5.4 二次函数的实际应用（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（苏科版）

5.4 二次函数的实际应用 【考点1 运动类（1）落地模型】 【考点2 运动类（2）最值模型】 【考点3经济类-二次函数与一次函数初步综合】 【考点4经济类-二次函数中的“每每问题”】 【考点5面积类】 【考点6拱桥类】 考点1 ：运动类 （1）落地模型 （2） 最值模型 【考点1 运动类（1）落地模型】 【典例1】掷实心球是某市初中毕业升学体育考试选考项目之一．如图1是一名男生掷实心球情境，实心球行进路线呈拋物线形状，实心球行进最高点为，如图2所示．掷出时，测得起点处高度，竖直高度，水平距离．根据某市初中毕业升学体育考试评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 【变式1-1】如图，某同学在投掷实心球，他所投掷的实心球的高与投掷距离之间的函数关系满足，则该同学掷实心球的成绩是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】足球比赛中，当守门员远离球门时，进攻队员常常使用品射战术（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门）．一般来说，战术中足球的运动轨迹往往是一条抛物线．摩洛哥与葡萄牙比赛进行中，摩洛哥一位球员在离对方球门米的点处起脚吊射，假如球飞行的线是一条抛物线，在离球门米时，足球达到最大高度米，以点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)此时，葡萄牙队的守门员在起跳后双手能达到的最大高度是米，在球门前方距离球门线米处，原地起跳，在没有摩洛哥队员干扰的情况下，他能否在空中截住这次吊射？请说明理由． 【变式1-3】九年级体育课上，男同学正在进行原地掷实心球训练．如图所示，某同学实心球出手（点A处）的高度是2米，出手后的实心球沿一段抛物线运行，当实心球运行到最高点时，运行高度为米，水平距离为4米． (1)试求实心球运行高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数表达式； (2)设实心球落地点为C，实心球落地点与出手点之间的水平距离为原地掷实心球的成绩，求某同学的成绩； (3)如果某同学想把他的原地掷实心球成绩提高到12米，则在出手高度不变的情况下，求此时满足条件的实心球运行高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数表达式．（实心球运行到最高点时，水平距离范围） 【考点2 运动类（2）最值模型】 【典例2】“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会在美丽的浏阳河边上手持网红烟花加特林进行燃放，当发射角度与水平面成45度角时，烟花在空中的高度（米）与水平距离（米）接近于抛物线，烟花可以达到的最大高度是 米． 【变式2-1】一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 s． 【变式2-2】《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因可以用物理和数学的知识来解释．公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离与时间的函数关系式为，当遇到紧急情况刹车时，由于惯性的作用，汽车最远要滑行 才能停下． 【变式2-3】月日晚时，南昌以天空为幕，以烟花为笔，举办了一场盛大的“风景这边独好”——南昌市国庆烟花晚会，热烈庆祝伟大祖国岁生日．其中，一种新型礼炮的升空高与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要时间为 ． 考点2 ：经济类 销售问题常用等量关系 ： 利润=收入-成本； 总利润=单件利润×销量 ； 【考点3经济类-二次函数与一次函数初步综合】 【典例3】为有力有效推进乡村全面振兴，在驻村工作队的帮扶下，某村积极推动“合作社+农户”模式托起村民致富梦．村合作社推广种植某特色农产品，每千克成本为20元，规定每千克售价需超过成本，但不高于50元，日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该农产品的日销售利润为W元．    (1)分别求出y与x，W与x之间的函数解析式； (2)该合作社决定从每天的销售利润中拿出200元设立“助学基金”，若捐款后合作社的剩余利润是800元，求该农产品的售价； (3)若该农产品的日销量不低于90千克，当销售单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元． 【变式3-1】一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元(不含套餐成本)．若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x（元）取整数，用y(元)表示该店日净收入．（日净收入=每天的销售额-套餐成本-每天固定支出） (1)当时， ；当时， ； (2)若该店日净收入为1560元，那么每份售价是多少元？ 【变式3-2】某超市销售一种商品，成本是每千克30元，规定每千克售价不低于成本，经市场调查，每天的销售量y（千克）与售价（元）满足一次函数关系，当售价每千克50元时，销售量y为80千克；当售价每千克60元时，销售量y为60千克． (1)求y月x之间的函数表达式； (2)设该商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润=收入-成本）并求当售价为多少时，利润为1600元． 【变式3-3】牧民巴特尔在生产和销售某种奶食品时，采取客户先网上订购，然后由巴特尔付费选择甲或乙快递公司送货上门的销售方式．甲快递公司运送2千克，乙快递公司运送3千克共需运费42元；甲快递公司运送5千克，乙快递公司运送4千克共需运费70元． (1)求甲、乙两个快递公司每千克的运费各是多少元； (2)假设生产的奶食品当日全部售出，且选择运费低的快递公司运送．若该种奶食品每千克的生产成本元（不含运费），销售价元与生产量x千克之间的函数关系式为：，． ①若每日生产量小于8千克，巴特尔当日的利润能否达到180元，若能达到，当日生产量为多少千克？ ②巴特尔若想获得最大利润，每日生产量为多少千克？最大利润为多少元？ 【变式3-4】张经理到老王的果园里一次性采购一种水果吨，他俩商定，张经理的采购价元吨与采购量吨之间的关系如下表： 老王发现，他俩商定的与之间满足一次函数关系．已知水果的平均成本是元吨，老王在这次买卖中获得的利润为元． (1)分别求出与，与的函数解析式； (2)若老王在这次买卖中获得的利润为元，求张经理采购的水果的数量； (3)张经理的采购量为多少时，老王获得的利润最大？最大利润是多少？ 【考点4经济类-二次函数中的“每每问题”】 【典例4】某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，经过销售一段时间发现，销售单价每提高1元，销售量相应减少20件． (1)销售单价是36元时，可获利多少元？ (2)销售单价定为多少元时，才能在半月内获得最大利润？最大利润是多少？ 【变式4-1】世界羽坛最高水平团体赛成都 “汤尤杯”将于4月日至5月5日在成都高新体育中心举行，吉祥物“熊嘟嘟”“羽蓉蓉”日下午首次公开亮相．某商场销售该吉祥物，已知每套吉祥物的进价为元，如果以单价元销售，那么每天可以销售套，根据经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少套． (1)若商家每天想要获取元的利润，为了尽快清空库存，售价应定为多少元？ (2)销售单价为多少元时每天获利最大？最大利润为多少？ 【变式4-2】近年来，水口县致力打造特色乡村旅游，发展以“农家乐”、“高端民宿”为代表的旅游度假区．为迎接旅游旺季的到来，某民宿准备重新调整房间价格，已知该民宿有20个房间，当每个房间定价1200元时，所有房间全部住满，当每个房间每天的定价每增加100元时，就会有一个房间无人入住，如果游客居住房间，民宿需要每天对每个房间每天支出200元的各种费用，设每个房间定价增加元（x为整数）． (1)直接写出每天游客居住的房间数量为y与x的函数关系式． (2)当定价为多少元时，民宿每天获得的利润可以达到22400元． (3)求当每个房间定价为多少元时民宿每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【变式4-3】电商小李在抖音平台上对一款成本单价为10元的商品进行直播销售，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为15元时，每天可售出700件，销售单价每上涨10元，每天销售量就减少200件，设此商品销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）． (1)求y关于x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)若销售该商品每天的利润为7500元，求该商品的销售单价； (3)小李热心公益事业，决定每销售一件该商品就捐款m元（）给希望工程，当每天销售最大利润为6000元时，求m的值． 考点4 ：面积类 【考点5面积类】 【典例5】如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门． (1)所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为？ (2)猪舍面积最大时，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少？ 【变式5-1】某学校为了美化校园环境，打造绿色校园，计划用长为120米的篱笆来围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，并用一道篙笆把花园分为A和B两块区域（如图所示）． (1)设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为_____米； (2)请设计一个方案，使得花园的面积最大，并求出最大面积． (3)在花园面积最大的条件下，A和B两块区域分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株的售价为25元，芍药每株的售价为15元，学校计划购买这些植物的费用不超过5万元，求学校最多能购买多少株牡丹． 【变式5-2】问题背景：为美化校园，某学校计划在如图所示的正方形花坛内种植红、蓝、黄三种颜色的花卉，在四个全等三角形（阴影部分）内种植红色花卉，正方形内种植蓝色花卉，剩下四个全等三角形内种植黄色花卉．的长为，．红、蓝、黄三种花卉的单价分别为元，元，元．    建立模型： 设的长为，购买花卉的总费用为元． （）用含的式子分别写出红、蓝、黄三种颜色花卉的种植面积； （）求与之间的函数表达式； 方案决策： （）当购买花卉的总费用最少时，求的长． 【变式5-3】校艺术节上，甲同学用腰长为的等腰直角三角形卡纸裁剪出如图所示的矩形纸片，且矩形的四个顶点都在的边上．    (1)若甲裁剪出来的矩形纸片周长是纸片周长的一半，那么这个矩形纸片的宽是___________cm； (2)设的长度为，矩形的面积为， ①求关于的函数解析式； ②求矩形的面积的最大值． 考点4：拱桥类 一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题． 【考点6拱桥类】 【典例6】在山体中修建隧道可以保护生态环境，改善公路技术状态，提高运输效率．某城市道路中一双向行驶隧道（来往方向各一车道，路面用黄色双实线隔开）图片如图所示．隧道的纵截面由一个矩形和一段抛物线构成。隧道内路面的总宽度为，双向行驶车道宽度为（路面两侧各预留给非机动车），隧道顶部最高处距路面，矩形的高为． (1)建立适当的平面直角坐标系，求出该段抛物线的解析式； (2)为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有．问：通过隧道的车辆应限制高度为多少？ 【变式6-1】现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求A、B两点间的距离． 【变式6-2】“4.20芦山地震”发生后，各地积极展开抗震救援工作，一支救援车队经过如图1所示的一座拱桥，拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m，将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），拱桥的拱顶在y轴上． (1)求拱桥所在抛物线的解析式； (2)求支柱的长度； (3)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2米的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高2.4m的三辆汽车（隔离带与内侧汽车的间隔、汽车间的间隔、外侧汽车与拱桥的间隔均为0.5m）？请说说你的理由． 【变式6-3】如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米（即）．现以点O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系． (1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； (2)求出这条抛物线的函数解析式； (3)若要搭建一个矩形“支撑架”，使点C，D在抛物线上，点A，B在地面上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？ 一、单选题 1．某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则 ． 3．如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米．    4．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为6米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是 米． 5．要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为 ． 6．如图，一个横截面为抛物线的隧道，其底部的宽为，拱高为．该隧道为双向车道，且两车之间有的隔离带，一辆宽为的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部隧道有不少于的空隙，则该货车能够安全通行的最大高度是 m． 三、解答题 7．掷实心球是河南中招体育考试素质类选考项目之一．王阳同学查阅资料了解到实心球从出手到落地的过程中，其竖直高度y（单位：）可近似看作水平距离x（单位：）的二次函数．他利用先进的高速抓拍相机记录了某次投掷后实心球在空中运动的过程，经测量发现，当与时实心球在同一高度，当时，当时，根据上述数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，王阳发现其图象是抛物线的一部分． 请根据以上信息，回答下列问题： (1)此次投掷过程中，实心球在空中的最大高度是 ． (2)求满足条件的抛物线的解析式． (3)根据中招体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于10时，即可得满分15分．王阳在此次投掷中是否得到满分？请说明理由． 8．昆明的蓝花楹在4月中下旬陆续绽放，引来众多游客踏青观赏，拍照留念：某超市购进了蓝花楹创意雪糕，进价为每支8元，在销售过程中发现销售量（支）与售价（元）之间存在一次函数关系（其中，且为整数），当每支创意雪糕的售价为9元时，每天的销售量为105支：当每支创意雪糕的售价是11元时，每天的销售量为95支． (1)求与之间的函数关系式： (2)设该商店销售该创意雪糕每天获利（元），当每支创意雪糕的售价为多少元时，每天获取的销售利润最大？最大利润是多少元？ 9．学以致用：问题1：怎样用长为的铁丝围成一个面积最大的矩形？ 小学时我们就知道结论：围成正方形时面积最大，即围成边长为的正方形时面积最大为．请用你所学的二次函数的知识解释原因． 思考验证：问题2：怎样用铁丝围一个面积为且周长最小的矩形？ 小明猜测：围成正方形时周长最小． 为了说明其中的道理，小明翻阅书籍，找到下面的材料： 结论：在、均为正实数）中，若为定值，则，当且仅当时，有最小值． 均为正实数）的证明过程： 对于任意正实数、， ， ， ，当且仅当时，等号成立． 解决问题： （1）若，则　　（当且仅当　　时取“” ； （2）运用上述结论证明小明对问题2的猜测； （3）当时，求的最小值． 10．某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进25个． (1)求第二批每个挂件的进价； (2)两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？ 11．如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃．设花圃的一边为，面积为． (1)若要围成面积为的花圃，则的长是多少？ (2)求为何值时，使花圃面积最大，并求出花圃的最大面积． 12．在劳动课上，小华同学所在小组进行了风筝框架设计比赛 (1)小华设计的风筝框架平面图如图1，已知. 与 交于点O，求证: (2)小明提出了改进建议：制作风筝框架只需要两个支架和 (如图2)，当垂直平分时即可固定风筝.现在有总长度为的细木条用于制作该风筝框架，小明同学想做面积最大的风筝，请你帮他设计：当为何值时，风筝的面积最大，面积最大值为多少？ 13．把一个足球垂直地面向上踢，（秒）后该足球的高度（米）适用公式 (1)经多少秒后足球回到地面？ (2)经多少秒时球的高度为15米？ (3)当达到最高时，求的值． 14．某班在元旦联欢会上进行投掷小球游戏．通过实验，收集了小明同学抛出的小球高度h（单位：）、距离起点的水平距离x（单位：m）随运动时间t（单位：s）变化的数据如下表． 运动时间t（） 0      1 …… 水平距离x（） 0      2 …… 高度h（）                …… 其中h是关于x的二次函数，x是关于t的一次函数，建立如图所示平面直角坐标系． (1)直接写出h关于x的函数解析式和x关于t的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)求小球抛出后到达的最大高度以及所需要的时间； (3)如图所示，水平放置纵截面为矩形的纸箱，，，．当小明抛出小球的同时，小亮沿着射线的方向以v（单位：）的速度移动该纸箱，若小球落在移动的上（不包括端点C，D），直接写出v的取值范围． 15．16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． (1)若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． (2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.4 二次函数的实际应用 【考点1 运动类（1）落地模型】 【考点2 运动类（2）最值模型】 【考点3经济类-二次函数与一次函数初步综合】 【考点4经济类-二次函数中的“每每问题”】 【考点5面积类】 【考点6拱桥类】 考点1 ：运动类 （1）落地模型 （2） 最值模型 【考点1 运动类（1）落地模型】 【典例1】掷实心球是某市初中毕业升学体育考试选考项目之一．如图1是一名男生掷实心球情境，实心球行进路线呈拋物线形状，实心球行进最高点为，如图2所示．掷出时，测得起点处高度，竖直高度，水平距离．根据某市初中毕业升学体育考试评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 【答案】该男生在此项考试中能得满分 【分析】本题主要考查二次函数的实际运用，掌握二次函数的性质及求解是解题的关键；设y关于x的函数表达式为，先求出函数表达式，再令，且，解方程求解即可． 【详解】解：该男生在此项考试中能得满分． 设y关于x的函数表达式为， 把代入解析式得：，解得：， ∴y关于x的函数表达式为， 令，则，解得：， ∵实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分， ∴该男生在此项考试中能得满分． 【变式1-1】如图，某同学在投掷实心球，他所投掷的实心球的高与投掷距离之间的函数关系满足，则该同学掷实心球的成绩是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当铅球落地时，高度，代入，求值即可，本题考查了二次函数在实际问题中的应用，解题的关键是：函数取值与实际问题之间的关系． 【详解】当时，， 解得：（舍），， 该同学掷实心球的成绩是， 故选：． 【变式1-2】足球比赛中，当守门员远离球门时，进攻队员常常使用品射战术（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门）．一般来说，战术中足球的运动轨迹往往是一条抛物线．摩洛哥与葡萄牙比赛进行中，摩洛哥一位球员在离对方球门米的点处起脚吊射，假如球飞行的线是一条抛物线，在离球门米时，足球达到最大高度米，以点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)此时，葡萄牙队的守门员在起跳后双手能达到的最大高度是米，在球门前方距离球门线米处，原地起跳，在没有摩洛哥队员干扰的情况下，他能否在空中截住这次吊射？请说明理由． 【答案】(1)； (2)能，见解析． 【分析】（）根据题意得出二次函数的顶点坐标，进而求出二次函数解析式； （）求出当时的函数值，即可得出结论； 本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，准确理解题意，灵活运用所学知识求解是解题的关键． 【详解】（1）由题意可得，足球距离点为米时，足球达到最大高度米， 设抛物线解析式为：， 把代入解析式得：， 解得：， 故抛物线解析式为：； （2）由（）知抛物线的解析式为， ∵守门员在球门前方距离球门线1米处， ∴（米， 当时，， ∵， ∴葡萄牙队的守门员能在空中截住这次吊射． 【变式1-3】九年级体育课上，男同学正在进行原地掷实心球训练．如图所示，某同学实心球出手（点A处）的高度是2米，出手后的实心球沿一段抛物线运行，当实心球运行到最高点时，运行高度为米，水平距离为4米． (1)试求实心球运行高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数表达式； (2)设实心球落地点为C，实心球落地点与出手点之间的水平距离为原地掷实心球的成绩，求某同学的成绩； (3)如果某同学想把他的原地掷实心球成绩提高到12米，则在出手高度不变的情况下，求此时满足条件的实心球运行高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数表达式．（实心球运行到最高点时，水平距离范围） 【答案】(1) (2)10米 (3)（答案不唯一） 【分析】（1）设抛物线解析式为，将代入求出即可； （2）将代入求解即可； （3）在出手高度不变的情况下，设新的抛物线解析式为，将分别代入得到，然后根据水平距离取值作答即可． 【详解】（1）由题意知，点A坐标，抛物线最高点坐标 设抛物线解析式为，将代入，得 ，解得， 实心球运行高度y与水平距离x之间的函数表达式： ； （2）将代入，得 解得 (不符合题意，舍去) ∴米， 即某同学原地掷实心球的成绩为10米； （3）在出手高度不变的情况下，设新的抛物线解析式为，将分别代入，得 ， 情况1：设抛物线在最高点时，水平距离为5米，即， ∴， 代入，得， ∴， 此时方程为； 情况2：设抛物线在最高点时，水平距离为米，即， ∴， 代入，得， ∴， 此时方程为． 答案不唯一．学生的取值在范围内的均可． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【考点2 运动类（2）最值模型】 【典例2】“一河诗画，满城烟花”，每逢过年过节，人们会在美丽的浏阳河边上手持网红烟花加特林进行燃放，当发射角度与水平面成45度角时，烟花在空中的高度（米）与水平距离（米）接近于抛物线，烟花可以达到的最大高度是 米． 【答案】12 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．将原抛物线解析式化为顶点式，结合二次函数的图象与性质即可获得答案． 【详解】解：∵， 又∵， ∴当（米）时，烟花可以达到的最大高度，最大高度为12米． 故答案为：12． 【变式2-1】一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为 s． 【答案】8 【分析】先把二次函数的一般形式转化成顶点式，即可求解． 【详解】解：由题意可得：， ∵， ∴此二次函数图象开口向下． ∴当时，升到最高点． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式2-2】《中华人民共和国道路交通安全法》规定，同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离，其原因可以用物理和数学的知识来解释．公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离与时间的函数关系式为，当遇到紧急情况刹车时，由于惯性的作用，汽车最远要滑行 才能停下． 【答案】16 【分析】本题考查了二次函数的应用，即考查二次函数的最值问题，解答关键是弄懂题意，熟练对函数式变形，从而取得最值．由题意得，此题实际是求从开始刹车到停止所走的路程，即s的最大值．把抛物线解析式化成顶点式后，即可解答． 【详解】解：依题意，该函数关系式化简为， 当时，汽车停下来，滑行了16米， 汽车最远要滑行16米才能停下， 故答案为：16． 【变式2-3】月日晚时，南昌以天空为幕，以烟花为笔，举办了一场盛大的“风景这边独好”——南昌市国庆烟花晚会，热烈庆祝伟大祖国岁生日．其中，一种新型礼炮的升空高与飞行时间的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要时间为 ． 【答案】/4秒 【分析】把二次函数写成顶点式，顶点为礼炮点火升空到最高点处的位置，则顶点的横坐标即为所求． 【详解】∵， ∵ ， ∴当时，函数有最大值，为， ∴.这种礼炮点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 考点2 ：经济类 销售问题常用等量关系 ： 利润=收入-成本； 总利润=单件利润×销量 ； 【考点3经济类-二次函数与一次函数初步综合】 【典例3】为有力有效推进乡村全面振兴，在驻村工作队的帮扶下，某村积极推动“合作社+农户”模式托起村民致富梦．村合作社推广种植某特色农产品，每千克成本为20元，规定每千克售价需超过成本，但不高于50元，日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该农产品的日销售利润为W元．    (1)分别求出y与x，W与x之间的函数解析式； (2)该合作社决定从每天的销售利润中拿出200元设立“助学基金”，若捐款后合作社的剩余利润是800元，求该农产品的售价； (3)若该农产品的日销量不低于90千克，当销售单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元． 【答案】(1)， (2)该食品的售价为30元/千克 (3)售价为35元时，每天获取的利润最大，最大利润为1350元 【分析】本题考查一次函数、二次函数、一元二次方程的实际应用： （1）利用待定系数法求y与x的函数关系式，根据求W与x之间的函数解析式； （2）每天利润为元，代入W与x之间的函数解析式，解一元二次方程即可； （3）先求出售价的取值范围，将W与x之间的函数解析式变形为顶点式，根据函数的增减性求最值即可． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为：， 把，代入得， 解得， y与x的函数关系式为：； 即； （2）解：由题意得，， 整理得，， 解得，， ， ， 答：该农产品的售价为30元/千克； （3）解：， 解得， ， ， ， 开口向下， 对称轴为， 在时，W随x的增大而增大， 时，（元）， 答：售价为35元时，每天获利最大为1350元． 【变式3-1】一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元(不含套餐成本)．若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x（元）取整数，用y(元)表示该店日净收入．（日净收入=每天的销售额-套餐成本-每天固定支出） (1)当时， ；当时， ； (2)若该店日净收入为1560元，那么每份售价是多少元？ 【答案】(1) (2)该店日净收入为1560元，那么每份售价是11元或14元 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用和一元二次方程的应用的有关知识，解题的关键是根据题目中的等量关系列出函数关系． （1）当时，根据若每份售价不超过10元，每天可销售400份”，列关系式即可； 当时，根据“若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份”，列关系式即可； （2）把代入（1）中的函数关系式． 【详解】（1）解：由题意得：当时，； 当时，． 即． 故答案为：； （2）当时，， 当时，，解得：（舍去）， 由（1）知，， 当时，， 解得：， 答：该店日净收入为1560元，那么每份售价是11元或14元． 【变式3-2】某超市销售一种商品，成本是每千克30元，规定每千克售价不低于成本，经市场调查，每天的销售量y（千克）与售价（元）满足一次函数关系，当售价每千克50元时，销售量y为80千克；当售价每千克60元时，销售量y为60千克． (1)求y月x之间的函数表达式； (2)设该商品每天的总利润为W（元），求W与x之间的函数表达式（利润=收入-成本）并求当售价为多少时，利润为1600元． 【答案】(1)； (2)，售价为50元或70元． 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数与一元二次方程的应用： （1）设，把，；，代入求解即可； （2）利用每千克的利润乘以销售量可得总利润，再令函数值为1600并求解即可． 【详解】（1）解：设， 把，；，代入，得， 解得 ∴y与x之间的函数表达式为：； （2）解：由题意得： ， ∴当时，， 解得∴，， 经检验，，均符合题意． 答：W与x之间的函数表达式为；当售价为50元或70元时，利润为1600元 【变式3-3】牧民巴特尔在生产和销售某种奶食品时，采取客户先网上订购，然后由巴特尔付费选择甲或乙快递公司送货上门的销售方式．甲快递公司运送2千克，乙快递公司运送3千克共需运费42元；甲快递公司运送5千克，乙快递公司运送4千克共需运费70元． (1)求甲、乙两个快递公司每千克的运费各是多少元； (2)假设生产的奶食品当日全部售出，且选择运费低的快递公司运送．若该种奶食品每千克的生产成本元（不含运费），销售价元与生产量x千克之间的函数关系式为：，． ①若每日生产量小于8千克，巴特尔当日的利润能否达到180元，若能达到，当日生产量为多少千克？ ②巴特尔若想获得最大利润，每日生产量为多少千克？最大利润为多少元？ 【答案】(1)甲、乙两快递公司每千克运费分别为6元、10元； (2)①能达到，日生产5千克；②每天生产量为7千克，最大利润为196元． 【分析】考查了二元一次方程组的实验应用，一元二次方程的实际应用及二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型． （1）设甲、乙两个快递公司每千克的运费分别为m、n元，根据题意列方程组即可得到结论； （2）设生产量x千克时，获得的利润为w元，①根据生产量小于8千克，巴特尔当日的利润能180元，列出方程求解即可，②当时，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：设甲、乙两个快递公司每千克的运费分别为m、n元， 则， 解得， 即甲、乙两快递公司每千克运费分别为6元、10元． （2）解：①由题意得：， 解得， ， ，即当日生产5千克时，盈利为180元． ②当时，利润， 即当时，利润最大，最大利润为196元， 当时，利润， 随的增大而减小， 即时，（元）， ∵， 每天生产量为7千克时获得利润最大，最大利润为196元． 【变式3-4】张经理到老王的果园里一次性采购一种水果吨，他俩商定，张经理的采购价元吨与采购量吨之间的关系如下表： 老王发现，他俩商定的与之间满足一次函数关系．已知水果的平均成本是元吨，老王在这次买卖中获得的利润为元． (1)分别求出与，与的函数解析式； (2)若老王在这次买卖中获得的利润为元，求张经理采购的水果的数量； (3)张经理的采购量为多少时，老王获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)张经理采购的水果的数量为或吨 (3)张经理的采购量为吨时，老王获得的利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的应用； （1）根据题意待定系数法求一次函数解析式即可求解，根据销量乘以价格减去成本，列出二次函数关系式； （2）根据（1）中的函数关系式，领，解一元二次方程，即可求解； （3）根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设，将，代入，得， 解得： ∴ 依题意， 即 （2）解：依题意， 解得： 答：张经理采购的水果的数量为或吨； （3）解： ∵，， ∴当时，取得最大值，最大值为 答：张经理的采购量为吨时，老王获得的利润最大，最大利润是元． 【考点4经济类-二次函数中的“每每问题”】 【典例4】某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，经过销售一段时间发现，销售单价每提高1元，销售量相应减少20件． (1)销售单价是36元时，可获利多少元？ (2)销售单价定为多少元时，才能在半月内获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)销售单价是36元时，可获利4480元 (2)销售单价定为35元时，才能在半月内获得最大利润，最大利润是4500元 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是关键： （1）根据利润单件利润销售量进行求解即可； （2）根据题意可以得到利润与定价之间的关系式，利用二次函数的性质可以解答本题． 【详解】（1）由题意可得，销售单价是元时，可获利：元， 答：销售单价是元时，可获利元； （2）解：设销售单价为元，利润为元， ， 当时，取得最大值，此时， 答：销售单价定为元时，才能在半月内获得最大利润，最大利润是元． 【变式4-1】世界羽坛最高水平团体赛成都 “汤尤杯”将于4月日至5月5日在成都高新体育中心举行，吉祥物“熊嘟嘟”“羽蓉蓉”日下午首次公开亮相．某商场销售该吉祥物，已知每套吉祥物的进价为元，如果以单价元销售，那么每天可以销售套，根据经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少套． (1)若商家每天想要获取元的利润，为了尽快清空库存，售价应定为多少元？ (2)销售单价为多少元时每天获利最大？最大利润为多少？ 【答案】(1)元 (2)销售单价为元时每天获利最大，最大利润元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，二次函数的应用．熟练掌握一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，二次函数的应用是解题的关键． （1）设每套吉祥物的售价为x元，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （2）设每天销售吉祥物获得的利润为y元，依题意得，且，可得，，由，根据二次函数的性质，求解作答即可． 【详解】（1）解：设每套吉祥物的售价为x元， 依题意得，， 整理得：， 解得，， ∴为了尽快清空库存，每套吉祥物的售价应定为元． （2）解：设每天销售吉祥物获得的利润为y元， 依题意得，∵且， 解得， ， ∵， ∴当，最大，最大值为， 答：销售单价为元时每天获利最大，最大利润元． 【变式4-2】近年来，水口县致力打造特色乡村旅游，发展以“农家乐”、“高端民宿”为代表的旅游度假区．为迎接旅游旺季的到来，某民宿准备重新调整房间价格，已知该民宿有20个房间，当每个房间定价1200元时，所有房间全部住满，当每个房间每天的定价每增加100元时，就会有一个房间无人入住，如果游客居住房间，民宿需要每天对每个房间每天支出200元的各种费用，设每个房间定价增加元（x为整数）． (1)直接写出每天游客居住的房间数量为y与x的函数关系式． (2)当定价为多少元时，民宿每天获得的利润可以达到22400元． (3)求当每个房间定价为多少元时民宿每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)1600元或1800元 (3)当定价为1700元时，利润最大，最大利润为22500元 【分析】（1）根据现有房间数量=原有房间数量-无人居住房间数量列出函数关系式即可求解； （2）根据利润=房间个数×每个房间的利润列出方程，即可求解； （3）根据利润=房间个数×每个房间的利润列出二次函数关系式，求出最大值． 【详解】（1）解：根据题意得，每天游客居住的房间数量为y与x的函数关系式为； （2）解：根据题意得， 解得：， 当时，每个房间的定价为（元）， 当时，每个房间的定价为（元）， 答：定价为1600元或1800元． （3）解：设利润为，则根据题意得， ∵， ∴有最大值，即当时，的最大值为22500元， 即当定价为元时，利润最大，最大利润为22500元． 【变式4-3】电商小李在抖音平台上对一款成本单价为10元的商品进行直播销售，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．通过前几天的销售发现，当销售定价为15元时，每天可售出700件，销售单价每上涨10元，每天销售量就减少200件，设此商品销售单价为x（元），每天的销售量为y（件）． (1)求y关于x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)若销售该商品每天的利润为7500元，求该商品的销售单价； (3)小李热心公益事业，决定每销售一件该商品就捐款m元（）给希望工程，当每天销售最大利润为6000元时，求m的值． 【答案】(1) (2)该商品的销售单价为25元 (3)m的值为5 【分析】（1）设销售单价为x元，则每件涨价元，则销量减少件，由此可得y与x之间的关系式为，整理即可． （2）根据总利润=每件利润销售量，可得方程，求出方程的解，再根据题意选择合适的x的值即可． （3）根据总利润=（售价进价m）销售量，得，求出其对称轴，再根据二次函数的性质及增减性可得当时，，由此得，求出m的值即可． 【详解】（1）由题意得：， 整理得：． ∵销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍， ∴． （2）由题意，得：， 解之得：， ， ∵， ∴． 答：该商品的销售单价为25元． （3）设销售该商品每天的总利润为w元，据题意可得： ， 其对称轴为直线为：． ∵在对称轴左侧，且抛物线开口向下， ∴w随x的增大而增大． 当时，． ∴， 解得． 答：m的值为5． 【点睛】本题主要考查了利用一次函数、二次函数、以及一元二次方程解决实际问题—利润问题，根据题意列出函数关系式，并熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 考点4 ：面积类 【考点5面积类】 【典例5】如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门． (1)所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为？ (2)猪舍面积最大时，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少？ 【答案】(1)所围矩形猪舍的长为、宽为时，猪舍面积为 (2)长为，宽为，面积最大， 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用、矩形的面积公式等知识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设矩形猪舍垂直于住房墙的边长为，则平行于墙的边长为，由矩形面积公式列出一元二次方程，解方程即可； （2）设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，则平行于墙的一边的长为，由矩形面积公式列出二次函数，再由二次函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：设矩形猪舍垂直于住房墙的边长为，则平行于墙的边长为， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 所围矩形猪舍的长为、宽为， 答：所围矩形猪舍的长为、宽为时，猪舍面积为； （2）解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，则平行于墙的一边的长为，面积为 由题意得： ， ∵ ∴开口向下，越靠近对称轴的数所对应的函数值越大， 当，此时 ∴不符合题意，则 解得 ∴把代入 得出 即长为，宽为，面积最大，且为 【变式5-1】某学校为了美化校园环境，打造绿色校园，计划用长为120米的篱笆来围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，并用一道篙笆把花园分为A和B两块区域（如图所示）． (1)设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为_____米； (2)请设计一个方案，使得花园的面积最大，并求出最大面积． (3)在花园面积最大的条件下，A和B两块区域分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株的售价为25元，芍药每株的售价为15元，学校计划购买这些植物的费用不超过5万元，求学校最多能购买多少株牡丹． 【答案】(1)； (2)当垂直于墙的一边长为20米时，花园面积最大为1200平方米； (3)最多可以购买1400株牡丹． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识点，明确题意、找出所求问题需要的条件是解题的关键． （1）直接根据图形列出代数式即可； （2）设围成的矩形面积为S平方米，再结合（1）可得到S与x的函数关系式，再配成顶点式求出函数的最大值即可； （3）设购买牡丹m株，则购买芍药株，再根据题意列出不等式即可求得种植牡丹面积的最大值． 【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为． 故答案为：． （2）解：设围成的矩形面积为S平方米，根据（1）得： , ∵， ∴当时，S取最大值1200， ∴当垂直于墙的一边长为20米时，花园面积最大为1200平方米． （3）解：设购买牡丹m株，则购买芍药株， ∵学校计划购买费用不超过5万元，，解得， ∴最多可以购买1400株牡丹． 【变式5-2】问题背景：为美化校园，某学校计划在如图所示的正方形花坛内种植红、蓝、黄三种颜色的花卉，在四个全等三角形（阴影部分）内种植红色花卉，正方形内种植蓝色花卉，剩下四个全等三角形内种植黄色花卉．的长为，．红、蓝、黄三种花卉的单价分别为元，元，元．    建立模型： 设的长为，购买花卉的总费用为元． （）用含的式子分别写出红、蓝、黄三种颜色花卉的种植面积； （）求与之间的函数表达式； 方案决策： （）当购买花卉的总费用最少时，求的长． 【答案】（）红色花卉的种植面积为，蓝色花卉的种植面积为， 黄色花卉的种植面积为；（）；（）． 【分析】（）先利用直角三角形的面积公式求出红色花卉的种植面积，再由正方形的面积公式求出蓝色花卉的种植面积，再用大正方形的面积小正方形的面积红色花卉的种植面积黄色花卉的种植面积； （）根据总费用各种花卉的费用之和列出函数解析式即可； （）根据()的解析式，由函数的性质求出取最小值时的值，然后设，由全等三角形的性质和勾股定理得出，解方程求出的值即可； 本题考查了二次函数的应用，根据图形求出各种花卉的种植面积是解题的关键． 【详解】解：（）∵，， ∴， ∵四个阴影部分的三角形全等， ∴， ∴红色花卉的种植面积为， ∵， ∴， ∴蓝色花卉的种植面积为， ∴黄色花卉的种植面积为； （）由题意可得， ， 即； （）∵， ∴当时，取最小值， ∴，， ∴， ∵四个白色部分的三角形全等， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 解得或（不合，舍去）， ∴的长为． 【变式5-3】校艺术节上，甲同学用腰长为的等腰直角三角形卡纸裁剪出如图所示的矩形纸片，且矩形的四个顶点都在的边上．    (1)若甲裁剪出来的矩形纸片周长是纸片周长的一半，那么这个矩形纸片的宽是___________cm； (2)设的长度为，矩形的面积为， ①求关于的函数解析式； ②求矩形的面积的最大值． 【答案】(1) (2)①  ②矩形的面积最大值为 【分析】（1）根据勾股定理求出长，然后利用等腰直角三角形的性质得到然后根据矩形纸片周长是纸片周长的一半列方程求解即可； （2）①根据计算即可；②通过配方法得到顶点坐标即可． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又∵为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵矩形纸片周长是纸片周长的一半， ∴， 解得：， 故答案为：； （2）①； ②， ∵ ∴当时，最大，最大为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，矩形的性质，方程，二次函数的图象和性质，利用配方法计算是解题的关键． 考点4：拱桥类 一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题． 【考点6拱桥类】 【典例6】在山体中修建隧道可以保护生态环境，改善公路技术状态，提高运输效率．某城市道路中一双向行驶隧道（来往方向各一车道，路面用黄色双实线隔开）图片如图所示．隧道的纵截面由一个矩形和一段抛物线构成。隧道内路面的总宽度为，双向行驶车道宽度为（路面两侧各预留给非机动车），隧道顶部最高处距路面，矩形的高为． (1)建立适当的平面直角坐标系，求出该段抛物线的解析式； (2)为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有．问：通过隧道的车辆应限制高度为多少？ 【答案】(1) (2)通过隧道的车辆应限制高度为 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）根据题意建立平面直角坐标系，待定系数法求解析式，即可求解； （2）将代入解析式，求得的值，根据交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有，结合函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 隧道顶部最高处距路面6m，矩形的高为2m． ∴顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：依题意，当时，， ∵交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有． ∴通过隧道的车辆应限制高度为， 答：通过隧道的车辆应限制高度为 【变式6-1】现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求A、B两点间的距离． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，根据题意求得函数解析式是解题的关键． （1）设抛物线的函数表达式为，将代入，即可求解． （2）令，解一元二次方程，求得点，，的坐标，进而即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，顶点， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为：； （2）解：令，得， 解得， ，， ，两点的距离为． 【变式6-2】“4.20芦山地震”发生后，各地积极展开抗震救援工作，一支救援车队经过如图1所示的一座拱桥，拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m，将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），拱桥的拱顶在y轴上． (1)求拱桥所在抛物线的解析式； (2)求支柱的长度； (3)拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2米的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高2.4m的三辆汽车（隔离带与内侧汽车的间隔、汽车间的间隔、外侧汽车与拱桥的间隔均为0.5m）？请说说你的理由． 【答案】(1)； (2)支柱的长度是米； (3)不能并排行驶这样的三辆汽车，见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键． （1）根据题目可知．，的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解； （2）设点的坐标为可求出支柱的长度； （3）设是隔离带的宽，是三辆车的宽度和，作垂直交抛物线于，求出则可求解． 【详解】（1）解：根据题目条件，、、的坐标分别是、、． 将、的坐标代入，得 解得，． 所以抛物线的表达式是； （2）解：可设，于是． 从而支柱的长度是米； （3）解：设是隔离带的宽，是三辆车最内侧与最外侧的宽度和，则点坐标是， 过点作垂直交抛物线于，则， 根据抛物线的特点，可知一条行车道不能并排行驶这样的三辆汽车． 【变式6-3】如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米（即）．现以点O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系． (1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标； (2)求出这条抛物线的函数解析式； (3)若要搭建一个矩形“支撑架”，使点C，D在抛物线上，点A，B在地面上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？ 【答案】(1) (2) (3)18米 【分析】本题考查的是二次函数的综合题等知识点， （1）看图由题意可得出M，P的坐标； （2）已知M，P的坐标，易求出这条抛物线的函数解析式； （3）设，则可得支撑架总长； 解题的关键是在根据图形特点选取一个合适的参数表示它们，得出关系式后运用函数性质来解． 【详解】（1）由题意得： ； （2）由顶点设此函数解析式为：， 将点代入得， ∴； （3）（3）设设，则 ∴“支撑架”总长 ∵此二次函数的图象开口向下． ∴当时，有最大值为18． 一、单选题 1．某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式，直接利用二月的研发资金为：，故三月份新产品的研发资金为：，再求和即可，正确表示出三月份的研发资金是解题关键． 【详解】解：根据题意可得二月的研发资金为：，故三月份新产品的研发资金为：， 今年一季度新产品的研发资金， 故选：B． 二、填空题 2．如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为，把点，代入即可求出解析式；当时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离． 【详解】解：以点O为坐标原点，射线方向为x轴正半轴，射线方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系， ∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是． 设抛物线解析式为：， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 当时，， 解得，（舍去），， 即此次实心球被推出的水平距离为． 故答案为： 3．如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米．    【答案】450 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，又墙长为40米，从而可得，故，又菜园的面积，进而结合二次函数的性质即可解答． 【详解】解：由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 又墙长为40米， ∴． ∴． 菜园的面积， ∴当时，可围成的菜园的最大面积是450，即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米． 故答案为：450． 4．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为6米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是 米． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数在实际生活中的应用，将代入函数解析式求出x的值即可得到答案 【详解】解：当时，则， 解得 ∴(米） 故答案为 5．要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，设抛物线的解析式为，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，求得的值，即可得出答案． 【详解】解：设抛物线的解析式为 由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 水管的高度为， 故答案为：． 6．如图，一个横截面为抛物线的隧道，其底部的宽为，拱高为．该隧道为双向车道，且两车之间有的隔离带，一辆宽为的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部隧道有不少于的空隙，则该货车能够安全通行的最大高度是 m． 【答案】． 【分析】本题考查二次函数的应用．建立坐标系，利用待定系数法求得该抛物线对应的函数解析式；求出时，y的值，根据货车顶部与隧道间有不少于的空隙即可求解． 【详解】解：建立如图的平面直角坐标系， ，抛物线顶点坐标， 设抛物线的解析式为：， 依题意得：， 解得， ∴抛物线的解析式为：． ∵， 当时，， 当时，． 故答案为：． 三、解答题 7．掷实心球是河南中招体育考试素质类选考项目之一．王阳同学查阅资料了解到实心球从出手到落地的过程中，其竖直高度y（单位：）可近似看作水平距离x（单位：）的二次函数．他利用先进的高速抓拍相机记录了某次投掷后实心球在空中运动的过程，经测量发现，当与时实心球在同一高度，当时，当时，根据上述数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，王阳发现其图象是抛物线的一部分． 请根据以上信息，回答下列问题： (1)此次投掷过程中，实心球在空中的最大高度是 ． (2)求满足条件的抛物线的解析式． (3)根据中招体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于10时，即可得满分15分．王阳在此次投掷中是否得到满分？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)王阳在此次投掷中得到满分 【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的性质． （1）根据题意得到抛物线的对称轴为直线根据顶点坐标公式求得顶点坐标，即可求得实心球在空中的最大高度； （2）利用待定系数法求函数解析式即可； （3）令，计算出实心球落地距离，然后作出判断即可． 【详解】（1）解：∵当 与 时实心球在同一高度， ∴抛物线的对称轴为直线 ∴当时，实心球在空中的高度最大， ∴实心球在空中的最大高度是， 故答案为: ； （2）设抛物线的解析式为，把, 代入得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （3）解：王阳在此次投掷中得到满分.理由如下： 令则 解得 (不合题意，舍去). ∴王阳在此次投掷中得到满分. 8．昆明的蓝花楹在4月中下旬陆续绽放，引来众多游客踏青观赏，拍照留念：某超市购进了蓝花楹创意雪糕，进价为每支8元，在销售过程中发现销售量（支）与售价（元）之间存在一次函数关系（其中，且为整数），当每支创意雪糕的售价为9元时，每天的销售量为105支：当每支创意雪糕的售价是11元时，每天的销售量为95支． (1)求与之间的函数关系式： (2)设该商店销售该创意雪糕每天获利（元），当每支创意雪糕的售价为多少元时，每天获取的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当每支创意雪糕的售价为19元时，每天获取的销售利润最大，最大利润是605元． 【分析】本题主要考查可用待定系数法求一次函数解析式，二次函数的应用等知识． （1）用待定系数法求一次函数解析式即可． （2）利用每天的利润每支雪糕的利润每天的销量，即可得出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：售量（支）与售价（元）之间存在一次函数关系为： 将，代入可得： 解得：， 故y与x之间的函数关系式为． （2）根据题意有： ∵，且x为整数， ∴当时，w有最大值，最大值为605， 答：当每支创意雪糕的售价为19元时，每天获取的销售利润最大，最大利润是605元． 9．学以致用：问题1：怎样用长为的铁丝围成一个面积最大的矩形？ 小学时我们就知道结论：围成正方形时面积最大，即围成边长为的正方形时面积最大为．请用你所学的二次函数的知识解释原因． 思考验证：问题2：怎样用铁丝围一个面积为且周长最小的矩形？ 小明猜测：围成正方形时周长最小． 为了说明其中的道理，小明翻阅书籍，找到下面的材料： 结论：在、均为正实数）中，若为定值，则，当且仅当时，有最小值． 均为正实数）的证明过程： 对于任意正实数、， ， ， ，当且仅当时，等号成立． 解决问题： （1）若，则　　（当且仅当　　时取“” ； （2）运用上述结论证明小明对问题2的猜测； （3）当时，求的最小值． 【答案】学以致用：见解析；解决问题：（1）见解析；（2）4，2；（3）见解析（4）2 【分析】学以致用：设矩形的长为x，则宽为，设矩形的面积为y，利用二次函数的性质求解即可； 解决问题：（1）根据题意，由，当且仅当时，等号成立；即可解决问题； （2）设矩形的长、宽分别为x、y，由题意得，再根据公式证明当时，有最小值，进而得结论； （3）把转化为的形式，再根据公式进行解答便可． 【详解】学以致用：设矩形的长为x，则宽为，设矩形的面积为y 由题意得： ∴当时，面积有最大值9，此时宽为 ∴围成正方形时面积最大； 解决问题：（1）， ∴， ∴当时，即时， ∴，即； 故答案为：4；2． （2）设矩形的长、宽分别为、，由题意得， 则，即， 当时，取最小值为6， 此时矩形的周长最小为：； 时，矩形变为正方形， ∴铁丝围一个面积为且周长最小的矩形，所围成正方形时周长最小； （3）， ， ，， ，即， 当时，即时， 取最小值为：． 【点睛】本题是一个阅读材料题，主要考查了完全平方公式的应用，不等式的性质，二次函数的应用，关键是读懂题意，弄清解答的理论依据，学会对新知识进行拓展应用，难度较大，第（3）题关键是把求出函数表达式转化为两个恰当的正实数的和形式，才能应用公式． 10．某超市采购了两批同样的冰墩墩挂件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多购进25个． (1)求第二批每个挂件的进价； (2)两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)第二批每个挂件进价是每个40元 (2)当每个挂件售价定为55元时，每周可获得最大利润，最大利润是1350元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、二次函数的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）设第二批每个挂件进价是每个元，则第一批每个挂件进价是每个元，根据“第一批花了3300元，第二批花了4000元，且第二批比第一批多购进25个”列出分式方程，解方程即可得到答案； （2）设每个挂件售价定为元，每周可获得利润元，则可列出关于的关系式，根据“每周最多能卖90个”，求出的取值范围，最后根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：设第二批每个挂件进价是每个元，则第一批每个挂件进价是每个元， 根据题意，可得， 解得， 经检验，是原方程的解，也符合题意， 答：第二批每个挂件进价是每个40元； （2）解：设每个挂件售价定为元，每周可获得利润元， ∵每周最多能卖90个， ∴， 解得， 根据题意得， ∵， ∴该函数图象开口向下， 又∵对称轴为， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，取最大，此时元． ∴当每个挂件售价定为55元时，每周可获得最大利润，最大利润是1350元． 11．如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃．设花圃的一边为，面积为． (1)若要围成面积为的花圃，则的长是多少？ (2)求为何值时，使花圃面积最大，并求出花圃的最大面积． 【答案】(1)AB的长为 (2)AB为时，花圃面积最大，花圃的最大面积为 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，根据题目的条件，合理地建立函数关系式，会判别函数关系式的类别，从而利用这种函数的性质解题． （1）根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）根据题意得到，根据函数的性质以及自变量的取值范围求函数最值． 【详解】（1）解：根据题意得，， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， ∴当的长为时，花圃的面积为； （2）解：花圃的面积， 而由题意：， 即， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时面积最大，最大面积为． 12．在劳动课上，小华同学所在小组进行了风筝框架设计比赛 (1)小华设计的风筝框架平面图如图1，已知. 与 交于点O，求证: (2)小明提出了改进建议：制作风筝框架只需要两个支架和 (如图2)，当垂直平分时即可固定风筝.现在有总长度为的细木条用于制作该风筝框架，小明同学想做面积最大的风筝，请你帮他设计：当为何值时，风筝的面积最大，面积最大值为多少？ 【答案】(1)见解析 (2)为时，风筝的面积最大，面积最大值为 【分析】本题考查二次函数的应用，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质： （1）先证，推出，根据等腰三角形三线合一即可证明； （2）设，则，列出风筝的面积S关于x的二次函数关系式，变形为顶点式，求出最值即可． 【详解】（1）证明： ，， ， ， 即平分， 又 ， ； （2）解：设，则， 垂直平分， ，， 风筝的面积， ， ， 当时，取最大值1800， 即为时，风筝的面积最大，面积最大值为． 13．把一个足球垂直地面向上踢，（秒）后该足球的高度（米）适用公式 (1)经多少秒后足球回到地面？ (2)经多少秒时球的高度为15米？ (3)当达到最高时，求的值． 【答案】(1)经4秒后足球回到地面； (2)经1秒或3秒时球的高度为15米； (3)的值为2． 【分析】本题考查了二次函数在生活实际问题中的应用，将生活实际转化为数学问题是解题的关键． （1）令得关于的一元二次方程，解得的值并根据问题的实际意义作出取舍即可； （2）令得关于的一元二次方程，解得的值即可； （3）配成顶点式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：令得：， 解得：（舍去），． 答：经4秒后足球回到地面； （2）解：令得：， 解得：，． 答：经1秒或3秒时球的高度为15米； （3）解：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为20， ∴当达到最高时，的值为2． 14．某班在元旦联欢会上进行投掷小球游戏．通过实验，收集了小明同学抛出的小球高度h（单位：）、距离起点的水平距离x（单位：m）随运动时间t（单位：s）变化的数据如下表． 运动时间t（） 0      1 …… 水平距离x（） 0      2 …… 高度h（）                …… 其中h是关于x的二次函数，x是关于t的一次函数，建立如图所示平面直角坐标系． (1)直接写出h关于x的函数解析式和x关于t的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)求小球抛出后到达的最大高度以及所需要的时间； (3)如图所示，水平放置纵截面为矩形的纸箱，，，．当小明抛出小球的同时，小亮沿着射线的方向以v（单位：）的速度移动该纸箱，若小球落在移动的上（不包括端点C，D），直接写出v的取值范围． 【答案】(1)， (2)球被抛出后达到最高点，且最大高度为 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要孰练掌握并能灵活运用二次函数的性质解题是关键． （1）依据题意，设二次函数为，又结合表格数据可得方程组计算可得二次函数解析式，又设一次函数为 ，从可得方程组，计算可得一次函数解析式； （2）依据题意，由 ，又，从而当时，，进而将代入得，即可得解； （3）依据题意，结合(1)，令，从而，计算可得或(合去)，又，故此时小球刚好落在上，又，从而求出，结合小球落在移动的上，可得纸在移动的距离，进而移动的最大速度，计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意，设二次函数为，又结合表格数据可得， ， ， ， 又设一次函数为， ， ， ∴一次函数为． （2）∵， 又， ∴当时，的最大值为． 将代入得， ， ∴小球被抛出后达到最高点，且最大高度为． （3）由题意，结合（1）， 令， ， 或（舍去）， 又， ∴此时小球刚好落在上． 又． ∴． ， ∵小球落在移动的上， ∴移动的距离． ∴移动的最大速度． ． 15．16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． (1)若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． (2)直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）①将代入即可求解；②将变为，即可确定顶点坐标，得出，进而求得当时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可； （2）若火箭落地点与发射点的水平距离为，求得，即可求解． 【详解】（1）解：①∵火箭第二级的引发点的高度为 ∴抛物线和直线均经过点 ∴， 解得，． ②由①知，， ∴ ∴最大值 当时， 则 解得， 又∵时， ∴当时， 则 解得 ∴这两个位置之间的距离． （2）解：当水平距离超过时， 火箭第二级的引发点为， 将，代入，得 ， 解得， ∴． 45 学科网（北京）股份有限公司 $$