13.4.4 经过一已知点作已知直线的垂线 13.4.5 作已知线段的垂直平分线（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（华东师大版）

13.4 尺规作图 第13章 全等三角形 4.经过一已知点作已知直线的垂线 5.作已知线段的垂直平分线 优翼数学教学课件（HS）八上 1.回顾已经学过的基本作图有哪几种？ 2. 点与直线的位置关系有几种情况？ （1）点在直线上；（2）点在直线外. 3. 经过一已知点作已知直线的垂线有可以分为几种情况？ 两种. 基本作图： （1）作一条线段等于已知线段； （2）作一个角等于已知角； （3）作已知角的平分线. 导入新课 基本作图4. 经过一已知点作已知直线的垂线 可分为两种情况来讨论： 1. 经过已知直线上一点作已知直线的垂线. 2. 经过已知直线外一点作已知直线的垂线. 经过一已知点作已知直线的垂线 新课讲授 1.经过已知直线上一点作已知直线的垂线 已知直线 AB 和 AB 上一点 C，试按下列步骤用直尺 和圆规准确地经过点 C 作出直线 AB 的垂线. 如图，由于点 C 在直线 AB 上，因此所求作的垂线正好是平角 ACB 的平分线所在的直线. 第一步：作平角 ACB 的平分线 CD； 第二步：反向延长射线 CD. D C A B A B C 2.经过已知直线外一点作已知直线的垂线. 已知直线 AB 和 AB 外一点 C，试按下列步骤用直尺和圆规准确地经过点 C 作出直线 AB 的垂线. A B C 步骤： (1)以点 C 为圆心，作弧与直线 AB 相交于点 D、点 E； (2)作∠DCE 的平分线 CF. 直线 CF 就是 所要求作的垂线. D E F 思考：你能说说其中的道理吗？ 5 典例精析 例1 利用直尺和圆规作一个等于 45° 的角. 作法： 1. 作直线 AB； 2. 过点 A 作直线 AB 的垂线 AC； 3. 作∠CAB 的平分线 AD. ∠DAB 就是所要求作的角. D A B C 步骤： 第一步：分别以点 A 和点 B 为圆心、大于 AB 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点 C 和点 D； 第二步：作直线 CD. 直线 CD 就是所要求作的线段 AB 的垂直平分线． C A B D 如图，已知线段 AB，试按下列步骤用直尺和圆规准确地作出线段 AB 的垂直平分线. 作已知线段的垂直平分线 想一想：为什么 CD 是线段 AB 的垂直平分线呢？你能给出证明吗？ 证明：如图，连结 CA、CB、DA、DB. ∵ AC = BC，ＡD = BD，CD = CD， ∴ △ACD≌△BCD (S. S. S. ). ∴ ∠ACD =∠BCD，∠ADC =∠BDC (全等三角形的对应角相等). ∴ CD 垂直平分线段 AB (等腰三角形的“三线合一”). C A B D 　　通过上面的作图，你还能发现什么？你会作任意一个三角形的三条中线吗？ 　　通过作图，知道直线 CD 与线段 AB 的交点就是 AB 的中点，因此我们可以用这种方法作出线段 AB 的中点，从而可以作出任意一个三角形的的三条中线 探究讨论 例2 如图，A，B 是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？ 典例精析 分析：增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长，应在线段 AB 的垂直平分线上，又要在公路边上，所以找到 AB 的垂直平分线与公路的交点便是. A B 公共汽车站 1. 如图，点 P 在∠O 的一边上，试过点 P 作∠O 两边的垂线. P 当堂练习 11 ① 在直线 OB 上点 P 的两旁分别截 取线段 PA， PB，使 PA = PB； (1) 过点 P 作 OB 边上的垂线. ② 分别以 A，B 为圆心以大于 AB 的长为半径画弧， 两弧相交于点 C； ③ 过点 C， P 作直线 CP， 则直线 CP 为所求作的直线. C · O B A P E F (2) 过点 P 作 OA 边上的垂线. ① 以点 P 为圆心， 以大于点 P 到直线 OA 的距离的线段长为半径画弧， 交直线 OA 于点 M，N； ② 分别以 M，N 为圆心 以大于 MN 的长为半径画弧， 两弧相交于点 C； ③ 过点 C，P 作直线 CP，则直线 CP 为所求作的直线. M C O B A P · N 2. 如图，作△ABC 边 BC 上的高. E F 3.如图，有 A，B，C 三个村庄，现准备要建一所希望小学，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置. B C 学校在连接任意两点的两条线段的垂直平分线的交点处. A 5. 如图，八 (1) 班与八 (2) 班两个班的学生分别在 M，N 两处参加植树劳动，现要在道路 AB、AC 的交叉区域内设一个茶水供应点 P，使 P 到两条道路的距离相等，且 PM = PN， 请你用折纸的方法 找出 P 点并说明理由.  M N B A P C 经过一已知点作已知直线的垂线 经过已知直线上一点作已知直线的垂线，实质是作一个平角的平分线，并将角的平分线反向延长. 经过已知直线外一点作已知直线的垂线，实质是作以直线外这一点为顶点，底在直线上的等腰三角形的顶角的平分线. 课堂小结 线段垂直平分线的尺规作图 作已知线段的垂直平分线理论依据是：判定三角形全等的“边边边” 对于语言叙述类的画图问题，应先画草图，再写已知、求作、作法. (第1题) （第2题） $$