5.2.3 二次函数y=a(x-h)²的图象和性质（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（苏科版）

5.2.3 二次函数的图象和性质 【考点1 二次函数y=a(x-h)²的顶点与对称轴问题】 【考点2二次函数y=a(x-h)²的性质】 【考点3二次函数y=a(x-h)²的y值大小比较】 【考点4 二次函数y=a(x-h)²图象变换问题】 考点 1 y=a（x-h)²的图象性质 1．二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 【问题1】在同一直角坐标系中，画出二次函数与的图象. 先列表： 描点、连线，画出这两个函数的图象: 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 开口向上 y轴 （0,0） 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大。 开口向上 x=2 （2,0） 当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大。 根据所画图象，填写下表： 【问题2】在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图象． 先列表： 描点、连线，画出这两个函数的图象: 根据所画图象，填写下表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 开口向下 y轴 （0,0） 当x＜0时，y随x的增大而减大； 当x＞0时，y随x的增大而增小。 开口向下 x=－1 （－1,0） 当x＜－1时，y随x的增大而减大； 当x＞－1时，y随x的增大而增小。 开口向下 x=1 （1,0） 当x＜1时，y随x的增大而减大； 当x＞1时，y随x的增大而增小。 总结：由【问题1】【问题2】总结二次函数 y=a(x-h)2(a ≠ 0)的性质 y=a(x-h)2 a>0 a<0 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （h，0） （h，0） 最值 当x= h时，y取最小值0 当x= h时，y取最大值0 对称轴 直线x=h 直线x=h 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。 考点2： y=ax²（a≠0）与 y=a(x-h）²+c（a≠0）之间的关系 二次函数y=a(x-h)2的图象可以由y=ax2的图象平移得到： 当h > 0 时,向右平移h个单位长度得到.当h < 0 时,向左平移-h个单位长度得到. 左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变 【考点1 二次函数y=a(x-h)²的顶点与对称轴问题】 【典例1】抛物线的顶点坐标和对称轴分别为（    ） A．，直线 B．，直线 C．，直线 D．，直线 【变式1-1】二次函数的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】请写出一个开口向上，顶点坐标为的二次函数 ． 【变式1-3】抛物线的顶点坐标是 ，抛物线的对称轴是 ． 【考点2二次函数y=a(x-h)²的性质】 【典例2】对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【变式2-1】二次函数的最大值是（   ） A． B．0 C．2 D．3 【变式2-2】二次函数的的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】在抛物线上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【考点3二次函数y=a(x-h)²的y值大小比较】 【典例3】抛物线的图象经过点，，，则，，大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知点、、都在函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】若点，在抛物线上，则y₁、y₂的大小关系是（    ） A．y₁＜y₂ B．y₁＝y₂ C．y₁＞y₂ D．无法判断 【变式3-3】已知点在抛物线上，且，则的取值范围是 ． 【考点4 二次函数y=a(x-h)²图象变换问题】 【典例4】在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3向下平移2个单位后所得抛物线的表达式为（　　） A．y＝﹣2（x+1）2+3 B．y＝﹣2（x﹣3）2+3 C．y＝﹣2（x﹣1）2+5 D．y＝﹣2（x﹣1）2+1 【变式4-1】抛物线与抛物线的关系： 若h＞0，抛物线向 平移h个单位就得到抛物线； 若h＜0，，抛物线向 平移|h|个单位就得到抛物线 【变式4-2】抛物线与抛物线的相同点是（　　） A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．形状大小都相同 D．顶点都在轴上 一、单选题 1．下列函数中，当时，y随x的值的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 2．关于x的二次函数与的性质中，下列说法错误的是（    ） A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．开口大小相同 D．当时，随x的增大而减小，随x的增大而增大 3．抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 4．二次函数的图象的对称轴是（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 5．将抛物线的图象位于直线上方的部分向下翻折，得到新的图象，若直线与新图象有四个交点，则m的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 6．二次函数，当0≤x≤3时，y的取值范围为（　　） A．3≤y≤9 B．1≤y≤9 C．1≤y≤3 D．0≤y≤1 二、填空题 7．函数，当时，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）． 8．抛物线，当时，y随着x的增大而 ． 9．已知二次函数，当时，随着的增大而增大．当时，随的增大而减小，则的值为 ． 10．若点在抛物线上，则 （填“＞”，“＝”或“＜”）． 11．已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为 . 三、解答题 12．已知二次函数，函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 4 1 0 m n …    (1)m=___________，n=___________，顶点坐标为___________． (2)在图中画出二次函数的图象． (3)当x___________时，y随x增大而减小，当x___________时，y随x增大而增大． 13．已知抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)点在抛物线上且在第一象限，，求点的坐标． 14．如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点． (1)求抛物线的对称轴； (2)在平面直角坐标系内是否存在一点，使以、A、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.2.3 二次函数的图象和性质 【考点1 二次函数y=a(x-h)²的顶点与对称轴问题】 【考点2二次函数y=a(x-h)²的性质】 【考点3二次函数y=a(x-h)²的y值大小比较】 【考点4 二次函数y=a(x-h)²图象变换问题】 考点 1 y=a（x-h)²的图象性质 1．二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 【问题1】在同一直角坐标系中，画出二次函数与的图象. 先列表： 描点、连线，画出这两个函数的图象: 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 开口向上 y轴 （0,0） 当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大。 开口向上 x=2 （2,0） 当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大。 根据所画图象，填写下表： 【问题2】在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图象． 先列表： 描点、连线，画出这两个函数的图象: 根据所画图象，填写下表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 开口向下 y轴 （0,0） 当x＜0时，y随x的增大而减大； 当x＞0时，y随x的增大而增小。 开口向下 x=－1 （－1,0） 当x＜－1时，y随x的增大而减大； 当x＞－1时，y随x的增大而增小。 开口向下 x=1 （1,0） 当x＜1时，y随x的增大而减大； 当x＞1时，y随x的增大而增小。 总结：由【问题1】【问题2】总结二次函数 y=a(x-h)2(a ≠ 0)的性质 y=a(x-h)2 a>0 a<0 开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 （h，0） （h，0） 最值 当x= h时，y取最小值0 当x= h时，y取最大值0 对称轴 直线x=h 直线x=h 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的减小而减小。 考点2： y=ax²（a≠0）与 y=a(x-h）²+c（a≠0）之间的关系 二次函数y=a(x-h)2的图象可以由y=ax2的图象平移得到： 当h > 0 时,向右平移h个单位长度得到.当h < 0 时,向左平移-h个单位长度得到. 左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变 【考点1 二次函数y=a(x-h)²的顶点与对称轴问题】 【典例1】抛物线的顶点坐标和对称轴分别为（    ） A．，直线 B．，直线 C．，直线 D．，直线 【答案】B 【分析】直接利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，是解题的关键． 【变式1-1】二次函数的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为直线，顶点坐标为．已知解析式为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标． 【详解】解：因为是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为． 故选：D． 【变式1-2】请写出一个开口向上，顶点坐标为的二次函数 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次函数的解析式的顶点式，可知顶点坐标为；再由二次项系数a的符号可以判断抛物线的开口方向：当时，抛物线开口向上，当时，开口向下，从而写出答案． 【详解】解：顶点坐标为， 设二次函数的解析式为：， 又二次函数的图象开口向上， ，取，得， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次项系数的作用与二次函数的顶点式是解此题的关键． 【变式1-3】抛物线的顶点坐标是 ，抛物线的对称轴是 ． 【答案】 （0，-1） 【分析】根据二次函数的顶点坐标是（0，k）；二次函数的的对称轴是直线，即可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是（0，-1）； 抛物线的对称轴是直线． 故答案为：（0，-1）， 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标是（0，k）；二次函数的的对称轴是直线是解题的关键． 【考点2二次函数y=a(x-h)²的性质】 【典例2】对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，能根据所给函数表达式得出开口向下、对称轴、顶点坐标和增减性是解题的关键． 根据二次函数的表达式，可得出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及增减性，据此可解决问题． 【详解】解：A、因为二次函数的表达式为，所以抛物线的开口向上．故此选项说法正确，不符合题意； B、抛物线的对称轴是直线，故此选项说法正确，不符合题意； C、因为抛物线的顶点坐标为，故此选项说法正确，不符合题意； D、因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上，所以当时，随的增大而减小，故此选项说法不正确，符合题意； 故选：D． 【变式2-1】二次函数的最大值是（   ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的最值问题，解答时根据二次函数的图象的顶点坐标和开口方向进行解答． 【详解】解：∵二次函数的解析式是， ∴该抛物线开口方向向下，且顶点坐标是， ∴二次函数的最大值为0， 故选：B 【变式2-2】二次函数的的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据解析式，，可得图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，即可得． 【详解】解：∵，， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 故选：D． 【点晴】本题考查了二次函数的图象，熟练记住图象与系数的关系是关键． 【变式2-3】已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数，可得函数图象开口向下，对称轴为，函数值随自变量的增大而减小，则，得以解答． 【详解】解：二次函数， ， 函数图象开口向下，对称轴为， 时，函数值随自变量的增大而减小， 故选：A． 【变式2-4】在抛物线上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质判断即可． 【详解】解：抛物线上，开口向上，对称轴为， 在对称轴右侧，随的增大而增大， 当时，随的增大而增大， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，由函数的增减性得到关于的不等式是解题的关键． 【考点3二次函数y=a(x-h)²的y值大小比较】 【典例3】抛物线的图象经过点，，，则，，大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的对称性，再利用二次函数的增减性可判断值的大小． 【详解】解：函数的解析式是， 对称轴是直线， 点的对称点为， 对称轴左边随的增大而减小，对称轴右边随的增大而增大， 又， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是熟记二次函数的增减性及对称性． 【变式3-1】已知点、、都在函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】函数的图象开口向上，对称轴为直线，根据二次函数的性质得在对称轴的左边时，y随x的增大而减小，在对称轴的右边时，y随x的增大而增大，根据点、、三点到对称轴的距离分别为3，2，1得，即可得． 【详解】解：函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴的左边时，y随x的增大而减小，在对称轴的右边时，y随x的增大而增大， ∵点、、三点到对称轴的距离分别为3，2，1， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质． 【变式3-2】若点，在抛物线上，则y₁、y₂的大小关系是（    ） A．y₁＜y₂ B．y₁＝y₂ C．y₁＞y₂ D．无法判断 【答案】C 【分析】将，分别代入，求出，的值比较即可．本题考查了二次函数 (a，h为常数，)的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 【详解】解：将，分别代入，得 ，， ∴． 故选C． 【变式3-3】已知点在抛物线上，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先根据抛物线的开口方向以及图象上点的坐标和,将各点代入，进而得出的取值范围. 【详解】分别将点代入得: ，， ， 因为， 所以， 解之的取值范围是：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象上点的特征，根据已知得出不等式组进而得出取值范围是解题关键. 【考点4 二次函数y=a(x-h)²图象变换问题】 【典例4】在平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3向下平移2个单位后所得抛物线的表达式为（　　） A．y＝﹣2（x+1）2+3 B．y＝﹣2（x﹣3）2+3 C．y＝﹣2（x﹣1）2+5 D．y＝﹣2（x﹣1）2+1 【答案】D 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可． 【详解】解：将抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3向下平移2个单位后所得抛物线的表达式为：y＝﹣2（x﹣1）2+3﹣2，即y＝﹣2（x﹣1）2+1． 故选D． 【点睛】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 【变式4-1】抛物线与抛物线的关系： 若h＞0，抛物线向 平移h个单位就得到抛物线； 若h＜0，，抛物线向 平移|h|个单位就得到抛物线 【答案】 右 左 【解析】略 【变式4-2】抛物线与抛物线的相同点是（　　） A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．形状大小都相同 D．顶点都在轴上 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与各系数之间的关系即可解答． 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点为， 抛物线的开口向下，对称轴为y轴，顶点是， ∵二次项系数决定抛物线的开口方向和形状， ∴抛物线与抛物线的开口方向相反，但是形状大小相同， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象与各系数的关系是解题关键． 一、单选题 1．下列函数中，当时，y随x的值的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的增减性，对于一次函数当一次项系数大于0时，则y随x的值的增大而增大，当一次项系数小于0时，则y随x的值的增大而减小，对应二次函数当二次系数大于0时，在对称轴右侧，y随x的值的增大而增大，在对称轴左侧y随x的值的增大而减小，当二次系数小于0时，在对称轴右侧，y随x的值的增大而减小，在对称轴左侧y随x的值的增大而增大，据此求解即可． 【详解】解：A、由于，则当时，y随x的值的增大而减小，不符合题意； B、由于，则当时，y随x的值的增大而增大，符合题意； C、由于，对称轴为直线，则当时，y随x的值的增大而减小，不符合题意； D、由于，对称轴为直线，则当时，y随x的值的增大而增大，当时，y随x的值的增大而减小，不符合题意； 故选：B． 2．关于x的二次函数与的性质中，下列说法错误的是（    ） A．开口方向相同 B．对称轴相同 C．开口大小相同 D．当时，随x的增大而减小，随x的增大而增大 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：二次函数的开口向上，对称轴是直线，当，y随x的增大而减小； 二次函数的开口向下，对称轴是直线，当，y随x的增大而增大； 故选项A符合题意，选项B、C，D不符合题意． 故选：A． 3．抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】根据题目中的函数解析式，直接可以写出对称轴即可； 本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【详解】解：抛物线解析式为： 该抛物线的对称轴是直线， 故选：A． 4．二次函数的图象的对称轴是（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】根据抛物线的顶点式可直线得出抛物线的对称轴． 【详解】解：∵， ∴抛物线对称轴为直线． 故选C． 【点睛】本题主要考查抛物线的顶点式，掌握抛物线顶点式方程是解题的关键，即在中其顶点坐标为． 5．将抛物线的图象位于直线上方的部分向下翻折，得到新的图象，若直线与新图象有四个交点，则m的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】画出图形，当直线位于直线与之间时，它与新图形有4个交点，分别求出过点A的直线及与抛物线只有一个公共点的直线，即可确定m的取值范围． 【详解】当时，解得：，， 即，； 设过A且与直线平行的直线解析式为， 则有：， 即， 所以直线解析式为， 设与直线平行且与抛物线只有一个公共点的直线解析式为， 则有：， 消去y并整理得：， ， 解得：， 即直线解析式为， 由图象知：当时，直线与新图象有四个交点， 故选：B． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了二次函数与一元二次方程，求平行直线的解析式，解方程组，解题的关键是正确画出图形，运用数形结合思想． 6．二次函数，当0≤x≤3时，y的取值范围为（　　） A．3≤y≤9 B．1≤y≤9 C．1≤y≤3 D．0≤y≤1 【答案】B 【分析】根据函数得到函数有最小值1，画出函数的图象，运用数形结合思想解答即可． 【详解】解：二次函数的图象如图： 所以函数有最小值1，当x=0时，y=3，当x=3时，y=9， 当0≤x≤3时，x=1在范围内，故函数值能取到最小值，故1≤y≤9． 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，最值，增减性，数形结合思想，熟练掌握抛物线的性质和数形结合思想是解题的关键． 二、填空题 7．函数，当时，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）． 【答案】减小 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线的增减性是由对称轴和开口方向确定的，确定开口方向和对称轴是关键．根据顶点式可求对称轴，再结合开口方向判断增减性． 【详解】解：根据二次函数解析式为， 可知对称轴是直线， 又，抛物线开口向上， 所以，当时，y随x的增大而减小． 故答案为：减小． 8．抛物线，当时，y随着x的增大而 ． 【答案】减小 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线,即可求解． 【详解】解：抛物线，开口向下，对称轴为直线, ∴当时，y随着x的增大而减小， 故答案为：减小． 9．已知二次函数，当时，随着的增大而增大．当时，随的增大而减小，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据题意可得二次函数的对称轴为直线，进而可得h的值． 【详解】解：∵当时，y随着x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴h的值为， 故答案为：． 10．若点在抛物线上，则 （填“＞”，“＝”或“＜”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据题意得出对称轴，开口向上的抛物线，离对称轴越远的点，其纵坐标越大，据此即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为：直线， ∵， 且抛物线开口向上， ∴ 故答案为： 11．已知二次函数（h为常数），当时，函数y的最大值为，则h的值为 . 【答案】0或7/7或0 【分析】先判断出二次函数的图象开口向下，对称轴为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分h＜2，和h＞5三种情况，分别根据二次函数的最值列式求解． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∴若h＜2，则当时，函数y取最大值，即， 解得：或（舍去）， 若，则当时，函数y取最大值0，不符合题意； 若h＞5，则当时，函数y取最大值，即， 解得：（舍去）或， 综上，h的值为0或7， 故答案为：0或7． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的增减性与二次函数的最值问题． 三、解答题 12．已知二次函数，函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 4 1 0 m n …    (1)m=___________，n=___________，顶点坐标为___________． (2)在图中画出二次函数的图象． (3)当x___________时，y随x增大而减小，当x___________时，y随x增大而增大． 【答案】(1)，， (2)图象见解析 (3)； 【分析】（1）将，分别代入即可得到、的值，然后根据二次函数的顶点式得出顶点坐标； （2）用描点法画出二次函数的图象即可； （3）由二次函数的解析式可知，对称轴为直线：，然后根据图象利用二次函数的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：当时，，即； 当时，，即， 由二次函数得，顶点坐标为：， 故答案为：，，； （2）如图，    （3）观察问题（2）图象可知： 当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质、图象的画法、函数值的计算，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 13．已知抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)点在抛物线上且在第一象限，，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由抛物线解析式可得顶点坐标，求出时的值可得点坐标即可； （2）设点，过点作轴于点，由可得的值，从而得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线的表达式为， ∴顶点坐标为， 在函数中， ∵当时，， ∴； （2）解：根据题意得，， ∴，， 设（）， 过点作轴于点，如图所示： ∴，， ∴， ∵, ∴， 整理得， 解得（舍去），， ∴点的坐标为． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质及割补法求三角形的面积等知识点． 14．如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点． (1)求抛物线的对称轴； (2)在平面直角坐标系内是否存在一点，使以、A、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线与坐标轴交点的求法，平行四边形的性质． （1）根据二次函数解析式写出对称轴方程即可； （2）根据平行四边形对角线互相平分，分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线； （2）解：存在， 令，则， 令，则， ， ∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形， 设， 当为对角线时，则， 解得：， ， 当为对角线时，则， 解得：， ， 当为对角线时，则， 解得：， ， 综上所述，P点坐标为或或． 20 学科网（北京）股份有限公司 $$