14.1.2 直角三角形的判定（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（华东师大版）

14.1 勾股定理 第14章 勾股定理 2.直角三角形的判定 优翼数学教学课件（HS）八上 据说，古埃及人曾用下面的方法画直角： 他们用 13 个等距离的结把一根绳子分成等长的 12 段，一个工匠同时握住绳子的第1 个结和第 13 个结，两个助手分别握住第 4 个结和第 8 个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第 4 个结处. 问题：同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角? 导入新课 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) 你想知道这是什么道理吗? 问题：试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形： (1) a = 3，b = 4，c = 5； (2) a = 4，b = 6，c = 8； (3) a = 6，b = 8，c = 10. 试一试 可以发现，按 (1)、(3) 所画的三角形都是直角三角形，最长边所对的角是直角；按 (2) 所画的三角形不是直角三角形. 直角三角形的判定 新课讲授 4 这三组数都满足 a2 + b2 = c2 吗？ 在这三组数据中，(1)、(3) 两组数据恰好都满足 a2 + b2 = c2. 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a、b、c 有关系 a2 + b2 = c2， 那么这个三角形是直角三角形，且边 c 所对的角为直角. 对于任意一个三角形，若三边长满足 a2 + b2 = c2，则该三角形是直角三角形吗？ 例1 已知：如图，在△ABC 中，AB = c，BC = a，AC = b，a² + b² = c²，求证：∠C = 90°. A B C B′ C′ A′ 证明：如图，作△A'B′C′，使∠C′ = 90°，A′C′ = b，B′C′ = a， 则 A′B′ ² = a² + b² = c²，即 A′B′ = c. 在△ABC 和△A′B′C′ 中， ∵ BC = a = B′C′，AC = b = A′C′， AB = c = A′B′， ∴△ABC≌△A′B′C′ ( S. S. S. ). ∴∠C = ∠C′ = 90°. 典例精析 例2 下面以 a，b，c 为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？ (1) a = 15，b = 8，c = 17； 解：(1) ∵ 152 + 82 = 289，172 = 289， ∴ 152 + 82 = 172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C 是直角. (2) a = 13 ，b = 14，c = 15. (2) ∵ 132 + 142 = 365，152 = 225， ∴ 132 + 142 ≠152，不符合勾股定理的逆定理， ∴ 这个三角形不是直角三角形. 根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方. 归纳 例3 一个零件的形状如图 1 所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角，工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图 2 所示，你说这个零件符合要求吗? D A B C 4 3 5 13 12 D A B C 图1 图2 8 在△BCD 中， 所以△BCD 是直角三角形， ∠DBC 是直角. 因此，这个零件符合要求. 解：在△ABD 中， 所以△ABD 是直角三角形，∠A 是直角. D A B C 4 3 5 13 12 例4 已知△ABC，AB = n² - 1，BC = 2n，AC = n² + 1 (n 为大于 1 的正整数). 试问△ABC 是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由 解：∵ AB² + BC² = (n² - 1)² + (2n)² = n4 - 2n² + 1 + 4n² = n4 + 2n² + 1 = (n² + 1)² = AC²， ∴△ABC 直角三角形，边 AC 所对的角是直角. 先确定 AB、BC、AC、 的大小 能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数. 例如， 3，4，5 ；6，8，10； n² - 1，2n，n² + 1(n 为大于 1 的正整数)等都是勾股数. 勾股数 下列各组数是勾股数的是 ( ) A. 6，8，10 B. 7，8，9 C. 0.3，0.4，0.5 D. 52，122，132 A 方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可. 练一练 1.如果线段 a，b，c 能组成直角三角形，则它们的比可以是( ) A. 3 : 4 : 7 B. 5 : 12 : 13 C. 1 : 2 : 4 D. 1 : 3 : 5 将直角三角形的三边长扩大同样的倍数，则得到的三角形 ( ) A. 是直角三角形 B. 可能是锐角三角形 C. 可能是钝角三角形 D. 不可能是直角三角形 B A 当堂练习 13 4.如果三条线段 a，b，c 满足 a2 = c2 - b2，这三条线段组成的三角形是直角三角形吗?为什么? 解：是直角三角形，因为 a2 + b2 = c2，满足勾股定理的逆定理. 3.以△ABC 的三条边为边长向外作正方形，依次得到的面积是 25，144，169，则这个三角形是_____三角形. 直角 5. 如图，在正方形ABCD 中，AB = 4，AE = 2，DF = 1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？与你的同伴交流. 解：由题意可知△ABE，△DEF，△FCB 均为直角三角形. 由勾股定理，知 BE2 = 22 + 42 = 20，EF2 = 22 + 12 = 5，BF2 = 32 + 42 = 25， ∴ BE2 + EF2 = BF2. ∴△BEF 是直角三角形. 4 1 2 2 4 3 一定是直角三角形 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. 勾股数：满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数 课堂小结 $$