5.2.2 二次函数y=ax²+c的图象和性质（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（苏科版）

5.2.2 二次函数的图象和性质 【考点1 二次函数y=ax²+c顶点与对称轴问题】 【考点2 二次函数y=ax²+c图象性质】 【考点3二次函数y=ax²+c中y值大小比较问题】 【考点4二次函数y=ax²与一次函数综合问题】 考点 1 y=ax²+c的图象性质 【问题1】画出函数y＝x2﹣1的图象． 【解答】解：∵次函数y＝x2﹣1的顶点坐标为：（0，﹣1），当y＝0时x＝1或x＝﹣1， ∴此图象与x轴的交点坐标为（1，0），（﹣1，0）， ∴其图象如图所示： 二次函数y＝x2﹣1的性质：（1）y=x2﹣1 图象是一条抛物线（2）关于y轴对称（3）开口向上（4）顶点（0，-1）（5）当x＜0时，y随x的增大而减少，当x＞0时，y随x的增大而增大；（6）有最低点. 【问题2】画出函数y＝﹣x2+1的图象． 【解答】解：列表如下： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣8 ﹣3 0 1 0 ﹣3 ﹣8 … 描点、连线如图． 二次函数y＝-x2+1的性质：（1）y=-x2+1 图象是一条抛物线（2）关于y轴对称（3）开口向下（4）顶点（0，1）（5）当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减少；（6）有最高点. 总结： 1.y=ax²+c的图象的性质 【考点1 二次函数y=ax²+c顶点与对称轴问题】 【典例1-1】二次函数的对称轴是(    ) A．轴 B．轴 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对于二次函数，其对称轴为直线，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：抛物线的对称轴是：直线， 即对称轴是y轴， 故选：A． 【典例1-2】二次函数y＝﹣3x2+2图象的顶点坐标为（　　） A．（0，0） B．（﹣3，﹣2） C．（﹣3，2） D．（0，2） 【答案】D 【分析】根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可． 【详解】解：二次函数y＝﹣3x2+2的图象的顶点坐标是（0，2）． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h． 【变式1-1】抛物线的对称轴是（    ） A．轴 B．轴 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】由抛物线的顶点坐标直接得到对称轴． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是，则其对称轴是轴． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质，顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线，此题考查了学生的应用能力． 【变式1-2】下列二次函数中，对称轴是直线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象、二次函数的性质．根据各个选项中的函数解析式可以得到相应的对称轴，从而可以解答本题． 【详解】解：A、的对称轴是直线，不符合题意； B、的对称轴是直线，不符合题意； C、， 的对称轴是直线，不符合题意； D、， 的对称轴是直线，符合题意； 故选：D． 【变式1-3】抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式解析式写出顶点坐标即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：的顶点坐标是， 故选：． 【考点2 二次函数y=ax²+c图象性质】 【典例2-1】二次函数y＝x2＋1的图象大致是(      ) A． B．   C．   D．   【答案】C 【详解】解：二次函数y=x2+1中， a=1>0,图象开口向上,顶点坐标为(0,1)， 符合条件的图象是C. 故选C. 【典例2-2】关于二次函数，下列说法错误的是（    ）． A．抛物线开口向上 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为轴 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：二次函数中， ， 抛物线开口向上，故A正确，不符合题意； 函数对称轴是y轴，故选项C正确，不符合题意； 把代入中，得， ∴图象的顶点坐标为，故选项B错误，符合题意； ∵图象开口向上，对称轴是y轴， ∴时，y随x的增大而增大，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 【变式2-1】二次函数的图象经过（    ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵，，对称轴为轴，顶点坐标为， ∴抛物线过第一、二象限； 故选A 【点睛】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 【变式2-2】关于二次函数的说法中，不正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．图象的对称轴是直线 C．图象经过点 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】由可判断选项A；由可得对称轴为y轴，可判断选项B；把点代入抛物线解析式可判断选项C；由对称轴及抛物线增减性可判断选项D． 【详解】解：∵， ∴图象的开口向上，故选项A不符合题意； ∵， ∴对称轴为y轴，故选项B符合题意； 把点代入，等式成立，故选项C不符合题意； ∵抛物线开口向上，对称轴为y轴， ∴当时，y随x的增大而减小，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数系数与图象的关系是解决问题的关键． 【变式2-3】下列图象中，函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数之间的关系，根据二次函数的开口方向和与y轴的交点位置分别判定a的符号，以及对称轴是y轴，看是否一致即可得到答案． 【详解】解：函数的对称轴为y轴， A、抛物线开口向上，则，与y轴交于正半轴，则，即，二者不一致，不符合题意； B、抛物线开口向上，则，与y轴交于负半轴，则，即，但是对称轴不是y轴，不符合题意； C、抛物线开口向下，则，与y轴交于负半轴，则，即，二者不一致，不符合题意； D、抛物线开口向下，则，与y轴交于正半轴，则，即，二者一致，且对称轴是y轴，符合题意； 故选：D． 【变式2-4】对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．有最大值5 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值5 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数，当时，函数有最小值c，当时，函数有最大值c，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向下，对称轴为y轴， ∵当时，， ∴二次函数有最大值， 故选B． 【考点3二次函数y=ax²+c中y值大小比较问题】 【典例3】已知在二次函数的图象上，则为的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出抛物线开口方向和对称轴，根据二次函数的对称性和增减性即可求出答案． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的开口向上，对称轴是y轴， ∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大， ∵在二次函数的图象上， ∴关于y轴的对称点也在二次函数的图象上， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质找出函数的单调区间是解题的关键． 【变式3-1】已知点，均在抛物线上，则、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定抛物线的对称轴，根据两点离对称轴的远近，再结合抛物线的开口方向即可判断出、的大小关系． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵、， ∴点离直线远，点离直线近， 而抛物线开口向上， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，当抛物线开口向上时，抛物线上离对称轴越近的点，其函数值越小，反之则越大，掌握此特点是关键．当然，由于本题给出了具体的二次函数式及两点的横坐标，也可求得这两点的纵坐标，比较纵坐标即可． 【变式3-2】若三点，，都在二次函数的图象上，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是轴，根据时，随的增大而减小，即可得出答案． 【详解】解：∵的图象开口向下，对称轴是轴，关于y轴的对称点是， ∴时，随的增大而减小， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 【变式3-3】若点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，对称轴为y轴，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线开口向下，对称轴为y轴， 而离y轴的距离最远，离y轴的距离最近， ∴． 故选：C． 【考点4 二次函数y=ax²与一次函数综合问题】 【典例4】在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B．   C．   D．   【答案】D 【分析】此题考查了抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，难度适中． 本题可先由二次函数的图象得到字母系数的正负，再与一次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】解：A、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴，由直线可知，图象过二、三、四象限，，故此选项错误； B、由抛物线可知，图象与y轴交在正半轴，由直线可知，图象过一、二、三象限，，故此选项错误； C、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴，由直线可知，图象过一、二，四象限，,故此选项错误； D、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴，由直线可知，图象过一、二，四象限，即，故此选项正确； 故选：D． 【变式4-1】在直角坐标系中，函数y= 3x与y= －x2+1的图象大致是（   ）              A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：由一次函数的性质可知，y= 3x的函数图象过一、三象限，由二次函数性质可得y= －x2+1中a<0，抛物线开口向下，故选D. 一、单选题 1．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据“二次函数形如，顶点为”即可得到答案． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：A． 2．下列各点中，是二次函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标满足其解析式．分别把、0、2代入二次函数解析式中计算出对应的函数值，然后进行判断． 【详解】解：当时，，故A错误； 当时，，故B错误； 当时，，故C错误； 当时，，故D正确； 故选：D． 3．已知二次函数，下列说法正确的是（    ） A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是 D．函数的最小值是 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标和最值，进而求解，解题关键是熟练掌握二次函数图象与性质． 【详解】、的对称轴为轴，此选项说法错误，不符合题意； 、的顶点坐标为，此选项说法正确，符合题意； 、中，开口向下，则函数有最大值，此选项说法错误，不符合题意； 、中，开口向下，则函数有最大值，此选项说法错误，不符合题意； 故选：． 4．下列函数中，当时，随的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数，反比例函数，一次函数的增减性，根据二次函数，反比例函数，一次函数的增减性逐项分析即可． 【详解】解：A．，∵，∴当时，随的增大而增大，故不符合题意； B．，∵，∴抛物线开口向下，当时，随的增大而减小，故符合题意； C．，∵，∴抛物线开口向上，当时，随的增大而增大，故不符合题意； D．，∵，∴双曲线在二四象限，当时，随的增大而增大，故不符合题意． 故选B． 5．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，由二次函数解析式可得抛物线的顶点坐标，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 故选：． 6．将抛物线绕原点O旋转，则旋转后的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定抛物线的顶点坐标，再利用关于原点对称可得旋转后的顶点坐标，且旋转后的开口方向相反，即可得旋转后的抛物线的解析式． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，开口向上， 抛物线绕原点O旋转， 旋转后抛物线的顶点坐标为，开口向下， 旋转后抛物线的解析式为． 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，找到旋转后的对应顶点和开口方向是解题的关键． 7．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，正方形的边在轴上，，在抛物线上，连结，，是正三角形，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设交于点，根据正方形与抛物线的对称性，可得阴影部分面积为，先求得抛物线的解析式为，待定系数法求得直线的解析式为，根据对称性设，进而求得点的坐标，点的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点， ∵是正三角形，， ∴ ∴ 设过的抛物线解析式为， 将点代入，得 ∴ ∴抛物线解析式为， ∵四边形是正方形，且关于轴对称， ∴ 设 ， ∵在上， ∴， 解得（舍去） ∵， 设直线的解析式为， ∴ ∴ ∴直线的解析式为 ∵在上， ∴的横坐标为 代入 得 ∴ ∴ ∴阴影部分面积为 故选D 【点睛】本题考查了抛物线的性质，待定系数法求解析式，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，求得点的坐标是解题的关键． 二、填空题 8．已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，解答关键是利用数形结合思想解答问题．先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为y轴，然后通过比较三个点到对称轴的远近确定函数值的大小． 【详解】解：∵二次函数图象的对称轴为y轴，开口向下， ∴到y轴的距离最近，到y轴的距离最远， ∴． 故答案为：． 9．一个二次函数满足过点，且开口向上，该二次函数可以为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质，开口向上，要求即可． 【详解】解：∵开口向上， ∴， 且与y轴的交点为， ∴函数解析式可以为：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 10．抛物线的对称轴是 ． 【答案】轴 【分析】根据二次函数的图象及性质，即可求得． 【详解】解：∵抛物线顶点为， ∴该抛物线的对称轴是直线，即轴， 故答案为：轴 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，掌握的图象及性质是解题的关键． 11．已知点在二次函数的图象上，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】把点代入可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵点在二次函数的图象上， ∴， ∴， ∴的最小值为2． 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 12．二次函数的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的顶点式确定二次函数的最大值． 【详解】解：∵二次函数的表达式为， ∴当时，二次函数取得最大值，为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键． 13．如图，抛物线，将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作，将x轴下方的部分沿x轴翻折后记作，和构成的图形记作．关于图形，给出如下四个结论：①图形关于y轴成轴对称；② 图形有最小值，且最小值为0；③ 当时，图形的函数值都是随着x的增大而增大的；④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），以上四个结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】画出图象，根据图象即可判断． 【详解】解：如图所示， ①图形关于y轴成轴对称，故正确； ②由图象可知，图形有最小值，且最小值为0；，故正确； ③当时，图形与x轴交点的左侧的函数值都是随着x的增大而减小，图形与x轴交点的右侧的函数值都是随着x的增大而增大，故错误； ④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），故正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，数形结合是解题的关键． 14．已知函数，当时，则函数值的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数表达式，求出函数的对称轴，根据开口方向判断函数的增减性即可解答． 【详解】解：∵， ∴函数开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为， ∴当时，函数有最小值：， 当时，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是根据函数表达式得出函数的对称轴，结合开口方向得出函数的增减性． 三、解答题 15．已知二次函数． (1)确定该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当__________时，函数有最__________值，是__________； (3)当__________时，随的增大而增大；当__________时，随的增大而减小； (4)该函数图象经过怎样的平移或旋转可以得到二次函数的图象？ 【答案】(1)该函数图象的开口方向向上，对称轴为轴，顶点坐标为 (2)0，小， (3)， (4)见解析 【分析】（1），（2），（3）由于是二次函数，由此可以确定函数的图象的形状，根据二次项系数可以确定开口方向，根据抛物线的顶点式解析式可以确定其顶点的坐标，对称轴及增减性； （4）根据左加右减，上加下减可得出答案． 【详解】（1）∵二次函数，， ∴该函数图象的开口方向向上，对称轴为轴，顶点坐标为． （2）当时，函数有最小值，是； （3）当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； （4）函数向上平移5个单位长度得到， 再绕原点旋转180°得到（或先旋转再平移）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质与图象的平移． 掌握二次函数图象和性质是解题的关键． 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.2.2 二次函数的图象和性质 【考点1 二次函数y=ax²+c顶点与对称轴问题】 【考点2 二次函数y=ax²+c图象性质】 【考点3二次函数y=ax²+c中y值大小比较问题】 【考点4二次函数y=ax²与一次函数综合问题】 考点 1 y=ax²+c的图象性质 【问题1】画出函数y＝x2﹣1的图象． 【解答】解：∵次函数y＝x2﹣1的顶点坐标为：（0，﹣1），当y＝0时x＝1或x＝﹣1， ∴此图象与x轴的交点坐标为（1，0），（﹣1，0）， ∴其图象如图所示： 二次函数y＝x2﹣1的性质：（1）y=x2﹣1 图象是一条抛物线（2）关于y轴对称（3）开口向上（4）顶点（0，-1）（5）当x＜0时，y随x的增大而减少，当x＞0时，y随x的增大而增大；（6）有最低点. 【问题2】画出函数y＝﹣x2+1的图象． 【解答】解：列表如下： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣8 ﹣3 0 1 0 ﹣3 ﹣8 … 描点、连线如图． 二次函数y＝-x2+1的性质：（1）y=-x2+1 图象是一条抛物线（2）关于y轴对称（3）开口向下（4）顶点（0，1）（5）当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减少；（6）有最高点. 总结： 1.y=ax²+c的图象的性质 【考点1 二次函数y=ax²+c顶点与对称轴问题】 【典例1-1】二次函数的对称轴是(    ) A．轴 B．轴 C．直线 D．直线 【典例1-2】二次函数y＝﹣3x2+2图象的顶点坐标为（　　） A．（0，0） B．（﹣3，﹣2） C．（﹣3，2） D．（0，2） 【变式1-1】抛物线的对称轴是（    ） A．轴 B．轴 C．直线 D．直线 【变式1-2】下列二次函数中，对称轴是直线的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【考点2 二次函数y=ax²+c图象性质】 【典例2-1】二次函数y＝x2＋1的图象大致是(      ) A． B．   C．   D．   【典例2-2】关于二次函数，下列说法错误的是（    ）． A．抛物线开口向上 B．抛物线的顶点坐标为 C．抛物线的对称轴为轴 D．当时，随的增大而增大 【变式2-1】二次函数的图象经过（    ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【变式2-2】关于二次函数的说法中，不正确的是（    ） A．图象的开口向上 B．图象的对称轴是直线 C．图象经过点 D．当时，y随x的增大而减小 【变式2-3】下列图象中，函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．有最大值5 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值5 【考点3二次函数y=ax²+c中y值大小比较问题】 【典例3】已知在二次函数的图象上，则为的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知点，均在抛物线上，则、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】若三点，，都在二次函数的图象上，则（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】若点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【考点4 二次函数y=ax²与一次函数综合问题】 【典例4】在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B．   C．   D．   【变式4-1】在直角坐标系中，函数y= 3x与y= －x2+1的图象大致是（   ）              A． B． C． D． 一、单选题 1．抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．下列各点中，是二次函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 3．已知二次函数，下列说法正确的是（    ） A．对称轴为 B．顶点坐标为 C．函数的最大值是 D．函数的最小值是 4．下列函数中，当时，随的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 5．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 6．将抛物线绕原点O旋转，则旋转后的抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 7．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，正方形的边在轴上，，在抛物线上，连结，，是正三角形，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是 ．（用“”连接） 9．一个二次函数满足过点，且开口向上，该二次函数可以为 ． 10．抛物线的对称轴是 ． 11．已知点在二次函数的图象上，则的最小值为 ． 12．二次函数的最大值为 ． 13．如图，抛物线，将该抛物线在x轴和x轴上方的部分记作，将x轴下方的部分沿x轴翻折后记作，和构成的图形记作．关于图形，给出如下四个结论：①图形关于y轴成轴对称；② 图形有最小值，且最小值为0；③ 当时，图形的函数值都是随着x的增大而增大的；④当时，图形恰好经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点），以上四个结论中，所有正确结论的序号是 ． 14．已知函数，当时，则函数值的取值范围是 ． 三、解答题 15．已知二次函数． (1)确定该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当__________时，函数有最__________值，是__________； (3)当__________时，随的增大而增大；当__________时，随的增大而减小； (4)该函数图象经过怎样的平移或旋转可以得到二次函数的图象？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$