1.3.1空间直角坐标系（教学设计）-2024-2025学年高二数学同步教学一课到位（人教A版2019选择性必修第一册）

1.3.1《空间直角坐标系》教学设计 （ 日期：2024年9月 1课时 第3周 ） 一.教学目标 1.认识与理解空间直角坐标系的概念及作法；（数学抽象、直观想象） 2.理解与掌握空间点的坐标、空间向量的坐标以及空间点的坐标的确定方法，并能运用其来求解相关的实际问题.（数学运算、逻辑推理） 二.教学过程 （一）复习导入（互学） 1.空间向量基本定理 如果三个向量 , , 不共面，那么对任意一个空间向量 ，存在唯一的有序实数组，使得 由空间向量基本定理可知：如果三个向量 , , 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是 这个集合可看作由向量 , , 生成的，我们 把 叫做空间的一个基底， , , 都叫做基向量. 注1：空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 注2：学习了空间向量基本定理，建立了“空间基底”的概念，我们就可以利用基底表示任意一个空间向量，进而把空间向量的运算转化为基向量的运算. 所以，基底概念的引入为几何问题代数化奠定了基础. 2.平面向量的坐标表示 如图（1），在平面直角坐标系中，设与 轴, 轴正方向相同的两个单位向量分别为，取 作为基底.对于平面内的任意一个向量 ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 使得如图2所示，我们把 中的有序数对 叫做向量 的坐标， 记作 ① 其中， 叫做 在 轴上的坐标，叫做 在 轴上的坐标，①式叫做向量 的坐标表示. 3.问题 类似于平面向量的坐标表示，为了把空间向量的运算化归为数的运算，能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢?下面我们就来研究这个问题. 【设计意图】通过复习空间向量基本定理和平面向量的坐标表示，自然引申出本节课的教学重点——空间直角坐标系、空间点的坐标、空间向量的坐标以及空间点的坐标的确定方法. （2） 探究新知1——空间直角坐标系（互学） 1.空间直角坐标系 如图，在空间选定一点和一个单位正交基底 ， 以点为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系 叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面，平面，平面，它们把空间分成八个部分. 2.空间直角坐标系的作法 画空间直角坐标系 时，一般使(或 ). 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系 注：本书建立的坐标系都是右手直角坐标系. （3） 探究新知2——空间点的坐标与空间向量的坐标（互学） 1.探究1 在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢? 2.空间点的坐标 在空间直角坐标系 中(如图所示)，为坐标向量，对空间任意一点 ，对应一个向量 ，且点 的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组使 . 在单位正交基底下与向量 OA 对应的有序实数组，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标. 3.空间向量的坐标 在空间直角坐标系 中，给定向量，作(如图).由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使 . 有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作 . 这样，在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示. 温馨提示：符号具有双重意义，它既可以表示向量，也可以表示点，在表述时要注意区分. 4. 探究2 在空间直角坐标系中，对空间任意一点，或任意一个向量，你能借助几何直观确定它们的坐标吗? 5.空间中点的坐标确定——垂面法 如图，过点分别作垂直于轴、轴和轴的平面，依次交轴 轴和轴于点和. 可以证明在轴、轴和轴上的投影向量分别为 ，且 ， 设点在轴、轴和轴上的坐标分别是和，那么点(向量)的坐标为. 【设计意图】结合图象通过探究，让学生深刻掌握空间直角坐标系与作法、空间点的坐标、空间向量的坐标以及空间点的坐标的确定，同时培养学生数学抽象的核心素养与数形结合的数学思想. （4） 小组合作、讨论交流(自学) 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 例1 如图 ，在长方体 中，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 . （1）写出 四点的坐标; （2）写出向量，,,的坐标. 【设计意图】体现以学生为主体的教育理念，让学生以小组为单位进行充分的思考与讨论，题目有针对性的考察了空间点的坐标与空间向量的坐标. （五）成果展示(迁移变通) 例1 解:(1)分别设 , ∵点 在轴上，且, ∴ , ∴点的坐标是, 同理，点的坐标是, 又∵点 在轴、轴、轴上的射影分别为，它们在坐标轴上的坐标分别为, ∴点的坐标是, 又∵点 在轴、轴、轴上的射影分别为它们在坐标轴上的坐标分别为, ∴点的坐标是(3，4，2). (2)由图可知 , . 提示：求空间向量的坐标的关键是——利用空间向量基本定理，把所求向量用各基底向量表示出来. 【设计意图】通过学生展示，让学生充当小老师，从自己的角度牢固掌握空间点的坐标与空间向量的坐标，同时也锻炼了学生的语言表达能力，培养了学生数学运算与逻辑推理的核心素养. （六）提升演练（检测实践） 例2 在长方体 中，，，， 与 相交于点，建立如图所示的空间直角坐标系． 写出点，， 的坐标； 写出向量， 的坐标． 解： ∵ 在长方体中，，，， ∴ 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 又∵点是线段的中点， ∴由中点坐标公式得：的坐标为． 解： 由题意知 则 . 【设计意图】通过提升演练，让学生进一步地深刻掌握空间点的坐标与空间向量的坐标，体现“以学为重、以用为本”的教育教学理念. 三、课堂小结：本节课我们都学习了那些知识？ 1.认识与理解了空间直角坐标系的概念及作法；（数学抽象、直观想象） 2.理解与掌握了空间点的坐标、空间向量的坐标以及空间点的坐标的确定方法，并能运用其来求解相关的实际问题.（数学运算、逻辑推理） 四、家庭作业 1.记背今天所学知识点； 2.完成导学案达标检测题目. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$