3.6 圆内接四边形（6大题型提分练）数学浙教版九年级上册

九年级数学上册《圆的基本性质》 3.6 圆内接四边形的性质 知识点 圆内接四边形及其性质 ★1、圆内接四边形：一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 如右图：四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，⊙O 是四边形的外接圆. ★2、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补. 如右图：∵四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形， ∴ ∠A +∠C = 180°，∠B +∠D = 180°. 题型一 利用圆内接四边形的性质求角度 解题技巧提炼 主要是利用圆内接四边形对角互补，圆周角定理，还结合图形的其它性质求角的度数. 1．（2023•云岩区模拟）如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠D＝50°，则∠B为（　　） A．140° B．130° C．120° D．100° 【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠D+∠B＝180°， ∵∠D＝50°， ∴∠B＝180°﹣50°＝130°， 故选：B． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 2．（2024春•新宁县校级月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，则∠ABC的大小是（　　） A．80° B．100° C．60° D．40° 【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∵∠ADC＝140°， ∴∠ABC＝180°﹣140°＝40°， 故选：D． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 3．（2024•西安校级模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC＝CD，∠C＝120°，∠D＝80°，则∠AOB的度数为（　　） A．100° B．115° C．120° D．135° 【分析】连接BD，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠CDB＝∠CBD＝30°，求出∠ADB，再根据圆周角定理得出∠AOB＝2∠ADB即可． 【解答】解：连接BD， ∵∠C＝120°，BC＝DC， ∴∠CDB＝∠CBD（180°﹣∠C）＝30°， ∵∠ADC＝80°， ∴∠ADB＝∠ADC﹣∠CDB＝80°﹣30°＝50°， ∴∠AOB＝2∠ADB＝100°， 故选：A． 【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出∠ADB的度数是解此题的关键． 4．（2023•皇姑区一模）如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上的五个点，圆心O在AD上，∠BCD＝110°，则∠AEB的度数为（　　） A．70° B．35° C．40° D．20° 【分析】连接DE，根据圆内接四边形的内对角互补和直径所对的圆周角是直角即可求得结论． 【解答】解：如图，连接DE， ∵四边形BCDE是⊙O的内接四边形， ∴∠BCD+∠BED＝180°， ∵∠BCD＝110°， ∴∠BED＝70°， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠AED＝90°， ∴∠AEB＝∠AED﹣∠BED＝90°﹣70°＝20°， 故选：D． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 5．（2024•东昌府区模拟）如图，圆内接四边形ABCD中，连接OB，OC，OD，BD，∠BCD＝105°，∠COD＝50°，则∠OBC的度数是（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 【分析】根据三角形的内角和定理和圆周角定理解答即可． 【解答】解：∵∠COD＝50°， ∴∠OCD（180°﹣∠COD） （180°﹣50°）＝65°， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠OCB＝∠BCD﹣∠OCD ＝105°﹣65° ＝40°， ∴∠OBC＝40°． 故选：A． 【点评】本题主要考查了圆周角定理和三角形的内角和定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 6．（2023•通榆县模拟）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD＝108°，E是BC延长线上一点，若CF平分∠DCE，则∠DCF的大小是（　　） A．52° B．54° C．56° D．60° 【分析】由“圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角”知∠DCE＝∠BAD＝108°，然后根据角平分线的定义来求∠DCF的大小． 【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD＝108°，E是BC延长线上一点， ∴∠DCE＝∠BAD＝108°． ∵CF平分∠DCE， ∴∠DCF∠DCE＝54°． 故选：B． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质．圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 7．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF． （1）求证：∠E＝∠C； （2）若∠E＝50°，求∠BDF的度数． 【分析】（1）连接BF，根据圆周角定理求出∠AFB＝90°，求出∠CFB＝90°，根据直角三角形斜边上的中线性质得出DF＝CD＝BD，求出∠C＝∠CFD，根据圆内接四边形的性质求出∠E＝∠CFD即可； （2）求出∠C＝∠CFD＝∠E＝50°，根据三角形的外角性质求出答案即可． 【解答】（1）证明：连接BF， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AFB＝90°， ∴∠CFB＝180°﹣∠AFB＝90°， ∵BD＝CD， ∴CD＝DF＝BD， ∴∠C＝∠CFD， ∵四边形AEDB是⊙O的内接四边形， ∴∠CFD＝∠E， ∴∠E＝∠C； （2）解：由（1）知：∠E＝∠C＝∠CFD， ∵∠E＝50°， ∴∠C＝∠CFD＝∠E＝50°， ∴∠BDF＝∠C+∠CFD＝50°+50°＝100°． 【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形的外角性质，圆内接四边形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 题型二 利用圆内接四边形的性质求线段长 解题技巧提炼 主要是利用圆内接四边形对角互补，结合图形的其它性质转化角之间的关系，同时还要利用勾股定理等知识进行相关的计算. 1．（2024•榆阳区校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，连接AC，若∠ADC＝150°，AC＝4，则⊙O的半径长为（　　） A．2 B．6 C．4 D．8 【分析】根据圆周角定理得到∠BAC＝90°，根据圆内接四边形的性质求出∠ABC＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质解答即可． 【解答】解：∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC∠ABC＝180°， ∵∠ADC＝150°， ∴∠ABC＝30°， ∴BC＝2AC＝2×4＝8， ∴⊙O的半径长为4， 故选：C． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 2．（2023•砀山县二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，且∠A＝90°，．若AB＝8，AD＝6，则BC的长为（　　） A． B．5 C． D．10 【分析】根据勾股定理求得BD＝10，根据圆内接四边对角互补，得出∠BCD＝90°，继而根据勾股定理即可求解． 【解答】解：如图所示，连接BD， ∵∠A＝90°，AB＝8，AD＝6， ∴， ∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝90°， ∴∠BCD＝90°， ∵． ∴BC＝CD， 故选：A． 【点评】本题考查了圆内接四边形对角互补，勾股定理，同弧所对弦相等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 3．（2024•松原二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点B作BH⊥AD于点H，若∠BCD＝135°，AB＝4，则BH的长度为（　　） A． B． C．2 D． 【分析】首先根据圆内接四边形的性质求得∠A的度数，然后根据斜边长求得等腰直角三角形的直角边长即可． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD＝135°， ∴∠A＝180°﹣135°＝45°， ∵BH⊥AD，AB＝4， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查了圆内接四边形及勾股定理的知识，解题的关键是从题目中得到等腰直角三角形，难道不大． 4．（2023•宝鸡二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝2，连接OA、OC，则OA的长为（　　） A．4 B． C． D． 【分析】根据圆内接四边形的性质可得∠ADC＝45°，则有∠AOC＝90°，进而根据勾股定理可进行求解． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°， ∴∠ADC＝45°， ∴∠AOC＝90°， 由勾股定理得：OA2+OC2＝AC2， ∵OA＝OC，AC＝2， ∴， ∴⊙O的半径为：． 故选：D． 【点评】本题主要考查圆内接四边形的性质及圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质及圆周角定理是解题的关键． 5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝∠ADC，BD平分∠ABC．若AB＝3，BC＝4，BD的长为（　　） A．4 B． C． D． 【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠ABC＝∠ADC＝90°，根据勾股定理、直角三角形的性质计算即可． 【解答】解：过点C作CH⊥BD于H， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴AC5， ∵BD平分∠ABC， ∴DA＝DC＝5，BH＝CH＝42， ∴DH， ∴BD＝BH+DH， 故选：B． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、勾股定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 6．（2023•青岛一模）如图，A、B、C、D是半径为4cm的⊙O上的四点，AC是直径，∠D＝45°，则AB＝　 　cm． 【分析】先根据圆周角定理得到∠A及∠ABC的度数，进而判断出△ABC是等腰直角三角形，再根据勾股定理计算即可求出AB． 【解答】解：∵∠D＝45°， ∴∠A＝45°， ∵AC是直径， ∴∠ABC＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AB（cm）． 故答案为：． 【点评】本题主要考查圆周角定理，涉及到勾股定理，解题关键是熟练使用圆周角定理． 7．（2023秋•河东区校级期末）已知⊙O的直径为10，四边形ABDC内接于⊙O，AD平分∠CAB． （1）如图1，若BC为⊙O的直径，求BD的长； （2）如图2，若∠BDC＝120°，求BD的长． 【分析】（1）若BC为⊙O的直径，则△BCD是直角三角形，求出△BCD是等腰直角三角形，然后根据勾股定理求得BD的长度； （2）根据圆内接四边形的性质求出∠BAC，求出∠BAD，根据圆周角定理救出∠BOD，再根据等边三角形的性质得出即可． 【解答】解：（1）如图1， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BDC＝90°． ∵AD平分∠CAB， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴BD＝CD， 在Rt△BDC中，斜边BC＝10，由勾股定理得：BD2+CD2＝BC2， ∴2BD2＝102， 解得：BD＝5； （2）如图②，连接OB，OD， ∵四边形ABDC内接于⊙O， ∴∠BDC+∠BAC＝180°， ∵∠BDC＝120°， ∴∠BAC＝60°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD∠BAC＝30°， ∴∠BOD＝2∠BAD＝60°， ∵⊙O直径是10， ∴半径OB＝OD＝5， ∴△BOD是等边三角形， ∴BD＝OB＝5． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，角平分线性质等知识点，能熟记圆周角定理和圆内接四边形的性质（圆内接四边形的对角互补）是解此题的关键． 8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点C为的中点，弦CE⊥AB于点F，与BD交于点G． （1）求证：BG＝CG； （2）若OF＝1，求AD的长． 【分析】（1）根据垂径定理以及圆周角定理可得，进而得到∠CBD＝∠CDB＝∠BCE，再根据等腰三角形的判定可得BG＝CG； （2）利用圆心角、弦、弧、圆心距之间的关系以及垂径定理、三角形中位线定理可得答案． 【解答】（1）证明：∵点C为的中点， ∴， 又∵弦CE⊥AB，AB是直径， ∴， ∴， ∴∠CBD＝∠CDB＝∠BCE， ∴BG＝CG； （2）解：如图，过点O作OM⊥BD，垂足为M， ∵， ∴， 即， ∴BD＝CE， 又∵OM⊥BD，OF⊥CE， ∴OM＝OF＝1，DM＝BM， ∵OA＝OB， ∴OM是△ABD的中位线， ∴OMAD， ∴AD＝2OM＝2． 【点评】本题考查垂径定理、圆周角定理以及圆心角、弦、弧、圆心距之间的关系定理，掌握垂径定理、圆周角定理，圆心角、弦、弧、圆心距之间的关系定理以及等腰三角形的判定方法、三角形中位线定理是正确解答的前提． 题型三 利用圆内接四边形的性质求面积 解题技巧提炼 主要是利用圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式，正确作出辅助线是解题的关键． 1．（2023•和平区模拟）如图，圆内接四边形ABCD，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC，过点B作 BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，则△BDE的面积为 　　． 【分析】先利用圆内接四边形的性质得到∠ADC＝120°，则∠ADB＝∠CDB＝60°，再利用平行线的性质得到∠EBD＝∠CDB＝60°，于是可判断△BDE为等边三角形，在DB上截取DF＝DA，如图，则△ADF为等边三角形，所以AF＝AD＝DF＝2，∠AFD＝60°，接着证明△ABC为等边三角形得到AB＝AC，然后证明△ABF≌△ACD得到BF＝CD＝3，所以BD＝5，最后根据等边三角形的面积公式计算△BDE的面积． 【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠ADC＝180°﹣60°＝120°， ∵BD平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠CDB＝60°， ∵BE∥CD， ∴∠EBD＝∠CDB＝60°， ∴△BDE为等边三角形， 在DB上截取DF＝DA，如图， ∵∠ADF＝60°，DA＝DF， ∴△ADF为等边三角形， ∴AF＝AD＝DF＝2，∠AFD＝60°， ∴∠AFB＝120°， ∵∠ACB＝∠ADB＝60°，∠ABC＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC， 在△ABF和△ACD中， ， ∴△ABF≌△ACD（AAS）， ∴BF＝CD＝3， ∴BD＝BF+DF＝3+2＝5， 即等边△EBD的边长为5， ∴△BDE的面积52． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理、平行线的性质、等边三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质． 2．（2023•江岸区一模）如图，点A、P、B、C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°． （1）判断△ABC的形状，并证明； （2）若，求S△APB． 【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ABC＝∠APC＝60°，∠CAB＝∠CPB＝60°，根据等边三角形的判定定理证明； （2）过点A作AK⊥BP交BP的延长线于点K，过点A作AJ⊥PC于点J．证明△ABK≌△ACJ（AAS），推出AK＝AJ，BK＝CJ，证明Rt△AKP≌Rt△AJP（HL），推出PK＝PJ，设PK＝PJ＝x，则AK＝AJx，构建方程求解即可． 【解答】解：（1）△ABC是等边三角形， 理由如下：由圆周角定理得，∠ABC＝∠APC＝60°，∠CAB＝∠CPB＝60°， ∴△ABC是等边三角形； （2）过点A作AK⊥BP交BP的延长线于点K，过点A作AJ⊥PC于点J． ∵∠K＝∠AJC＝90°，AB＝AC，∠ABK＝∠ACJ， ∴△ABK≌△ACJ（AAS）， ∴AK＝AJ，BK＝CJ， ∵AP＝AP， ∴Rt△AKP≌Rt△AJP（HL）， ∴PK＝PJ， 设PK＝PJ＝x，则AK＝AJx， ∵AK2+BK2＝AB2， ∴（x）2+（6﹣x）2＝（2）2， 解得，x＝1或2， ∴PJ＝1或2，AK＝AJ或2， ∴PB＝2或4， ∴△APB的面积2×22或42， 综上所述，△APB的面积为2． 【点评】本题考查的是圆周角定理、等边三角形的判定，掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键． 3．（2023•龙泉市一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，BC＝CD＝5，AD＝5，E为对角线AC上一动点，连结BE并延长交⊙O于点F． （1）若BF⊥AD，求证：∠ABF＝∠ACB； （2）求四边形ABCD的面积； 【分析】（1）先根据垂径定理可得：，再由圆周角定理可得结论； （2）如图1，过点C分别作AD和AB的垂线，垂足分别为G，H，证明Rt△CGD≌Rt△CHB（HL），则四边形ABCD的面积＝四边形CGAH的面积，从而可以解答； 【解答】（1）证明：∵AD为直径，BF⊥AD， ∴， ∴∠ABF＝∠ACB； （2）解：如图1，过点C分别作AD和AB的垂线，垂足分别为G，H， ∵CD＝BC， ∴， ∴∠CAD＝∠BAC， ∴CG＝CH， ∴Rt△CGD≌Rt△CHB（HL）， ∴四边形ABCD的面积＝四边形CGAH的面积， ∵CG＝CH，AC＝AC， ∴Rt△ACG≌Rt△ACH（HL）， ∴S△ACG＝S△ACH， ∵AD是直径， ∴∠ACD＝90°， ∵AD＝5，CD＝5， ∴AC10， ∵S△ACD•AC•CD•AD•CG， ∴5×10CG， ∴CG＝2， 由勾股定理得：AG4， ∴四边形ABCD的面积＝四边形CGAH的面积＝2S△ACG＝240； 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆周角定理、等腰三角形的性质和判定，解直角三角形等知识． 4．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°． （1）请判断△ABC的形状？说明理由； （2）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积． 【分析】（1）利用圆周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，而∠APC＝∠CPB＝60°，所以∠BAC＝∠ABC＝60°，从而可判断△ABC的形状； （2）过点P作PE⊥AB，垂足为E，过点C作CF⊥AB，垂足为F，把四边形的面积转化为两个三角形的面积进行计算，当点P为的中点时，PE+CF＝PC从而得出最大面积． 【解答】解：（1）△ABC是等边三角形．理由如下： 在⊙O中，∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角， ∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC， 又∵∠APC＝∠CPB＝60°， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°， ∴△ABC为等边三角形； （2）当点P为的中点时，四边形APBC的面积最大．理由如下： 如图，过点P作PE⊥AB，垂足为E．过点C作CF⊥AB，垂足为F． ∵S△APBAB•PE，S△ABCAB•CF， ∴S四边形APBCAB•（PE+CF）， 当点P为的中点时，PE+CF＝PC，PC为⊙O的直径， ∴此时四边形APBC的面积最大． 又∵⊙O的半径为1， ∴其内接正三角形的边长AB， ∴S四边形APBC2． 【点评】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式，正确作出辅助线是解题的关键． 题型四 利用圆内接四边形的性质判断结论 解题技巧提炼 多结论的判断主要利用圆内接四边形的性质、圆周角定理及推论、等腰三角形的判定等知识对每个选项进行判断，掌握它们的性质是解题的关键． 1．（2022秋•永吉县期中）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD把它的4个内角分成了8个角，在结论①∠1=∠4，②∠2=∠7，③∠3=∠6，④∠5=∠8中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据圆周角定理进行判断即可． 【解答】解：∵∠1，∠4所对的弧都是弧CD， ∴∠1=∠4，故①正确，符合题意； ∵∠2，∠7所对的弧都是弧BC， ∴∠2=∠7，故②正确，符合题意； ∵∠3，∠6所对的弧都是弧AD， ∴∠3=∠6，故③正确，符合题意； ∵∠5，∠8所对的弧都是弧AB． ∴∠5=∠8，故④正确，符合题意． ∴正确的有4个， 故选：D． 【点评】本题考查了圆的内接四边形，圆周角定理，熟练运用圆周角的定理解决问题是本题的关键． 2．（2023•安阳一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，四边形ABOD是平行四边形，则下列结论：①OB＝AB；②∠BCD＝60°；③∠BAD＝120°；④，其中正确结论 有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由四边形ABOD是平行四边形，OD＝OB，判定四边形ABOD是菱形，得到OB＝AB，由△ABO是等边三角形得到∠AOB＝60°，由四边形ABOD是菱形，得到∠BOD＝2∠AOB＝120°，由圆周角定理得到∠BCD∠BOD＝60°，由菱形的性质得到∠BAD＝∠BOD＝120°，CD和OD没有确定的数量关系． 【解答】解：连接OA， ∵四边形ABOD是平行四边形，OD＝OB， ∴四边形ABOD是菱形， ∴OB＝AB， 故①正确； ∵OA＝OB＝AB， ∴△ABO是等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∵四边形ABOD是菱形， ∴∠BOD＝2∠AOB＝120°， ∴∠BCD∠BOD＝60°， 故②正确； ∵四边形ABOD是菱形， ∴∠BAD＝∠BOD＝120°， 故③正确； ∵C的位置不确定，CD长在变化，半径OD的长不变， ∴CD和OD没有确定的数量关系， ∴④错误． ∴正确的结论是①②③，共有3个． 故选：C． 【点评】本题考查圆周角定理，菱形的判定和性质，关键是判定四边形ABOD是菱形，得到∠BOD＝120°． 3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC与BD相交于点E、F在AC上，AB＝AD，∠BFC＝∠BAD＝2∠DFC，下列结论： ①线段AC为⊙O的直径；②CD⊥DF；③BC＝2CD；④∠AFB＝∠BCD 其中正确的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】根据圆周角定理、等腰三角形的判定与性质等，作出辅助线，根据有关性质和定理对每一结论进行证明即可得出答案． 【解答】解：①∵AB＝AD， ∴弧AB＝弧AD，∠ADB＝∠ABD． ∵∠ACB＝∠ADB，∠ACD＝∠ABD， ∴∠ACB＝∠ADB＝∠ABD＝∠ACD． ∴∠ADB＝（180°﹣∠BAD）÷2＝90°﹣∠DFC． ∴∠ADB+∠DFC＝90°，即∠ACD+∠DFC＝90°， ∴CD⊥DF， ∴∠FDC＝90°， ∴∠ADC＞90°， ∴线段AC不为⊙O的直径， ∴①错误，②正确； ③过F作FG⊥BC， ∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵∠ACB＝∠ADB， ∠BFC＝∠BAD， ∴∠FBC＝∠ABD， ∴∠FBC＝∠ADB， ∴∠FBC＝∠ACB． ∴FB＝FC． ∴FG平分BC，G为BC中点，∠GFC∠BAD＝∠DFC． ∴△FGC≌△DFC（∠GFC＝∠DFC，FC＝FC，∠ACB＝∠ACD）． ∴CD＝GCBC． ∴BC＝2CD， ∴③正确； ④∵∠BFC＝∠BAD， ∠AFB＝180°﹣∠BFC， ∠BCD＝180°﹣∠BAD， ∴∠AFB＝∠BCD ∴④正确； 其中正确的个数为3个． 故选：D． 【点评】本题考查了圆周角定理；用到的知识点为圆周角定理、等腰三角形的判定与性质等，解题的关键是作出辅助线根据有关性质和定理对每一结论进行证明． 题型五 利用圆内接四边形的性质证明 解题技巧提炼 利用圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 1．（2023秋•金昌期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，连接AC、BD，若DA＝DB，求证：CD平分∠ACE． 【分析】先根据圆内接四边形的性质得出∠DAB＝∠DCE，再根据DA＝DB得出∠DAB＝∠DBA，故可得出∠DBA＝∠DCE，再由圆周角定理得出∠DBA＝∠DCA，故可得出∠DCA＝∠DCE，故可得出结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠DAB＝∠DCE． ∵DA＝DB， ∴∠DAB＝∠DBA， ∴∠DBA＝∠DCE． ∵∠DBA与∠DCA是同弧所对的圆周角， ∴∠DBA＝∠DCA， ∴∠DCA＝∠DCE，即CD平分∠ACE． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 2．已知四边形ABCD内接于⊙O，，∠ADC＝120°，求证：△ABC是等边三角形． 【分析】由圆内接四边形的性质得到∠ABC＝60°，由得到AB＝AC，根据等边三角形的判定可得到结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°， ∵， ∴AB＝AC， 又∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形． 【点评】本题主要考查了圆内接四边形的性质，弧和弦的关系，等边三角形的判定，熟练掌握圆内接四边形的性质和等边三角形的判定是解决问题的关键． 3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长DC，AB交于点E，且BE＝BC，求证：△ADE是等腰三角形． 【分析】根据圆内接四边形的性质和等腰三角形的判定定理证明． 【解答】证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A＝∠BCE， ∵BE＝BC， ∴∠BCE＝∠BEC， ∴∠A＝∠BEC， ∴DA＝DE，即△ADE是等腰三角形； 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰直角三角形的性质，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键，解答时，注意方程思想的灵活运用． 4．（2023秋•甘井子区校级期末）如图，AB为⊙O的直径，点D、E在⊙O上，OD∥BE，连接AD并延长交BE延长线于C．求证：DC＝DE． 【分析】先利用等腰三角形的性质可得∠A＝∠ADO，再利用圆内接四边形的对角互补以及平角定义可得∠DEC＝∠A，然后再利用平行线的性质可得∠ADO＝∠C，从而利用等量代换可得∠DEC＝∠C，最后利用等角对等边即可解答． 【解答】证明：∵OA＝OD， ∴∠A＝∠ADO， ∵四边形ABED是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠DEB＝180°， ∵∠DEB+∠DEC＝180°， ∴∠DEC＝∠A， ∵OD∥BC， ∴∠ADO＝∠C， ∴∠DEC＝∠C， ∴DC＝DE． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 5．（2023秋•镇江期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠EAD＝∠BAC，BA、CD延长线交于点E． 求证：BD＝BC． 【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠BCD+∠BAD＝180°，进而证明∠BCD＝∠EAD，根据圆周角定理得到∠BDC＝∠BAC，等量代换得到∠BCD＝∠BDC，根据等腰三角形的判定定理证明结论． 【解答】证明：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠BCD+∠BAD＝180°， ∵∠EAD+∠BAD＝180°， ∴∠BCD＝∠EAD， ∵∠EAD＝∠BAC， ∴∠BCD＝∠BAC， ∵∠BDC＝∠BAC， ∴∠BCD＝∠BDC， ∴BD＝BC． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 6．（2023秋•诸暨市期中）如图，四边形ABCD内接于一圆，连结AC、BD． （1）若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度数． （2）若AC为直径，C为的中点，请探究∠DAB与∠ACB之间的关系． 【分析】（1）根据圆周角定理求出∠ADB，再根据三角形内角和定理求出∠ABD； （2）根据圆周角定理得到∠CAB∠DAB，∠ABC＝90°，根据直角三角形的两锐角互余解答即可． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝70°， ∴∠ADB＝∠ACB＝70°， ∵∠DAB＝60°， ∴∠ABD＝180°﹣70°﹣60°＝50°； （2）∵C为的中点， ∴∠CAB＝∠CAD∠DAB， ∵AC为直径， ∴∠ABC＝90°， ∴∠CAB+∠ACB＝90°， ∴∠DAB+∠ACB＝90°． 【点评】本题考查的是圆周角定理、三角形内角和定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键． 7．（2023•南宁二模）如图，四边形ABDC是⊙O的内接四边形，AD是对角线，过点A作EA⊥AD交DB的延长线于点E，AB＝AC． （1）求证：∠ABE＝∠ACD； （2）连接BC，若BC为⊙O的直径，求证：BE＝CD． 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质和邻补角的定义即可得到结论； （2）连接BC，根据圆周角定理得到∠BAC＝90°，根据余角的性质得到∠EAB＝∠CAD，根据全等三角形的判定定理即可得到结论． 【解答】证明：（1）∵四边形ABDC是圆O的内接四边形， ∴∠ABD+∠ACD＝180°， ∵∠ABE+∠ABD＝180°， ∴∠ABE＝∠ACD； （2）连接BC， ∵BC为圆O的直径， ∴∠BAC＝90°， ∵AE⊥AD， ∴∠EAD＝90°， ∴∠EAB+∠BAD＝∠CAD+∠BAD＝90°， ∴∠EAB＝∠CAD， 在△ABE与△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（ASA）． ∴BE＝CD． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键． 题型六 圆内接四边形的性质综合应用 解题技巧提炼 圆内接四边形的综合应用问题主要里利用圆周角定理、圆内接四边形的性质、弧、线、圆心角定理、垂径定理、全等三角形、等腰三角形、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握这些定理是解题的关键 1．（2023•迎江区校级三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，AC平分∠BCD． （1）若BC＝5cm，CD＝12cm，求AB的长； （2）求证：BC+CDAC． 【分析】（1）先利用圆周角定理得∠BAD＝∠BCD＝90°，则根据勾股定理可计算出BD＝13cm，再证明△ABD为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质得到AB的长； （2）把△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，如图，根据旋转的性质得到∠CAE＝∠BAD＝90°，CA＝CE，∠ABC＝∠ADE，再证明E点在CD的延长线上，于是可判断△ACE为等腰直角三角形，所以CEAC，从而得到结论． 【解答】（1）解：∵BD为直径， ∴∠BAD＝∠BCD＝90°， 在Rt△BCD中，BD13（cm）， ∵AC平分∠BCD， ∴∠ACB＝∠ACD， ∴AB＝AD， ∴△ABD为等腰直角三角形， ∴ABBDcm； （2）证明：把△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，如图， 则∠CAE＝∠BAD＝90°，CA＝CE，BC＝DE，∠ABC＝∠ADE， ∵∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠ADE+∠ADC＝180°， ∴E点在CD的延长线上， ∴△ACE为等腰直角三角形， ∴CEAC， 而CE＝CD+DE＝CD+CB， ∴BC+CDAC． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理和旋转的性质． 2．（2023秋•赛罕区校级期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且DA平分∠BDF． （1）求证：AB＝AC； （2）若AB＝13，BC＝10，求⊙O半径． 【分析】（1）根据角平分线的定义、圆内接四边形的性质解答； （2）过点A作AG⊥BC于G，根据等腰三角形的性质以及垂径定理可得AG过圆心，利用勾股定理即可求解． 【解答】（1）证明：∵AD平分∠BDF， ∴∠ADF＝∠ADB， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°， ∴∠ADF＝∠ABC， ∵∠ACB＝∠ADB， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC； （2）解：过点A作AG⊥BC于G，连接OC， ∵AB＝AC， ∴BG＝CGBC＝5， ∴AG12，AG垂直平分BC， ∵OB＝OC， ∴圆心O在BC的垂直平分线AG上， ∴OG⊥BC， 设⊙O的半径为r， 在Rt△OBG中，OB2＝OG2+BG2， ∴r2＝（12﹣r）2+52， ∴r， ∴⊙O的半径为． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键． 3．（2024•长丰县一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，BC＝CD，过点C作CE，使得CD＝CE，交AD的延长线于点E． （1）求证：AB＝AE． （2）若AD＝DE＝2，求CD的长． 【分析】（1）根据圆的性质求出∠BAC＝∠EAC，根据等腰三角形的性质、圆内接四边形的性质及邻补角定义求出∠B＝∠E，利用AAS证明△ABC≌△AEC，根据全等三角形的性质即可得解； （2）根据圆周角定理求出BD是⊙O的直径，则∠BCD＝90°，再根据勾股定理求解即可． 【解答】（1）证明：如图，连接AC． ∵BC＝CD， ∴， ∴∠BAC＝∠EAC， ∵CD＝CE， ∴∠E＝∠CDE，BC＝CE， ∵∠B+∠ADC＝180°，∠CDE+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠CDE， ∴∠B＝∠E， 在△ABC与△AEC中， ， ∴△ABC≌△AEC（AAS）， ∴AB＝AE； （2）解：如图，连接BD． ∵∠BAD＝90°， ∴BD是⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°， 由（1）可得AB＝AE． ∵AD＝DE＝2， ∴AE＝AB＝4． 在 Rt△ABD 中，， 在Rt△BCD中，． 【点评】此题考查了圆内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 4．（2023秋•江阴市校级月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，DB平分∠ADC． （1）试判断△ABC的形状，并给出证明； （2）若，AD＝1，求CD的长度； （3）在（2）的条件下，求点D到AC的距离． 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出∠ABC＝90°，再根据同弧所对的圆周角相等得出∠ADB＝∠ACB，∠CDB＝∠CAB，结合DB平分∠ADC，即可判断△ABC的形状； （2）在等腰直角△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再根据圆内接四边形对角互补得出∠ADC＝90°，再次利用勾股定理即可求出CD的长度； （3）根据直角三角形的面积公式即可求出点D到AC的距离． 【解答】（1）△ABC为等腰直角三角形， 证明：∵AC为⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠CDB， ∵∠ADB＝∠ACB，∠CDB＝∠CAB， ∴∠ACB＝∠CAB， ∴AB＝CB， ∴△ABC为等腰直角三角形； （2）解：由（1）得△ABC为等腰直角三角形，， ∴CB， 由勾股定理得， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∴∠ADC＝90°， 由勾股定理得，； （3）解：过点D作DE⊥AC于点E， ∴， ∴， 解得， 即点D到AC的距离为． 【点评】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理，直角三角形的面积，涉及的知识点较多，需熟练掌握． 5．（2024•会泽县校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD交于点E．已知⊙O的半径为3，CD＝3，∠AEB＝75°． （1）求∠CBD的度数． （2）求AB的长． （3）当△EBC的面积最大时，求的值． 【分析】（1）连接OC和OD，可得△OCD是等边三角形，则∠COD＝60°，根据圆周角定理即可求得∠CBD； （2）连接OA和OB，则OA＝OB，且∠CAD＝30°，由三角形外角定理得∠ADB＝45°，根据圆周角定理得∠AOB＝2∠ADB，利用勾股定理有即可； （3）过点E作EF⊥BC于点F，结合（1）可得∠CEF＝45°，进一步有EF＝CF和，利用含30度角的直角三角形的性质得BE＝2EF＝2CF，利用勾股定理得，则，此时，利用BC≤6求得，即可求得答． 【解答】解：（1）如图1，连接OC，OD． ∵⊙O的半径为3，CD＝3， ∴OC＝OD＝CD＝3， ∴△OCD是等边三角形， ∴∠COD＝60°． ∵， ∴∠CBD＝30°． （2）如图2，连接OA，OB， 则OA＝OB＝3． ∵∠CBD＝∠CAD，∠CBD＝30°， ∴∠CAD＝30°． ∵∠AEB＝∠CAD+∠ADB＝75°， ∴∠ADB＝45°， ∴∠AOB＝2∠ADB＝90°， ∴． （3）如图3，过点E作EF⊥BC于点F． 由（1）知∠ACB＝∠ADB＝45°，则∠CEF＝45°， ∴EF＝CF，． ∵∠CBD＝30°，EF⊥BC， ∴BE＝2EF＝2CF， ∴， ∴， ∴． ∵EF≥0， ∴当EF的值最大时，△EBC的面积最大． ∵⊙O的半径为3， ∴BC≤6， ∴， ∴， 即， ∴EF的最大值为， ∴，， ∴ ． 【点评】本题主要考查圆周角定理、等边三角形的判定和性质、勾股定理、同弧所对圆周角相等、三角形外角定理以及含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理等圆的相关知识． 6．四边形ABCD内接于⊙O，AC为其中一条对角线，且S△ABC：S△ADC＝AB：AD． （1）如图1，求证：BC＝CD； （2）如图2：连接OC，交对角线BD于点E，若∠BAD＝60°，求证：OE＝EC； （3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF⊥AC于点F，连接FO并延长FO，交AB边于点G，若FG⊥AB，OC，求△OFC的面积． 【分析】（1）首先利用已知得出CL＝CK，再结合全等三角形的判定方法得出△CKB≌△CLD（AAS），进而得出答案； （2）首先得出△OBC是等边三角形，进而得出答案； （3）利用已知首先得出△AMD是等边三角形，进而得出BG，EF的长，再利用S△OEFOF•EF进而得出答案． 【解答】（1）证明：过C作CK⊥AB于点K，过C作CL⊥AD于点L， ∴S△ABCAB•CK，S△ADCAD•CL， ∵S△ABC：S△ADC＝AB：AD． ∴CL＝CK， ∵∠B+∠ADC＝180°，∠CDL+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠CDL， ∵∠CKB＝∠L＝90°， 在△CKB和△CLD中 ， ∴△CKB≌△CLD（AAS）， ∴BC＝CD． （2）证明：如图2，连接OB、OD， ∵BC＝CD， ∴∠BOC＝∠DOC ∵OB＝OD， ∴OE⊥BD， ∵∠BAD＝60°， ∴∠BOC＝∠DOC＝60°， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB＝BC， ∴OE＝EC； （3）解：如图3，延长DF交AB于点M，连接OB， ∵∠BAD＝60°， ∴∠BAC＝∠CAD＝30°， ∵AF⊥DF， ∴∠AFM＝∠AFD＝90°， ∴∠AMD＝∠ADM＝60°， ∴△AMD是等边三角形， 设MG＝a，则MF＝2a，AM＝AD＝MD＝4a，GFa， ∴AG＝BG＝3a，∴BM＝2a ∵E、F分别是BD、MD中点，∴EF＝a，EF∥AB 过B作BN⊥MD，则MN＝a，BNa，∴DN＝5a， ∵BDOC，∴BD＝3 在Rt△BND中，（a）2+（5a）2＝（3）2 解得a， ∴BG，EF， 在Rt△OGB中，OG， ∴OF， ∵EF∥AB， ∴∠EFO＝∠AGF＝90° ∴S△OEFOF•EF ∵OE＝EC， ∴S△OFC＝2 S△OEF． 【点评】此题主要考查了圆的综合以及全等三角形的判定与性质和等边三角形的判定与性质等知识，正确得出MN的长是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！40 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学上册《圆的基本性质》 3.6 圆内接四边形的性质 知识点 圆内接四边形及其性质 ★1、圆内接四边形：一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 如右图：四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，⊙O 是四边形的外接圆. ★2、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补. 如右图：∵四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形， ∴ ∠A +∠C = 180°，∠B +∠D = 180°. 题型一 利用圆内接四边形的性质求角度 解题技巧提炼 主要是利用圆内接四边形对角互补，圆周角定理，还结合图形的其它性质求角的度数. 1．（2023•云岩区模拟）如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠D＝50°，则∠B为（　　） A．140° B．130° C．120° D．100° 2．（2024春•新宁县校级月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，则∠ABC的大小是（　　） A．80° B．100° C．60° D．40° 3．（2024•西安校级模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC＝CD，∠C＝120°，∠D＝80°，则∠AOB的度数为（　　） A．100° B．115° C．120° D．135° 4．（2023•皇姑区一模）如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上的五个点，圆心O在AD上，∠BCD＝110°，则∠AEB的度数为（　　） A．70° B．35° C．40° D．20° 5．（2024•东昌府区模拟）如图，圆内接四边形ABCD中，连接OB，OC，OD，BD，∠BCD＝105°，∠COD＝50°，则∠OBC的度数是（　　） A．40° B．45° C．50° D．55° 6．（2023•通榆县模拟）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD＝108°，E是BC延长线上一点，若CF平分∠DCE，则∠DCF的大小是（　　） A．52° B．54° C．56° D．60° 7．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF． （1）求证：∠E＝∠C； （2）若∠E＝50°，求∠BDF的度数． 题型二 利用圆内接四边形的性质求线段长 解题技巧提炼 主要是利用圆内接四边形对角互补，结合图形的其它性质转化角之间的关系，同时还要利用勾股定理等知识进行相关的计算. 1．（2024•榆阳区校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，连接AC，若∠ADC＝150°，AC＝4，则⊙O的半径长为（　　） A．2 B．6 C．4 D．8 2．（2023•砀山县二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，且∠A＝90°，．若AB＝8，AD＝6，则BC的长为（　　） A． B．5 C． D．10 3．（2024•松原二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点B作BH⊥AD于点H，若∠BCD＝135°，AB＝4，则BH的长度为（　　） A． B． C．2 D． 4．（2023•宝鸡二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝2，连接OA、OC，则OA的长为（　　） A．4 B． C． D． 5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝∠ADC，BD平分∠ABC．若AB＝3，BC＝4，BD的长为（　　） A．4 B． C． D． 6．（2023•青岛一模）如图，A、B、C、D是半径为4cm的⊙O上的四点，AC是直径，∠D＝45°，则AB＝　 　cm． 7．（2023秋•河东区校级期末）已知⊙O的直径为10，四边形ABDC内接于⊙O，AD平分∠CAB． （1）如图1，若BC为⊙O的直径，求BD的长； （2）如图2，若∠BDC＝120°，求BD的长． 8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点C为的中点，弦CE⊥AB于点F，与BD交于点G． （1）求证：BG＝CG； （2）若OF＝1，求AD的长． 题型三 利用圆内接四边形的性质求面积 解题技巧提炼 主要是利用圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式，正确作出辅助线是解题的关键． 1．（2023•和平区模拟）如图，圆内接四边形ABCD，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC，过点B作 BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，则△BDE的面积为 　　． 2．（2023•江岸区一模）如图，点A、P、B、C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°． （1）判断△ABC的形状，并证明； （2）若，求S△APB． 3．（2023•龙泉市一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，BC＝CD＝5，AD＝5，E为对角线AC上一动点，连结BE并延长交⊙O于点F． （1）若BF⊥AD，求证：∠ABF＝∠ACB； （2）求四边形ABCD的面积； 4．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°． （1）请判断△ABC的形状？说明理由； （2）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积． 题型四 利用圆内接四边形的性质判断结论 解题技巧提炼 多结论的判断主要利用圆内接四边形的性质、圆周角定理及推论、等腰三角形的判定等知识对每个选项进行判断，掌握它们的性质是解题的关键． 1．（2022秋•永吉县期中）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD把它的4个内角分成了8个角，在结论①∠1=∠4，②∠2=∠7，③∠3=∠6，④∠5=∠8中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2023•安阳一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，四边形ABOD是平行四边形，则下列结论：①OB＝AB；②∠BCD＝60°；③∠BAD＝120°；④，其中正确结论 有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC与BD相交于点E、F在AC上，AB＝AD，∠BFC＝∠BAD＝2∠DFC，下列结论： ①线段AC为⊙O的直径；②CD⊥DF；③BC＝2CD；④∠AFB＝∠BCD 其中正确的个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型五 利用圆内接四边形的性质证明 解题技巧提炼 利用圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 1．（2023秋•金昌期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，连接AC、BD，若DA＝DB，求证：CD平分∠ACE． 2．已知四边形ABCD内接于⊙O，，∠ADC＝120°，求证：△ABC是等边三角形． 3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长DC，AB交于点E，且BE＝BC，求证：△ADE是等腰三角形． 4．（2023秋•甘井子区校级期末）如图，AB为⊙O的直径，点D、E在⊙O上，OD∥BE，连接AD并延长交BE延长线于C．求证：DC＝DE． 5．（2023秋•镇江期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠EAD＝∠BAC，BA、CD延长线交于点E． 求证：BD＝BC． 6．（2023秋•诸暨市期中）如图，四边形ABCD内接于一圆，连结AC、BD． （1）若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度数． （2）若AC为直径，C为的中点，请探究∠DAB与∠ACB之间的关系． 7．（2023•南宁二模）如图，四边形ABDC是⊙O的内接四边形，AD是对角线，过点A作EA⊥AD交DB的延长线于点E，AB＝AC． （1）求证：∠ABE＝∠ACD； （2）连接BC，若BC为⊙O的直径，求证：BE＝CD． 题型六 圆内接四边形的性质综合应用 解题技巧提炼 圆内接四边形的综合应用问题主要里利用圆周角定理、圆内接四边形的性质、弧、线、圆心角定理、垂径定理、全等三角形、等腰三角形、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握这些定理是解题的关键 1．（2023•迎江区校级三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，AC平分∠BCD． （1）若BC＝5cm，CD＝12cm，求AB的长； （2）求证：BC+CDAC． 2．（2023秋•赛罕区校级期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点F是CD延长线上的一点，且DA平分∠BDF． （1）求证：AB＝AC； （2）若AB＝13，BC＝10，求⊙O半径． 3．（2024•长丰县一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，BC＝CD，过点C作CE，使得CD＝CE，交AD的延长线于点E． （1）求证：AB＝AE． （2）若AD＝DE＝2，求CD的长． 4．（2023秋•江阴市校级月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，DB平分∠ADC． （1）试判断△ABC的形状，并给出证明； （2）若，AD＝1，求CD的长度； （3）在（2）的条件下，求点D到AC的距离． 5．（2024•会泽县校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD交于点E．已知⊙O的半径为3，CD＝3，∠AEB＝75°． （1）求∠CBD的度数． （2）求AB的长． （3）当△EBC的面积最大时，求的值． 6．四边形ABCD内接于⊙O，AC为其中一条对角线，且S△ABC：S△ADC＝AB：AD． （1）如图1，求证：BC＝CD； （2）如图2：连接OC，交对角线BD于点E，若∠BAD＝60°，求证：OE＝EC； （3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF⊥AC于点F，连接FO并延长FO，交AB边于点G，若FG⊥AB，OC，求△OFC的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$