第八讲向量的数量积寒假讲义-2024年上海市高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

第八讲 向量的数量积 【学习目标】 1. 学习向量数量积的概念； 2. 能应用向量的数量积的有关知识求向量的模以及向量的夹角； 3. 解决一些垂直、平行的有关简单几何问题． 知识内容与典型例题 【难度系数：★★ 参考时间：60 min】 一、向量的夹角和向量的数量积定义 向量的夹角：如图,已知两个非零向量和,作,,则 叫做向量与的夹角，记作 当时，则与同向，当时，则与反向. 设和是两个非零向量，定义和的数量积为 规定：零向量与任何向量的数量积为0，即.由定义可知，的结果是一个实数，当时，；特别地， 当时，； 当时，. 例1 在中，，是的中点，，.求下列各式的值.. （1）；（2）；（3）；（4）. 例2 已知，在下列情况下，求与的数量积 （1）；（2）；（3）；（4）. 二、向量数量积的运算律 设、和是向量，是实数，则 向量数量积的交换律：； 向量数量积对数乘的结合律：； 向量数量积对加法的分配律：. 注意：向量数量积没有结合律，即 例3 证明：（1）； （2）. 例4 已知向量与夹角为，且，求. 例5 已知，求与的夹角. 三、向量的投影和数量投影 如果向量的起点和终点在直线上的投影分别为点和，那么向量叫做向量在直线上的投影向量，简称为投影. 若记，，为向量方向上的单位向量，那么向量在向量方向上的投影为 在上式中，实数称为向量在向量方向上的数量投影. 例6 已知向量与的夹角为，且，，求在方向上的投影与数量投影. 例7 已知平面向量，满足，，则在方向上的数量投影的最小值是_____ A组 双基过关 【难度系数：★   参考时间：15 min】 1. 已知是边长为2的正三角形，则 . 2. 已知与垂直，则_____. 3. 在中，，，______. 4. 在中，，，则这个三角形是______三角形. 5. 设，是两个非零向量，则“”是“向量与夹角为钝角”的____________条件 6.设向量、满足，，且，则向量在向量方向上的投影是____ 7. 设、是互相垂直的单位向量，向量，.求. 8. 已知求（1）与的夹角（2）的值. B组 巩固提高 【难度系数：★★   参考时间：15 min】 1. 已知向量与的夹角为，且，，则____ 2. 在中，若，，，则_____ 3. 设，是两个非零向量，则是的_________条件 4. 已知向量与的夹角为，且，则在的方向上的数量投影是 5. 在中，设是的中点，且，，则____ 6. 已知，，，且，则______ 7. 已知、都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八讲 向量的数量积 【学习目标】 1. 学习向量数量积的概念； 2. 能应用向量的数量积的有关知识求向量的模以及向量的夹角； 3. 解决一些垂直、平行的有关简单几何问题． 知识内容与典型例题 【难度系数：★★ 参考时间：60 min】 一、向量的夹角和向量的数量积定义 向量的夹角：如图,已知两个非零向量和,作,,则 叫做向量与的夹角，记作 当时，则与同向，当时，则与反向. 设和是两个非零向量，定义和的数量积为 规定：零向量与任何向量的数量积为0，即.由定义可知，的结果是一个实数，当时，；特别地， 当时，； 当时，. 例1 在中，，是的中点，，.求下列各式的值.. （1）；（2）；（3）；（4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 例2 已知，在下列情况下，求与的数量积 （1）；（2）；（3）；（4）. 【答案】（1）；（2）0；（3）2；（4）-2 二、向量数量积的运算律 设、和是向量，是实数，则 向量数量积的交换律：； 向量数量积对数乘的结合律：； 向量数量积对加法的分配律：. 注意：向量数量积没有结合律，即 例3 证明：（1）； （2）. 【答案】略 例4 已知向量与夹角为，且，求. 【答案】 例5 已知，求与的夹角. 【答案】 三、向量的投影和数量投影 如果向量的起点和终点在直线上的投影分别为点和，那么向量叫做向量在直线上的投影向量，简称为投影. 若记，，为向量方向上的单位向量，那么向量在向量方向上的投影为 在上式中，实数称为向量在向量方向上的数量投影. 例6 已知向量与的夹角为，且，，求在方向上的投影与数量投影. 【答案】向量在方向上的投影是，相应的数量投影是 例7 已知平面向量，满足，，则在方向上的数量投影的最小值是_____ 【答案】 A组 双基过关 【难度系数：★   参考时间：15 min】 1. 已知是边长为2的正三角形，则 . 【答案】 2. 已知与垂直，则_____.【答案】 3. 在中，，，______.【答案】9 4. 在中，，，则这个三角形是______三角形. 【答案】等边三角形 5. 设，是两个非零向量，则“”是“向量与夹角为钝角”的____________条件 【答案】必要非充分 6.设向量、满足，，且，则向量在向量方向上的投影是____ 【答案】 7. 设、是互相垂直的单位向量，向量，.求. 【答案】 8. 已知求（1）与的夹角（2）的值. 【答案】（1） （2） B组 巩固提高 【难度系数：★★   参考时间：15 min】 1. 已知向量与的夹角为，且，，则____【答案】 2. 在中，若，，，则_____【答案】 3. 设，是两个非零向量，则是的_________条件 【答案】充要条件 4. 已知向量与的夹角为，且，则在的方向上的数量投影是 【答案】 5. 在中，设是的中点，且，，则____ 【答案】 6. 已知，，，且，则______ 【答案】 7. 已知、都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角 【答案】设、的夹角为，则cos = ∴ = 60 学科网（北京）股份有限公司 $$