12.2 第3课时 用待定系数法求一次函数的表达式（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（沪科版）

第3课时 用待定系数法求一次函数的表达式 第12章 一次函数 12.2 一次函数 优翼数学教学课件（HK）八上 　　前面，我们学习了一次函数及其图象和性质，你能写出两个具体的一次函数解析式吗？如何画出它们的图象？ 　　思考： 　　反过来，已知一个一次函数的图象经过两个具体的点，你能求出它的解析式吗？ 两点法 — — 两点确定一条直线 导入新课 引例：某物体沿一个斜坡下滑，它的速度 v (m/s)与其下滑时间 t (s)的关系如右图所示： (1)请写出 v 与 t 的关系式. (2)下滑 3 s 时物体的速度是多少？ v (m/s) t(s) O 解：（1）v = 2.5t； （2）v = 2.5×3 = 7.5 (m/s). 5 2 确定正比例函数的表达式 新课讲授 典例精析 　　例1 求正比例函数 的表达式． 解：由正比例函数的定义知 m2－15＝1且 m－4 ≠ 0， ∴m＝－4， ∴y＝－8x. 方法总结：利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为 1，系数不为 0. 想一想：确定正比例函数的表达式需要几个条件？ 确定一次函数的表达式呢？ 一个 两个 5 如图，已知一次函数的图象经过 P(0，-1)， Q(1，1) 两点. 怎样确定这个一次函数的解析式呢？ 合作探究 确定一次函数的表达式 6 因为一次函数的一般形式是 y = kx + b（k，b 为常数，k ≠ 0），要求出一次函数的解析式，关键是要确定 k 和 b 的值（即待定系数）. 函数解析式 y = kx + b 满足条件的两点 (x1，y1)，(x2，y2) 一次函数的图象直线 l 选取 解出 画出 选取 ∵P（0，-1） 和Q（1，1）都在该函数图象上， ∴它们的坐标应满足 y = kx + b ， 将这两点坐标代入该式中，得到一个关于 k，b 的二元一次方程组： k·0 + b = -1， k + b = 1， ｛ ｛ 解这个方程组，得 k = 2， b = -1. ∴这个一次函数的解析式为 y = 2x- 1. 这里，先设所求的一次函数表达式为 y = kx + b（k，b 是待确定的系数），再根据已知条件列出 k，b 的方程组，求得 k，b 的值，这种确定表达式中系数的方法，叫做待定系数法. 知识要点 例2 如果知道一个一次函数，当自变量 x = 4 时，函数值 y = 5；当 x = 5 时，y = 2.你能画出它的图象，并写出函数表达式吗？ y 解：因为 y 是 x 的一次函数，设其表达式为 y = kx + b. 由题意得 解得 4k + b = 5，5k + b = 2， 所以，函数表达式为 y = -3x + 17. 图象如图所示. k = -3，b = 17， 利用二元一次方程组求一次函数表达式的一般步骤： 1.用含字母的系数设出一次函数的表达式：y = kx + b. 2.将已知条件代入上述表达式中得 k，b 的二元一次方程组. 3.解这个二元一次方程组得 k，b. 4.进而求出一次函数的表达式. 总结归纳 1.已知一次函数 y = kx + 5 的图象经过点 (-1，2)， 则 k =______. 2.已知函数 y = 2x + b 的图像经过点 (a，7)和 (-2，a)，则这个函数的表达式为__________. 3 y = 2x + 5 练一练 例3 已知一次函数的图象过点 (0，2)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为 2，求此一次函数的解析式. 分析：一次函数 y = kx + b 与 y 轴的交点是(0，b)，与 x 轴的交点是( ，0).由题意可列出关于 k，b的方程. y x O 2 注意：此题有两种情况. 解：设一次函数的解析式为 y = kx + b (k ≠ 0) ∵一次函数 y = kx + b 的图象过点(0，2)， ∴b = 2 ∵一次函数的图象与 x 轴的交点是( ，0)，则 解得 k = 1或 -1. 故此一次函数的解析式为 y = x + 2 或 y = - x + 2. 已知一次函数 y = kx + b (k ≠ 0) 的自变量的取值范围是－ 3≤x≤6，相应函数值的范围是－ 5≤y≤－ 2 ，求这个函数的解析式. 能力提升 分析：(1)当－ 3≤x≤6 时，－5≤y≤－2，实质是给出了两组自变量及对应的函数值； (2)由于不知道函数的增减性，此题需分两种情况讨论. 答案： 例4 正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为 A(4，3)，B 为一次函数的图象与 y 轴的交点，且OA＝2OB.求正比例函数与一次函数的表达式． 解：设正比例函数的表达式为 y1＝k1x，一次函数的表达式为 y2＝k2x＋b. ∵点 A(4，3) 是它们的交点， ∴代入上述表达式中， 得 3＝4k1，3＝4k2＋b . 解得 k1＝ . 即正比例函数的表达式为 y＝ x. ∵OA＝ ＝5，且 OA＝2OB， ∴OB＝ . ∵点 B 在 y 轴的负半轴上， ∴B 点的坐标为(0，－ )． 又∵点 B 在一次函数 y2＝k2x＋b 的图象上， ∴－ ＝b，代入 3＝4k2＋b 中，得 k2＝ . ∴一次函数的表达式为 y2＝ x－ . 根据图象确定一次函数的表达式的方法：从图象上选取两个已知点的坐标，然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数，从而求出函数的表达式． 归纳总结 做一做 某种拖拉机的油箱可储油 40 L，加满油并开始工作后，油箱中的剩余油量 y(L)与工作时间 x(h) 之间为一次函数关系，函数图象如图所示. （1）求 y 关于 x 的函数表达式； （2）一箱油可供拖拉机工作 几小时？ y = - 5x + 40(0≤x≤8) 8 h 1.一次函数 y = kx + b (k ≠ 0) 的图象如图，则下列结论正确的是 ( ) A．k = 2　　B．k = 3　　 C．b = 2　　D．b = 3 D y x O 2 3 当堂练习 2. 如图，直线 l 是一次函数 y = kx + b 的图象，填空：　(1) b =______，k =______； (2) 当 x = 30 时，y =______； (3) 当 y = 30 时，x =______. 2 -18 -42 l y x 3.已知一次函数的图象经过 (0，5)、(2，－5) 两点，求一次函数的表达式． 解：设一次函数的表达式为 y ＝ kx＋b，根据题意得， ∴－5 ＝ 2k＋b，5 ＝ b， 解得 b ＝ 5，k ＝ －5. ∴一次函数的表达式为 y＝－5x＋5. 解：设直线 l 为 y = kx + b， 　　∵l 与直线 y = -2x 平行，∴k = -2. 又∵直线过点（0，2）， ∴2 = -2×0 + b. ∴b = 2. ∴直线 l 的表达式为 y = -2x + 2. 4.已知直线 l 与直线 y = -2x 平行，且与 y 轴交于点 (0，2)，求直线 l 的表达式. 5.在弹性限度内，弹簧的长度 y（厘米）是所挂物体质量 x（千克）的一次函数.一根弹簧不挂物体时长 14.5 厘米；当所挂物体的质量为 3 千克时，弹簧长 16 厘米.请写出 y 与 x 之间的关系式，并求当所挂物体的质量为 4 千克时弹簧的长度. 解：由题意设 y = kx + b (k ≠ 0) 则 14.5 = b，16 = 3k + b， 解得：b = 14.5，k = 0.5. 所以在弹性限度内，y = 0.5x + 14.5 . 当 x = 4 时，y = 0.5×4＋14.5 = 16.5（厘米）. 故当所挂物体的质量为 4 千克时弹簧的长度为 16.5 厘米. 24 用待定系数法求一次函数的表达式 2. 根据已知条件列出关于 k、b 的方程组； 1. 设所求的一次函数表达式为 y = kx + b； 3. 解方程，求出 k、b； 4. 把求出的 k，b 代回表达式即可. 课堂小结 $$