平面向量及其应用-2024年黑龙江大庆第一中学高一数学暑假作业（一）

第 1页 暑假作业（一）平面向量及其应用 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.下列结论中正确的为( ) A. 两个有共同起点的单位向量，其终点必相同 B. 向量��与向量��的长度相等 C. 对任意向量� ， � |� | 是一个单位向量 D. 零向量没有方向 2.若向量� = (1,2)，� = (1, − 1)，则 2� + � 与� − � 的夹角等于( ) A. � 3 B. � 6 C. � 4 D. 3� 4 3.如图，在平行四边形����中，�� = 1 3 �� ，若�� = ��� + ���，则� + � =( ) A. − 1 3 B. 1 C. 2 3 D. 1 3 4.已知�� = (1, − 1)，�(0,1)，若�� = 2��，则点�的坐标为( ) A. ( − 2,3) B. (2, − 3) C. ( − 2,1) D. (2, − 1) 5.在△ ABC 中，已知sin2� + sin2� − sin�sin� = sin2�,且满足 ab = 4,则该三角形的面积为( ) A. 1 B. 2 C. 2 D. 3 6.在����中，角�, �, �的对边分别为�, �, �，若�2 − �2 = 2��，sin� = 3sin�，则� =（ ） A. � 6 B. � 3 C. 2� 3 D. 5� 6 7.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输（如图）， 一艘船从长江南岸�点出发，以 5 ��/ℎ 的速度沿��方向行驶，到 达对岸�点，且��与江岸��垂直，同时江水的速度为向东 3 ��/ℎ . 则船实际航行的速度大小为( ) A. 2 ��/ℎ B. 34 ��/ℎ C. 4 ��/ℎ D. 8 ��/ℎ 8.非零向量��，�� 满足 �� |�� | + �� |�� | ⋅ �� = 0，且 �� ⇀ �� ⇀ ⋅ �� ⇀ �� ⇀ = 1 2 ，则∆���为( ) A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知向量� = (1, �)，� = (2 − �, − 3)，则下列说法正确的是( ) A. 若� ≠ 3，则向量� ，� 可以表示平面内任一向量 B. 若|� − � | = |� + � |，则� = 1 2 C. 若� 2 > � 2，则� > 3 D. 若� < 1 2 ，则� 与� 的夹角是锐角 第 2页 10.如图，�� = 2��，�� = 3��，线段��与��交于点�，记�� = � ，�� = � ，则( ) A. �� = 1 2 � − 1 3 � B. �� =− 1 2 � + 2 3 � C. �� = 3 5 � + 2 15 � D. �� = 2 5 � + 1 5 � 11.已知����的内角�，�，�所对的边分别为�，�，�，则下列说法正确的是( ) A. 若� > �，则 sin� > sin� B. 若� = � 6 ，� = 5，则����外接圆半径为 10 C. 若� = 2�cos�，则����为等腰三角形 D. 若� = 6，� = 2�，� = � 3 ，则三角形面积�∆��� = 6 3 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分。 12.关于平面向量� ，� ，�，有下列三个命题：   ①若� ⋅ � = � ⋅ �，则� = � ;  ②若� = (1, �)，� = ( − 2,6)，� //� ，则� =− 3; ③非零向量� 和� 满足|� | = |� | = |� − � |，则� 与� + � 的夹角为60∘． 其中真命题为 . (写出所有真命题的序号) 13.已知向量� = (2,1), � = (1, − 1)，且� 与� + �� 的夹角为钝角，则实数�的取值范围是 ． 14.∆���中，� = 2, � = 2cos� + �sin�，则∆���面积的最大值为_________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题 13 分) （1）已知|� | = 2，|� | = 4，� 与� 的夹角为120∘，求|� + 2� |的值； （2）已知� 与� 的夹角为45∘，|� | = 1，|2� − � | = 10，求|� |； 16.(本小题 15 分)已知向量� = (3,2), � = ( − 1,2)． （1）求|� − 2� |的值； （2）若 ba 3 与 bka  共线，求实数 k 的值． 17.(本小题 15 分)已知|� | = 2, |� | = 1, � 与� 的夹角为 45°． （1）求� 在� 方向上的投影向量； （2）若向量 2� − �� 与 �� − 3� 的夹角为锐角，求实数�的取值范围． 18.(本小题 17 分)平面内给定两个向量：� = (4,0), � = ( − 1,2) （1）若(�� + � )//(� +�� )，求实数�； （2）若(2� + �� ) ⊥ � ，求实数�． 19.(本小题 17 分)在∆���中，�，�，�分别是内角�，�，�的对边，已知 8(���2�−���2�) ���� = � − �，且∆��� 的外接圆半径为 4． （1）求角�； （2）求∆���面积的最大值． 暑假作业(一) -答题卡 姓名: 分数: 一、单选题(40分) 2 二、多选题(18分) 9 11 三、填空题(15分) 12、 13、 四、解答题(77分) 15、(13分) 16、 (15分) 17、(15分) 18、(17分) 19、(17分)