2024年人教版新七年级数学暑假预习课讲义第十六讲 整式的化简求值题型及易错题点拨

人教版新七年级暑假预习课讲义 第十六讲 整式的化简求值题型及易错题点拨 一、专题导航 2、 整式化简求值题型 1.直接代入求值 步骤：直接代入 例1-1．当时，代数式的值等于（    ） A．1 B． C． D．3 例1-2．在，，0，，，14，，这些数中，正有理数有m个，非负整数有n个，分数有k个，则的值为（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 针对训练1 1．一本书有120页，李华每天看15页，看了m天，还剩( )页没有看，当时，还剩( )页没有看． 2．已知：m的平方等于9，n的立方等于27，求式子的值． 2.先化简，再直接代入求值 步骤：去括号 合并同类项 代入求值 例2-1．先化简，再求值：，其中． 例2-2．先化简，再求值：，其中，． 针对训练2 1．先化简，再求值：，其中． 2．先化简，再求值 (1)，其中，． (2)，其中a，b满足． 3.先化简，再整体代入求值 步骤：化简 整体代入 若条件中没有直接给出单个字母的值，或根据条件无法求出单个字母的值，一般就考虑用整体代入法求值。整体代入法的关键是要紧扣“整体性”，要注意所求的整式与已知条件之间的整体对应关系。 例3-1．已知，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 例3-2．已知，则代数式的值为（   ） A．2022 B．2021 C．2020 D．2019 针对训练3 1．如果的值为12，则的值为 ． 2．若实数x、y满足方程，则代数式的值是 ． 4.利用“不含，无关”求值 多项式的值与某个字母的取值无关，或结果不含某个字母，则说明多项式化简后含该字母的项的系数都为0. 例4-1．若多项式的值与x的值无关，则m等于（ ） A．0 B．3 C． D． 例4-2．多项式化简后不含项，则为 例4-3．有这样一道题：当，时，求的值． 小明说：“本题中，是多余的条件．”小强马上反驳说：“这个多项式中含有和，不给出，的值怎么能求出多项式的值呢？”你同意哪位同学的观点？请说明理由． 针对训练4 1．若关于的多项式不含二次项和一次项，求，的值． 2．【问题呈现】 （1）已知代数式的值与x的值无关，求m的值； 【类比应用】 （2）将7张长为a，宽为b的小长方形纸片（如图①），按如图②的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的两部分的面积分别记为，，当的长度变化时，的值始终不变，求a与b的数量关系． 3．已知：，． (1)求； (2)若的值与的值无关，求m，n满足的关系式． 5..利用绝对值化简求值 正数的绝对值等于本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0 例5-1 .有理数在数轴上的位置如图所示． (1)化简：的值； (2)若，，，求的值． 例5-2．阅读材料：如图，，，，若A、B两点在数轴上分别表示有理数a、b，则．例如，表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 根据上述材料，解答下列问题： (1)，则______． (2)，则______． (3)，则______． (4)式子的最小值为______． (5)若，则______． 针对训练5 1．绝对值的几何意义：表示一个数x在数轴上对应的点到原点的距离，表示a，b两数在数轴上对应两点之间的距离.解决下列问题： (1)若，则__________； (2)已知点P在数轴上对应的数是1，若a，b（）两数在数轴上对应点A，B之间的距离为12，且它们到P的距离相等，则__________，__________； (3)若，直接写出x的值. 2．同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索 (1)求|5﹣（﹣2）|＝　　． (2)找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7．这样的整数是　　． (3)由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由． 6 .利用非负性化简求值 一个数的绝对值是非负数，一个数的偶次方是非负数。 几个非负数的和等于0，每个非负数都是0 例6-1．先化简，再求值： ，其中． 例6-2．先化简，再求值：，其中x，y满足． 针对训练6 1．先化简再求值： ，其 中 x，y 满 足 2．先化简，再求值，，其中x，y满足． ． 3、 整式化简易错问题剖析 1. 易错点1： 对整式相关概念理解不透彻而出错 例1-1．在代数式中，单项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 错解：C 单独的数字、字母都是单项式，漏解0,0也是单项式 例1-2．下列说法中正确的是（    ） A．多项式的常数项是，二次项的系数是 B．单项式的系数和次数分别是，7 C．不是单项式 D．把按的降幂排列为 错解：B 单项式的系数是单项式的数字因数，π也是数字，所以系数为-5π 例1-3．下列说法错误的是（    ） A．代数式，，都是整式 B．单项式的系数是，次数是2 C．多项式的项是， D．多项式是二次三项式 错解：C 多项式的项包括前面的符号，错误结论项是3x，π 针对训练1 1．下列各式，，，，，，中，整式有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．单项式的系数是 ，次数是 ． 3．在，，，，，，单项式有 ．多项式有 ，整式有 ． 4．将下列代数式的序号填入相应的横线上． ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． （1）单项式： ； （2）多项式： ； （3）整式： ； （4）二项式： ． 5．在代数式：，，a2b，，2x2+y+6xy中，单项式有 个． 6．单项式的次数是 ． 7．若关于m的多项式是三次三项式，则 ． 8．已知多项式是五次多项式，单项式与该多项式的次数相同，则 ． 2.易错点2： 对同类项辨析不清产生易错 例2-1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 错解：A 同类项概念理解不清，把5a,3b认为同类项而出错 针对训练2 1．若单项式与的和仍是单项式，则 ． 2．若与的和仍为单项式，则 ． 3.易错点3： 去括号忘记变号产生易错: 例3-1．下列去括号正确的是（　　） A． B． C． D． 错解：C 括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号． 针对训练3 1．下列式子中，去括号后得的是（    ） A． B． C． D． 2．下列变形中，错误的是（    ） A． B． C． D． 4.易错点4： 化简求值时，化简不熟练出错 例4-1 .先化简，再求值：，其中a=2,b=-1 错解：原式=2ab2+a2b-2a2b+2-3ab2-2 =-ab2-a2b 当a=2,b=-1时 原式=-2x(-1)2-22x1=-2-4=-6 针对训练4 1.先化简，再求值：，其中，． 2 .先化简，再求值：，其中x＝，y＝2． 5.易错点5 整式加减与数轴、绝对值综合出错 例5-1．有理数在数轴上对应点的位置如图所示： (1)结合数轴可知：__________，__________．；（填“”或“”） (2)结合数轴化简：． 错解：(2)=b-1-(a-1)-a =b-1-a+1-a =b-2a 针对练习5 1．有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)用“＞”或“＜”填空：a_____0，_____0，______0． (2)化简：． 2．有理数、、在数轴上的位置如图： (1)比较大小（填“”或“”号）．①______；② ______；③______； (2)化简：． 6.易错点6 整式加减中某项无关型问题产生易错 例6-1．关于的多项式的值与的取值无关，则 ． 错解：a=4,b=-1,(a-b)2=52=25 例6-2．已知关干x的多项式不含项和项，求m、n的值． 错解：m=5,n=1 针对训练6 1．已知：，． (1)计算：； (2)若的值与的取值无关，求的值； (3)如果，那么的表达式是什么？ 2．已知关于x的多项式A，B，其中，（m为有理数）． (1)化简； (2)若的结果不含项，求m的值． 3．（1）已知多项式，若多项式的值与字母x的取值无关，求a，b的值； （2）化简求值：，其中，． 7.易错点7 已知式子的值，求代数式的值不会变式出错 例7-1．已知，，则整式的值为（    ） A． B． C． D． 错解：A 变式时出现符号错误 例7-2．若，，则（    ） A．0 B． C．2 D． 错解A 针对训练7 1．已知，，则代数式的值是（　　） A． B． C． D． 2．理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法，例如： 若 ，则   ； 我们将 作为一个整体代入，则原式 ． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若 ，则 ； (2)如果 ，求 的值； (3)若 ，求 的值． 3．先化简，再整体代入求值：，其中，． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版新七年级暑假预习课讲义 第十六讲 整式的化简求值题型及易错题点拨（解析版） 一、专题导航 2、 整式化简求值题型 1.直接代入求值 步骤：直接代入 例1-1．当时，代数式的值等于（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了代数式求值．熟练掌握代数式求值是解题的关键． 代值求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：D． 例1-2．在，，0，，，14，，这些数中，正有理数有m个，非负整数有n个，分数有k个，则的值为（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题考查的是有理数，熟知有理数的分类是解题的关键．先求出m，n，k的值，再进行计算即可． 【详解】解：∵，，14是正有理数，共3个； 0，14是非负整数，共2个； ，，，是分数，共4个， ∴，，， ∴． 故选：D． 针对训练1 1．一本书有120页，李华每天看15页，看了m天，还剩( )页没有看，当时，还剩( )页没有看． 【答案】 75 【分析】根据题意，李华每天看15页，看了m天，根据乘法的意义，共看了页，用总页数减去已看的页数，就是剩下的页数，即页；再求出当时，还剩的具体的页数，据此解答．解决此题关键是先用字母表示已看了的页数，进一步表示出剩下的页数，进而求出还没看的具体的页数． 【详解】解：根据题意与分析可得： （页） 把代入可得： （页） 答：看了m天，还剩页没有看；当时，还剩75页没有看． 故答案为：，75． 2．已知：m的平方等于9，n的立方等于27，求式子的值． 【答案】或 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，求代数式的值．根据有理数的乘方运算，可得，然后分别代入，即可求解． 【详解】解：因为m的平方等于9，n的立方等于27， 所以． ①当时，； ②当时，； 所以式子的值为或． 2.先化简，再直接代入求值 步骤：去括号 合并同类项 代入求值 例2-1．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的加减-化简求值，原式去括号合并得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值． 【详解】解： 当时，原式 例2-2．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值，先去括号，再合并同类项，得到化简的结果，再把，代入计算即可． 【详解】解： 当，时， 原式 ． 针对训练2 1．先化简，再求值：，其中． 【答案】，100 【分析】本题考查整式的化简求值，先根据去括号法则化简，再根据整式的加减法法则进行计算，最后代入值求解即可． 【详解】解：， ， 把代入得，． 2．先化简，再求值 (1)，其中，． (2)，其中a，b满足． 【答案】(1)，19 (2)，12 【分析】此题考查了整式的加减混合运算以及代数求值，解题的关键是掌握整式的加减运算法则． （1）先去括号，再合并同类项，然后代入求解即可； （2）先去括号，再合并同类项，然后代入求解即可． 【详解】（1） ， 当，时， 原式； （2） ， ∵ ∴， ∴， ∴原式． 3.先化简，再整体代入求值 步骤：化简 整体代入 若条件中没有直接给出单个字母的值，或根据条件无法求出单个字母的值，一般就考虑用整体代入法求值。整体代入法的关键是要紧扣“整体性”，要注意所求的整式与已知条件之间的整体对应关系。 例3-1．已知，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式求值，将原式变形，整体代入求解即可，注意整体思想的应用． 【详解】解：， ∵， ∴原式， 故选：B． 例3-2．已知，则代数式的值为（   ） A．2022 B．2021 C．2020 D．2019 【答案】C 【分析】本题考查的是代数式求值，熟练掌握代数式求值的方法是解题的关键．根据，可得，再将其整体代入原式计算即可． 【详解】解：， ， ， 故选：C 针对训练3 1．如果的值为12，则的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了代数式求值，整理可得，再整体代入计算求值即可． 【详解】解：的值为12， ， ， 故答案为：7． 2．若实数x、y满足方程，则代数式的值是 ． 【答案】10 【分析】此题考查代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．由已知等式求出，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：由，得到， 则， 故答案为：10 3．当时，，则 ． 【答案】2019 【分析】本题考查整式的加减化简求值知识点，应用整体思想求值是解题关键． 将代入，求得，然后利用整体思想代入求解． 【详解】解：将代入得，， 故． 故答案为：2019． 4.利用“不含，无关”求值 多项式的值与某个字母的取值无关，或结果不含某个字母，则说明多项式化简后含该字母的项的系数都为0. 例4-1．若多项式的值与x的值无关，则m等于（ ） A．0 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确整式加减的计算方法． 先根据多项式的值与x的值无关可得，解题即可得到m的值． 【详解】解： ， ∵多项式的值与x的值无关， ∴， 解得：， 故选C． 例4-2．多项式化简后不含项，则为 【答案】12 【分析】本题考查合并同类项．直接利用多项式的定义得出项的系数为零，进而得出答案． 【详解】解： ， 多项式不含项， ， ． 故答案为：12． 例4-3．有这样一道题：当，时，求的值． 小明说：“本题中，是多余的条件．”小强马上反驳说：“这个多项式中含有和，不给出，的值怎么能求出多项式的值呢？”你同意哪位同学的观点？请说明理由． 【答案】小明的观点正确，见解析 【分析】本题考查整式的加减，熟练地对整式进行化简是解决本题的关键． 将原式化简，若结果中含有和，则小强的观点正确；否则，则小明的观点正确． 【详解】解：同意小明的观点．理由如下： ． 原式，与、的取值无关， 本题中，是多余的条件，小明的观点正确． 针对训练4 1．若关于的多项式不含二次项和一次项，求，的值． 【答案】， 【分析】此题考查了多项式中不含未知数的几次项问题，根据多项式不含二次项与一次项，得到两项系数为0，即可求出与的值． 【详解】解：多项式不含二次项和一次项， ，， 解得：，． 2．【问题呈现】 （1）已知代数式的值与x的值无关，求m的值； 【类比应用】 （2）将7张长为a，宽为b的小长方形纸片（如图①），按如图②的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的两部分的面积分别记为，，当的长度变化时，的值始终不变，求a与b的数量关系． 【答案】（1）3；（2） 【分析】本题主要考查了整式的混合运算及列代数式，读懂题意列出代数式是解决本题的关键． （1）根据题意，代数式，可化为，因为代数式的值与x无关，可得，即可得出答案； （2）设，算出阴影的面积分别为，即可得出面积的差为，因为S的取值与n无关，即． 【详解】解：（1）原式． 由题意得，含x项的系数为0，即． 所以． （2）设， 则，， 所以， 由题意得，含n项的系数为0，即． 3．已知：，． (1)求； (2)若的值与的值无关，求m，n满足的关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键 （1）由题意知，； （2）由题意知，，由的值与的值无关，可得，然后求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴； （2）解：由题意知， ． ∵的值与的值无关， ∴， 解得． 5..利用绝对值化简求值 正数的绝对值等于本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0 例5-1 .有理数在数轴上的位置如图所示． (1)化简：的值； (2)若，，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数轴可以得到，，然后即可将所求式子化简； （2）根据，，，，可得到的值，从而可求得所求式子的值． 【详解】（1）解：根据数轴图可知：，， ，，， ； （2）解： ，，，， ，，， ． 【点睛】本题考查了绝对值的性质、数轴，熟记绝对值的性质准确识图观察得出，是解题的关键． 例5-2．阅读材料：如图，，，，若A、B两点在数轴上分别表示有理数a、b，则．例如，表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离． 根据上述材料，解答下列问题： (1)，则______． (2)，则______． (3)，则______． (4)式子的最小值为______． (5)若，则______． 【答案】(1)4或； (2)3或 (3)1 (4)2 (5)6或 【分析】本题考查了绝对值的几何意义． （1）根据绝对值的意义求解即可； （2）根据绝对值的意义，可知表示与1两数在数轴上所对的两点之间的距离为2，即可求解； （3）根据绝对值的意义，结合数轴可知：数对应的点是3和对应点的中点时，，进而即可求解； （4）根据绝对值的意义，结合数轴可知：当数在数3和之间时，的值最小，进而即可求解； （5）分三种情况：当时，当时，当时，化简绝对值进行解答即可． 解答此类问题要用到数形结合和分类讨论的思想，理解绝对值的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：根据绝对值的意义可知：表示与原点两数在数轴上所对的两点之间的距离为4， ∴或， 故答案为：4或； （2）根据绝对值的意义可知：表示与1两数在数轴上所对的两点之间的距离为2， 结合数轴可知：或， 故答案为：3或； （3）根据绝对值的意义可知：表示与3两数在数轴上所对的两点之间的距离，表示与两数在数轴上所对的两点之间的距离， ∵， 结合数轴可知：数对应的点是3和对应点的中点， ∴， 故答案为：1； （4）根据绝对值的意义可知：表示与3两数在数轴上所对的两点之间的距离，表示与1两数在数轴上所对的两点之间的距离， 则表示，与3，1两数在数轴上的距离之和， 结合数轴可知：当数在数3和之间时，的值最小， 则，此时：， 故答案为：2； （5）∵， 当时，，解得：； 当时，，此时不存在是的； 当时，，解得：； 综上，或． 故答案为：6或． 针对训练5 1．绝对值的几何意义：表示一个数x在数轴上对应的点到原点的距离，表示a，b两数在数轴上对应两点之间的距离.解决下列问题： (1)若，则__________； (2)已知点P在数轴上对应的数是1，若a，b（）两数在数轴上对应点A，B之间的距离为12，且它们到P的距离相等，则__________，__________； (3)若，直接写出x的值. 【答案】(1)或3 (2)，7 (3)或 【分析】（1）根据绝对值的几何意义进行求解即可； （2）根据题意可知点P是的中点，则，据此求解即可； （3）由题意可分当和两种情况进行求解即可； 【详解】（1）解：由题意得表示的是一个数x在数轴上对应的点到1的距离为2， 表示的数为或3， 故答案为：或3； （2）解：由题意得：， ，， 故答案为：，7； （3）解：由题意可分当时，则原式化为， ； 当时，则有， ； 当时，，（不合题意，舍去） 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点距离，一元一次方程的应用，绝对值方程，绝对值的几何意义，正确理解题意是解题的关键． 2．同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索 (1)求|5﹣（﹣2）|＝　　． (2)找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7．这样的整数是　　． (3)由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由． 【答案】(1)7 (2)﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2 (3)|x﹣2|+|x﹣6|有最小值，最小值是3 【分析】（1）根据题目中的式子和绝对值可以解答本题； （2）利用分类讨论的数学思想可以解答本题； （3）根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【详解】（1）解：|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝7， 故答案为：7； （2）当x＞2时， |x+5|+|x﹣2|＝x+5+x﹣2＝7，解得，故此种情况不存在； 当﹣5≤x≤2时，|x+5|+|x﹣2|＝x+5+2﹣x＝7， 故﹣5≤x≤2时，使得|x+5|+|x﹣2|＝7的整数是-5、﹣4、﹣3、-2、-1、0、1、2； 当x＜﹣5时，|x+5|+|x﹣2|＝﹣x﹣5+2﹣x＝﹣2x-3＝7，解得与x＜﹣5矛盾，故此种情况不存在； 故答案为：-5、﹣4、﹣3、-2、-1、0、1、2； （3）|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3， 理由：当x＞6时，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+x﹣6＝2x﹣9＞3， 当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+6﹣x＝3， 当x＜3时，|x﹣3|+|x﹣6|＝3﹣x+6﹣x＝9﹣2x＞3， 故|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3． 【点睛】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点和绝对值，利用数轴和分类讨论的数学思想解答． 6 .利用非负性化简求值 一个数的绝对值是非负数，一个数的偶次方是非负数。 几个非负数的和等于0，每个非负数都是0 例6-1．先化简，再求值： ，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是非负数的性质，整式的加减运算中的化简求值，根据非负数的性质先求解，再去括号，计算整式的加减运算，最后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ， ， ． 当时， 原式， ． 例6-2．先化简，再求值：，其中x，y满足． 【答案】， 【分析】此题考查了整式加减中的化简求值，先利用去括号法则和合并同类项法则化简整式，再根据非负数的性质求出字母的值，再把字母的值代入化简结果计算即可． 【详解】解： ∵ ∴ ∴ ∴原式 针对训练6 1．先化简再求值： ，其 中 x，y 满 足 【答案】， 【分析】题目主要考查整式的化简求值及绝对值及平方的非负性，熟练掌握各个运算法则是解题关键． 先去括号，然后合并同类项即可；再由绝对值及平方的非负性确定，，代入求解即可． 【详解】解： = =， ∵，且，， ∴， ∴，， 原式=． 2．先化简，再求值，，其中x，y满足． 【答案】， 【分析】 本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，先去括号，然后合并同类项化简，再根据非负数的性质求出，最后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴原式． 3、 整式化简易错问题剖析 1. 易错点1： 对整式相关概念理解不透彻而出错 例1-1．在代数式中，单项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 错解：C 单独的数字、字母都是单项式，漏解0,0也是单项式 正解 【答案】D 【分析】本题主要考查了单项式，表示数或字母的积的式子叫做单项式，单个的数字和字母也是单项式，据此即可求解． 【详解】解：代数式中，单项式有, ，，共4个， 故选：D． 例1-2．下列说法中正确的是（    ） A．多项式的常数项是，二次项的系数是 B．单项式的系数和次数分别是，7 C．不是单项式 D．把按的降幂排列为 错解：B 单项式的系数是单项式的数字因数，π也是数字，所以系数为-5π 正解 【答案】A 【分析】本题考查了多项式，单项式，根据单项式和多项式的意义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、多项式的常数项是，二次项的系数是，本选项正确，符合题意； B、单项式的系数和次数分别是，6，本选项错误，不符合题意； C、是单项式，本选项错误，不符合题意； D、把按的降幂排列为，本选项错误，不符合题意． 故选：A． 例1-3．下列说法错误的是（    ） A．代数式，，都是整式 B．单项式的系数是，次数是2 C．多项式的项是， D．多项式是二次三项式 错解：C 多项式的项包括前面的符号，错误结论项是3x，π 正解 【答案】D 【分析】根据整式的定义，单项式的定义，多项式的定义，单项式的项和次数的定义，多项式的项和次数的定义依次判断即可． 【详解】A. 是多项式，是单项式，是单项式，都是整式，故A选项正确，不符合题意； B. 单项式的系数是，次数是2，故B选项正确，不符合题意； C. 多项式的项是，，故C选项正确，不符合题意； D. 多项式是三次三项式，故D选项错误，符合题意． 故选：D 【点睛】本题主要考查了整式的相关概念：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，几个单项式的和叫做多项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，多项式中每个单项式叫做这个多项式的项，多项式中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，单项式和多项式统称为整式．熟练掌握整式的相关概念是解题的关键． 针对训练1 1．下列各式，，，，，，中，整式有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据整式的定义，结合题意即可得出答案． 【详解】根据单项式和多项式统称为整式，则整式有：，，，，，共个， 故选：． 【点睛】此题考查了整式的定义：单项式和多项式统称为整式，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式．解题的关键是注意分式与整式的区别及正确记忆整式的类型． 2．单项式的系数是 ，次数是 ． 【答案】 6 【分析】本题主要考查了单项式的系数和次数的概念．根据单项式系数和次数的定义解答即可，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母指数的和叫做单项式的次数． 【详解】解：单项式的系数是，次数是6． 故答案为：，6 3．在，，，，，，单项式有 ．多项式有 ，整式有 ． 【答案】 ， ， ，，， 【分析】本题主要考查了单项式，多项式，整式的定义，熟知相关定义是解题的关键：表示数或字母的积的式子叫做单项式，几个单项式的和的形式叫做多项式，整式是单项式和多项式的统称．根据单项式，多项式，整式的定义逐一判断即可． 【详解】解：，是单项式； ，是多项式； ，，，是整式； 故答案为：，；，；，，，． 4．将下列代数式的序号填入相应的横线上． ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． （1）单项式： ； （2）多项式： ； （3）整式： ； （4）二项式： ． 【答案】 ③④⑨ ①②⑤ ①②③④⑤⑨ ②⑤ 【分析】根据单项式，多项式，整式，二项式的定义即可求解． 【详解】（1）单项式有：③，④0，⑨； （2）多项式有：①，②，⑤； （3）整式有：①，②，③，④0，⑤，⑨； （4）二项式有：②，⑤； 故答案为：（1）③④⑨；（2）①②⑤；（3）①②③④⑤⑨；（4）②⑤ 【点睛】本题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，多项式，整式，二项式的定义． 5．在代数式：，，a2b，，2x2+y+6xy中，单项式有 个． 【答案】2 【分析】直接利用单项式的定义分析得出答案． 【详解】在代数式：，，a2b，，2x2+y+6xy中，单项式有：，a2b，共2个． 故答案为2． 【点睛】本题考查了单项式，正确把握单项式的定义是解题的关键． 6．单项式的次数是 ． 【答案】8 【分析】根据单项式系数和次数的概念求解． 【详解】解：单项式， 的次数是， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了单项式，解题的关键是掌握一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 7．若关于m的多项式是三次三项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的次数和项，绝对值方程．熟练掌握多项式的次数和项是解题的关键． 由题意知，，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：∵是三次三项式， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：． 8．已知多项式是五次多项式，单项式与该多项式的次数相同，则 ． 【答案】 【分析】根据多项式的次数和单项式的次数的定义即可得出答案，单项式的次数是所有变量次数的和，多项式次数是其所有单项式次数最高的次数． 【详解】解：∵多项式是五次多项式， ，解得：， ∵单项式与该多项式的次数相同， ，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多项式的次数和单项式的次数的定义，掌握多项式中次数最高项的次数是多项式的次数是解题的关键． 2.易错点2： 对同类项辨析不清产生易错 例2-1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 错解：A 同类项概念理解不清，把5a,3b认为同类项而出错 正解 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项，根据合并同类项的法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并，原选项运算错误，不符合题意； B、不是同类项，不能合并，原选项运算错误，不符合题意； C、，原选项运算错误，不符合题意； D、，原选项运算正确，符合题意； 故选D． 针对训练2 1．若单项式与的和仍是单项式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类项的定义，掌握所含字母相同，相同字母的指数也相同的项是同类项是解题的关键． 【详解】解：根据题意可知与是同类项， ∴， 解得：， 故答案为：． 2．若与的和仍为单项式，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了同类项，熟练掌握“所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项”是解题的关键．根据同类项的定义可得出关于的方程，解之即可得出的值，将其相加即可得出结论． 【详解】解：∵单项式与的和仍为单项式， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 3.易错点3： 去括号忘记变号产生易错: 例3-1．下列去括号正确的是（　　） A． B． C． D． 错解：C 括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号． 正解 【答案】A 【分析】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号．顺序为先大后小． 应用去括号法则逐个计算即可得到结论． 【详解】解：A．，故此选项正确； B．，故此选项错误； C．，故此选项错误； D．，故此选项错误． 故选：A． 针对训练3 1．下列式子中，去括号后得的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查去括号，掌握去括号的法则，利用去括号的法则，逐一进行计算后，判断即可． 【详解】解：A、，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选A． 2．下列变形中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了去括号法则的应用，注意：当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号． 【详解】解：A、，原式变形正确，不符合题意； B、，原式变形错误，符合题意； C、，原式变形正确，不符合题意； D、，原式变形正确，不符合题意； 故选：B． 4.易错点4： 化简求值时，化简不熟练出错 例4-1 .先化简，再求值：，其中a=2,b=-1 错解：原式=2ab2+a2b-2a2b+2-3ab2-2 =-ab2-a2b 当a=2,b=-1时 原式=-2x(-1)2-22x1=-2-4=-6 正解 【答案】， 【分析】先去括号，合并同类项进行化简，再将a=2,b=-1 代入计算可求解. 【详解】解：原式 ， 当a=2,b=-1时 原式=-2x12 =-2 【点睛】本题主要考查整式的加减一化简求值，根据整式加减法法则化简是解题的关键. 针对训练4 1.先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】根据整式加减运算法则进行化简，然后代入数据进行计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 【点睛】本题主要考查了整式化简计算，解题的关键是熟练掌握整式加减运算法则，准确计算． 2 .先化简，再求值：，其中x＝，y＝2． 【答案】解：原式=， = =， 当x＝，y＝2时， 原式=． 【解析】 先去括号，再合并同类项，化简后代入值计算即可； 5.易错点5 整式加减与数轴、绝对值综合出错 例5-1．有理数在数轴上对应点的位置如图所示： (1)结合数轴可知：__________，__________．；（填“”或“”） (2)结合数轴化简：． 错解：(2)=b-1-(a-1)-a =b-1-a+1-a =b-2a 正解 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据、在数轴上的位置可得，然后比较和的大小； （2）根据、在数轴上的位置进行绝对值的化简，然后合并． 【详解】（1）由数轴知： ∴，， 故答案为：，． （2）∵， ∴， ∴原式． 【点睛】本题主要考查了关于数轴的知识以及有理数大小的比较，整式的加减，化简绝对值，解答本题的关键是根据、在数轴上的位置判断得出，然后比较大小． 针对练习5 1．有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)用“＞”或“＜”填空：a_____0，_____0，______0． (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查数轴表示数的意义和方法，绝对值、有理数的减法，正确判断各个代数式的符号是正确化简的关键． （1）根据有理数a、b、c在数轴上的位置，进而判断即可； （2）判断，的符号，再化简绝对值即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：，且， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解： ． 2．有理数、、在数轴上的位置如图： (1)比较大小（填“”或“”号）．①______；② ______；③______； (2)化简：． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了有关实数与数轴的简单应用，做题关键要掌握实数的大小比较，去绝对值． （1）根据数轴上的点表示的数的特点，比较大小． （2）利用绝对值的定义去绝对值，去括号，合并同类项． 【详解】（1）解：由数轴可得：，，且； ∴；；； （2）解：   ． 故答案为： 6.易错点6 整式加减中某项无关型问题产生易错 例6-1．关于的多项式的值与的取值无关，则 ． 错解：a=4,b=-1,(a-b)2=52=25 正解 【答案】1 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，将多项式合并同类项后，使含的项的系数为0，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：原式， ∵多项式的值与的取值无关， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1． 例6-2．已知关干x的多项式不含项和项，求m、n的值． 错解：m=5,n=1 正解 【答案】，； 【分析】本题考查整式的化简求值，先化简，再根据不含项和项其系数为0求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 原式， ∵不含项和项， ∴，， 解得：，， 故答案为：，． 针对训练6 1．已知：，． (1)计算：； (2)若的值与的取值无关，求的值； (3)如果，那么的表达式是什么？ 【答案】(1) (2)的值为 (3) 【分析】本题考查整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）合并同类项可得的最简结果； （2）若的值与y的取值无关，则，即可得出答案； （3）利用整式的加减先计算出即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 当的值与的取值无关时，， 解得，所以的值为； （3）解：由题意，得， ， ， ． 2．已知关于x的多项式A，B，其中，（m为有理数）． (1)化简； (2)若的结果不含项，求m的值． 【答案】(1)； (2)2． 【分析】（1）本题考查整式的加减运算，掌握整式的加减运算法则，即可解题． （2）本题考查整式不含某项，根据不含某项，即该项系数为零，建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：由题可知，，， ， ， ； （2）解：由（1）可知，， 的结果不含项， ， ． 3．（1）已知多项式，若多项式的值与字母x的取值无关，求a，b的值； （2）化简求值：，其中，． 【答案】（1），；（2），6 【分析】本题主要考查了整式加减运算及其化简求值，解题的关键是熟练掌握整式加减运算法则，准确计算． （1）先根据整式加减运算法则，将原式变形为，根据多项式的值与字母x的取值无关，得出，，求出结果即可； （2）先根据整式加减运算法则进行化简，然后在代入数据求值即可． 【详解】解：（1） ， 由题意，得，， 解得：，． （2） ， 当，时，原式． 7.易错点7 已知式子的值，求代数式的值不会变式出错 例7-1．已知，，则整式的值为（    ） A． B． C． D． 错解：A 变式时出现符号错误 正解 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式加减的化简求值，去括号，添括号，利用整体代入的思想求解是解题的关键． 先化简再把、整体代入到所求代数式中进行求解即可． 【详解】解：原式． 故选：B． 例7-2．若，，则（    ） A．0 B． C．2 D． 错解A 正解 【答案】B 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则． 根据整式的运算法则即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 原式=， 故选：B． 针对训练7 1．已知，，则代数式的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减和用代数式求值，关键将整式变形为含有所给数值的代数式．用提取公因式的方法将代数式进行变形，再将数值代入求值． 【详解】解： ， 把，代入， 则： ， 故选：D． 2．理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法，例如： 若 ，则   ； 我们将 作为一个整体代入，则原式 ． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若 ，则 ； (2)如果 ，求 的值； (3)若 ，求 的值． 【答案】(1) (2)15 (3)36 【分析】本题主要考查了整式的加减—化简求值，正确运用整体思想是解答的关键． （1）由可得，然后将作为一个整体代入计算即可； （2）将所求代数式化为，将作为一个整体代入计算即可． （3）先将所求代数式化为，然后将代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解： ∵， ∴． （3）解：∵， ∴． 3．先化简，再整体代入求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查的是整式的加减混合运算，化简求值，先去括号，再合并同类项，最后把，整体代入计算即可． 【详解】解： ； ∵，， ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $$