12.3.1 两数和乘以这两数的差（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（华东师大版）

12.3 乘法公式 第12章 整式的乘除 1.两数和乘以这两数的差 优翼数学教学课件（HS）八上 多项式与多项式是如何相乘的？ (x ＋ 3)( x ＋ 5) = x2＋5x＋3x＋15 = x2＋8x＋15. ( a + b )( m + n ) = am + an + bm + bn 导入新课 从前，有－个狡猾的地主，把－块边长为 20 米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的－边减少 5 米，相邻的另－边增加 5 米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何?”张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧．”回到家中，他把 这事和邻居们－讲，大家都说： “张老汉，你吃亏了!”他非常吃惊． 你觉得张老汉是否吃亏了? 情境导入 5米 5米 a米 原来 a2 (a - 5) (a + 5)米 现在 (a + 5)(a - 5) 面积变了吗？ 平方差公式 新课讲授 ① (x + 1)( x - 1)； ② (m + 2)( m - 2)； ③ (2m + 1)(2m - 1)； ④ (5y + z)(5y - z). 算一算：看谁算得又快又准. 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ ② (m + 2)( m - 2) = m2 - 4 ③ (2m + 1)( 2m - 1) = 4m2 - 1 ④ (5y + z)(5y - z) = 25y2 - z2 ① (x + 1)( x - 1) = x2 - 1 想一想：这些计算结果有什么特点？你发现了什么规律？ = x2 - 12 = m2 - 22 = (2m)2 - 12 = (5y)2 - z2 用自己的语言叙述你的发现. 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差. (a + b)(a − b) = a2 − b2. 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差. 公式变形： (a – b) (a + b) = a2 − b2， (b + a)(−b + a ) = a2 − b2. 知识要点 平方差公式： 这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式.有时也简称为平方差公式. 几 何 解 释 观察图形，再用等式表示图中图形面积的运算： (a+b)(a-b) = － (a + b)(a - b) a2 b2 b a a b b b2 a2 平方差公式 注：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个多项式等． (a + b)(a - b) = a2 - b2 相同为 a 相反为 b 适当交换 合理加括号 练一练：口答下列各题： （l）(-a + b)(a + b) =  _________. （2）(a - b )(b + a) = __________. （3）(-a - b)(-a + b) = ________. （4）(a - b)(-a - b) = _________. a2 - b2 a2 - b2 b2 - a2 b2 - a2 例1 填一填： 典例精析 (1 + x)(1 - x) ( - 3 + a)( - 3 - a) (0.3x - 1)(1 + 0.3x) (1 + a)( - 1 + a) a b a2 - b2 1 x -3 a 12 - x2 ( - 3)2 - a2 a 1 a2 - 12 0.3x 1 ( 0.3x)2 - 12 (a - b)(a + b) 例2 计算 2018×2022. (2020 - 2)(2020 + 2) = 4080400 - 4 = 4080396. 解： 2018×2022 = = 20202 - 22 例3 街心花园有一块边长为 a 米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加长 2 米，而东西向要缩短 2 米，问改造后的长方形草坪的面积是多少？ 解: 答：改造后的长方形草坪的面积是 (a2 - 4) 平方米. a a 2 2 1. 下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ (1) (x + 3)(x - 3) = x2 - 3； (2) ( - 3a - 2)(3a - 2) = 9a2 - 4. 不对 改正：x2 - 9 不对 改正方法①： 原式 = - [(3a + 2)(3a - 2)] = - (9a2 - 4) = - 9a2 + 4. 改正方法②： 原式 = ( - 2 - 3a)( - 2 + 3a) = ( - 2)2 - (3a)2 = 4 - 9a2. 当堂练习 (1) (a + 3b)(a - 3b)； 解：原式 = (2a + 3)(2a - 3) = (2a)2 - 32 = 4a2 - 9. = a2 - 9b2. 解：原式 = a2 - (3b)2 (2) (3 + 2a)(-3 + 2a)； 2. 利用平方差公式计算： (3) ( - 2x2 - y)( - 2x2 + y)； 解：原式 = ( - 2x2 )2 - y2 = 4x4 - y2. (4) ( - 5 + 6x)( - 6x - 5). 解：原式 = ( - 5 + 6x)( - 5 - 6x) = ( - 5)2 - (6x)2 = 25 - 36x2. = (50 + 1)(50 - 1) = 502 - 12 = 2500 - 1 = 2499. = (9x2 - 16) - (6x2 + 5x - 6) = 3x2 - 5x - 10. （5）51×49； （6）(3x + 4)(3x - 4) - (2x + 3) (3x - 2). 3.计算： 20212 - 2020×2022. 解： 20212 - 2020×2022 = 20212 - (2021 - 1)(2021 + 1) = 20212 - (20212 - 12 ) = 20212 - 20212 + 12 = 1. 18 4.利用平方差公式计算: （1）(a - 2)(a + 2)(a2 + 4) 解：原式 = (a2 - 4)(a2 + 4) =a4 - 16. （2）(x - y)(x + y)(x2 + y2)(x4 + y4). 解：原式 = (x2 - y2)(x2 + y2)(x4 + y4) = (x4 - y4)(x4 + y4) = x8 - y8. 平方差公式 内容 注意 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 1.字母表示：(a + b)(a - b) = a2 - b2 2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过适当变形才可以应用 课堂小结 $$