第02讲 轴对称图形—2024-2025学年苏科版数学八年级上册同步培优

苏科版数学八年级上册培优精讲精练 学科网·数学梦工厂出品 第02讲 轴对称图形 板块一、学习目标 1. 理解轴对称图形与轴对称的概念，知道这两者之间的区别与联系； 2. 能正确识别轴对称图形，并能指出对称点和对称轴； 3. 理解轴对称的性质； 4. 掌握线段的垂直平分线的概念、及其性质定理、判定定理； 5. 掌握角平分线的性质定理和判定定理； 6. 掌握等腰三角形的定义、性质定理、判定定理； 7. 掌握直角三角形斜边中线的性质。 板块二、思维导图 板块三、知识详解 知识点1：轴对称图形与轴对称 1.轴对称图形 定义：如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴. 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 2.轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴. 成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. 3.轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的. 联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． 知识点2：线段的轴对称性 1. 线段的轴对称性：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴。 2. 线段的垂直平分线的性质、点在垂直平分线上的判定 性质 点在垂直平分线上的判定 图形 文字语言 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 符号语言 作用 证明线段相等 证明某个点在线段的垂直平分线上 3. 线段的垂直平分线的尺规作图方法： 1.分别以A,B为圆心，大于AB的一半为半径画弧，交于C,D两点； 2.过C,D两点作直线CD,则CD即为线段AB的垂直平分线 知识点3：角的轴对称性 1.角的轴对称性：角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴。 2.角平分线的性质定理、判定定理： 性质定理 判定定理 图形 文字语言 角平分线上的点到角两边的距离相等。 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 符号语言 作用 证明线段相等 证明角相等 知识点4：等腰三角形的轴对称性 1.等腰三角形的轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是顶角平分线所在直线。 2.等腰三角形的性质定理： 性质 文字语言 符号语言 图形语言 等边对等角 等腰三角形的两底角相等 三线合一 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合 4. 等腰三角形的判定方法： 方法一：定义法 有两边相等的三角形是等腰三角形； 方法二：判定定理（等角对等边） 文字语言：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称为“等角对等边”） 符号语言： 名师点拨： “等边对等角”与“等角对等边”有什么区别，何时用？ · 等边对等角是性质，作用是用于证明角的相等，只能用于一个三角形内的两个角； · 等角对等边是判定，作用是用于证明线段的相等，只能用于一个三角形内的两条线段。 知识点5：等边三角形的轴对称性 1.等边三角形定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. 2．等边三角形性质： ①轴对称性：是轴对称图形，有3条对称轴； ②等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°； ③等边三角形的三边相等； ④三线合一； 3．等边三角形的判定方法： 方法一：定义法 三条边都相等的三角形是等边三角形； 方法二：三角相等法 三个角都相等的三角形是等边三角形(判定1)； 方法三：等腰+60度法 有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.（判定2最常用） 知识点6：直角三角形的斜边中线性质定理 文字语言：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 符号语言： 知识点7：直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半 文字语言：直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半. 符号语言： 板块四 典型例题 题型1 利用轴对称的性质计算 如图，在直角三角形中，，，，．D、E分别是边、上的动点，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．3 题型2 最短路径问题 （1）如图，草原上两个居民点A，B在河流l的同侧，一辆汽车从A出发到B，途中需要到河边加水，汽车在哪一点加水，可使行驶的路程最短？在图中画出该点，并说明理由． （2）嘉淇同学秋游时，发现一位农民伯伯正在浇地，这块地的外形如图所示的，其中边在一条水渠上，这位农民伯伯想在地中再新开一条水渠，把水引到顶点A处，且水渠把地块平分成面积相等的两部分． ①这条水渠是的________（填“中线”、“角平分线”或“高”）； ②请在图中画出水渠的位置，并说明水渠把三角形地块平分成面积相等的两部分的理由． 题型3 利用垂直平分线的性质解决问题 如图，中，于点D，于点E，与交于点F． (1)求证：； (2)若点E恰在线段的垂直平分线上，求证：． 题型4 利用角平分线的性质计算或证明 如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)试说明垂直平分； (2)若，求的长． 题型5 等腰三角形的分类讨论问题 如图，在中，，D为边上一点．线段将分成了两个三角形，其中为直角三角形，为等腰三角形，则的度数为 ． 题型6 等腰三角形的性质和判定综合应用 如图1，为等腰三角形，，是线段的中点，过点作射线和射线，分别交边，于点，，． (1)与相等吗？为什么？ (2)与相等吗？为什么？ (3)如图2，若，，，试求的最小值． 题型7 等边三角形的性质和判定综合应用 如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 题型8利用直角三角形性质解决问题 如图，在等腰中，顶角，点D是边的中点，连接，作于点E，再作交于点F．   (1)求证：； (2)若，则的面积为______． 板块五 培优精练 一、选择题（本大题共8小题） 1．下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（　　）． A． B．C． D． 3．（2024·河北·中考真题）如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 第3题 第4题 4．如图，将长方形纸片按如图方式折叠，已知，则（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，平分，交于点，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 第5题 第6题 6．如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点， 作直线交于点，连接，则的周长为（　　） A． B． C． D． 7．如图，中，，且，垂直平分，交于点，交于点，若周长为16，，则为（   ） A．5 B．8 C．9 D．10 第7题 第8题 8．（2024·四川巴中·中考真题）如图，在中，是的中点，，与交于点，且．下列说法错误的是（    ）   A．的垂直平分线一定与相交于点 B． C．当为中点时，是等边三角形 D．当为中点时， 二、填空题（本大题共8小题） 9．（2024·北京东城·一模）在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为 ． 第9题 第10题 10．如图，的周长为，分别以A、B为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧交于点D、E，直线与边交于点F，与边交于点G，连接，的周长为，则的长为 ．   11．如图，小聪和小明玩跷跷板游戏，支点O是跷路板的中点（即），支柱垂直于地面，两人分别坐在跷跷板A，B两端，当A端落地时，，则上下可转动的最大角度 ． 12．如图，，，则图中的等腰三角形有 个． 第12题 第13题 13．如图，在中，，，沿过点A的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，若，则的长是 ． 14．如图，已知，是的平分线，将三角尺的直角顶点P放在射线上，两直角边分别与交于点C，D，，垂足为点N，，则四边形的面积为 ． 第14题 第15题 第16题 15．如图，射线线段，垂足为B，，垂足为D，，，．点E为射线l上的一动点，当的周长最小时， ． 16．如图，在四边形中，．若的角平分线交于E，连接，且边平分，得到如下结论：①；②；③若，则；④若，则的取值范围为，那么以上结论正确的是 ． 三、解答题（本大题共4小题） 17．已知，如图中，，垂直平分交于点，试说明： (1) (2)如图（2），若于点，与相交于点，试说明： (3)在（1）（2）条件下，若平分，试说明： 18．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在中，，于D． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法） (2)连结，判断和的数量关系，并说明理由． 19．如图，是的中线，在上取一点，连接并延长交于点，使．求证：． 20．（2024·浙江·模拟预测）如图，是等腰三角形，．设． (1)如图1，点D在线段上，若，求的度数（用含的代数式表示）． (2)如图2，已知．若，过点B作于点H，求证：． 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$苏科版数学八年级上册培优精讲精练 学科网·数学梦工厂出品 第02讲 轴对称图形 板块一、学习目标 1. 理解轴对称图形与轴对称的概念，知道这两者之间的区别与联系； 2. 能正确识别轴对称图形，并能指出对称点和对称轴； 3. 理解轴对称的性质； 4. 掌握线段的垂直平分线的概念、及其性质定理、判定定理； 5. 掌握角平分线的性质定理和判定定理； 6. 掌握等腰三角形的定义、性质定理、判定定理； 7. 掌握直角三角形斜边中线的性质。 板块二、思维导图 板块三、知识详解 知识点1：轴对称图形与轴对称 1.轴对称图形 定义：如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴. 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 2.轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴. 成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. 3.轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的. 联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． 知识点2：线段的轴对称性 1. 线段的轴对称性：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴。 2. 线段的垂直平分线的性质、点在垂直平分线上的判定 性质 点在垂直平分线上的判定 图形 文字语言 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 符号语言 作用 证明线段相等 证明某个点在线段的垂直平分线上 3. 线段的垂直平分线的尺规作图方法： 1.分别以A,B为圆心，大于AB的一半为半径画弧，交于C,D两点； 2.过C,D两点作直线CD,则CD即为线段AB的垂直平分线 知识点3：角的轴对称性 1.角的轴对称性：角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴。 2.角平分线的性质定理、判定定理： 性质定理 判定定理 图形 文字语言 角平分线上的点到角两边的距离相等。 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 符号语言 作用 证明线段相等 证明角相等 知识点4：等腰三角形的轴对称性 1.等腰三角形的轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是顶角平分线所在直线。 2.等腰三角形的性质定理： 性质 文字语言 符号语言 图形语言 等边对等角 等腰三角形的两底角相等 三线合一 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合 4. 等腰三角形的判定方法： 方法一：定义法 有两边相等的三角形是等腰三角形； 方法二：判定定理（等角对等边） 文字语言：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称为“等角对等边”） 符号语言： 名师点拨： “等边对等角”与“等角对等边”有什么区别，何时用？ · 等边对等角是性质，作用是用于证明角的相等，只能用于一个三角形内的两个角； · 等角对等边是判定，作用是用于证明线段的相等，只能用于一个三角形内的两条线段。 知识点5：等边三角形的轴对称性 1.等边三角形定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. 2．等边三角形性质： ①轴对称性：是轴对称图形，有3条对称轴； ②等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°； ③等边三角形的三边相等； ④三线合一； 3．等边三角形的判定方法： 方法一：定义法 三条边都相等的三角形是等边三角形； 方法二：三角相等法 三个角都相等的三角形是等边三角形(判定1)； 方法三：等腰+60度法 有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.（判定2最常用） 知识点6：直角三角形的斜边中线性质定理 文字语言：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 符号语言： 知识点7：直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半 文字语言：直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半. 符号语言： 板块四 典型例题 题型1 利用轴对称的性质计算 如图，在直角三角形中，，，，．D、E分别是边、上的动点，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质，垂线段最短，等积法求高，作点关于的对称点，过点作于点，交于点，连接，得到此时有最小值，再根据求出的长，即可得到答案． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，过点作于点，交于点，连接， 由对称的性质可知，，，， ，此时有最小值， ，，， ， ， ，即的最小值为， 故选：A 题型2 最短路径问题 （1）如图，草原上两个居民点A，B在河流l的同侧，一辆汽车从A出发到B，途中需要到河边加水，汽车在哪一点加水，可使行驶的路程最短？在图中画出该点，并说明理由． （2）嘉淇同学秋游时，发现一位农民伯伯正在浇地，这块地的外形如图所示的，其中边在一条水渠上，这位农民伯伯想在地中再新开一条水渠，把水引到顶点A处，且水渠把地块平分成面积相等的两部分． ①这条水渠是的________（填“中线”、“角平分线”或“高”）； ②请在图中画出水渠的位置，并说明水渠把三角形地块平分成面积相等的两部分的理由． 【答案】（1）见解析；（2）①中线；②见解析． 【分析】本题考查的是轴对称的性质，三角形的中线的含义； （1）作点A关于l的对称点，连接交l于C，结合轴对称的性质与两点之间线段最短可得点C即为所求． （2）①由三角形的中线等分三角形的面积，可得答案；②利用三角尺确定的中点，再连接，利用三角形的面积公式可得即为所求； 【详解】（1）解：作点A关于l的对称点，连接交l于C，点C即为所求． ∵点A与点关于直线l对称， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小． （2）①∵三角形的中线等分三角形的面积， ∴这条水渠是的中线； ②如图，为水渠，即边的中线为； 作于点D， ∵边的中线为， ∴． ∵，， ∴， ∴三角形的中线把三角形地块平分成面积相等的两部分． 题型3 利用垂直平分线的性质解决问题 如图，中，于点D，于点E，与交于点F． (1)求证：； (2)若点E恰在线段的垂直平分线上，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质等知识 ： （1）由“”可证，可得； （2）连接，证明；，得出是的垂直平分线，得出，故可得结论 【详解】（1）证明：∵于点D， ∴ ∵ ∴ ∴， ∵于点E， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， （2）证明：连接 ∵E在垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 题型4 利用角平分线的性质计算或证明 如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)试说明垂直平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)4 【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定等知识，证明是解题的关键． （1）利用角平分线的性质证明，证明，则，即可证明结论； （2）根据列式计算即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，分别是和的高． ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 题型5 等腰三角形的分类讨论问题 如图，在中，，D为边上一点．线段将分成了两个三角形，其中为直角三角形，为等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理、三角形外角定理，分和两种情况进行解答即可． 【详解】解：∵为直角三角形， ∴的三个内角的度数分别为，，， 当时， ∵是等腰三角形，那么只存在这种情况， ∴ ∵， ∴， 当时，，，那么只存在这种情况， ∴ ∵， ∴， 综上可知，的度数为或， 故答案为：或． 题型6 等腰三角形的性质和判定综合应用 如图1，为等腰三角形，，是线段的中点，过点作射线和射线，分别交边，于点，，． (1)与相等吗？为什么？ (2)与相等吗？为什么？ (3)如图2，若，，，试求的最小值． 【答案】(1)，原因见解析 (2)，原因见解析 (3)最小值为15 【分析】（1）利用等角的补角相等即可证得； （2）过点作，，分别交于，，通过证得，即可得到结论； （3）易证得为等边三角形，则，求最小值即为求的最小最小值，作点关于直线对称点，连接，，，，，由对称的性质可得，求最小值即为求最小值，最小值为的长度，求得的长即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：过点作，，分别交于，，如图所示： 是线段的中点且为等腰三角形， 平分， ，， ，， 在和中， ， ， ； （3）解：由（2）可知， ， 为等边三角形， ， 求的最小值，即为求的最小值， 作点关于直线对称点，连接，，，，，由对称的性质可得， 求最小值即为求最小值， 最小值为的长度， 则最小值为的长度， 由对称的性质可得． ，，， 为等腰三角形，， ， ， 为等边三角形， 由等边三角形对称性可得， 是线段的中点， ， ， ，， ， 最小值为15． 题型7 等边三角形的性质和判定综合应用 如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)当或或时，是等腰三角形 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定等知识． （1）根据全等三角形的性质得到，，再证明，即可证明是等边三角形； （2）先求出，根据全等的性质得到，即可求出，从而得到是直角三角形； （3）分别表示出，，，分①，②，③三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形． 理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ， ∴． ①当时，则，即，∴； ②当时，则，即，∴； ③当时，则，即，∴． 综上所述：当或或时，是等腰三角形． 题型8利用直角三角形性质解决问题 如图，在等腰中，顶角，点D是边的中点，连接，作于点E，再作交于点F．   (1)求证：； (2)若，则的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线，三角形中线的性质等知识，解题的关键是： （1）利用等腰三角形的性质得出，，利用余角的性质可得出，，利用等边对等角得出，，取中点G，连接，利用直角三角形斜边上中线的性质得出，利用等边对等角得出，然后利用含的直角三角形的性质即可得证； （2）利用（1）中求出，利用直角三角形斜边上中线的性质求出，则可求的面积，然后利用三角形中线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵，点D是边的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 取中点G，连接，    ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵， ∴， ∵，G为中点， ∴， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， 故答案为：4． 板块五 培优精练 一、选择题（本大题共8小题） 1．下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了轴对称图形，根据轴对称图形的概念，把一个图形沿着某条直线折叠，两边能够重合的图形是轴对称图形；据此判断选择．关键是掌握轴对称图形的概念． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2．小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（　　）． A． B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称-最短路线的问题，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题．会作对称点是解此类问题的基础，要求学生能熟练掌握，并熟练应用．另外本题的解决还应用了三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边．先作点关于街道的对称点，再根据三角形的两边之和大于第三边，得出，再进行边的等量代换，即可作答． 【详解】解：如图：作点关于街道的对称点，连接交街道所在直线于点， ， ， 在街道上任取除点以外的一点，连接，，， ， 在中，两边之和大于第三边， ， ， 点到两小区送奶站距离之和最小． 故选：C． 3．（2024·河北·中考真题）如图，与交于点O，和关于直线对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 第3题 第4题 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称图形的性质即可判断B、C选项，再根据垂直于同一条直线的两条直线平行即可判断选项D． 【详解】解：由轴对称图形的性质得到，， ∴， ∴B、C、D选项不符合题意， 故选：A． 4．如图，将长方形纸片按如图方式折叠，已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 先利用平行线的性质可得，然后利用折叠的性质可得：，再利用平角定义进行计算即可解答． 【详解】解：在长方形中：， ， 由折叠得：， ， 故选：D． 5．如图，在中，，平分，交于点，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 第5题 第6题 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到两边的距离相等． 过点作垂线交于点，根据角平分线的性质即可得到的长度，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：过点作垂线交于点， ∵平分，，， ∴， ∴的面积为． 故选：B． 6．如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点， 作直线交于点，连接，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图，线段的垂直平分线的性质，依据垂直平分，即可得出，进而得到，再根据，，即可得出的周长，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：依据作图可得，垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴的周长为， 故选：． 7．如图，中，，且，垂直平分，交于点，交于点，若周长为16，，则为（   ） A．5 B．8 C．9 D．10 第7题 第8题 【答案】A 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质．根据三角形的周长公式求出，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：周长为16， ， ， ， 垂直平分， ， ，， ， ， ， 故选：A． 8．（2024·四川巴中·中考真题）如图，在中，是的中点，，与交于点，且．下列说法错误的是（    ）   A．的垂直平分线一定与相交于点 B． C．当为中点时，是等边三角形 D．当为中点时， 【答案】D 【分析】连接，根据，点是的中点得，则，进而得点在线段的垂直平分线上，由此可对选项Ａ进行判断；设，根据得，的，再根据得，则，由此可对选项Ｂ进行判断；当为中点时，则，是线段的垂直平分线，由此得，然后根据，，得，由此可对选项Ｃ进行判断；连接并延长交于，根据是等边三角形得，则，进而得，，由此得，，由此可对选项Ｄ进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：连接，如图1所示：   ，点是的中点， 为斜边上的中线， ， ， ， 点在线段的垂直平分线上， 即线段的垂直平分线一定与相交于点，故选项A正确，不符合题意； 设， ， ， ， ， ， ， 即，故选B正确，不符合题意； 当为中点时，则， ， 是线段的垂直平分线， ， ，，， ， ， 是等边三角形，故选C正确，不符合题意； 连接，并延长交于，如图2所示：      当为中点时， 点为的中点， 根据三角形三条中线交于一点得：点为的中点， 当为中点时，是等边三角形， ，，平分，平分， ， ， 在中，， ， ， ，， ，故选项D不正确，符合题意． 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题） 9．（2024·北京东城·一模）在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为 ． 第9题 第10题 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理及角平分线的判定定理，熟练应用角平分线的判定定理是解题关键，先证，再求出即可求出结论． 【详解】解：，，且， ， ，， ， 故答案为：35． 10．如图，的周长为，分别以A、B为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧交于点D、E，直线与边交于点F，与边交于点G，连接，的周长为，则的长为 ．   【答案】/厘米 【分析】本题考查了作图基本作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】解：由画图可知： 是的垂直平分线， ，， 的周长为，即， ， 的周长为，即， ， 故答案为：． 11．如图，小聪和小明玩跷跷板游戏，支点O是跷路板的中点（即），支柱垂直于地面，两人分别坐在跷跷板A，B两端，当A端落地时，，则上下可转动的最大角度 ． 【答案】40 【分析】根据题意，得，结合，得到，结合平角定义计算即可． 本题考查了等腰三角形三线合一性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：40． 12．如图，，，则图中的等腰三角形有 个． 第12题 第13题 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有6个． 故答案为：6 13．如图，在中，，，沿过点A的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，若，则的长是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了折叠的性质，等边对等角．由折叠的性质可得：，，，进而证得，得到． 【详解】解：由折叠的性质可得：，，，， ， ， ，即， ， ， ， 故答案为：3． 14．如图，已知，是的平分线，将三角尺的直角顶点P放在射线上，两直角边分别与交于点C，D，，垂足为点N，，则四边形的面积为 ． 第14题 第15题 第16题 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，等腰三直角三角形的判定和性质．先根据角平分线的性质得出，再证明，是等腰直角三角形，证明，则，根据即可求出答案． 【详解】解：过点作于点， 是的平分线，，， ，， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，    故答案为：． 15．如图，射线线段，垂足为B，，垂足为D，，，．点E为射线l上的一动点，当的周长最小时， ． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积公式，作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则，，证明出、为等腰直角三角形，得出，当、、在同一直线上时，的周长最小，最后由三角形面积公式计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接，， ， 则，， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， 的周长， 当、、在同一直线上时，的周长最小，， 当的周长最小时，， 故答案为：3． 16．如图，在四边形中，．若的角平分线交于E，连接，且边平分，得到如下结论：①；②；③若，则；④若，则的取值范围为，那么以上结论正确的是 ． 【答案】①③④ 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得，又、都是角平分线，可以推出，从而得到，然后延长交的延长线于点，先证明，再根据全等三角形对应边相等得到，然后证明，从而可以证明①③④正确，②不正确． 【详解】， 、分别是、的平分线， ， ， ， 如图，延长交延长线于， ， ， 平分， ， 在与中， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ，故①正确， ， ，即点为的中点， ∵为不一定相等， ∴为不一定相等，故②错误， 若，则是斜边上的中线，则，故③正确， ， ∴的取值范围为，故④正确． 综上所述，正确的有①③④．故答案为：①③④． 三、解答题（本大题共4小题） 17．已知，如图中，，垂直平分交于点，试说明： (1) (2)如图（2），若于点，与相交于点，试说明： (3)在（1）（2）条件下，若平分，试说明： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据垂直平分线得到，，进而证明，即可得出结论； （2）由直角三角形两锐角互余，得出，进而得到，再利用“”即可证明全等； （3）结合角平分线的定义，易证，得到，再根据（2）可知，，即可证明结论． 【详解】（1）证明：垂直平分， ，， ， ， ； （2）证明：，， ，， ，， , ， ， 在和中， ， ； （3）证明：平分， ， 在和中， ， ， ， 由（2）可知，， ， ． 18．（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在中，，于D． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F．（保留作图痕迹，不写作法） (2)连结，判断和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了尺规作图：作线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质是关键． （1）按作线段垂直平分线的尺规作图方法完成即可； （2）由等腰三角形的性质知，A点在线段的垂直平分线上，则，由垂直平分线的性质，则，由三角形外角的性质得． 【详解】（1）解：线段的垂直平分线如下图所示； （2）解：； 理由如下： 是线段的垂直平分线， ，， ， A点在线段的垂直平分线上， ，， ， ； ， ， 由三角形外角的性质得． 19．如图，是的中线，在上取一点，连接并延长交于点，使．求证：． 【答案】见解析 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，理解题意，作出辅助线是解题关键． 延长至H，使得，连接，根据全等三角形的判定得出，再由其性质确定，根据等量代换及等角对等边即可证明． 【详解】证明：如图，延长至H，使得，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， ∵， ， ， ∴， ∴． 20．（2024·浙江·模拟预测）如图，是等腰三角形，．设． (1)如图1，点D在线段上，若，求的度数（用含的代数式表示）． (2)如图2，已知．若，过点B作于点H，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质定理， （1）根据等腰三角形的性质可得，设，，解出方程组，即可求解； （2）延长，交于点F，过点A作于点E．根据，可得 ．再由等腰三角形的性质可得    ，从而得到，，进而得到，然后根据角平分线的性质定理，可得，即可求证． 【详解】（1）解：∵， ∴． 设，，则 解得：， 即； （2）解：如图，延长，交于点F，过点A作于点E． ∵，． ∴． 又∵， ∴     ∵， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 第2页 学科网（北京）股份有限公司 $$