平面向量及其应用B卷-2024年黑龙江大庆第一中学高一数学暑假作业（二）

- 1 - 一、选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 暑假作业（二） 平面向量及其应用（B 卷） 一 项是符合题目要求的。） 1、满足下列条件的三角形中，有一解的个数是（ ） (1)� = 2 , � = 3 , � = 105° (2)� = 2 , � = 3 , � = 35° (3)� = 2 , � = 3 , � = 90° (4)� = 3 , � = 2 , � = 35° A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 2、已知|� | = 2 2，|� | = 3，� ，� 的夹角为 � 4，如图所示，若 baAB 25  ， baAC 3 ，且 D为 BC 中点，则AD的长度为（ ） A. 15 2 B. 15 2 C. 7 D. 8 3、已知在△ ���中，AN = 1 3 NC ，P是BN上的一点.若AP = �AB + 2 11 AC ，则实数m的值为（ ） A. 9 11 B. 5 11 C. 3 11 D. 2 11 4、已知� ，� 是两个互相垂直的单位向量，若向量�满足 � − � − � = 1，则 � 的取值范围是 （ ） A. 2 − 1, 2 + 1 B. 2 − 1, 2 + 2 C. 1, 2 + 1 D. 1, 2 + 2 5、已知△ ���中，角 A、B、C所对的边分别是 a、b、c，设向量� = (�, �)，� = (sin�, sin�)， 若� //� ，且满足(2� − �)cos� = �cos�，则△ ���的形状是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 直角三角形 6、已知△ ���中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且� = 13， � �+� = sin� sin�−sin� − 1.则△ ��� 外接圆的半径为（ ） A. 13 3 B. 13 3 3 C. 13 2 D. 13 2 2 7、在△ ABC中，角 A，B，C所以对的边分别为 a，b，c，若 sin �sin � = 3sin �，△ ��� 的面积为 3 3 2 ，� + � = 3 3，则� =（ ） A. 21 B. 3 C. 21或 3 D. 21或 3 - 2 - 8、在锐角△ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，△ ABC的面积为 S，若 sin(� + �) = 2� �2−�2 ，则 tan� + 1 2tan(�−�)的最小值为（ ） A. 2 B. 2 C. 1 D. 2 2 二、选择题：本大题共 3小题。每小题 6分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，至少有 两项是符合题目要求的。若全部选对得 6分，部分选对得 3分，选错或不选得 0 分。 9、下列说法错误的是( ) A. 若� //� ，� //�，则� //� B. 若� //� ，则存在唯一实数�，使得� = �� C. 两个非零向量� ，� ，若|� − � | = |� | + |� |，则� 与� 共线且反向 D. 已知� = (1,2)，� = (1,1)，且� 与� + �� 的夹角为锐角，则实数�取值范围是 − 5 3 , +∞ 10.在△ ���中，�� = 2，�� = 6，∠��� = 60�，�是边��上的一点，则( ) A. �� ⋅ �� = 6 B. △���外接圆的半径是2 7 3 C. 若�� = 2��，则�� = 3 2 �� − 1 2 �� D. 若��是∠���的平分线，则�� = 3 3 2 11、著名数学家欧拉曾提出如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次在一条直线上，且重 心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.此直线称为欧拉线.该定理称为欧拉线定理.已 知△ ���的外心为�，重心为�，垂心为�，且�� = 6，�� = 4，以下结论正确的是( ) A. �� ⋅ �� =− 20 3 B. �� ⋅ �� = 10 C. �� = �� + �� + �� D. 若|�� | = 2 7，则�� ⋅ �� =− 14 3 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分 12、向量 � 在基底 },{ ba 下的坐标为(1,2)，则向量� 在基底{� + � , � − � }下的坐标为 ． 13、在直角△ ���中，∠��� = 90∘, �� = 1 � ， �� = �，若点�是△ ���所在平面内一点， 且�� = �� 2 �� + �� 4 �� ，则当�� ⋅ �� 取到最大值时，� = . 14、如图，在四边形 ABCD中，∠� = 60°，�� = 3，�� = 6，且�� = ���，�� ⋅ �� =− 3 2 ， 则实数�的值为 ，若 M，N是线段 BC上的动点，且|�� | = 1，则�� ⋅ �� 的最小值 为 ． - 3 - 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15、（13 分）已知不共线向量� ，� 满足|� | = 3，|� | = 2，(2� − 3� )·(2� + � ) = 20． (1)求� ·� ； (2)是否存在实数�，使�� + � 与� − 2� 共线？ (3)若(�� + 2� ) ⊥ (� − �� )，求实数 k的值． 16、 （15 分）在△ ���中，角 A，B，C所对的边是 a，b，c，若向量� = (����, ����)与向 量� = (2� − �, �)共线． (1)求角 C的大小； (2)若� = 1，求△ ���周长 l的取值范围． 17、（15 分）在①3����� = 4� ∙ ����，②2���� �+� 2 = 5����� 这两个条件中任选一个，补 充在下面问题中，然后解答补充完整的题． 在△ ���中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知____，� = 3 2. (1)求 sinA的值; (2)如图，M为边 AC 上一点，|��| = |��|，∠��� = �2， 求△ ���的面积． 18、（17 分）已知向量� 和� ，|� | = |� | = 1，且|� + �� | = 3|� − �� |． (1)若� 与� 的夹角为60∘，求 k的值； (2)记�(�) = � ⋅ � + 1 4 (�2 − 3� − 1 � + 3)，是否存在实数 x，使得� � ≥ 1 − ��对任意的� ∈ −1,1 恒成立？若存在，求出实数 x的取值范围；若不存在，试说明理由． 19、（17 分）杭州市为迎接 2022 年亚运会，规划修建公路自行车比赛赛道，该赛道的平面 示意图为如图的五边形 ABCDE，运动员的公路自行车比赛中如出现故障，可以从本队的 器材车、公共器材车上或收容车上获得帮助．比赛期间，修理或更换车轮或赛车等，也 可在固定修车点上进行．还需要运送一些补给物品，例如食物、饮料，工具和配件．所 以项目设计需要预留出 BD，BE 为赛道内的两条服务通道(不考虑宽度)，ED，DC，CB，BA， AE 为赛道，∠��� =∠��� = 2� 3 ，∠��� = �4，�� = 2 6��，�� = 8��． （1）从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道 BE 的长度； ①∠��� = 7� 12 ；②cos∠��� = 3 5 （2）在（1）条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道 BAE 最长(即�� + ��最大)，最长值为多少？ 暑假作业（二)—答题卡 姓名： 分数： 一、单选题(40分) 1 2 3 4 5 6 7 8 二、多选题(18分) 9 10 11 三、填空题(15分) 12、 13、 14、 四、解答题(77分) 15、(13分) 16、(15分) 17、(15分) B 选择 M 18、(17分) 19、(17分) (1)选择 D