数学（广东省专用，人教版）-2024年新九年级开学摸底考试卷

新九年级开学摸底考试卷（广东省专用，人教版） 数 学 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试范围：八下全册和九上第一章 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如图，在平行四边形中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程中，属于一元二次方程的是（    ）． A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．在中，所对的边分别为由下列条件不能判断它是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 5．把方程 化成 的形式，则 m、n的值是：（   ） A．4， B．4，15 C．， D．，15 6．某班级在学校图书节义卖活动中，售书情况如下表： 售价 3元 4元 5元 6元 数目 10本 15本 14本 11本 则在该班级的这一组售书价格数据中，下列说法错误的是（    ） A．众数是4元 B．总收入是226元 C．平均数是4.52元 D．中位数是4元 7．将根号外的因式移到根号内，得（　　） A． B． C． D． 8．某校八年级学生乘车前往某实践基地参加劳动实践，而后乘车返回学校，学生与学校的距离与所用时间的对应关系如图所示，以下说法正确的是（    ） A．从学校前往基地的平均速度为 B．学生劳动了3.5小时 C．从实践基地返回学校的平均速度为 D．从学校出发小时后，距离学校100千米 9．函数的图象如图所示，下列说法正确的是（     ）    A．当时， B． C．若的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则 D．若点和点在直线上，则 10．如图，在矩形中，，，E，F是对角线上的两个点，且，M，N分别是边，边上的动点．下列四种说法： ①存在无数个平行四边形： ②存在无数个正方形； ③当时，存在唯一的矩形； ④当时，存在唯一的矩形．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11．若有意义，则x的取值范围为 ． 12．一元二次方程的两个根分别为，，则 ． 13．已知点，是一次函数的图象上的两点，则a b（填“>”“<”或“=”）． 14．关于x的一元二次方程的一个根是0，则k的值是 ． 15．如图，菱形的边长为4，，点，在对角线上，且点在点左侧，，连接，，若是等腰三角形，则的长为 ．    三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分. 16．（1）计算：． （2）解方程：． 17．如图，在中，． (1)直接写出的形状是_________； (2)若点P为线段上一点，连接，且，求的长． 18．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．直线与轴交于点，与轴交于点，四边形是平行四边形． (1)求、两点的坐标； (2)求直线所对应的函数表达式． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19．观察以下等式： 第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，…… (1)按照以上规律，写出第4个等式：______________； (2)按照以上规律，写出你猜想的第n个等式：____________．（用含n的等式表示，n为正整数），并证明等式成立． 20．为巩固脱贫攻坚成果，实行乡村振兴，某村村民利用网络平台“直播带货”，销售一批成本为每件50元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价x（元／件） 55 60 70 销售数量y（件） 75 70 60 (1)求y与x之间的函数关系式 (2)销售期间，网络平台要求该商品每件商品售价不得高于100元，要使该商品每天的销售利润为700元，求此时商品售价； 21．百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取的对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据： 84，86，86，87，88，89； 抽取的对B款聊天机器人的评分数据： 66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100； 抽取的对A，B款聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 87 c 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，______； (2)根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)在此次测验中，有240人对A款聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 22．如图，在平面直角坐标系中，直线，为常数且与轴交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)点在直线上，使的面积为3，求出点的坐标； (3)若点在线段上，点在直线上，点在轴上，当四边形是正方形时，求点的坐标． 23．数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动．如图，四边形为矩形，将矩形沿着过点的直线翻折，交于点，点的对应点为点． (1)如图1，当点正好落在对角线和的交点处时，的度数是 ； 如图2，若点是的中点，点落在矩形的内部时，延长交边于点．若，请探究之间的数量关系，并说明理由； (2)已知，，直线与射线交于点，当是直角三角形时，请直接写出的长． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新九年级开学摸底考试卷（广东省专用，人教版） 数学·答案及评分标准 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．A 2．D 3．D 4．D 5．D 6．D 7．B 8．C 9．A 10．B 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11． 12． 13．< 14．1 15．或或 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分. 16．（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程； （1）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：（1）原式 ． （2）， ， 或， ． 17．(1)直角三角形 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理： （1）根据勾股定理的逆定理，即可求解； （2）设，则，在中，根据勾股定理可得关于x的方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是直角三角形； 故答案为：直角三角形. （2）解：由（1）得：， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即． 18．(1)点的坐标为，点的坐标为 (2) 【分析】本题考查了一次函数的性质以及平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据一次函数与坐标轴的交点性质分别求出、两点的坐标 （2）先根据四边形是平行四边形，得出，，即，再运运用待定系数法求一次函数的解析式，即可作答． 【详解】（1）解：直线， 当时，，， 点的坐标为． 当时，， 点的坐标为． （2）四边形是平行四边形， ，， ． 设直线所对应的函数表达式为． 将，代入上式， 得 ． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19．(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了数字的变化规律，二次根式的混合运算，解题的关键是发现等式的规律：等式序号从1开始按自然数顺序排列，等式的左边二次根式的被开方数为该自然数乘以相差为2的数再加上1，右边是该自然数加1． （1）根据题意得到规律：等式序号从1开始按自然数顺序排列，等式的左边二次根式的被开方数为该自然数乘以相差为2的数再加上1，右边是该自然数加1，依此规律可得出答案； （2）根据（1）发现规律用字母表示即可，再分别计算等式两边判断是否相等即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 由以上式子可得：第1个等式为：； 第2个等式为：； 第3个等式为：； 即得出规律为：等式序号从1开始按自然数顺序排列，等式的左边二次根式的被开方数为该自然数乘以相差为2的数再加上1，右边是该自然数加1． 故第4个等式为：； 故答案为：． （2）解：由（1）的规律可得第个等式为：， 证明：等式左边， 为正整数， 等式左边， 又右边， 等式左边=等式右边， ． 20．(1) (2)售价为60元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用： （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解∶ 设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为， 将点、代入一次函数关系式得：， 解得， ∴， （2）解：根据题意，得， 解得， ∵售价不得高于100元， ∴， ∴售价为60元； 21．(1)15，，98 (2)款，理由见解析 (3)69人 【分析】本题考查了平均数、众数、中位数、统计图、样本与总体等，解题的关键是熟知以上概念并能灵活进行分析和计算． （1）先根据A款“满意”的人数求出“满意”所占百分比，用1减去其它三个所占百分比可得a值，根据各等级所占百分比判断中位数中“满意”组中，根据中位数的定义即可求出b值，根据众数的定义即可得出c值； （2）根据平均数相同，中位数大的更受用户喜爱解答即可；． （3）先求出B款中“不满意”所占百分比，再用各款总人数乘以各款“不满意”所占百分比，求和即可得答案． 【详解】（1）A款机器人的评分数据中“满意”的有6人， “满意”所占百分比为， “非常满意”所占百分比为，“不满意”所占百分比为， “比较满意”所占百分比为， ， “不满意”所占百分比为，“比较满意”所占百分比为， “不满意”“比较满意”共有（人）， “满意”的有6人， 中位数在“满意”这组数据中， 第10和第11个数据为88，89， 中位数为，故， B款数据中，98出现4次，次数最多， B款众数为98，故， 故答案为：15，，98； （2）A款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为两款的评分数据的平均数都是88，但A款评分数据的中位数比B款高，所以A款聊天机器人更受用户喜爱． （3）B款中“不满意”的有3人，所占百分比为， 估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有（人）， 答：估计此次测验中，对聊天机器人不满意的人有69人． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 22．(1)； (2)点的坐标为或； (3)点的坐标为 【分析】本题综合考查一次函数的应用． （1）把点的坐标代入直线可得的值，进而把点的坐标和点的坐标代入直线可得和的值，即可求得所求的函数解析式； （2）设点的横坐标为，则的面积可用为底边，点的横坐标的绝对值为高表示，求得的值后进而求得点的纵坐标； （3）易得点和点的横坐标相同，根据点在直线上，点在直线上可得点和点的纵坐标，进而根据列出方程，求解后即可判断出点的横坐标，进而可得点的纵坐标． 【详解】（1）解：点在直线上， ． 即． 将点，代入中， 得：． 解得：． 直线的函数解析式为：； （2）解：设点的横坐标为，则点的纵坐标为． 点的坐标为， ． 则， 解得：或． 当时，； 当时，． 点的坐标为或； （3）解：如图，连接交于点， 四边形是正方形， ，，． 点在直线上， 设． 点在直线上， 设点的坐标为：． ，． ， ， 点的坐标为． 23．(1)①；②，理由见解析 (2)2或18 【分析】（1）①根据矩形的性质和折叠的性质证明是等边三角形，即可得解；②连接，证明得到，求出，设，则，求出，即可得解； （2）分两种情况：当直线与边交于点，点落在矩形内部，是直角三角形时；当直线与边交于点，点落在矩形外部，是直角三角形时；分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ②如图，连接， ， ∵点是的中点， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由折叠可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴； （2）解：当直线与边交于点，点落在矩形内部，是直角三角形时，如图， ， ∵四边形是矩形， ∴，，， 设，由折叠可得：，，， ∴，， ∴，， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； 当直线与边交于点，点落在矩形外部，是直角三角形时，如图， ， 由折叠可得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 数学 答案及评分标准 第1页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ) ( ) 新九年级开学摸底考试卷（广东省专用，人教版） 数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） ( 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] ) ( 第 Ⅱ 卷 （请在各试题的答题区内作答） ) ( 1 1． __________________ 1 2． __________________ 1 3． __________________ 1 4 ． __________________ 1 5． __________________ 16.（8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17 ．（8分） 18 ．（8分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19 ．（ 9 分） 2 0 ．（ 9 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 1 ．（ 9 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 3 ．（12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 3 ．（12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 第4页 第5页 第6页 第1页 第2页 第3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页 第 2页 第 3页 学科网（北京）股份有限公司 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 新九年级开学摸底考试卷（广东省专用，人教版） 数学·答题卡 第Ⅰ卷（请用 2B铅笔填涂） 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅 笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填 写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考 证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；填空题和解答题 必须用 0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔 或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答， 超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 第Ⅱ卷（请在各试题的答题区内作答） 11．__________________ 12．__________________ 13．__________________ 14．__________________ 15．__________________ 16.（8分） 17．（8分） 18．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（9分） 20．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 第 4页 第 5页 第 6页 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 新九年级开学摸底考试卷（广东省专用，人教版） 数 学 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试范围：八下全册和九上第一章 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如图，在平行四边形中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形性质是解题的关键． 根据题意得出，再由平行线的性质求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ∴， ， ∴ 故选：A． 2．下列方程中，属于一元二次方程的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：A、，当时是一元二次方程，故A不正确； B、是分式方程，不是一元二次方程，故B不正确； C、是一元三次方程，故C不正确； D、是一元二次方程，故D正确； 故选：D． 3．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的加法、减法、乘法、除法法则依次判断即可． 本题主要考查了二次根式的加、减、乘、除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A.. 与不是同类二次根式，无法进行相加减，故A选项错误； B. ，故B选项错误； C. ，故C选项错误； D. ，故D选项正确． 故选：D 4．在中，所对的边分别为由下列条件不能判断它是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能灵活运用定理进行计算和推理是解此题的关键．根据勾股定理的逆定理即可判断A、B、D；根据三角形的内角和定理即可判断C． 【详解】解：A、， ， 即是直角三角形， 故本选项不符合题意； B、， ， ， 即是直角三角形， 故本选项不符合题意； C、，， ， ， 即是直角三角形， 故本选项不符合题意； D、，，， ， 不是直角三角形， 故本选项符合题意； 故选：D 5．把方程 化成 的形式，则 m、n的值是：（   ） A．4， B．4，15 C．， D．，15 【答案】D 【分析】把方程的常数项1移项后，左边配成完全平方式，右边化为常数．本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 【详解】解：， ， 故选：D． 6．某班级在学校图书节义卖活动中，售书情况如下表： 售价 3元 4元 5元 6元 数目 10本 15本 14本 11本 则在该班级的这一组售书价格数据中，下列说法错误的是（    ） A．众数是4元 B．总收入是226元 C．平均数是4.52元 D．中位数是4元 【答案】D 【分析】本题考查众数，平均数，中位数，根据众数的定义，平均数，中位数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、这组数据中，4元出现的次数最多，故众数是4元，本选项说法正确； B、总收入为：（元），本选项说法正确； C、平均数（元），本选项说法正确； D、这组数据共有（个），则处于第25，26个数据是4元，5元， 故中位数为，本选项说法错误． 故选：D 7．将根号外的因式移到根号内，得（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的化简．根据题意先判断，再利用二次根式性质进行化简即可． 【详解】解：∵，即， ∴， ∴， 故选：B． 8．某校八年级学生乘车前往某实践基地参加劳动实践，而后乘车返回学校，学生与学校的距离与所用时间的对应关系如图所示，以下说法正确的是（    ） A．从学校前往基地的平均速度为 B．学生劳动了3.5小时 C．从实践基地返回学校的平均速度为 D．从学校出发小时后，距离学校100千米 【答案】C 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，从学校前往基地花费1.5小时，路程为，回家时花费2小时，路程为，根据速度=路程÷时间可判断A、C；在出发1.5小时后到达实践基地，在出发6小时后离开实践基地，据此可判断B；根据选项A的速度乘以时间，据此可判断D． 【详解】A． 从学校前往基地的平均速度为，原说法错误，不符合题意； B． 学生劳动了小时，原说法错误，不符合题意； C． 从实践基地返回学校的平均速度为，原说法正确，符合题意； D． 从学校出发小时后，距离学校，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 9．函数的图象如图所示，下列说法正确的是（     ）    A．当时， B． C．若的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则 D．若点和点在直线上，则 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、由图象可知：当时，，正确； B、由图象可知，，原选项错误； C、若的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则，，原选项错误； D、由图象可知，随的增大而增大， ∵， ∴，原选项错误； 故选A． 10．如图，在矩形中，，，E，F是对角线上的两个点，且，M，N分别是边，边上的动点．下列四种说法： ①存在无数个平行四边形： ②存在无数个正方形； ③当时，存在唯一的矩形； ④当时，存在唯一的矩形．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，正方形的判定，平行四边形的判定，连接，且令，相交于点O，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得只要满足，那么四边形就是平行四边形，据此可判断①；只要，则四边形是正方形，据此可判断②；根据只要，则四边形是矩形，且，即可判断③④． 【详解】解：连接，且令，相交于点O， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴只要满足，那么四边形就是平行四边形， ∵点E，F是上的动点， ∴存在无数个平行四边形，故①正确； 只要，则四边形是正方形， 而符合要求的正方形只有一个，故②错误； 只要，则四边形是矩形， ∵， ∴当时，不存在矩形，故③错误； 当时，此时，即此时，故存在唯一的矩形，故④正确， 故选：B． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11．若有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件．直接根据二次根式有意义的条件“二次根式中的被开方数是非负数”解答即可． 【详解】解：由题意得，， ． 故答案为：． 12．一元二次方程的两个根分别为，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知，是一元二次方程的两根时， ，是解题的关键． 直接根据一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵一元二次方程中，， ． 故答案为：． 13．已知点，是一次函数的图象上的两点，则a b（填“>”“<”或“=”）． 【答案】< 【分析】本题考查了一次函数的增减性，解题的关键是掌握一次函数，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．根据，得出y随x的增大而减小，根据，得出． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵，是一次函数的图象上的两个点，， ∴， 故答案为：． 14．关于x的一元二次方程的一个根是0，则k的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的解一元二次方程的定义，将代入方程，结合一元二次方程的定义求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：1． 15．如图，菱形的边长为4，，点，在对角线上，且点在点左侧，，连接，，若是等腰三角形，则的长为 ．    【答案】或或 【分析】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的特征、等腰三角形的性质，勾股定理等知识，过点C作，垂足为H，根据是等腰三角形，分三种情况讨论即可． 【详解】解：如图，过点C作，垂足为H，    则， 菱形的边长为4，， ， ， 是等腰三角形，， ， 如图，当时， ， 点F与点H重合， ； 如图，当时，   ， 点E与点H重合， ； 如图，当时，   ， ， ； 综上，的长为或或， 故答案为：或或． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分. 16．（1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解一元二次方程； （1）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：（1）原式 ． （2）， ， 或， ． 17．如图，在中，． (1)直接写出的形状是_________； (2)若点P为线段上一点，连接，且，求的长． 【答案】(1)直角三角形 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理： （1）根据勾股定理的逆定理，即可求解； （2）设，则，在中，根据勾股定理可得关于x的方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是直角三角形； 故答案为：直角三角形. （2）解：由（1）得：， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即． 18．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点．直线与轴交于点，与轴交于点，四边形是平行四边形． (1)求、两点的坐标； (2)求直线所对应的函数表达式． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2) 【分析】本题考查了一次函数的性质以及平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据一次函数与坐标轴的交点性质分别求出、两点的坐标 （2）先根据四边形是平行四边形，得出，，即，再运运用待定系数法求一次函数的解析式，即可作答． 【详解】（1）解：直线， 当时，，， 点的坐标为． 当时，， 点的坐标为． （2）四边形是平行四边形， ，， ． 设直线所对应的函数表达式为． 将，代入上式， 得 ． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19．观察以下等式： 第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，…… (1)按照以上规律，写出第4个等式：______________； (2)按照以上规律，写出你猜想的第n个等式：____________．（用含n的等式表示，n为正整数），并证明等式成立． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了数字的变化规律，二次根式的混合运算，解题的关键是发现等式的规律：等式序号从1开始按自然数顺序排列，等式的左边二次根式的被开方数为该自然数乘以相差为2的数再加上1，右边是该自然数加1． （1）根据题意得到规律：等式序号从1开始按自然数顺序排列，等式的左边二次根式的被开方数为该自然数乘以相差为2的数再加上1，右边是该自然数加1，依此规律可得出答案； （2）根据（1）发现规律用字母表示即可，再分别计算等式两边判断是否相等即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 由以上式子可得：第1个等式为：； 第2个等式为：； 第3个等式为：； 即得出规律为：等式序号从1开始按自然数顺序排列，等式的左边二次根式的被开方数为该自然数乘以相差为2的数再加上1，右边是该自然数加1． 故第4个等式为：； 故答案为：． （2）解：由（1）的规律可得第个等式为：， 证明：等式左边， 为正整数， 等式左边， 又右边， 等式左边=等式右边， ． 20．为巩固脱贫攻坚成果，实行乡村振兴，某村村民利用网络平台“直播带货”，销售一批成本为每件50元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价x（元／件） 55 60 70 销售数量y（件） 75 70 60 (1)求y与x之间的函数关系式 (2)销售期间，网络平台要求该商品每件商品售价不得高于100元，要使该商品每天的销售利润为700元，求此时商品售价； 【答案】(1) (2)售价为60元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用： （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解∶ 设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为， 将点、代入一次函数关系式得：， 解得， ∴， （2）解：根据题意，得， 解得， ∵售价不得高于100元， ∴， ∴售价为60元； 21．百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取的对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据： 84，86，86，87，88，89； 抽取的对B款聊天机器人的评分数据： 66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100； 抽取的对A，B款聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 87 c 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，______； (2)根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)在此次测验中，有240人对A款聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 【答案】(1)15，，98 (2)款，理由见解析 (3)69人 【分析】本题考查了平均数、众数、中位数、统计图、样本与总体等，解题的关键是熟知以上概念并能灵活进行分析和计算． （1）先根据A款“满意”的人数求出“满意”所占百分比，用1减去其它三个所占百分比可得a值，根据各等级所占百分比判断中位数中“满意”组中，根据中位数的定义即可求出b值，根据众数的定义即可得出c值； （2）根据平均数相同，中位数大的更受用户喜爱解答即可；． （3）先求出B款中“不满意”所占百分比，再用各款总人数乘以各款“不满意”所占百分比，求和即可得答案． 【详解】（1）A款机器人的评分数据中“满意”的有6人， “满意”所占百分比为， “非常满意”所占百分比为，“不满意”所占百分比为， “比较满意”所占百分比为， ， “不满意”所占百分比为，“比较满意”所占百分比为， “不满意”“比较满意”共有（人）， “满意”的有6人， 中位数在“满意”这组数据中， 第10和第11个数据为88，89， 中位数为，故， B款数据中，98出现4次，次数最多， B款众数为98，故， 故答案为：15，，98； （2）A款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为两款的评分数据的平均数都是88，但A款评分数据的中位数比B款高，所以A款聊天机器人更受用户喜爱． （3）B款中“不满意”的有3人，所占百分比为， 估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有（人）， 答：估计此次测验中，对聊天机器人不满意的人有69人． 五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分. 22．如图，在平面直角坐标系中，直线，为常数且与轴交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)点在直线上，使的面积为3，求出点的坐标； (3)若点在线段上，点在直线上，点在轴上，当四边形是正方形时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或； (3)点的坐标为 【分析】本题综合考查一次函数的应用． （1）把点的坐标代入直线可得的值，进而把点的坐标和点的坐标代入直线可得和的值，即可求得所求的函数解析式； （2）设点的横坐标为，则的面积可用为底边，点的横坐标的绝对值为高表示，求得的值后进而求得点的纵坐标； （3）易得点和点的横坐标相同，根据点在直线上，点在直线上可得点和点的纵坐标，进而根据列出方程，求解后即可判断出点的横坐标，进而可得点的纵坐标． 【详解】（1）解：点在直线上， ． 即． 将点，代入中， 得：． 解得：． 直线的函数解析式为：； （2）解：设点的横坐标为，则点的纵坐标为． 点的坐标为， ． 则， 解得：或． 当时，； 当时，． 点的坐标为或； （3）解：如图，连接交于点， 四边形是正方形， ，，． 点在直线上， 设． 点在直线上， 设点的坐标为：． ，． ， ， 点的坐标为． 23．数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动．如图，四边形为矩形，将矩形沿着过点的直线翻折，交于点，点的对应点为点． (1)如图1，当点正好落在对角线和的交点处时，的度数是 ； 如图2，若点是的中点，点落在矩形的内部时，延长交边于点．若，请探究之间的数量关系，并说明理由； (2)已知，，直线与射线交于点，当是直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)①；②，理由见解析 (2)2或18 【分析】（1）①根据矩形的性质和折叠的性质证明是等边三角形，即可得解；②连接，证明得到，求出，设，则，求出，即可得解； （2）分两种情况：当直线与边交于点，点落在矩形内部，是直角三角形时；当直线与边交于点，点落在矩形外部，是直角三角形时；分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ②如图，连接， ， ∵点是的中点， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由折叠可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴； （2）解：当直线与边交于点，点落在矩形内部，是直角三角形时，如图， ， ∵四边形是矩形， ∴，，， 设，由折叠可得：，，， ∴，， ∴，， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； 当直线与边交于点，点落在矩形外部，是直角三角形时，如图， ， 由折叠可得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$