5.2.5 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（苏科版）

5.2.5 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 【考点1 二次函数y=ax²+bx+c化成顶点式】 【考点2 二次函数y=ax²+bx+c的顶点坐标，对称轴和最值问题】 【考点3二次函数y=ax²+bx+c的性质】 【考点4二次函数y=ax²+bx+c的y值大小比较】 【考点5二根据次函数y=ax²+bx+c的最值问题去参数取值范围】 【考点6二次函数y=ax²+bx+c的图象问题】 【考点7二次函数y=ax²+bx+c图象变换问题】 【考点8二次函数y=ax²+bx+c中a,b,c系数间的关系】 考点1 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与y=a（x-h)²+k之间的相互关系 1. 顶点式化成一般式 2. 从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 3. 一般式化成顶点式 ． 对照，可知，． ∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 【考点1 二次函数y=ax²+bx+c化成顶点式】 【典例1】用配方法将二次函数化为的形式为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】把二次函数化为顶点式为 ． 【变式1-2】把二次函数用配方法化成的形式是 ． 【变式1-3】二次函数化为的形式为 ． 【考点2 二次函数y=ax²+bx+c的顶点坐标，对称轴】 【典例2】抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是（    ） A．开口向上，对称轴是直线，顶点是 B．开口向上，对称轴是直线，顶点是 C．开口向上，对称轴是直线，顶点是 D．开口向下，对称轴是直线，顶点是 【变式2-1】二次函数的对称轴是直线 ． 【变式2-2】把抛物线化成的形式是 ，该图象的对称轴是 ，顶点坐标是 ． 【变式2-3】抛物线的顶点关于原点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 考点2 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 注意：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 考点3 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象和性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 【考点3二次函数y=ax²+bx+c的性质】 【典例3】关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．顶点坐标是 B．对称轴是直线 C．抛物线有最高点 D．抛物线与轴有两个交点 【变式3-1】关于二次函数的图象，下列说法正确的是（  ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．与y轴交于点 D．与x轴有两个交点 【变式3-2】关于二次函数，下列说法中正确的是（　　） A．函数图象的对称轴是直线 B．函数的有最小值，最小值为 C．点在函数图象上，当时， D．函数值y随x的增大而增大 【变式3-3】已知二次函数，当时，的取值范围为 ． 【考点4二次函数y=ax²+bx+c的y值大小比较】 【典例4】已知点，，都在抛物线上，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（       ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知点在抛物线上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【考点5二根据次函数y=ax²+bx+c的最值问题去参数取值范围】 【典例5】已知二次函数，当时，的最大值为9，则的值为 ． 【变式5-1】已知二次函数（其中），当时，的最大值是4，则的值为 ． 【变式5-2】已知二次函数，在有最大值7，则所有满足条件的实数的值为 ． 【变式5-3】已知二次函数，当时，，则的取值范围是 . 【考点6二次函数y=ax²+bx+c的图象问题】 【典例6】函数与的图象可能是（   ） A．   B．   C．    D．   【变式6-1】函数与的图象可能是（   ） A．   B．   C．    D．   【变式6-2】一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 考点4 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的平移 （1）上下平移 若原函数为 注：①其中m均为正数，若m为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。 ②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负。 （2）左右平移 若原函数为，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式然后再进行相应的变形 注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。 ②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。 【考点7二次函数y=ax²+bx+c图象变换问题】 【典例7】若将函数的图象向左平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的函数关系表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】将二次函数的图象先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到的图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】把二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么的值可能为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 考点5 二次函数y=ax2+bx+c图象和性质 a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 【考点8二次函数y=ax²+bx+c中a,b,c系数间的关系】 【典例8】如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，结合图象分析如下结论：①；②当时，随的增大而增大；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式8-1】如图，二次函数的图象与x轴负半轴交于，对称轴为，有以下结论：①；②；③若点，均在函数图象上，则；④对于任意实数m，都有．其中结论正确的有（    ）    A．1个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式8-2】已知二次函数（为常数，且）的图象如图所示，其对称轴为直线，且经过点．给出下列结论：①；②③．正确的是（   ）    A．①② B．①②④ C． D． 一、单选题 1．将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（    ） A．B． C． D． 2．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示： … … … … 则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知二次函数（，为常数）的最小值为，则有（    ） A．最大值，最大值为 B．最小值，最小值为 C．最大值，最大值为 D．最小值，最小值为 5．二次函数（为常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 6．已知是一元二次方程的一个根，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D． 7．当时，二次函数的最小值为15，则的值为（   ） A．或8 B．8 C．6 D．或6 8．若，，为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 9．已知二次函数，当时，y有最大值17，则（    ） A．或 B．15或 C．或1 D．15或1 10．抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与是抛物线上的两个点，则；④方程的两根为，；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 11．如图，抛物线与x轴的交点坐标分别为，则的值为（   ）    A． B．0 C．1 D．2 12．二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表： x … 0 1 … y … 0 0 … 根据表格中的信息，以下结论正确的是（    ） A．当时，有最大值． B．当时，随的增大而减小 C．关于的一元二次方程的根为， D．若，则 二、填空题 13．对于二次函数，当时，随的增大而减小，那么的取值范围为 ． 三、解答题 14．如图，顶点为M的抛物线与x轴交于两点． (1)求抛物线顶点M的坐标． (2)求直线的解析式． 15．如图，抛物线的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，该抛物线的顶点C的坐标为． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点E为该抛物线的对称轴上的一个动点，在什么情况下，的周长最小； (3)已知上的点F 在直线的下方， 且，求点F的坐标． 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.2.5 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 【考点1 二次函数y=ax²+bx+c化成顶点式】 【考点2 二次函数y=ax²+bx+c的顶点坐标，对称轴和最值问题】 【考点3二次函数y=ax²+bx+c的性质】 【考点4二次函数y=ax²+bx+c的y值大小比较】 【考点5二根据次函数y=ax²+bx+c的最值问题去参数取值范围】 【考点6二次函数y=ax²+bx+c的图象问题】 【考点7二次函数y=ax²+bx+c图象变换问题】 【考点8二次函数y=ax²+bx+c中a,b,c系数间的关系】 考点1 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与y=a（x-h)²+k之间的相互关系 1. 顶点式化成一般式 2. 从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 3. 一般式化成顶点式 ． 对照，可知，． ∴ 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 【考点1 二次函数y=ax²+bx+c化成顶点式】 【典例1】用配方法将二次函数化为的形式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查将二次函数的一般式转化为顶点式，利用配方法进行求解即可． 【详解】解：； 故选D． 【变式1-1】把二次函数化为顶点式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：，，是常数，，该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与轴的交点坐标是； ②顶点式：，，是常数，，其中为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为； ③交点式：，，是常数，，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与轴的两个交点坐标，． 直接用配方法将二次函数解析式化成顶点式即可求解． 【详解】解：， 故答案是：． 【变式1-2】把二次函数用配方法化成的形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的一般式化为顶点式，注意掌握二次函数的解析式有三种形式：一般式：（，、、为常数）；顶点式：；交点式（与轴）：． 【详解】解：， 即：， 故答案为：． 【变式1-3】二次函数化为的形式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方法是解题关键．直接利用配方法表示出顶点式即可． 【详解】解： 故答案为∶． 【考点2 二次函数y=ax²+bx+c的顶点坐标，对称轴】 【典例2】抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是（    ） A．开口向上，对称轴是直线，顶点是 B．开口向上，对称轴是直线，顶点是 C．开口向上，对称轴是直线，顶点是 D．开口向下，对称轴是直线，顶点是 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标．把抛物线解析式化为顶点式，即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 故选：B 【变式2-1】二次函数的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】将二次函数化为顶点式，即可求解，本题考查了二次函数的对称轴，解题的关键是：熟练应用配方法，将二次函数化为顶点式． 【详解】解：， ， 二次函数的对称轴为：， 故答案为：． 【变式2-2】把抛物线化成的形式是 ，该图象的对称轴是 ，顶点坐标是 ． 【答案】 直线 【分析】 本题考查了二次函数的性质；先化为顶点式，即可求解． 【详解】解：，对称轴为直线，顶点坐标为 故答案为：，直线，． 【变式2-3】抛物线的顶点关于原点对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的性质，把二次函数的一般式转化为顶点式是解题的关键． 先求出抛物线的顶点坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特点即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴关于原点对称的点的坐标是． 故选：C． 考点2 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象的画法 1.一般方法：列表、描点、连线； 2.简易画法：五点定形法. 其步骤为： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴． (2)求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 注意：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象， 考点3 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象和性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 【考点3二次函数y=ax²+bx+c的性质】 【典例3】关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．顶点坐标是 B．对称轴是直线 C．抛物线有最高点 D．抛物线与轴有两个交点 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为直线，顶点坐标为． 根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：， 则抛物线的顶点坐标为：，故A错误，不符合题意； 函数的对称轴为直线，故B正确，符合题意； ，故抛物线开口向上，函数有最低点，故C错误，不符合题意； 由知，抛物线与轴有一个交点，故D错误，不符合题意， 故选：B． 【变式3-1】关于二次函数的图象，下列说法正确的是（  ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．与y轴交于点 D．与x轴有两个交点 【答案】D 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 先将函数解析式化为顶点式和交点式，然后根据二次函数的性质，即可判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决． 【详解】解：∵二次函数， 当时，解得，， 故函数与x轴两个交点为， 当时，解得， 故函数与y轴的交点为， 故函数与x轴有两个交点， ∴该函数图象开口向上，故选项A错误，不符合题意； 对称轴为直线，故选项B错误，不符合题意； 与轴的交点坐标为，故选项C错误，不符合题意； 与轴有两个交点，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【变式3-2】关于二次函数，下列说法中正确的是（　　） A．函数图象的对称轴是直线 B．函数的有最小值，最小值为 C．点在函数图象上，当时， D．函数值y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．由于，由此可以确定二次函数的对称轴、顶点坐标，最大或最小值及图象的增减性． 【详解】解：∵， ∴对称轴为，故A不正确； 函数有最大值，最大值为，故B不正确 当，y随x的增大而增大，当，y随x的增大而减小，故D不正确； 当时，，故C正确． 故选：C． 【变式3-3】已知二次函数，当时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据可可知二次函数开口向下，且对称轴为，进而根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵ ∴二次函数开口向下， ∵对称轴为，且， ∴离对称轴距离越远的，函数值越小，即当时，y取的最小值为： 当时，y取的最大值为：， ∴当时，，的取值范围为． 故答案为：． 【考点4二次函数y=ax²+bx+c的y值大小比较】 【典例4】已知点，，都在抛物线上，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目中的抛物线和二次函数的性质，确定的大小关系. 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∵点，，都在抛物线上，且， ∴， 故选B. 【点睛】本题考查二次函数图象上点的特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答. 【变式4-1】若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出二次函数的对称轴，根据时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查比较二次函数的函数值大小．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 【变式4-2】已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了比较二次函数函数值的大小，根据函数解析式求出二次函数开口向上对称轴为直线，则离对称轴越远，函数值越小，据此求解即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵点在二次函数的图象上，， ∴， 故选B． 【变式4-3】已知点在抛物线上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用二次函数对称轴公式，确定对称轴位置，再利用函数的增减性比较即可． 【详解】解：∴抛物线开口向上，对称轴， ∵离对称轴越近，则点的纵坐标越低， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，利用二次函数对称轴公式，确定对称轴位置，是本题的关键． 【考点5二根据次函数y=ax²+bx+c的最值问题去参数取值范围】 【典例5】已知二次函数，当时，的最大值为9，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，最大值的计算方法，根据二次函数图象的性质，先计算出二次函数的对称轴，根据自变量的取值范围找出最大值，由此即可求解，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：已知二次函数， ∴对称轴为：， ∴时与时的函数值相等，时与时的函数值相等， ∴当时的函数值大于时的函数值， ∴当时，， ∴， 解得，， 故答案为： ． 【变式5-1】已知二次函数（其中），当时，的最大值是4，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，先求出抛物线的对称轴，利用二次函数的图象和性质求解即可，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴时，抛物线开口向上，对称轴两侧离对称轴越远，数值越大， ∴当时y有最大值，即，解得：； 故答案为：． 【变式5-2】已知二次函数，在有最大值7，则所有满足条件的实数的值为 ． 【答案】9或 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质．先求出抛物线的对称轴，然后结合抛物线的性质四种情况讨论，即可求解． 【详解】解： ， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， 当时，， ∵在有最大值7，抛物线开口向上， ∴当，即时，， 此时，（舍去）； 当，即时， 若，即， 此时，解得：（舍去）； 若，即， 此时，解得：（舍去）； 此时，解得：； 当，即时， 此时，解得：； 综上所述，a的值为9或． 故答案为：9或 【变式5-3】已知二次函数，当时，，则的取值范围是 . 【答案】且 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．当时，抛物线与轴的交点为，当时，，则满足的任意都有，从而求出的范围，当时，抛物线与轴的交点为，对称轴为直线，抛物线开口向下，故该情况下的任意都有，即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 当时，抛物线与轴的交点为，当时，，则满足的任意都有， 即，解得：， 当时，抛物线与轴的交点为，对称轴为直线，抛物线开口向下，故该情况下的任意都有， 综上所述，且． 【考点6二次函数y=ax²+bx+c的图象问题】 【典例6】函数与的图象可能是（   ） A．   B．   C．    D．   【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，解题的关键是根据a，b与0的大小关系以及交点情况进行讨论． 根据二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧判断出a，b与0的大小关系，进而推出一次函数图象经过第一、三、四象限，再利用二次函数与一次函数交点情况即可作出判断． 【详解】解：由四个选项可知，二次函数开口均向上，对称轴在y轴右侧， ∴，， ∴一次函数图象应该经过第一、三、四象限， 当时，即，， 当时，即， 则二次函数与一次函数在x轴上有一交点，且为 A．一次函数图象经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意． B．一次函数图象经过第一、三、四象限，且有一交点在x轴上，故本选项符合题意． C．一次函数图象经过第一、三、四象限，但交点均不在x轴上，故本选项不符合题意． D．一次函数图象经过第二、三、四象限，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式6-1】函数与的图象可能是（   ） A．   B．   C．    D．   【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，解题的关键是根据a，b与0的大小关系以及交点情况进行讨论． 根据二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧判断出a，b与0的大小关系，进而推出一次函数图象经过第一、三、四象限，再利用二次函数与一次函数交点情况即可作出判断． 【详解】解：由四个选项可知，二次函数开口均向上，对称轴在y轴右侧， ∴，， ∴一次函数图象应该经过第一、三、四象限， 当时，即，， 当时，即， 则二次函数与一次函数在x轴上有一交点，且为 A．一次函数图象经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意． B．一次函数图象经过第一、三、四象限，且有一交点在x轴上，故本选项符合题意． C．一次函数图象经过第一、三、四象限，但交点均不在x轴上，故本选项不符合题意． D．一次函数图象经过第二、三、四象限，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式6-2】一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析图象，确定，a，b的符号一致的，才是可能的，本题考查了函数图象的分布于特征，熟练掌握图象的分布特征是解题的关键 【详解】A、 根据一次函数图象分布，得到即，根据抛物线的图象，得，矛盾，不符合题意； B、根据一次函数图象分布，得到即，根据抛物线的图象，得，即，，矛盾，不符合题意； C、根据一次函数图象分布，得到即，，根据抛物线的图象，得，即，矛盾，不符合题意； D、根据一次函数图象分布，得到即，，根据抛物线的图象，得，即，一致，符合题意； 故选D 【变式6-3】一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键．逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及与y轴的位置关系，即可得出的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论． 【详解】解：A． ∵二次函数图象开口向上，与y轴交点在负半轴， ∴，， ∴一次函数过二，三，四象限，故本选项符合题意； B． ∵二次函数图象开口向下，与y轴交点在正半轴， ∴，， ∴一次函数图象应该过第一、二、三象限，抛物线的对称轴为，故本选项不符合题意； C．  ∵二次函数图象开口向上，与y轴交点在负半轴， ∴， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项不符合题意； D． ∵二次函数图象开口向下，与在y轴交点在正半轴， ∴， ∴一次函数图象应该过一、二，三象限，故本选项不符合题意． 故选：A． 考点4 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的平移 （1）上下平移 若原函数为 注：①其中m均为正数，若m为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。 ②通常上述变换称为上加下减，或者上正下负。 （2）左右平移 若原函数为，左右平移一般第一步先将函数的一般式化为顶点式然后再进行相应的变形 注：①其中n均为正数，若n为负数则将对应的加（减）号改为（减）加号即可。 ②通常上述变换称为左加右减，或者左正右负。 【考点7二次函数y=ax²+bx+c图象变换问题】 【典例7】若将函数的图象向左平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象平移的规律是解题的关键． 根据二次函数平移规律：左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】若将函数的图象向左平移2个单位，再向上平移5个单位， 得到的抛物线的表达式是． 故选：C． 【变式7-1】将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的函数关系表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据平移规律，“上加下减，左加右减”即可求解． 【详解】解：将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位， 得到的抛物线的函数关系表达式为即， 故选：C． 【变式7-2】将二次函数的图象先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到的图象的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，是基础题． 根据函数图象平移变换原则可得平移后的二次函数解析式，进而得到顶点坐标． 【详解】解：将的图象向上平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度可得： ， 则平移后的二次函数图象的顶点为． 故选：B． 【变式7-3】把二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么的值可能为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，二次函数与坐标轴的交点问题，先根据“上加下减，左加右减”的平移规律求出平移后的解析式为，再根据平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，且抛物线与y轴一定会有交点，得到，据此可得答案． 【详解】解：把二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后的抛物线解析式为，即， ∴平移后的抛物线顶点坐标为， ∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，且抛物线与y轴一定会有交点， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有D选项符合题意， 故选：D． 考点5 二次函数y=ax2+bx+c图象和性质 a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 【考点8二次函数y=ax²+bx+c中a,b,c系数间的关系】 【典例8】如图，二次函数的图象与轴交于点，顶点坐标为，结合图象分析如下结论：①；②当时，随的增大而增大；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由题意得到抛物线的开口向上，对称轴，判断a，b与0的关系，根据抛物线与y轴交点的位置确定c与0的关系，从而得到，即可判断①；根据函数性质即可判断②；根据抛物线经过点和时，，得到，，即可判断③；根据图象对称轴为直线，可知，即可求得，根据二次函数的图象顶点坐标为，求得，得到即可判断④． 【详解】解：①∵函数开口方向向上， ∴； ∵对称轴在y轴右侧， ∴a、b异号， ∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴， ∴， ∴， 故①正确； ②∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当时，y随x的增大而增大； 故②错误； ③∵图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴图象与x轴的另一个交点为， ∴， ∴，即； 故③正确； ④∵图象对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∵二次函数的图象顶点坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④错误； 综上所述，正确的有①③共2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用． 【变式8-1】如图，二次函数的图象与x轴负半轴交于，对称轴为，有以下结论：①；②；③若点，均在函数图象上，则；④对于任意实数m，都有．其中结论正确的有（    ）    A．1个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练运用二次函数的图象与性质是解题关键．该二次函数的图象的对称轴为，则，由图象可知，，即可判断①；根据图象可知，当时，，即可判断②；根据抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，值越大，即可判断③，根据时函数取得最小值，即可判断④，即可求解． 【详解】∵根据题意，该二次函数的图象的对称轴为， ∴， ∴， 由图象可知，， ∴， ∴，故①不正确； 根据图象可知，当时，，故②不正确； ∵抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，值越大， 又∵， ∴，故结论③正确； ∵时函数取得最小值， ∴， ∴，故④正确 故选：D． 【变式8-2】已知二次函数（为常数，且）的图象如图所示，其对称轴为直线，且经过点．给出下列结论：①；②③．正确的是（   ）    A．①② B．①②④ C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，根据开口方向，对称轴和与轴的交点位置，判断①②③，利用抛物线与x轴的交点即可判断④． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴直线，与轴交于正半轴， ∴， ∴故①正确，②正确； ∵；故③正确； ∵由图象得，抛物线与x轴有两个交点， ∴，④正确； 故选D． 一、单选题 1．将抛物线向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可得出平移后的抛物线为，再把化为顶点式即可． 【详解】解：抛物线向下平移2个单位后， 则抛物线变为， ∴化成顶点式则为 ， 故选：A． 2．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求抛物线的顶点坐标；把解析式配方即可． 【详解】解：， 即抛物线的顶点坐标为； 故选：D． 3．已知是关于的二次函数，部分与的对应值如表所示： … … … … 则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据表可得二次函数的对称轴为直线，再根据二次函数的性质即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由表可得，二次函数的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴抛物线开口向上， ∴二次函数的最小值为， ∵对称轴为， ∴与的函数值相等， ∴， ∴当时，的取值范围为：， 故选：． 4．已知二次函数（，为常数）的最小值为，则有（    ） A．最大值，最大值为 B．最小值，最小值为 C．最大值，最大值为 D．最小值，最小值为 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象及性质，二次函数的最值，解题关键是熟练掌握二次函数最值的求法． 先根据二次函数有最小值推出、关系式，代入后再根据二次函数性质及最值求法即可得解． 【详解】解：中有最值， 则二次函数中有最小值， 即， ， ， 根据二次函数性质可得有最小值，且最小值为． 故选：． 5．二次函数（为常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：开口向上；开口向下；抛物线的对称轴为直线；也考查了点在抛物线与轴的交点． 根据抛物线开口向上，得出，再根据对称轴可排除C、D选项，然后根据得出交轴的正半轴，排除B选项，即可得出答案． 【详解】A.抛物线开口向上，则，对称轴，交轴的正半轴，故此选项符合题意； B.抛物线开口向上，则，对称轴，，所以应该不交于轴的负半轴，故此选项不符合题意； C.抛物线开口向上，则，对称轴，而图中的对称轴，故此选项不符合题意； D.抛物线开口向上，则，对称轴，而图中的对称轴，故此选项不符合题意； 故选A． 6．已知是一元二次方程的一个根，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，二次函数的最值，先将代入一元二次方程，可得，则，根据二次函数的最值，求出结果即可． 【详解】解：将代入一元二次方程，得： ， ∴， 则， 设，则： ， 变形，得：． ∴当时，可以取得最小值， ∴的最小值为． 故选：D． 7．当时，二次函数的最小值为15，则的值为（   ） A．或8 B．8 C．6 D．或6 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值是解题的关键．利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值，结合当时函数有最小值15，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得：，． 当时，函数有最小值15， 或， 或， 故选：A． 8．若，，为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，确定出各点到对称轴的距离是解题的关键． 先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性以及点到对称轴的距离解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，且开口向上， ∵，，， ∴点距离对称轴最近，点距离对称轴最远， ∴， 故选：． 9．已知二次函数，当时，y有最大值17，则（    ） A．或 B．15或 C．或1 D．15或1 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线的增减性，最值，利用分类思想，分当时和当时两种情况，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，抛物线开口向上，函数有最小值，且与对称轴距离越大，函数值越大， ∵， ∴时，函数局部有最大值，此时函数值为， ∵二次函数在时有最大值17， ∴， 解得，符合题意； 当时，抛物线开口向下，函数有最大值，且与对称轴距离越大，函数值越小， ∵，抛物线的对称轴为直线， ∴时，函数有最大值，此时函数值为， ∵二次函数在时有最大值17， ∴， 解得，符合题意； 故选C． 10．抛物线的部分图象如图所示，对称轴为直线，直线与抛物线都经过点．下列说法：①；②；③若与是抛物线上的两个点，则；④方程的两根为，；⑤当时，函数有最大值．其中正确的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用图象的信息与已知条件求得a，b的关系式，利用待定系数法和二次函数的性质对每个结论进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：抛物线的开口方向向下， 抛物线的对称轴为直线 ， ， 故①的结论正确； 抛物线经过点 故②的结论正确； 抛物线的对称轴为直线 点关于直线对称的对称点为 ， 当时，随的增大而减小 故③的结论不正确； 抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点 抛物线一定经过点， 抛物线与轴的交点的横坐标分别为，1， 方程的两根为，， 故④的结论正确； 直线经过点， ， ， ． 函数 ， 当时，函数有最大值， 故⑤的结论不正确． 综上，结论正确的有：①②④， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，二次函数与一元二次方程的联系，利用图象的信息与已知条件求得，的关系式是解题的关键． 11．如图，抛物线与x轴的交点坐标分别为，则的值为（   ）    A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点以及二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 由抛物线与轴的交点得出对称轴为直线，即可解答． 【详解】解：∵抛物线与x轴的交点坐标分别为， ∴抛物线的对称轴为， ∴， 故选：B． 12．二次函数的自变量与函数的部分对应值如下表： x … 0 1 … y … 0 0 … 根据表格中的信息，以下结论正确的是（    ） A．当时，有最大值． B．当时，随的增大而减小 C．关于的一元二次方程的根为， D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式、二次函数与一元二次方程等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． 由表格可知当和时，，可得抛物线对称轴为，继而可得再利用表格数据求出函数解析式，画出图象即可判断． 【详解】解：当和时，， ∴抛物线对称轴为， ∴， ∴， 又∵当时，；当时，； ∴解得： ∴函数解析式为：， 画出函数图象如图： ∴当时，有最小值．故A错误； 当时，随的增大而增大，故B错误； 关于的一元二次方程，即的根是，，故C正确； 当时，抛物线与ｘ轴交点为， ∴若，则或，故D不正确． 故选C． 二、填空题 13．对于二次函数，当时，随的增大而减小，那么的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，理解二次函数图象的性质是解题的关键．根据题意知抛物线开口向下，只有抛物线的对称轴小于或等于时，满足当时，随的增大而减小，由此即可求解． 【详解】解：二次函数，开口向下，对称轴为直线， 时，满足当时，随的增大而减小， 故答案为：． 三、解答题 14．如图，顶点为M的抛物线与x轴交于两点． (1)求抛物线顶点M的坐标． (2)求直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标以及一次函数的解析式求解，注意计算的准确性． （1）对于二次函数，其顶点坐标为，据此即可求解． （2）令可得点的坐标，设直线的解析式为：，把和代入即可求解． 【详解】（1）解： 点 （2）解：对，当时，． 解得：． 点A在点B的左侧， 点A的坐标为） 设直线的解析式为： 把和代入得： 直线的解析式为： 15．如图，抛物线的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，该抛物线的顶点C的坐标为． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点E为该抛物线的对称轴上的一个动点，在什么情况下，的周长最小； (3)已知上的点F 在直线的下方， 且，求点F的坐标． 【答案】(1) (2)以为对称轴作点D的对称点，当点，E，B三点共线时周长最小 (3) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）以为对称轴作点D的对称点，然后根据轴对称的性质即可求解； （3）设点F为，先求出点A的坐标，再求出直线的表达式，得出，然后利用三角形的面积公式列式求解即可． 【详解】（1）∵二次函数的顶点坐标为 ∴设表达式为 ∵图象过点， ∴， ∴， ∴表达式为； （2）如图，以为对称轴作点D的对称点 ∵， ∴， ， 即当点，E，B三点共线时周长最小 （3）设点F为，如图， ∵A，B为二次函数与x轴的交点 ∴当时，有 即 ． 设直线的表达式为，将点A代入 有 解得 当时， ， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，轴对称最短问题，以及二次函数与几何综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的性质． 35 学科网（北京）股份有限公司 $$