12.5.1 提公因式法（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（华东师大版）

12.5 因式分解 第12章 整式的乘除 1. 提公因式法 优翼数学教学课件（HS）八上 运用前面所学的知识填空： (1) m(a + b + c) = ； (2) (x + 1)(x - 1) = ； (3) (a + b)2 = . ma + mb + mc x2 - 1 a2 + 2ab + b2 导入新课 把下列多项式写成乘积的形式 都是多项式化为几个整式的积的形式 (1) ma + mb + mc = ( )( ) (2) x2 - 1 = ( )( ) (3) a2 + 2ab + b2 = ( )2 m a + b + c x + 1 x - 1 a + b 因式分解 新课讲授 定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式因式分解，也叫做这个多项式分解因式. 概念学习 x2 - 1 (x + 1)(x - 1) 因式分解 整式乘法 x2 - 1 = (x + 1)(x - 1) 等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积 想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？ 是互为相反的变形，即 x2 + x = x2(1 + ) 在下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的有 ；不是因式分解的，请说明为什么. ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ③ ⑥ 辨一辨： am + bm + c = m(a + b) + c 24x2y = 3x ·8xy x2－ 1 = (x + 1)(x－ 1) (2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1 2x + 4y + 6z = 2(x + 2y + 3z) 最后不是积的运算 因式分解的对象是多项式 是整式乘法 每个因式必须是整式 pa + pb + pc 多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式. 相同因式 p 这个多项式有什么特点？ 因式分解之基本方法 — 提公因式法 找 3 x 2 – 6 xy 的公因式. 系数： 最大公约数 3 字母： 相同的字母 x 所以公因式是 3x 指数： 相同字母的最低次数 1 例1 如何确定一个多项式的公因式？ 典例精析 知识要点 提公因式法 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. ( a + b + c ) pa+ pb +pc p = 正确找出多项式各项公因式的关键是： 1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数. 2.定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂. 找一找：下列各多项式的公因式是什么？ 3 a a2 3mn -2xy (1) 3x + 6y (2) ab - 2ac (3) a2 - a3 (4) 9m2n - 6mn (5) - 6x2y - 8xy2 典例精析 (1) 8a3b2 + 12ab3c； 例2 把下列各式分解因式： 分析：提公因式法的步骤 (分两步)： 第一步：找出公因式； 第二步：提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积. (2) 2a(b + c) - 3(b + c). 公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式 整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法. 解：（1） 8a3b2 + 12ab3c = 4ab2 · 2a2 + 4ab2 · 3bc = 4ab2(2a2 + 3bc). 如果提出公因式4ab，另一个因式是否还有公式？ 另一个因式将是 2a2b + 3b2c， 它还有公因式是 b. （2）2a(b + c) - 3(b + c) = (b + c)(2a - 3). 如何检查因式分解是否正确？ 做整式乘法运算去检验. 因式分解： (1)3a3c2＋12ab3c； (2)2a(b＋c)－3(b＋c)； (3)(a＋b)(a－b)－a－b. 针对训练 (3)原式＝(a＋b)(a－b－1). 解：(1)原式＝3ac(a2c＋4b3). (2)原式＝(2a－3)(b＋c). 因式分解：12x2y + 18xy2. 解：原式 = 3xy(4x + 6y). 错误 公因式没有提尽，还可以提出公因式 2 注意：公因式要提尽. 正确解：原式 = 6xy(2x + 3y). 小明的解法有误吗？ 当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是 1. 错误 注意：某项提出莫漏 1. 解：原式 = x(3x - 6y). 因式分解：3x2 - 6xy + x. 正确解：原式 = 3x · x - 6y · x + 1 · x = x(3x - 6y + 1) 小亮的解法有误吗？ 提出负号时括号里的项没变号 错误 因式分解：- x2 + xy - xz. 解：原式 = - x(x + y - z). 注意：首项有负常提负. 正确解：原式 = - (x2 - xy + xz) = - x(x - y + z). 小华的解法有误吗？ 1. 把下列各式分解因式： (1) 8m2n + 2mn =_____________； (2) 12xyz - 9x2y2 =_____________； (3) p(a2 + b2 ) - q(a2 + b2 ) =______________； (4) -x3y3 - x2y2 - xy =_______________； 2mn(4m + 1) 3xy(4z - 3xy) (a2 + b2)(p - q) -xy(x2y2 + xy + 1) (5) (x - y)2 + y(y - x) =______________. (y - x)(2y - x) 当堂练习 2.分解因式：(x - y)2 + y(y - x). 解法1：(x - y)2 + y(y - x) = (x - y)2 - y(x - y) = (x - y)(x - y - y) = (x - y)(x - 2y). 解法2：(x - y)2 + y(y - x) = (y - x)2 - y(y - x) = (y - x)(y - x + y) = (y - x)(2y - x). 3. 简便计算： (1) 1.992 + 1.99 × 0.01； (2) 20222 + 2022 - 20232； (3) (- 2)101 + (- 2)100. (2) 原式 = 2022×(2022 + 1) - 20232 = 2022×2023 - 20232 = 2023×(2022 - 2023) = - 2023． 解：(1) 原式 = 1.99(1.99 + 0.01) = 3.98. (3)原式= (-2)100×(-2 + 1) = 2100×(- 1) = - 2100. 解：(1) 2x2y + xy2 = xy(2x + y) = 3×4 = 12. (2)原式 = (2x + 1)[(2x + 1) - (2x - 1)] = (2x + 1)(2x + 1 - 2x + 1) = 2(2x + 1). 4. (1) 已知 2x + y = 4，xy = 3，求代数式 2x2y + xy2 的值； (2) 化简求值：(2x + 1)2 - (2x + 1)(2x - 1)，其中 x = . 将 x = 代入上式，得 原式 = 4. 因式 分解 定义 am + bm + mc = m(a + b + c) 提公因式法 确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数 分两步：第一步找公因式；第二步提公因式 注意：①分解因式是一种恒等变形；②公因式：要提尽；③不要漏项；④提负号，要注意变号 课堂小结 $$