第一讲 任意角及其度量寒假讲义-2024年上海市高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

第一讲 任意角及其度量 【学习目标】 1. 理解初中角度和高中角度定义的不同，进一步了解角度推广的意义； 2. 理解角度制与弧度制，熟练掌握弧度制； 3. 掌握扇形的弧长和面积公式. 知识内容与典型例题 【难度系数：★★ 参考时间：60 min】 一、任意角 1. 正角、负角、零角： 正角：一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角，其度量值是正的； 负角：一条射线绕端点按顺时针方向旋转所形成的角为负角，其度量值是负的. 零角：当一条射线没有旋转时，称为零角. 零角的始边与终边重合. 2. 象限角和轴线角： （1）为了便于研究角及与其相关的问题，可将角置于平面直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的正半轴重合，此时角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，或者说这个角属于第几象限. 如图，和都是第一象限角，和都是第二象限的角. （2）当角的终边在坐标轴上时，就说这些角不属于任一象限，这种角称为轴线角. 3. 终边相同的角： 我们把所有与角终边重合的角（包括角本身）的集合表示为 比如，①终边在轴正半轴上的角的集合为； ②终边在轴负半轴上的角的集合为； ③第二象限角的集合为. 像上面一样，可以将所有轴，轴以及坐标轴上的角用集合表示为： ④终边在轴上的角的集合为； ⑤终边在轴上的角的集合为； ⑥终边在坐标轴上的角的集合为； 例1 指出下列各角是哪个象限的角，并写出与下列各角终边相同的角的一般形式，： （1）； （2）； （3）． 例2 下列命题中正确的是________ ①三角形的内角是第一象限角或第二象限角； ②第一象限的角是锐角； ③第二象限的角比第一象限的角大； ④小于的角都是锐角； ⑤. 二、角的度量 1. 角度制 平面几何中，我们把周角的作为1度，用“度”作为单位来度量角的单位制叫做角度制. 2. 弧度制 （1）把弧长等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad. 用“弧度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. 一般地说，如果一个半径为的圆的圆心角所对的弧长为，那么就是角的绝对值，即 ， 这里的符号由它的始边旋转至终边的方向决定. （2）在弧度制下，每个角都是一个确定的实数，而每个实数也可以表示一个确定的角，因此在角的集合与实数集合之间建立起一种一一对应的关系. 【注意】在用弧度制表示角时，通常省略“弧度”两字，只写这个角所对应的弧度数. 例如， 则表示弧度的角的正弦. （3）角度与弧度的换算：弧度 弧度，弧度 （4）应熟记一些常用特殊角的角度和弧度的对应关系 角度 弧度 （5）象限角的表示： 第一象限的角的集合： 第二象限的角的集合： 第三象限的角的集合： 第四象限的角的集合： 【注意】角度和弧度不可混用，如“”和“”的写法都是不妥当的. （6）弧长公式和扇形面积公式 引入弧度制使得扇形的弧长和面积公式变得简洁漂亮. 当扇形的圆心角为，半径为时，扇形的弧长和面积的公式分别为及. 在使用弧度制后，圆心角相应的弧度为，因此上述公式可分别简化为 扇形的弧长， 扇形的面积. 例3 ______弧度 _______度 例4 指出下列各角所在的位置： （1）； （2） （3） 例5在内与终边重合的角是___________. 例6 已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为 . 例7 已知扇形的周长为定值100，问扇形的半径和圆心角分别为多少时扇形面积最大？最大值是多少？ A组 双基过关 【难度系数：★   参考时间：20 min】 1. 化弧度制为角度制是 ，化角度制为弧度制是 . 2. 圆心角为，半径为6的扇形面积是 . 3. 集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ） 4. 经过15分钟，时钟的分针所转过的角度为________. 5. 分别写出下列角的集合：（1）终边在上半平面（不含轴）的角；（2）终边在第二象限或第四象限的角. 6. 设，且的终边与角的终边相同，则＝_________. 7. 若两个角的和是1弧度，此两角的差是，试求这两个角. B组 巩固提高 【难度系数：★★   参考时间：25 min】 1. 角与角（）的终边的关系是（ ） （A）关于x轴对称 （B）关于y轴对称 （C）关于原点成中心对称 （D）随变化有不同的对称性 2. 终边为第一象限和第三象限的平分线的角的集合是___________ 3.与角的终边相同，且绝对值最小的角为________ 4. 圆的弧长等于该圆内接正三角形的边长，则该弧所对的圆心角的弧度数是___________. 5. 设是第三象限的角，则是_________________角；是_________________角 6. 的终边与的终边关于直线对称，则＝________ 7. 一钟表的分针长10 cm，经过35分钟，分针的端点所转过的长为：（ ） A．70 cm B．cm C．()cm D．cm 8. 如果与角终边相同，角与角终边相同，那么与之间的关系是（ ） （A） （B） （C） （D） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一讲 任意角及其度量 【学习目标】 1. 理解初中角度和高中角度定义的不同，进一步了解角度推广的意义； 2. 理解角度制与弧度制，熟练掌握弧度制； 3. 掌握扇形的弧长和面积公式. 知识内容与典型例题 【难度系数：★★ 参考时间：60 min】 一、任意角 1. 正角、负角、零角： 正角：一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角，其度量值是正的； 负角：一条射线绕端点按顺时针方向旋转所形成的角为负角，其度量值是负的. 零角：当一条射线没有旋转时，称为零角. 零角的始边与终边重合. 2. 象限角和轴线角： （1）为了便于研究角及与其相关的问题，可将角置于平面直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的正半轴重合，此时角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，或者说这个角属于第几象限. 如图，和都是第一象限角，和都是第二象限的角. （2）当角的终边在坐标轴上时，就说这些角不属于任一象限，这种角称为轴线角. 3. 终边相同的角： 我们把所有与角终边重合的角（包括角本身）的集合表示为 比如，①终边在轴正半轴上的角的集合为； ②终边在轴负半轴上的角的集合为； ③第二象限角的集合为. 像上面一样，可以将所有轴，轴以及坐标轴上的角用集合表示为： ④终边在轴上的角的集合为； ⑤终边在轴上的角的集合为； ⑥终边在坐标轴上的角的集合为； 例1 指出下列各角是哪个象限的角，并写出与下列各角终边相同的角的一般形式，： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）第四象限角，终边相同的角为； （2）第一象限角，终边相同的角为； （3）第二象限角，终边相同的角是. 例2 下列命题中正确的是________ ①三角形的内角是第一象限角或第二象限角； ②第一象限的角是锐角； ③第二象限的角比第一象限的角大； ④小于的角都是锐角； ⑤. 【答案】⑤ 二、角的度量 1. 角度制 平面几何中，我们把周角的作为1度，用“度”作为单位来度量角的单位制叫做角度制. 2. 弧度制 （1）把弧长等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad. 用“弧度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. 一般地说，如果一个半径为的圆的圆心角所对的弧长为，那么就是角的绝对值，即 ， 这里的符号由它的始边旋转至终边的方向决定. （2）在弧度制下，每个角都是一个确定的实数，而每个实数也可以表示一个确定的角，因此在角的集合与实数集合之间建立起一种一一对应的关系. 【注意】在用弧度制表示角时，通常省略“弧度”两字，只写这个角所对应的弧度数. 例如， 则表示弧度的角的正弦. （3）角度与弧度的换算：弧度 弧度，弧度 （4）应熟记一些常用特殊角的角度和弧度的对应关系 角度 弧度 （5）象限角的表示： 第一象限的角的集合： 第二象限的角的集合： 第三象限的角的集合： 第四象限的角的集合： 【注意】角度和弧度不可混用，如“”和“”的写法都是不妥当的. （6）弧长公式和扇形面积公式 引入弧度制使得扇形的弧长和面积公式变得简洁漂亮. 当扇形的圆心角为，半径为时，扇形的弧长和面积的公式分别为及. 在使用弧度制后，圆心角相应的弧度为，因此上述公式可分别简化为 扇形的弧长， 扇形的面积. 例3 ______弧度 _______度 【答案】弧度； 例4 指出下列各角所在的位置： （1）； （2） （3） 【答案】（1）第三象限角；（2）第一象限角；（3）轴负半轴上的角 例5在内与终边重合的角是___________. 【答案】 例6 已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为 . 【答案】6 例7 已知扇形的周长为定值100，问扇形的半径和圆心角分别为多少时扇形面积最大？最大值是多少？ 【答案】当，时，扇形面积最大，最大值为625 【解析】， 当时，，此时， 故当，时，扇形面积最大，最大值为625 A组 双基过关 【难度系数：★   参考时间：20 min】 1. 化弧度制为角度制是 ，化角度制为弧度制是 . 【答案】15°； 2. 圆心角为，半径为6的扇形面积是 . 【答案】 3. 集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（ ）【答案】C 4. 经过15分钟，时钟的分针所转过的角度为________. 【答案】 5. 分别写出下列角的集合：（1）终边在上半平面（不含轴）的角；（2）终边在第二象限或第四象限的角. 【答案】（1）； （2） 6. 设，且的终边与角的终边相同，则＝_________. 【答案】 7. 若两个角的和是1弧度，此两角的差是，试求这两个角. 【答案】设这两个角为弧度，则，解得， B组 巩固提高 【难度系数：★★   参考时间：25 min】 1. 角与角（）的终边的关系是（ ） （A）关于x轴对称 （B）关于y轴对称 （C）关于原点成中心对称 （D）随变化有不同的对称性 【答案】C 2. 终边为第一象限和第三象限的平分线的角的集合是___________ 【答案】 3.与角的终边相同，且绝对值最小的角为________ 【答案】 4. 圆的弧长等于该圆内接正三角形的边长，则该弧所对的圆心角的弧度数是___________. 【答案】 5. 设是第三象限的角，则是_________________角；是_________________角 【答案】第二象限或第四象限的角；第一象限或第二象限或轴正半轴上的角 6. 的终边与的终边关于直线对称，则＝________ 【答案】 7. 一钟表的分针长10 cm，经过35分钟，分针的端点所转过的长为：（ ） A．70 cm B．cm C．()cm D．cm 【答案】D 8. 如果与角终边相同，角与角终边相同，那么与之间的关系是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【错解】， 【正解】， 学科网（北京）股份有限公司 $$