第05讲 有理数必考题型汇总（8大题型）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（浙教版2024）

第05讲 有理数必考题型汇总（8大题型） 题型一 具有相反意义的量 题型二 有理数的分类 题型三 数轴上的两点之间距离 题型四 数轴上的动点问题 题型五 有理数的大小比较 题型六 绝对值的化简 题型七 绝对值的非负性问题 题型八 有理数的简单应用 【必考题型一 具有相反意义的量】（共10小题） 1．（2024·浙江·七年级上·期中）如果把收入2024元记作，那么支出2024元记作（   ） A．2024 B． C． D． 2．（2024·浙江宁波·七年级上·期中）在东西走向的马路上，若把向东走记做，则向西走应记做（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）下列各对量中，不具有相反意义的是（    ） A．胜2局与负3局 B．盈利3万元与支出3万元 C．气温升高与气温为零下 D．转盘逆时针转3圈与顺时针转5圈 4．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）在下列选项中，不是具有相反意义的量的是（    ） A．气温升高3度与下降5度 B．盈利100元与支出100元 C．伸长与缩短 D．胜3局与负2局 5．（23-24七年级上·浙江·期中）收入500元记为元，则支出300元记为 元． 6．（22-23七年级上·浙江温州·期中）我国著名的数学书《九章算术》中明确提出了“正负术”，如果“盈”记为“”，那么“亏”可以记为 ． 7．（23-24七年级上·浙江·期中）如果水位升高2米时水位变化记作米，则水位下降5米时水位变化记作： 米． 8．（23-24七年级上·浙江温州·阶段练习）思考下面各对量：气温下降与气温为；小南向东走与小南向西走；收入元与亏损元；胜三局与负六局其中具有相反意义的量有 ．（填序号） 9．（21-22七年级上·全国·课后作业）（1）如果零上记作，那么零下记作什么？ （2）东、西为两个相反方向，如果表示一个物体向西运动，那么表示什么？物体原地不动记作什么？ （3）某仓库运进面粉记作，那么运出面粉应记作什么？ 10．（24-25七年级上·全国·随堂练习）写出与下面各量具有相反意义的量，并用正负数表示． (1)气温是零上8℃，零上为正； (2)向南走200米，向南为负； (3)转动转盘，顺时针转动5圈，顺时针旋转为正； (4)高于海平面8米，高于海平面为正． 【必考题型二 有理数的分类】（共10小题） 1．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）在，，，这个数中，负数有(　　)个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（22-23七年级上·浙江·阶段练习）在，3.14，，，中分数的个数是（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）在数，，，，2023，，，0，中，负整数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（2023七年级上·浙江·专题练习）下列说法中：是最小的整数；有理数不是正数就是负数；非负数就是正数；是无限不循环小数；正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23七年级上·浙江·阶段练习）把下列各数填到相应的括号里(只填编号即可)． ①；②1；③0；④；⑤；⑥． 正数：{                            }； 整数：{                            }； 分数：{                            }． 6．（22-23七年级上·贵州黔南·阶段练习）把下列各数填在相应的集合中： 15，，0.81，，，，，171，0，3.14，，． 正数集合｛                    …｝； 负分数集合｛                …｝； 有理数集合｛                …｝． 7．（2022七年级上·浙江·专题练习）把下列各数填入相应的集合中： +6，0.75，﹣3，0，﹣1.2，+8，，，9%， 正分数集合：{ …}； 正整数集合：{ …}； 整数集合：{ …}； 有理数集合：{ …}． 8．（2022七年级上·浙江·专题练习）把下列各数填在相应的集合内：﹣0.1，﹣9，，0，+16.71，1000，﹣，4，﹣26，﹣3.8，6%． 正有理数集合：{ …}； 负数集合：{ …}； 整数集合：{ …}； 分数集合：{ …}． 9．（22-23七年级上·浙江·阶段练习）把下列各数填到相应的括号里（只填编号即可） 自然数：{                      }； 整数：{                      }； 分数：{                      }； 非负有理数：{                      }． 10．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）把下列各数填入相应的括号里： ，，0，，，，，，3， 正整数{______……}； 正分数{______……}； 负数{______……}； 非正整数{______……}． 【必考题型三 数轴上的两点之间距离】（共10小题） 1．（23-24七年级上·浙江台州·期末）如图，数轴上的五个点满足，点A，表示的数分别是和，则在点A，，，对应的数中，最接近的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点A，B，C，O在数轴上，点O为原点，点A到点O的距离等于点O到点B的距离，点A到点B的距离等于点B到点C的距离．若点A表示的数是，则点C表示的数是（    ） A．9 B．6 C．﹣9 D．﹣6 3．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，数轴上点 表示的数分别是和2，且，则点表示的数是 （   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（23-24七年级上·浙江温州·期中）下图为刻度尺一部分，将其摆放在数轴上如图所示，刻度“”和“”分别对应数轴上的数0和2．若将刻度尺沿数轴向左平移1个单位，刻度“”对应数轴上的数为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·浙江台州·阶段练习）数轴上表示数和表示数的两点之间的距离是 6．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在数轴上点A表示的数是，点B表示的数是5，点P在数轴上，若，则点P表示的数是 ．    7．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）在一条可以折叠的数轴上，和表示的数分别是和，为之间的一点（不与重合），以点为折点，将此数轴向右对折，此时落在的右边，且与点相距个单位长度，则点表示的数为 ． 8．（23-24七年级上·浙江·周测）如图，数轴上、两点表示的数分别为，，将长为的线段摆放在数轴上，使得点与中点重合，则点表示的数 ．    9．（2023七年级上·浙江·专题练习）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索 (1)求____________； (2)同样道理表示数轴上有理数x所对点到和1005所对的两点距离相等，则______________ (3)类似的表示数轴上有理数x所对点到和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是_________________． (4)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 10．（22-23七年级上·河北沧州·期末）在一条不完整的数轴上有A、B两点，A、B表示的两个数a、b是一对相反数． (1)如果A、B之间的距离是3，写出a、b的值 (2)有一点P从B向左移动5个单位，到达Q点，如果Q点表示的数是，写出a、b的值 【必考题型四 数轴上的动点问题】（共10小题） 1．（22-23七年级上·浙江·期中）若在正方形的四个顶点处依次标上“我”“爱”“数”“学”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“我”“爱”对应的数分别为和，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“数”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2022对应的字是（    ）    A．我 B．爱 C．数 D．学 2．（23-24七年级上·重庆·阶段练习）一只跳蚤在数轴上从原点O开始沿数轴左右跳动，第1次向右跳1个单位长度，第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度……依此规律跳下去，当它第次落下时，落点处对应的数为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，正六边形（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点A、F对应的数分别为和，现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为0，连续翻转后数轴上这个数所对应的点是（    ）      A．A点 B．D点 C．E点 D．F点 4．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）把长为个单位长度的线段放在单位长度为的数轴上，则线段能盖住的整点有（   ） A．个 B．个 C．或个 D．或个 5．（2022·江苏常州·七年级上·期中）在数轴上，点A表示－2，若从点A出发，沿数轴的正方向移动5个单位长度到达点B，则点B表示的数是 ． 6．（20-21七年级上·浙江绍兴·阶段练习）一动点从数轴上的原点出发，按下列规则运动：沿数轴的正方向先前进5个单位，然后后退3个单位，如此反复进行；已知点每秒只能前进或后退1个单位．设表示第秒点在数轴上的位置所对应的数，则为 ． 7．（20-21七年级上·浙江杭州·期末）如图，在数轴上，点，点表示的数分别是，10，点以2个单位/秒的速度从出发沿数轴向右运动，同时点以3个单位/秒的速度从点出发沿数轴在，之间往返运动．当点到达点时，点表示的数是 ． 8．（19-20七年级上·浙江杭州·开学考试）如图所示，直径为单位1的硬币从1处沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是 ．（取3.14） 9．（22-23七年级上·山东青岛·单元测试）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，先向右爬行了4个单位长度到达点A，再向右爬行了2个单位长度到达点B，然后又向左爬行了10个单位长度到达点C． (1)画出数轴并标出A，B，C三点在数轴上的位置； (2)写出点A、B、C三点表示的数； (3)根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬行了几个单位长度得到的？ 10．（22-23七年级上·广东珠海·期中）已知数轴上有A，B两点，分别表示的数为，8，点P，Q分别从A，B同时出发，点P以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒．    (1)A，B两点之间的距离为__________，线段的中点C所表示的数__________； (2)点P所在位置的点表示的数为__________，点Q所在位置的点表示的数为__________（用含t的代数式表示）； (3)P、Q两点经过多少秒会相遇？ 【必考题型五 有理数的大小比较】（共10小题） 1．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）下列各数中，最小的数是（    ） A． B．0 C． D． 2．（2024·辽宁辽阳·三模）若将辽河的标准水位记为0米，则下列水位记录最接近标准水位的是（    ） A．米 B．米 C．米 D．1米 3．（2024·山东菏泽·七年级上·期中）在，，，这四个数中，绝对值最小的数是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·浙江衢州·七年级上·期中）家用冰箱冷冻室的温度需控制在到之间，则可将冷冻室的温度设为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23七年级上·浙江·阶段练习）比较大小： （填“”“”或“”）． 6．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）比较大小：（填“”或“”） 0； ． 7．（22-23七年级上·浙江嘉兴·期末）下列各数：，，，中，比小的数是 ． 8．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）比较大小：（1） ；（2） ． 9．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）在数轴上把下列各数表示出来，并用“”连接各数． ，，，0，． 10．（22-23七年级上·浙江台州·期末）（1）在数轴上分别表示出下列三个数：，，， （2）有理数m、n在数轴上的对应点如图所示： ①在数轴上分别表示出数， ， ②把，，，这四个数从小到大用“”号连接． 【必考题型六 绝对值的化简】（共10小题） 1．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）如果，那么的值是（    ） A．或3 B．或3 C．1或3 D．或 2．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）有理数在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．（23-24七年级上·广东广州·期中）如果a，b是非零有理数，那么的值不可能是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 4．（23-24七年级上·浙江·周测）已知实数，且，则化简正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（22-23七年级上·广东广州·期末）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简： ．    6．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知、、为非零有理数，请你探究以下问题： （1）当时， ； （2）的最小值为 ． 7．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知，且，，则的值为 ． 8．（22-23七年级上·浙江·期中）已知：，且．则 ． 9．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）有理数，在数轴上的对应点位置如图所示，且． (1)用“”连接这四个数：，，，； (2)填空： ， 填入“”、“”或“”； (3)化简：． 10．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）有理数，，，在数轴上的位置如图所示． (1)在横线上填“”或“”： ， ． (2)化简：． 【必考题型七 绝对值的非负性问题】（共10小题） 1．（2023七年级上·全国·专题练习）如果，则a+1一定是（   ） A．非正数 B．负数 C．非负数 D．正数 2．（21-22七年级上·湖南长沙·阶段练习）若与互为相反数，则a+b的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．0 D．3或﹣3 3．（20-21七年级上·浙江杭州·期末）若，则（    ） A．9 B． C．8 D． 4．（18-19七年级·浙江杭州·期中）已知，则a+b的值为（   ） A．10 B．2 C．-10 D．-2 5．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）若，则 ． 6．（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）当 时，有最小值，最小值是 ． 7．（22-23七年级上·湖南湘西·阶段练习）若有理数，满足，则 . 8．（2022七年级上·浙江·专题练习）当x＝ 时，代数式有最小值，且最小值为 ． 9．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）已知，，且，求的值． 10．（2023九年级·全国·专题练习）根据这条性质，解答下列问题： (1)当________时，有最小值，此时最小值为________； (2)已知，互为相反数，且，，求的值． 【必考题型八 有理数的简单应用】（共10小题） 1．（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）某班期末考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，表示得了（　　）分． A．86 B．83 C．87 D．80 2．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）如图，在生产图纸上通常用来表示某种产品合格直径的要求，则下列直径不合格的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·江苏淮安·阶段练习）下面分别是小张的爷爷、爸爸、妈妈和哥哥的身份证号码，那么小张哥哥的身份证号码是（   ） A．320826197602043618 B．320826197808143627 C．320826200207183395 D．320826195210053612 4．（22-23七年级上·福建漳州·期末）“英寸”是电视机常用尺寸，如图，“1时”即“1英寸”约为中学生大拇指第一节的长，则7英寸长相当于（    ） A．一支粉笔的长度 B．课桌的长度 C．教室门的宽度 D．数学课本的宽度 5．（23-24七年级上·浙江金华·期中）某种零件，标明要求是（表示直径，单位：毫米），有一个零件的直径为，则这个零件 （填“合格”或“不合格”） 6．（22-23七年级上·陕西西安·期末）某单位开展了职工健步走活动，职工每天健步走5000步即为达标．若小夏走了6200步，记为步，小辰走了4800步，记为 步． 7．（23-24七年级上·广东江门·阶段练习）一种零件的内径尺寸在图纸上是（单位：毫米），表示这种零件的标准尺寸是30毫米，加工要求最大不超过 毫米，最小不低于 毫米． 8．（22-23七年级上·湖南娄底·期末）中国古代的算筹计数法可追溯到公元前5世纪．摆法有纵式和横式两种（如图所示），以算筹计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……这样纵横依次交纵式  表示，  表示2369，则  表示 ．    9．（22-23七年级上·浙江金华·期末）某工厂为满足市场需求计划每天生产600件防护服，如表是某一周的生产情况（超产部分记为正，减产部分记为负，单位：件）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 +15 ﹣12 +10 ﹣15 ﹣8 +15 +20 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产　 　件； (2)该工厂实行计件工资制，每生产一件支付工资20元，本周该工厂应支付工人的工资总额是多少元？ 10．（22-23七年级上·全国·课后作业）甲、乙、丙三家商场都以万元购进了同一种货物，一周后全部销售完，结果甲、乙、丙三家商场收回资金分别为万元，万元，万元，若记盈利为正． (1)用正、负数表示三家商场的盈利情况 (2)哪家商场的效益最好哪家最差差距是多少万元 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 有理数必考题型汇总（8大题型） 题型一 具有相反意义的量 题型二 有理数的分类 题型三 数轴上的两点之间距离 题型四 数轴上的动点问题 题型五 有理数的大小比较 题型六 绝对值的化简 题型七 绝对值的非负性问题 题型八 有理数的简单应用 【必考题型一 具有相反意义的量】（共10小题） 1．（2024·浙江·七年级上·期中）如果把收入2024元记作，那么支出2024元记作（   ） A．2024 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：收入2024元记作，那么支出2024元记作， 故选：D 2．（2024·浙江宁波·七年级上·期中）在东西走向的马路上，若把向东走记做，则向西走应记做（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相反意义的量，熟练掌握正负的意义是解题的关键，根据题意得到向东走为正，则可得到向西走为负，即可得到答案． 【详解】解：由题可得：向东走记做， 则向西走向西走，应记作． 故选：B． 3．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）下列各对量中，不具有相反意义的是（    ） A．胜2局与负3局 B．盈利3万元与支出3万元 C．气温升高与气温为零下 D．转盘逆时针转3圈与顺时针转5圈 【答案】C 【分析】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量，一般情况下一对反义词具有相反意义． 【详解】解：A、胜局2与负3局具有相反意义，故本选项不符合题意； B、盈利3万元与亏损3万元具有相反意义，故本选项不符合题意； C、气温升高与气温升高没有相反意义，故本选项符合题意； D、转盘逆时针转3圈与顺时针转5圈具有相反意义，故本选项不符合题意． 故选：C． 4．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）在下列选项中，不是具有相反意义的量的是（    ） A．气温升高3度与下降5度 B．盈利100元与支出100元 C．伸长与缩短 D．胜3局与负2局 【答案】B 【分析】本题主要考查一对具有相反意义的量．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，从而确定一对具有相反意义的量． 【详解】解：A． 气温升高3度与下降5度，升高和下降是两个意义相反的量，故本选项不符合题意； B． 盈利100元与支出100元，盈利与支出不具有相反意义，盈利对亏损，支出对收入，故本选项符合题意； C． 伸长与缩短，伸长和缩短是两个意义相反的量，故本选项不符合题意； D． 胜3局与负2局，胜与负是两个意义相反的量，故本选项不符合题意； 故选：B． 5．（23-24七年级上·浙江·期中）收入500元记为元，则支出300元记为 元． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数的意义； 根据“正”和“负”的相对性，规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负，据此可得答案． 【详解】解：收入500元记为元，则支出300元记为元， 故答案为：． 6．（22-23七年级上·浙江温州·期中）我国著名的数学书《九章算术》中明确提出了“正负术”，如果“盈”记为“”，那么“亏”可以记为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：由已知得，“亏4“可记为. 故答案为： 7．（23-24七年级上·浙江·期中）如果水位升高2米时水位变化记作米，则水位下降5米时水位变化记作： 米． 【答案】 【分析】本题考查正数和负数，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义．根据正负数的意义即可求出答案． 【详解】解：如果水位升高2米时水位变化记作米，则水位下降5米时水位变化记作米． 故答案为：． 8．（23-24七年级上·浙江温州·阶段练习）思考下面各对量：气温下降与气温为；小南向东走与小南向西走；收入元与亏损元；胜三局与负六局其中具有相反意义的量有 ．（填序号） 【答案】②④/④② 【分析】明确具有相反意义的量，对选项逐一分析，排除错误选项． 【详解】解：①气温下降与气温上升意义相反，而气温下降与气温为不具有相反意义，故不符合题意； ②小南向东走与小南向西走具有相反意义，故符合题意； ③收入与支出，盈利与亏损是相反意义的量，而收入元与亏损元不具有相反意义，故不符合题意； ④胜三局与负六局具有相反意义，故符合题意． 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了正数和负数，明确什么是一对具有相反意义的量是解题的关键． 9．（21-22七年级上·全国·课后作业）（1）如果零上记作，那么零下记作什么？ （2）东、西为两个相反方向，如果表示一个物体向西运动，那么表示什么？物体原地不动记作什么？ （3）某仓库运进面粉记作，那么运出面粉应记作什么？ 【答案】（1）零下记作；（2）表示向东运动，物体原地不动记为；（3）运出记作 【分析】根据正数和负数的意义解答： （1）零上记为正，则零下记为负； （2）向西为负，则向东为正，原地不动记作零； （3）运进记为正，则运出记为负． 【详解】解：（1）零上记作，那么零下记作； （2）表示一个物体向西运动， 则表示向东运动，物体原地不动记为； （3）仓库运进面粉记作，那么运出记作． 【点睛】本题考查了正数和负数，明确正数和负数表示的相反意义的两个量是解题的关键． 10．（24-25七年级上·全国·随堂练习）写出与下面各量具有相反意义的量，并用正负数表示． (1)气温是零上8℃，零上为正； (2)向南走200米，向南为负； (3)转动转盘，顺时针转动5圈，顺时针旋转为正； (4)高于海平面8米，高于海平面为正． 【答案】(1)气温是零下 (2)向北走200米，米 (3)逆时针转动转盘5圈，圈 (4)低于海平面8米，米 【分析】正数和负数是用来表示具有相反意义的量；依据正数和负数的认识，结合相反数意义的量找出与零上相反的量是零下，同理解答其他小题．本题主要考查了正确的掌握正负数的概念，解答本题的关键就是读懂题意． 【详解】（1）解：依题意，气温是零下，即； （2）解：依题意，向北走200米，米 （3）解：依题意，逆时针转动转盘5圈，即圈 （4）解：依题意，低于海平面8米，即米 【必考题型二 有理数的分类】（共10小题） 1．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）在，，，这个数中，负数有(　　)个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】 本题考查了有理数的分类，根据负数的定义，即可求解． 【详解】 在，，，中，负数有，，共个． 故选：B． 2．（22-23七年级上·浙江·阶段练习）在，3.14，，，中分数的个数是（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的定义是解答本题的关键．有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．根据分数的定义解答即可． 【详解】在，3.14，，，中 分数有3.14，，，，共4个． 故选：B． 3．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）在数，，，，2023，，，0，中，负整数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查负整数的概念，掌握负整数的概念：符号为负号的整数是关键． 【详解】解：，， 因此负整数有，，共3个， 故选：B． 4．（2023七年级上·浙江·专题练习）下列说法中：是最小的整数；有理数不是正数就是负数；非负数就是正数；是无限不循环小数；正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的定义、分类依此作出判断，即可得出答案． 【详解】解：没有最小的整数，故错误， 0既不是正数也不是负数，但是有理数，故错误， 非负数是正数和，故错误， 是无限循环小数，故错误， 正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，故正确， 综上可知，错误的说法为， 故选：． 【点睛】此题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 5．（22-23七年级上·浙江·阶段练习）把下列各数填到相应的括号里(只填编号即可)． ①；②1；③0；④；⑤；⑥． 正数：{                            }； 整数：{                            }； 分数：{                            }． 【答案】①②⑥；②③⑤；①④⑥． 【分析】根据有理数的分类，将题目中已知的有理数填入相应的括号即可 【详解】解：正数：{①②⑥}； 整数：{②③⑤}； 分数：{①④⑥}． 故答案为：①②⑥；②③⑤；①④⑥． 【点睛】此题主要考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解答此题的关键． 6．（22-23七年级上·贵州黔南·阶段练习）把下列各数填在相应的集合中： 15，，0.81，，，，，171，0，3.14，，． 正数集合｛                    …｝； 负分数集合｛                …｝； 有理数集合｛                …｝． 【答案】；； 【分析】根据有理数分类逐一判断即可． 【详解】解：正数集合； 负分数集合； 有理数集合． 【点睛】本题考查有理数分类，熟练掌握有理数分类是解题的关键． 7．（2022七年级上·浙江·专题练习）把下列各数填入相应的集合中： +6，0.75，﹣3，0，﹣1.2，+8，，，9%， 正分数集合：{ …}； 正整数集合：{ …}； 整数集合：{ …}； 有理数集合：{ …}． 【答案】 0.75，，9% +6，+8 +6，﹣3，0，+8 +6，0.75，﹣3，0，﹣1.2，+8，，，9% 【分析】直接根据有理数的分类进行解答即可． 【详解】解：正分数集合：{0.75， ，9%…}； 正整数集合：{+6，+8…}； 整数集合：{+6，﹣3，0，+8…}； 有理数集合：{+6，0.75，﹣3，0，﹣1.2，+8，，，9%…}． 故答案为：0.75，，9%；+6，+8；+6，﹣3，0，+8；+6，0.75，﹣3，0，﹣1.2，+8，，，9%． 【点睛】本题考查的是有理数和绝对值，掌握正分数、正整数、整数、有理数的概念是解决此题关键． 8．（2022七年级上·浙江·专题练习）把下列各数填在相应的集合内：﹣0.1，﹣9，，0，+16.71，1000，﹣，4，﹣26，﹣3.8，6%． 正有理数集合：{ …}； 负数集合：{ …}； 整数集合：{ …}； 分数集合：{ …}． 【答案】 ，+16.71，1000，4，6% ﹣0.1，﹣9，，﹣26，﹣3.8 ﹣9，0，1000，4，﹣26 ﹣0.1，，+16.71，，﹣3.8，6% 【分析】根据有理数的分类即可求出答案． 【详解】解：正有理数集合：{，+16.71，1000，4，6%…}； 负数集合：{﹣0.1，﹣9，，﹣26，﹣3.8…}； 整数集合：{﹣9，0，1000，4，﹣26…}； 分数集合：{﹣0.1，，+16.71，，﹣3.8，6%…}． 故答案为：，+16.71，1000，4，6%；﹣0.1，﹣9，，﹣26，﹣3.8；﹣9，0，1000，4，﹣26；﹣0.1，，+16.71，，﹣3.8，6%． 【点睛】本题考查有理数的分类，知道有理数分为整数和分数是关键． 9．（22-23七年级上·浙江·阶段练习）把下列各数填到相应的括号里（只填编号即可） 自然数：{                      }； 整数：{                      }； 分数：{                      }； 非负有理数：{                      }． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查有理数的分类，掌握正数，负数，正数，分数的概念，是解题的关键．根据有理数的分类，即可得到答案． 【详解】自然数：{②④⑤}； 整数：{②④⑤⑦}； 分数：{①③⑥⑧⑨}； 非负有理数：{①②③④⑤⑨}． 10．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）把下列各数填入相应的括号里： ，，0，，，，，，3， 正整数{______……}； 正分数{______……}； 负数{______……}； 非正整数{______……}． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，根据正整数定义、正分数定义、负数定义、非正整数定义填空即可．解题的关键是掌握有理数的分类． 【详解】解：正整数，3，； 正分数，，，； 负数，，，，； 非正整数，，，． 【必考题型三 数轴上的两点之间距离】（共10小题） 1．（23-24七年级上·浙江台州·期末）如图，数轴上的五个点满足，点A，表示的数分别是和，则在点A，，，对应的数中，最接近的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，用数轴上点表示有理数，根据数轴上两点间距离公式，先求出，再求出，然后求出点B、C、D表示的数，最后进行判断即可． 【详解】解析：∵，， ∴， ∴点B表示的数为：， 点C表示的数为：， 点D表示的数为：， 与最接近的数为点． 故选：C． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，点A，B，C，O在数轴上，点O为原点，点A到点O的距离等于点O到点B的距离，点A到点B的距离等于点B到点C的距离．若点A表示的数是，则点C表示的数是（    ） A．9 B．6 C．﹣9 D．﹣6 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴上两点间的距离，数轴上点表示的数，由点A表示的数是，点A到点O的距离等于点O到点B的距离，可得出点B表示的数是3，再由点A到点B的距离等于点B到点C的距离可得出则点C表示的数是9． 【详解】解：∵点A表示的数是， ∴， ∵点A到点O的距离等于点O到点B的距离， ∴， ∴点B表示的数是3． ∴， ∵点A到点B的距离等于点B到点C的距离， ∴， ∴则点C表示的数是9． 故选：A． 3．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，数轴上点 表示的数分别是和2，且，则点表示的数是 （   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴上点之间的距离，根据线段相等列出方程是解题的关键．设点C表示的数为x，根据列出方程即可求得点C表示的数． 【详解】解：设点C表示的数为x； 因为表示的数分别是和2； 所以； ； 因为； 所以； 解得：； 所以点C表示的数为：5； 故选：C． 4．（23-24七年级上·浙江温州·期中）下图为刻度尺一部分，将其摆放在数轴上如图所示，刻度“”和“”分别对应数轴上的数0和2．若将刻度尺沿数轴向左平移1个单位，刻度“”对应数轴上的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，根据题意可求出刻度尺上在数轴上表示的距离为，移动后刻度尺上对应数轴上的原点，则移动后刻度“”对应数轴上的数为． 【详解】解：由题意得，刻度尺上的在数轴上表示的距离为， ∴刻度尺上在数轴上表示的距离为， 将刻度尺沿数轴向左平移1个单位，刻度尺上对应数轴上的原点， ∴移动后刻度“”对应数轴上的数为， 故选B． 5．（23-24七年级上·浙江台州·阶段练习）数轴上表示数和表示数的两点之间的距离是 【答案】5 【分析】本题考查数轴上两点间的距离．根据数轴上两点的距离公式计算出结果． 【详解】解：由题意得， 故答案是：5． 6．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在数轴上点A表示的数是，点B表示的数是5，点P在数轴上，若，则点P表示的数是 ．    【答案】1 【分析】本题考查数轴，首先分析出点P的位置，再进行计算即可．正确记忆数轴上的点的特征是解题关键． 【详解】解：在数轴上点A表示的数是，点B表示的数是5， ∴， 由题意可知点P在线段之间，， ∴P到A点的距离为4， ∴P点表示的数为：1． 故答案为：1． 7．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）在一条可以折叠的数轴上，和表示的数分别是和，为之间的一点（不与重合），以点为折点，将此数轴向右对折，此时落在的右边，且与点相距个单位长度，则点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数轴上两点之间距离的计算，中点的计算，理解数轴的折叠，掌握两点之间距离的计算，中点的计算方法“”是解题的关键． 【详解】解：∵和表示的数分别是和，折叠后，落在的右边，且与点相距个单位长度， ∴点与表示的数为的点重合， ∴， ∴点表示的数为， 故答案为：． 8．（23-24七年级上·浙江·周测）如图，数轴上、两点表示的数分别为，，将长为的线段摆放在数轴上，使得点与中点重合，则点表示的数 ．    【答案】1或 【分析】此题考查了数轴的应用，求得的中点表示的数，分两种情况，当在的左边或在的右边时，求出点P表示的数，即可求解． 【详解】解：由题意可得：，的中点表示的数为， 即点P表示的数为， 当在的左边时，此时点Q表示的数为， 当在的右边时，此时点Q表示的数为， 故答案为：或 9．（2023七年级上·浙江·专题练习）同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索 (1)求____________； (2)同样道理表示数轴上有理数x所对点到和1005所对的两点距离相等，则______________ (3)类似的表示数轴上有理数x所对点到和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是_________________． (4)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)7 (2) (3) (4)3 【分析】（1）化简绝对值求解； （2）有理数x所对点在和1005所对的两点之间，化简绝对值，求解； （3）该点到所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为7，整数x可为； （4）当有理数x所对点在和6所对的两点之间时，有最小值，最小值为． 【详解】（1）解：； （2）解：由题知，，得 ； （3）解：式子理解为：在数轴上，某点到所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为7， 所以满足条件的整数x可为； （4）解：表示数轴上有理数x所对点到和6所对的两点距离之和， 当有理数x所对点在和6所对的两点之间时，有最小值，最小值为． 【点睛】本题考查数轴上两点间距离计算；理解两点间距离公式是解题的关键． 10．（22-23七年级上·河北沧州·期末）在一条不完整的数轴上有A、B两点，A、B表示的两个数a、b是一对相反数． (1)如果A、B之间的距离是3，写出a、b的值 (2)有一点P从B向左移动5个单位，到达Q点，如果Q点表示的数是，写出a、b的值 【答案】(1)、； (2)， 【分析】（1）由相反数的定义及两点间的距离公式可得a、b的值； （2）求出、的长即可求出a、b的值． 【详解】（1）∵点A、B表示互为相反数的两个数，a，，且A、B之间的距离为3， ∴、； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了数轴和相反数，关键是掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 【必考题型四 数轴上的动点问题】（共10小题） 1．（22-23七年级上·浙江·期中）若在正方形的四个顶点处依次标上“我”“爱”“数”“学”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“我”“爱”对应的数分别为和，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“数”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2022对应的字是（    ）    A．我 B．爱 C．数 D．学 【答案】A 【分析】根据规律可知，“我”字是数字除以4余2的，“爱”是除以4余3的，“数”是能被4整除的，“学”是除以4余1的，由此可以推出连续翻滚后数轴上数2022对应的字． 【详解】由题意得，“我”字是数字除以4余2的，“爱”是除以4余3的，“数”是能被4整除的，“学”是除以4余1的， ， 所以数字对应“我”， 故选：A． 【点睛】本题考查了数轴及翻转的性质，根据翻转变化规律确定每4次翻转为一次循环组是解题的关键． 2．（23-24七年级上·重庆·阶段练习）一只跳蚤在数轴上从原点O开始沿数轴左右跳动，第1次向右跳1个单位长度，第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度……依此规律跳下去，当它第次落下时，落点处对应的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】数轴上点的移动规律是“左加右减”，依据规律计算即可． 【详解】解：由题可得： = =， 故答案选：B． 【点睛】本题考查了数轴与图形的变化，数轴上点的移动规律是“左加右减”，把数和点对应起来，数形结合是解答本题的关键． 3．（22-23七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，正六边形（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点A、F对应的数分别为和，现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为0，连续翻转后数轴上这个数所对应的点是（    ）      A．A点 B．D点 C．E点 D．F点 【答案】D 【分析】由题意可知，E、D、C、B、A、F、分别对应的点是0、1、2、3、4、5，可知其翻转6次一周，由此可以确定出数轴上这个数所对应的点． 【详解】解：正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转第一圈时E、D、C、B、A、F、分别对应的点是0、1、2、3、4、5， ∴翻转6次一周， ∴， 数轴上这个数所对应的点是F点， 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴，以及图形类规律探究，根据题意找出规律进行求解是解决本题的关键． 4．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）把长为个单位长度的线段放在单位长度为的数轴上，则线段能盖住的整点有（   ） A．个 B．个 C．或个 D．或个 【答案】D 【分析】根据题意把长为1个单位长度的线段放在单位长度为1的数轴上，可能盖住2个或1个点，以此类推，找出规律即可解答． 【详解】解：个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 故答案为：D． 【点睛】此题考查了数轴规律题，解题的关键是根据题意分情况找出规律． 5．（2022·江苏常州·七年级上·期中）在数轴上，点A表示－2，若从点A出发，沿数轴的正方向移动5个单位长度到达点B，则点B表示的数是 ． 【答案】3 【分析】根据向右加的运算法则，计算-2+5的结果就是点B表示的数． 【详解】根据题意，得点B表示的数是-2+5=3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，熟练掌握新数的表示方法是解题的关键． 6．（20-21七年级上·浙江绍兴·阶段练习）一动点从数轴上的原点出发，按下列规则运动：沿数轴的正方向先前进5个单位，然后后退3个单位，如此反复进行；已知点每秒只能前进或后退1个单位．设表示第秒点在数轴上的位置所对应的数，则为 ． 【答案】508 【分析】根据题意，可以发现点P运动的特点，然后即可求得x2020的值． 【详解】解：由题意可得， 第5秒表示的数为5，第8秒表示的数为，第13秒表示的数为，第16秒表示的数为7-3=4,▪▪▪， ∵， ∴， 故答案为：508. 【点睛】本题考查数轴上的动点问题，熟练掌握整数除法的应用是解题关键 ． 7．（20-21七年级上·浙江杭州·期末）如图，在数轴上，点，点表示的数分别是，10，点以2个单位/秒的速度从出发沿数轴向右运动，同时点以3个单位/秒的速度从点出发沿数轴在，之间往返运动．当点到达点时，点表示的数是 ． 【答案】1 【分析】根据点A、B表示的数可得出线段AB的长度，利用时间＝路程÷速度可求出当点P到达点B时点P、Q运动的时间，再由点Q的出发点、速度及运动时间可得出当点P到达点B时点Q在数轴上表示的数． 【详解】解：∵点A表示的数为−8，点B表示的数为10， ∴线段AB的长度为10−（−8）＝18， ∴当点P到达点B时，点P、Q运动的时间为18÷2＝9（秒）， ∴当点P到达点B时，点Q在数轴上表示的数为−8＋（3×9－18）＝1． 故答案为：1． 【点睛】此题考查了数轴上的动点问题，掌握求数轴上两点间距离以及准确利用行程问题的数量关系求解是解题的关键． 8．（19-20七年级上·浙江杭州·开学考试）如图所示，直径为单位1的硬币从1处沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，则A点表示的数是 ．（取3.14） 【答案】-3.14 【分析】由题意可知点A到原点的距离为π，点A在原点的左侧，因此所表示的数为-π． 【详解】解：∵点A到原点的距离就是直径为1的圆的周长π，且点A在原点的左侧， ∴点A所表示的数为-π=-3.14， 故答案为：-3.14． 【点睛】此题主要考查了数轴，正确得出圆的周长是解题关键． 9．（22-23七年级上·山东青岛·单元测试）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，先向右爬行了4个单位长度到达点A，再向右爬行了2个单位长度到达点B，然后又向左爬行了10个单位长度到达点C． (1)画出数轴并标出A，B，C三点在数轴上的位置； (2)写出点A、B、C三点表示的数； (3)根据点C在数轴上的位置，点C可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬行了几个单位长度得到的？ 【答案】(1)见解析 (2)A点表示的数是4、B点表示的数是6、C点表示的数是 (3)向左爬行4个单位长度 【分析】（1）画出数轴并标出A，B，C三点即可求解； （2）根据（1）中所画数轴写出即可； （3）根据正负数在轴上的意义“向右为正，向左为负”来解答． 【详解】（1）如图所示： （2）A点表示的数是4、B点表示的数是6、C点表示的数是； （3）∵C点坐标是， ∴可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬行4个单位长度得到的． 【点睛】本题考查了数轴，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点． 10．（22-23七年级上·广东珠海·期中）已知数轴上有A，B两点，分别表示的数为，8，点P，Q分别从A，B同时出发，点P以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒．    (1)A，B两点之间的距离为__________，线段的中点C所表示的数__________； (2)点P所在位置的点表示的数为__________，点Q所在位置的点表示的数为__________（用含t的代数式表示）； (3)P、Q两点经过多少秒会相遇？ 【答案】(1)18； (2)； (3) 【分析】（1）根据两点间的距离公式和中点坐标公式即可求解； （2）根据左减右加即可求解； （3）根据路程和=速度和×时间列方程求解可得． 【详解】（1）A、B两点的距离为，线段的中点C所表示的数； 故答案为：18；； （2）点P所在的位置的点表示的数为，点Q所在位置的点表示的数为（用含t的代数式表示）； 故答案为：；； （3）若P、Q两点相遇，则 解得 【点睛】本题主要考查两点间的距离及一元一次方程的实际应用能力，根据路程和=速度和×时间，列出方程是解题的关键． 【必考题型五 有理数的大小比较】（共10小题） 1．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）下列各数中，最小的数是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数大小比较的法则，解题的关键是牢记法则，此题比较简单，易于掌握． 根据有理数大小比较的法则依次判断即可：①正数都大于0； ②负数都小于0；③正数大于一切负数； ④两个负数，绝对值大的其值反而小． 【详解】解：根据有理数大小比较的法则可直接判断出：， 故选：D． 2．（2024·辽宁辽阳·三模）若将辽河的标准水位记为0米，则下列水位记录最接近标准水位的是（    ） A．米 B．米 C．米 D．1米 【答案】B 【分析】该题主要考查了有理数比较大小，解题的关键是掌握有理数比较大小法则． 先比较四个数字的绝对值大小，即可判断哪个数离0最接近． 【详解】解：， ∵， ∴下列水位记录最接近标准水位的是米， 故选：B． 3．（2024·山东菏泽·七年级上·期中）在，，，这四个数中，绝对值最小的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：（1）正数都大于0；（2）负数都小于0；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数，绝对值大的其值反而小． 首先求出，0，2，这四个数的绝对值，然后根据有理数大小比较的方法判断即可． 【详解】解：，，，， ， 在，0，2，这四个数中，绝对值最小的数是0． 故选：B． 4．（2024·浙江衢州·七年级上·期中）家用冰箱冷冻室的温度需控制在到之间，则可将冷冻室的温度设为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数大小的比较，根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴在到之间的是， 故选：C． 5．（22-23七年级上·浙江·阶段练习）比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数大小比较，有理数大小比较法则：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．掌握有理数的比较大小方法是解题的关键．根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小判断即可． 【详解】∵， ∵ ∴． 故答案为：． 6．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）比较大小：（填“”或“”） 0； ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小进行求解即可． 【详解】解：，，则， 故答案为：；． 7．（22-23七年级上·浙江嘉兴·期末）下列各数：，，，中，比小的数是 ． 【答案】 【分析】根据比所有的负数大，所有的正数小，先排除和，分别求出，，，的绝对值，根据负数绝对值大的反而小，即可求解， 本题考查了有理数的比较大小，解题的关键是：熟练掌握有理数比较大小的法则． 【详解】解：负数正数， ，， ，，，， ， 故答案为：． 8．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）比较大小：（1） ；（2） ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数比较大小、绝对值，根据有理数比较大小的方法及去绝对值即可求解，熟练掌握有理数比较大小的方法是解题的关键． 【详解】解：， ， 故答案为：；． 9．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）在数轴上把下列各数表示出来，并用“”连接各数． ，，，0，． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查了相反数、绝对值、在数轴上表示有理数、利用数轴比较有理数的大小，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 先化简各数，再利用数轴表示出各数，最后利用数轴比较大小即可． 【详解】解：，， 将各数表示在数轴上如图所示： 由数轴可得，将各数用“”连接起来为：． 10．（22-23七年级上·浙江台州·期末）（1）在数轴上分别表示出下列三个数：，，， （2）有理数m、n在数轴上的对应点如图所示： ①在数轴上分别表示出数， ， ②把，，，这四个数从小到大用“”号连接． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；② 【分析】（1）先化简各数，再在数轴上表示各数即可； （2）①由，再利用相反数的含义在数轴上描出，即可；②利用数轴比较，，，的大小即可． 【详解】解：（1）∵，，， 在数轴上表示如下图， （2）①∵， ∴， 在数轴上分别表示数，如下图； ②由数轴可得：． 【点睛】本题考查的是在数轴上表示有理数，相反数的含义，绝对值的含义，绝对值的化简，利用数轴比较有理数的大小，掌握以上基础知识是解本题的关键． 【必考题型六 绝对值的化简】（共10小题） 1．（23-24七年级上·浙江绍兴·阶段练习）如果，那么的值是（    ） A．或3 B．或3 C．1或3 D．或 【答案】B 【分析】本题考查的绝对值的应用，以及化简求值．根据，即a、b全为正数时，或a、b为一正一负时，或a、b全负时分类讨论计算即可． 【详解】解：， 设时， ， 或时， ，或， 时， ， 综上可得：或， 故选：B． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）有理数在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的化简，数轴，根据数轴可以得到，然后即可将所求式子的绝对值去掉，再化简即可． 【详解】解：由数轴可得：， ； 故选：C． 3．（23-24七年级上·广东广州·期中）如果a，b是非零有理数，那么的值不可能是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，分4种情况，根据绝对值的性质计算，考查分类讨论的数学思想． 【详解】解：当，时，原式； 当，时，原式； 当，时，原式； 当，时，原式； ∴原式的值不可能是1， 故选：B． 4．（23-24七年级上·浙江·周测）已知实数，且，则化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，得出，，再根据绝对值的性质进行化简，然后合并同类项即可． 【详解】解：， ，． ． 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键． 5．（22-23七年级上·广东广州·期末）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简： ．    【答案】 【分析】本题考查了数轴的性质，绝对值的化简，整式的加减，正确化简绝对值是解答本题的关键；先判断出然后根据绝对值的意义化简． 【详解】解：由图可得： 故 ， 故答案为：． 6．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知、、为非零有理数，请你探究以下问题： （1）当时， ； （2）的最小值为 ． 【答案】 【分析】（1）根据绝对值的性质得当时，则，由此可得出答案； （2）根据、、为非零有理数，可分为以下四种情况进行讨论：①当、、均为正时，则 ，， ，；②当、、两正一负时，不妨假设，，，则 ，， ，；③当、、一正两负时，不妨假设，，，则 ，， ，；④当、、均为负时，则 ，， ，；根据每一种情况求出式子的值即可得出答案． 【详解】（1）解：、、为非零有理数，且， ， ， 故答案为：； （2）解：、、为非零有理数， ∴有以下四种情况： 当、、均为正时，则 ，， ，， ； 当、、两正一负时，不妨假设，，，则 ，， ，， ； 当、、一正两负时，不妨假设，，，则 ，， ，， ； 当、、均为负时，则 ，， ，， ； 综上所述：的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了绝对值的性质，理解题意，熟练掌握绝对值的意义是解答此题的关键；分类讨论是解答此题的难点，也是易错点． 7．（23-24七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知，且，，则的值为 ． 【答案】或 【分析】根据进行化简，判断、的取值，代值计算即可． 【详解】解：因为，， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以，， 当，时， ； 当，时， ； 故答案：或． 【点睛】本题考查了利用绝对值的性质进行化简，掌握性质是解题的关键． 8．（22-23七年级上·浙江·期中）已知：，且．则 ． 【答案】6或或0或 【分析】 根据得出a、b、c为三个正数，或一个正数，两个负数，然后进行分类讨论即可：①当时，②当时，③当时，④当时． 【详解】解：∵， ∴a、b、c为三个正数，或一个正数，两个负数， ①当时，， ②当时，， ③当时，， ④当时，， 故答案为：6或或0或． 【点睛】本题主要考查了绝对值的化简，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，并分类讨论． 9．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）有理数，在数轴上的对应点位置如图所示，且． (1)用“”连接这四个数：，，，； (2)填空： ， 填入“”、“”或“”； (3)化简：． 【答案】(1) (2)， (3)0 【分析】本题考查有理数的大小比较、数轴、绝对值： （1）根据数轴上的点左边的数比右边的数小即可判断； （2）根据数轴和相反数的性质可得答案； （3）利用绝对值的性质即可解决问题． 解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）解：根据数轴得：； （2）解：由数轴可得，，， ，； 故答案为：，； （3）解：由图可知：，，，， 原式 ， ． 10．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）有理数，，，在数轴上的位置如图所示． (1)在横线上填“”或“”： ， ． (2)化简：． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）根据数轴得到，，，，之间的关系，结合有理数加减法则即可得到答案； （）根据绝对值的性质去绝对值化简即可得到答案； 本题考查了数轴上点之间关系，有理数加减运算法则，绝对值的性质，解题的关键是根据数轴得到式子与的关系． 【详解】（1）解：由数轴可得，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：由（）可得， 原式 ． 【必考题型七 绝对值的非负性问题】（共10小题） 1．（2023七年级上·全国·专题练习）如果，则a+1一定是（   ） A．非正数 B．负数 C．非负数 D．正数 【答案】C 【分析】直接根据绝对值的非负性判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故a+1一定是非负数， 故选C． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，绝对值等于一个正数的数有2个，它们是互为相反数的关系． 2．（21-22七年级上·湖南长沙·阶段练习）若与互为相反数，则a+b的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．0 D．3或﹣3 【答案】A 【分析】先根据相反数的定义可得，再根据绝对值的非负性可得，，从而可得，然后代入计算即可得． 【详解】解：与互为相反数， ， 又， ，， 解得， 则， 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数、绝对值的非负性、一元一次方程的应用，利用非负数互为相反数得出这两个数均为零0是解题关键． 3．（20-21七年级上·浙江杭州·期末）若，则（    ） A．9 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】根据非负数的性质可知，a-2=0，b-3=0，解出a、b值代入计算即可． 【详解】∵， ∴a-2=0，b-3=0， ∴a=2，b=3， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了非负数的性质，代数式求值，掌握非负数的性质是解题的关键． 4．（18-19七年级·浙江杭州·期中）已知，则a+b的值为（   ） A．10 B．2 C．-10 D．-2 【答案】B 【分析】根据绝对值和平方的非负数性质可求出a、b的值，进而可得答案. 【详解】∵， ∴a+4=0，b-6=0， ∴a=-4，b=6， ∴a+b=-4+6=2， 故选B. 【点睛】本题考查绝对值和平方的非负数性质，如果几个非负数的和为0，那么这几个非负数都为0.熟练掌握非负数的性质是解题关键. 5．（23-24七年级上·安徽阜阳·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，直接利用绝对值的非负性得出，的值，进而代入即可得出答案，正确得出，的值是解题关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 6．（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）当 时，有最小值，最小值是 ． 【答案】 【分析】根据，可得结论． 【详解】解：∵， ∴当时，有最小值，最小值是． 故答案为：，． 【点睛】本题考查的是绝对值的非负数的性质，掌握绝对值的意义是解题的关键． 7．（22-23七年级上·湖南湘西·阶段练习）若有理数，满足，则 . 【答案】 【分析】由绝对值的非负性，求出，，然后代入计算，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴； 故答案为：1． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握绝对值的非负性，正确的求出，． 8．（2022七年级上·浙江·专题练习）当x＝ 时，代数式有最小值，且最小值为 ． 【答案】 4 7 【分析】根据绝对值的非负性解答即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴当，即x＝4时，代数式有最小值7． 故答案为：4，7． 【点睛】本题主要考查绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解决本题的关键． 9．（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）已知，，且，求的值． 【答案】或 【分析】先根据绝对值的定义和性质求得a、b的值，然后分情况代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 当、时，； 当、时，； 综上，或． 【点睛】本题主要考查了绝对值的定义和性质，掌握绝对值的非负性以及分类讨论思想是解答本题的关键． 10．（2023九年级·全国·专题练习）根据这条性质，解答下列问题： (1)当________时，有最小值，此时最小值为________； (2)已知，互为相反数，且，，求的值． 【答案】(1)； (2)/ 【分析】（1）根据，可知，即最小值为，此时，解出即可； （2）根据，互为相反数，可知，再去绝对值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，有最小值， ∴， 故答案为：；． （2）解：∵，互为相反数， ∴， 又∵，， ∴ ． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，整式的绝对值的求解，对绝对值性质的理解和掌握是解答本题的关键． 【必考题型八 有理数的简单应用】（共10小题） 1．（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）某班期末考试数学的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，表示得了（　　）分． A．86 B．83 C．87 D．80 【答案】D 【分析】本题考查正负数的概念，关键是掌握正负数表示的实际意义．由正负数的概念可计算． 【详解】解：平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分， 则 表示得了80分， 故选：D． 2．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）如图，在生产图纸上通常用来表示某种产品合格直径的要求，则下列直径不合格的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正数和负数的知识，根据题意可得出合格的范围，从而可判断出直径是是否合格，读懂题意，求出合格的范围是解题的关键． 【详解】由题意得，合格范围为：到， ∵，且A、B、C三个选项的数值在与内， ∴直径为的轴为不合格产品， 故选：． 3．（22-23七年级上·江苏淮安·阶段练习）下面分别是小张的爷爷、爸爸、妈妈和哥哥的身份证号码，那么小张哥哥的身份证号码是（   ） A．320826197602043618 B．320826197808143627 C．320826200207183395 D．320826195210053612 【答案】C 【分析】根据7～10位找出出生的年份，推算出年龄，最后根据年龄确定身份． 【详解】解：A、320826197602043618指1976年出生，是爸爸或者妈妈的身份证号； B、320826197808143627指1978年出生，是爸爸或者妈妈的身份证号； C、320826200207183395指2002年出生，是哥哥的身份证号； D、320826195210053612指1952年出生，是爷爷的身份证号． 故选：C． 【点睛】本题是考查身份证的数字编码问题，身份证上：前六位是地区代码；7～14位是出生日期；15～17位是顺序码，第18位是校验码． 4．（22-23七年级上·福建漳州·期末）“英寸”是电视机常用尺寸，如图，“1时”即“1英寸”约为中学生大拇指第一节的长，则7英寸长相当于（    ） A．一支粉笔的长度 B．课桌的长度 C．教室门的宽度 D．数学课本的宽度 【答案】D 【分析】1英寸约为大拇指第一节的长大约有3～4厘米，7英寸长是它的7倍． 【详解】解：根据题意可得1英寸约为大拇指第一节的长，大约有3～4厘米， 所以7英寸长相当于数学课本的宽度． 故选：D． 【点睛】本题考查了数学常识，基本的计算能力和估算的能力，属于基础题，解答时可联系生活实际去解． 5．（23-24七年级上·浙江金华·期中）某种零件，标明要求是（表示直径，单位：毫米），有一个零件的直径为，则这个零件 （填“合格”或“不合格”） 【答案】合格 【分析】本题主要考查正负数在实际生活中的应用，由知合格范围在和之间．根据合格范围判断即可． 【详解】解：根据题意，标明要求是， 即直径最小为：，直径最大为：， 即合格范围为：到之间， ∵属于这个范围， ∴这个零件合格． 故答案为：合格． 6．（22-23七年级上·陕西西安·期末）某单位开展了职工健步走活动，职工每天健步走5000步即为达标．若小夏走了6200步，记为步，小辰走了4800步，记为 步． 【答案】 【分析】以5000步为达标，多正少负，计算即可． 【详解】解：∵5000步达标地，6200步记为步， ∴（步），低于5000步记为负， ∴4800步记为步， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正数和负数，解答本题的关键是掌握正负数的定义． 7．（23-24七年级上·广东江门·阶段练习）一种零件的内径尺寸在图纸上是（单位：毫米），表示这种零件的标准尺寸是30毫米，加工要求最大不超过 毫米，最小不低于 毫米． 【答案】 30.05 29.95 【分析】根据正负数的意义可进行求解． 【详解】解：由题意可知：加工该零件要求最大不超过30.05毫米，最小不低于29.95毫米； 故答案为30.05；29.95． 【点睛】本题主要考查正负数的意义，熟练掌握正负数的意义是解题的关键． 8．（22-23七年级上·湖南娄底·期末）中国古代的算筹计数法可追溯到公元前5世纪．摆法有纵式和横式两种（如图所示），以算筹计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……这样纵横依次交纵式  表示，  表示2369，则  表示 ．    【答案】 【分析】根据题意可得，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，当个位有一根斜着的数筹时，代表负数，再根据数筹表示的数字规则，依次得出各个数位上对应的数字即可． 【详解】解：根据题意可得：  表示， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正数和负数，解题的关键是读懂题目，找出数筹和数字的对应关系． 9．（22-23七年级上·浙江金华·期末）某工厂为满足市场需求计划每天生产600件防护服，如表是某一周的生产情况（超产部分记为正，减产部分记为负，单位：件）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 +15 ﹣12 +10 ﹣15 ﹣8 +15 +20 (1)产量最多的一天比产量最少的一天多生产　 　件； (2)该工厂实行计件工资制，每生产一件支付工资20元，本周该工厂应支付工人的工资总额是多少元？ 【答案】(1)35 (2)84500元 【分析】（1）根据正负数的意义确定星期日的产量最多，星期四的产量最少，然后用星期日的产量减去星期四的产量即可； （2）求出一周产量的和，然后根据工资总额的计算方法，列式计算即可． 【详解】（1）（件）， ∴产量最多的一天比产量最少的一天多生产35件， 故答案为：35． （2） （件）， （元）， ∴本周该工厂应支付工人的工资总额是84500元． 【点睛】本题考查了正数和负数，理解“用正数和负数表示具有相反意义的量”是解决本题的关键． 10．（22-23七年级上·全国·课后作业）甲、乙、丙三家商场都以万元购进了同一种货物，一周后全部销售完，结果甲、乙、丙三家商场收回资金分别为万元，万元，万元，若记盈利为正． (1)用正、负数表示三家商场的盈利情况 (2)哪家商场的效益最好哪家最差差距是多少万元 【答案】(1)甲：+2万元、乙：-0.2万元、丙：+0.2万元； (2)甲商场的效益最好，乙商场的最差，相差2.2万元， 【分析】（1）在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示； （2）由（1）直接得出结果即可． 【详解】（1）解：“正”和“负”相对，所以，若高于8万元，记作“+”，那么低于8万元，应记作“-”．则10万元、7.8万元、8.2万元分别记作甲：+2万元、乙：-0.2万元、丙：+0.2万元． 故甲：+2万元、乙：-0.2万元、丙：+0.2万元； （2）从（1）中可以看出甲商场的效益最好，乙商场的最差，相差2.2万元， 【点睛】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$