12.5.2 公式法（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（华东师大版）

12.5 因式分解 第12章 整式的乘除 2. 公式法 优翼数学教学课件（HS）八上 1.什么叫多项式的因式分解? 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解. 2.下列式子从左到右哪个是因式分解?哪个是整式乘法？它们有什么关系？ 1. a(x + y) = ax + ay 2. ax + ay = a(x + y) 整式乘法 因式分解 它们是互为方向相反的变形 导入新课 提公因式法 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. ( a + b + c ) pa+ pb +pc p = 正确找出多项式各项公因式的关键是： 1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数. 2.定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂. 还记得前面学过的乘法公式吗？ 平方差公式： 两数和（差）的平方公式： a2 - b2 = (a + b)(a - b) (a ± b)2 = a2 ±2ab + b2 想一想：多项式 a2 - b2 有什么特点？你能将它分解因式吗？ 是 a，b 两数的平方差的形式 ) )( ( b a b a - + = 2 2 b a - ) )( ( 2 2 b a b a b a - + = - 整式乘法 因式分解 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 平方差公式： 运用平方差公式因式分解 新课讲授 √ √ × × 辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？ √ √ ★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2 - ( )2的形式. （1）x2 + y2 （2）x2 - y2 （3） - x2 - y2 - ( x2 + y2 ) y2 - x2 （4） - x2 + y2 （5）x2 - 25y2 ( x + 5y )( x - 5y ) （6）m2 - 1 ( m + 1 )( m - 1 ) ( x + y )( x - y ) ( y + x)( y - x ) = (2x+3)(2x-3). 例1 分解因式： a a b b ( + ) ( - ) a2 - b2 = 解：(1)原式 = 2x 3 2x 2x 3 3 (2)原式 a b 典例精析 3 (2x)2 - 3 方法总结：公式中的 a，b 无论表示数，单项式，还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. 例2 分解因式： ………… 一提（公因式） …… 二套（公式） 三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止） 分解因式的一般步骤 解：(1)原式 = ( x2 )2 - ( y2 )2 = ( x2 + y2 )( x2 - y2 ) = ( x2 + y2 )( x - y )( x - y ). 两数和(或差)平方公式： 两数和(或差)平方公式的特点： 1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2 倍. 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. =（a ± b）2 运用两数和(或差)平方公式因式分解 凡具备这些特点的三项式，就是两数和(或差)平方公式，将它写成两数和(或差)平方形式，便实现了因式分解. a2 2 a b b2 ± . + . = (a ± b)² 利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，两数和(或差)平方公式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法. 3、a² + 4ab + 4b² = ( )² + 2·( )·( ) + ( )² = ( )² 2、m² - 6m + 9 = ( )² - 2·( )·( ) + ( )² = ( )² 1、x² + 4x + 4 = ( )² + 2·( )·( ) + ( )² = ( )² x 2 x + 2 a a 2b a + 2b 2b 对照公式 a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 进行因式分解，你会吗？ m m - 3 3 x 2 m 3 a2 2 a b b2 ± . + . = (a ± b)² 下列各式是不是两数和(或差)平方公式？ （1）a2 - 6a + 9； （2）1 + 4a²； （3）4b2 + 4b - 1； （4）a2 + ab + b2； （5）x2 + x + 0.25. 是 （2）因为它只有两项. 不是 （3）4b² 与 - 1 的符号不统一. 不是 分析： 不是 是 （4）中间项缺 2 倍. 例3 分解因式： （1）16x2 + 24x + 9； （2）-x2 + 4xy - 4y2. 分析：(1)中，16x2 = (4x)2， 9 = 3²，24x = 2·4x·3， 所以 16x2 + 24x + 9 是一个两数和平方公式，即 16x2 + 24x + 9 = (4x)2 + 2×4x·3 + 32. 2 a b b2 a2 (2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为 -(x2 - 4xy + 4y2)，然后再利用公式分解因式. 解： (1) 16x2 + 24x + 9 = ( 4x + 3 )2. = ( 4x )2 + 2·4x·3 + ( 3 )2 (2) -x2 + 4xy - 4y2 = -( x2 - 4xy + 4y2 ) = -( x - 2y )2. 例4 把下列各式分解因式： （1）3ax2 + 6axy + 3ay2；（2）(a+b)2 - 12(a + b) + 36. 分析：（1）中有公因式 3a，应先提出公因式，再进一步分解因式； （2）中将 a + b 看成一个整体，设 a + b = m，则原式化为 m2 - 12m + 36. 解：(1)原式 = 3a(x2 + 2xy + y2) = 3a(x + y)2. (2)原式 = (a + b)2 - 2·(a + b)·6 + 62 = (a + b - 6)2. 17 例5 利用两数和(或差)平方公式简便计算： (1) 1002 - 2×100×99 + 99²； (2) 342 + 34×32 + 162. 解：(1) 原式 = (100 - 99)² (2) 原式 = (34 + 16)2 本题利用两数和(或差)平方公式分解因式，可以简化计算. = 1. = 2500. 1. 把下列各式分解因式： (1) 16a2 - 9b2 =__________________； (2) ( a + b )2 - ( a - b )2=________； (3) 9xy3 - 36x3y =____________________； (4) - a4 + 16 =_______________________. ( 4a + 3b )( 4a - 3b ) 4ab 9xy( y + 2x )( y - 2x ) ( 4 + a2 )( 2 + a )( 2 - a ) 当堂练习 2.把下列多项式因式分解. （1）x2－12x + 36； （2）4a2－4a + 1； （3）y2 + 2y + 1 - x2 . 解：（1）原式 = x2－2·x·6 + 62 = (x－6)2. （2）原式 = (2a)2－2·2a·1 + 12 = (2a－1)2. (3) 原式 = (y + 1)² - x² = (y + 1 + x)(y + 1 - x). 3.多项式 4a² + ma + 9 是两数和(或差)平方公式，那么 m 的值是 . ±12 4. 若 ( 2x )n - 81 可分解成 ( 4x2 + 9 )( 2x + 3)( 2x - 3 )，则 n 的值是______. 4 21 5. 已知 4m + n = 40，2m - 3n = 5．求 (m + 2n)2 - (3m - n)2 的值． 原式 = -40×5 = -200. 解：原式 = (m + 2n + 3m - n)(m + 2n - 3m + n) = (4m + n)(3n - 2m) = -(4m + n)(2m - 3n). 当 4m + n = 40，2m - 3n = 5 时， 公式法因式分解 公式 平方差公式：a2-b2 = (a + b)(a - b) 步骤 一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止. 两数和(或差)平方公式： a2±2ab＋b2 = (a±b)2 课堂小结 $$