每年改造 4 万千米2 沙漠，那么到第几年底，该地区的沙漠面积能减少到 176 万千米2． 每年新增面积为 2 万千米2，所以第 50 年底后将丧失土地资源. 第 12 年底 解：(1)由题意得 当0≤t≤2时，T=20； 当2<t≤4时，T=20+5(t-2)=5t+10. 函数解析式为： T = 20(0≤t≤2) 5t+10(2<t≤4) 1.一个试验室在0：00—2：00保持20℃的恒温，在2：00—4：00匀速升温，每小时升高5℃.写出试验室温度T（单位：℃）关于时间t（单位：h）的函数解析式，并画出函数图象. ｛ 当堂练习 T=20(0≤t≤2) T=5t+10(2<t≤4) 20 10 40 T/℃ t/h O 1 2 30 4 3 (2)函数图象为： 2.近几年来，由于经济和社会发展迅速，用电量越来越多.为缓解用电紧张，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量 x（度）与应付电费 y（元）的关系如图所示. 请你根据图象所描述的信息，分别求出当0≤x≤50 和 x＞50 时，y 与 x 的函数解析式； 25 50 75 100 25 50 70 100 O y(元) x(度) 75 17 解:当0≤x≤50 时，由图象可设 y = k1x，∵其经过（50，25），代入得 25 = 50k1，∴k1 = 0.5，∴y = 0.5x； 当x＞50时，由图象可设 y = k2x+b，∵其经过(50，25)、(100，70)，得k2 = 0.9，b = -20， ∴y = 0.9x-20. 25 50 75 100 25 50 70 100 O y(元) x(度) 75 18 3.某医药研究所开发了一种新药，在实际验药时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量y（毫克）随时间x（小时）的变化情况如图所示，当成年人按规定剂量服药后. （1）服药后______小时，血液中含药量最高，达到每毫升_______毫克，接着逐步衰弱. （2）服药5小时，血液中含药量为 每毫升____毫克. x/小时 y/毫克 6 3 2 5 O 2 6 3 （3）当x≤2时y与x之间的函数解析式是___________. （4）当x≥2时y与x之间的函数解析式是___________. （5）如果每毫升血液中含药量3毫克或3毫克以上时，治疗疾病最有效，那么这个有效时间是______小时. y=3x y=-x+8 4 x/小时 y/毫克 6 3 2 5 O （1）小明全家在旅游景点游玩了多少小时？ 4.“五一”黄金周的某一 天，小明全家上午 8 时自驾小汽车从家里出发，到距离 180 千米的某著名旅游景点游玩.该小汽车离家的距离 s (千米)与时间 t (时)的关系可以用图中的曲线表示.根据图象提供的有关信息，解答下列问题： 解：由图象可知，小明全家在旅游景点游玩了 4 小时. 5 10 15 120 180 s（千米） t（时） O A B C D 8 14 （2）求出返程途中，s(千米)与时间t(时)的函数关系，并回答小明全家到家是什么时间？ 解：设s = kx+b，由图象过(14，180)、(15，120) ∴S = -60t+1020 . 令S = 0，得t = 17. ∴返程途中 S 与时间 t 的函数关系是 S = -60t+1020（14≤x≤17）， 小明全家当天 17:00 到家. 分段函数 分段函数的具体应用 对分段函数图象的理解 课堂小结 $$