12.2 第1课时 正比例函数的图象和性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（沪科版）

第1课时 正比例函数的图象和性质 第12章 一次函数 12.2 一次函数 优翼数学教学课件（HK）八上 1.函数有哪些表示方法？ 图象法、列表法、解析法 三种方法可以相互转化 它们之间有什么关系？ 2.你能将解析法转化成图象法吗？ 什么是函数的图象？ 导入新课 在现实生活当中有许多问题都可以归结为函数问题，大家能不能举一些例子? 一次函数与正比例函数 新课讲授 3 情景一：某弹簧的自然长度为 3 cm，在弹性限度内，所挂物体的质量 x 每增加 1 kg，弹簧长度 y 增加 0.5 cm.你能写出 y 与 x 之间的关系吗？ y = 3 + 0.5x 情景二：某辆汽车油箱中原有油 100 L，汽车每行驶 50 km 耗油 9 L.设汽车行使路程 x (km)，油箱剩余油量 y (L)，你能写出 y 与 x 的关系吗？ y =100－0.18x 4 情景三：每个练习本的厚度为 0.5 cm，一些练习本摞 在一起的总厚度 h（单位：cm）随练习本的本数 n 的 变化而变化．写出函数解析式. 情景四：冷冻一个 0 ℃ 的物体，使它每分钟下降 2 ℃， 物体问题 T（单位：℃）随冷冻时间 t（单位：min） 的变化而变化．写出函数解析式. h = 0.5n T = -2t 上面的四个函数关系式: (1)y = 3 + 0.5x； (2) y = 100－0.18x. (3) h = 0.5n； (4) T = -2t. 一般地，形如 y = kx + b (k，b 为常数，k ≠ 0)的函数叫做一次函数. 当 b = 0 时，一次函数 y = kx + b 就成为 y = kx (k为常数，k ≠ 0)，因此这样的函数叫做正比例函数. 一次函数： 大家讨论一下，这几个函数关系式有什么关系? 下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？ (1)y＝－x－4； (2)y＝5x2－6； (3)y＝2πx； (6)y＝8x2＋x(1－8x) 练一练 (1)是一次函数，不是正比例函数； (2)不是一次函数，也不是正比例函数； (3)是一次函数，也是正比例函数； (4)是一次函数，也是正比例函数； (5)不是一次函数，也不是正比例函数； (6)是一次函数，也是正比例函数． 方法总结 1.判断一个函数是一次函数的条件： 自变量是一次整式，一次项系数不为零； 2.判断一个函数是正比例函数的条件： 自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零． 例1 已知 y 关于 x 的函数 y＝(m－5)xm²－24＋m＋1. (1)若它是一次函数，求 m 的值； (2)若它是正比例函数，求 m 的值． 解： 因为 y＝(m－5)xm²－24＋m＋1是一次函数， 所以 m2－24＝1且m－5 ≠ 0. 所以 m＝±5且 m ≠ 5. 所以 m＝－5. 所以，当 m＝－5 时，函数 y＝(m－5)xm²－24＋m＋1 是一次函数． (2)若它是正比例函数，求 m 的值． 解：因为 y＝(m－5)xm²－24＋m＋1 是正比例函数， 所以 m2－24＝1且 m－5 ≠ 0 且 m＋1＝0. 所以 m＝±5且 m ≠ 5 且 m＝－1. 则这样的 m 不存在， 所以函数 y＝(m－5)xm²－24＋m＋1 不可能为 正比例函数． 【方法总结】函数是一次函数，则 k ≠ 0，且自变量的次数为 1.当 b＝0 时，一次函数为正比例函数． 例2 画出下面正比例函数 y = 2x 的图象. 解 x y 1 0 0 -1 2 -2 … … … … 2 4 -2 -4 解析法 列表法 ①列表 正比例函数的图象的画法 y = 2x ②描点 以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点. ③连线 12 画函数图象的一般步骤： ①列表 ②描点 ③连线 根据这个步骤画出函数 y = -3x 的图象 要点归纳 y = 2x y = -3x 这两个函数图象有什么共同特征？ 归纳总结 y = kx (k 是常数，k ≠ 0) 的图象是一条经过原点的直线 y = kx (k ≠ 0) 经过的象限 k＞0 第一、三象限 k＜0 第二、四象限 怎样画正比例函数的图象最简单？为什么？ 由于两点确定一条直线，画正比例函数图象时我们只需描点 (0，0) 和点 (1，k)，连线即可. 两点 作图法 例3 在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象： （1） ；（2） y = x ； （3）y = 3x. x 0 1 y = x 1 y = 3x 0 0 3 0 y = 3x y = x 例4 已知正比例函数 y = (m + 1)xm2 ，它的图象经过第几象限？ 解：因为该函数是正比例函数 m2 = 1 所以{ m + 1 ≠ 0 所以根据正比例函数图象的特点，由 k＞0 可得该图象经过一、三象限. 解得 m =1，所以 m + 1 = 2＞0. （1）若函数图象经过第一、三象限，则 k 的取值 范围是________. 变式1： 已知正比例函数 y = (k + 1)x. k＞-1 （2）若函数图象经过点（2，4），则 k_____. 解析：因为函数图象经过第一、三象限，所以 k + 1＞0，解得 k＞-1. 解析：将坐标(2，4)带入函数表达式中，得 4 = (k + 1)·2，解得 k = 1. = 1 变式2：当 x＞0 时，y 与 x 的函数解析式为 y = 2x ， 当 x≤0 时，y 与 x 的函数解析为 y = -2x ，则在同一直角坐标系中的图象大致为 ( ) C x y O O O O x x y y y A B C D 这四个函数中，随着 x 的增大，y的值分别如何变化？ 画一画：在同一直角坐标系内画出正比例函数 y = x，y = 3x，y = - x 和 y = -4x 的图象. 正比例函数图象的性质 21 x 增大，y 的值也增大； x 增大，y 的值反而减小. y 随 x 的增大而增大 y 随 x 的增大而减小 想一想：下列函数中，随着 x 的增大，y 的值分别如何变化？ 当 k＞0时， 当 k＜0时， x y O y = 2x 1 2 2 4 2 4 y = x 3 2 -3 -6 x y O 在正比例函数 y = kx (k 为常数，k ≠ 0)中， 当 k＞0 时，y 的值随着 x 值的增大而增大 （图象是自左向右上升的）； 当 k＜0时，y 的值随着 x 值的增大而减小 （图象是自左向右下降的）. 总结归纳 （1）正比例函数 y = x 和 y = 3x 中，随着 x 值的增大 y 的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能说明其中的道理吗？ （2）正比例函数 y = - x 和 y = -4x 中，随着 x 值的增大 y 的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？ | k |越大，直线越陡，直线越靠近 y 轴. 议一议 练一练 1.已知正比例函数 y = kx (k＞0) 的图象上有两点(x1，y1)， (x2，y2)，若 x1＜x2，则 y1 y2. ＜ 2. 正比例函数 y = k1x 和 y = k2x 的图 象如图，则 k1和 k2 的大小关系是（ ） A. k1＞k2 B. k1 = k2 C. k1＜k2 D. 不能确定 y = k1x y = k2x x y O A 例5 已知正比例函数 y = mx 的图象经过点(m，4)，且 y 的值随着 x 值的增大而减小，求 m 的值. 解：因为正比例函数 y = mx 的图象经过点(m，4)， 所以 4 = m·m，解得 m =±2. 又 y 的值随着 x 值的增大而减小， 所以 m＜0，故 m =－2. 1.下列图象哪个可能是函数 y = -x 的图象（ ） B 2.对于正比例函数 y = (k - 2)x，当 x 增大时，y 随 x 的增大而增大，则 k 的取值范围 （ ） 　A．k＜2　　B．k≤2　　C．k＞2　　D．k≥2 C 当堂练习 3.函数 y = -7x 的图象经过第_________象限，经过点 _______与点 ，y 随 x 的增大而_______. 二、四 （0，0） （1，-7） 减小 4.已知正比例函数 y = (2m + 4)x. （1）当 m ，函数图象经过第一、三象限； （2）当 m ，y 随 x 的增大而减小； （3）当 m ，函数图象经过点（2，10）. ＞-2 ＜-2 = 0.5 5. 如图分别是函数 y = k1 x，y = k2 x，y = k3 x，y = k4 x 的图象.　 （1）k1 k2，k3 k4 (填“＞”或“＜”或“=”)； （2）用不等号将 k1， k2， k3， k4 及 0 依次连接起来． ＜ 解： k1＜k2 ＜0＜k3 ＜k4 4 2 -2 -4 4 x y O y = k4 x -4 -2 2 y = k3 x y = k2 x y = k1 x ＜ 6. 已知函数 y = (m - 1)x + 1 - m2 （2）当 m 为何值时，这个函数是正比例函数? （1）当 m 为何值时，这个函数是一次函数? 解：（1）由题意可得 m - 1 ≠ 0，解得 m ≠ 1. （2）由题意可得 m - 1 ≠ 0，1 - m2 = 0，解得 m = -1. 即 m ≠ 1 时，这个函数是一次函数. 即 m = -1 时，这个函数是正比例函数. 7. 已知某种小汽车的耗油量是每 100 km 耗油 15 L．所使用的汽油为 5 元/ L ． （1）写出汽车行驶途中所耗油费 y（元）与行程 x（km）之间的函数关系式. （2）在平面直角坐标系内描出大致的函数图象. （3）计算该汽车行驶 220 km 所需油费是多少. y/元 x/km 1 2 3 4 5 6 7 6 5 4 3 2 1 O （1）y = 5×15 x ÷100， 即 (x≥0). （2） x 0 4 y 0 3 列表 （3）当 x = 220时， 答：该汽车行驶 220 km 所需油费是 165 元． 描点 连线 （元）. 解： 正比例函数的图象和性质 正比例函数： y = kx ( k ≠ 0 ) 图象：经过原点的直线. 一次函数：y = kx + b ( k、b 为常数，且 k ≠ 0 ) 当 k＞0 时，y 的值随着 x 值的增大而增大； 当 k＜0 时，y 的值随着 x 值的增大而减小. 课堂小结 $$