专题03 不等式的求解及其应用重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优） -2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练 （沪教版2020必修第一册）

专题03 不等式的求解及其应用重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优） 题型一 由基本不等式比较大小 题型二 由基本不等式证明不等关系 题型三 基本不等式求积的最大值 题型四 基本不等式求和的最小值 题型五 二次与二次（或一次）的商式的最值 题型六 条件等式求最值 题型七 基本不等式的恒成立问题 题型八 对勾函数求最值 题型九 基本（均值）不等式的应用 题型十 基本不等式的内容及辨析 题型十一 基本不等式“1”的妙用求最值 题型十二 基本（均值）不等式的应用 题型十三 绝对值三角不等式 知识点一：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） 基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. 知识点二：利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 知识点三：基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 知识点四：三个正数的基本不等式 如果，，，那么（当且仅当时，取“”号） 【经典例题一 由基本不等式比较大小】 【例1】（2023·上海·模拟预测）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 1．（2023高一·上海·专题练习）今有一台坏天平，两臂长不等，左、右臂长分别是，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，物体放在左、右托盘称得重量分别为（），若真实重量为为G，则下列结论中正确的为（    ） A． B． C． D．不能确定 2．（2023高一·上海·专题练习）已知，其中，，其中，则之间的大小关系是 . 3．（22-23高二上·河南郑州·期中）已知对于正数、，存在一些特殊的形式，如：、、等．判断上述三者的大小关系，并证明. 【经典例题二 由基本不等式证明不等关系】 【例2】（22-23高一上·河南·阶段练习）若，且，则下列不等式中不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 1．（2023·河南开封·三模）设，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（22-23高三下·上海徐汇·阶段练习）已知、为实数且，有下列不等式：① ；② ；③ ；④ ；其中恒成立的不等式序号为 ． 3．（2023高一·上海·专题练习）已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等.求证： 【经典例题三 基本不等式求积的最大值】 【例3】 （22-23高二下·上海浦东新·期末）已知a，b为正整数且，实数x､y满足.若的最大值为40，则满足条件的数对的数目为（    ） A．5 B．9 C．10 D．11 1．（2023高一·上海·专题练习）已知在中，，是上一点，则点到的距离乘积的最大值是 （　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（22-23高一上·上海普陀·期中）若，，，则ab的最大值为 ． 3．（22-23高一上·上海徐汇·期中）已知正实数满足， (1)求的最大值，并求取得最大值时的值； (2)求的最小值，并求取得最小值时的值． 【经典例题四 基本不等式求和的最小值】 【例4】（23-24高一上·上海·期中）下列命题中错误的是（    ） A．当时，一定成立 B．若实数x，y满足，则 C．对任意，都有 D．对任意，都有 1．（22-23高三上·上海浦东新·期中）已知正实数满足,则的最小值等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·期中）若正实数a、b的几何平均值为，则2a与b的算术平均值的最小值为 ． 3．（22-23高一上·上海黄浦·期末）已知a、b都是正实数，且 （1）求证:a>1； （2）求b的最小值. 【经典例题五 二次与二次（或一次）的商式的最值】 【例5】（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高二上·江苏无锡·阶段练习）函数的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．-1 2．（22-23高一上·上海浦东新·期中）函数的值域是 ． 3．（2023高一·上海·专题练习）求下列函数的最小值 （1）； （2）； （3）. 【经典例题六 条件等式求最值】 【例6】（22-23高一上·上海奉贤·阶段练习）已知，，且，则错误的选项是（    ） A． B． C． D． 1．（2023·上海松江·二模）已知实数､满足，有结论：①若，，则有最大值；②若，，则有最小值；正确的判断是（    ） A．①成立，②成立 B．①不成立，②不成立 C．①成立，②不成立 D．①不成立，②成立 2．（2023·上海浦东新·二模）已知、、、均为正实数，且满足，，则的取值范围为 . 3．（22-23高一上·上海浦东新·期中）已知正实数x、y满足． (1)求xy的最小值，并求取最小值时x、y的值； (2)若的最小值为9，求a的值． 【经典例题七 基本不等式的恒成立问题】 【例7】（23-24高一上·重庆·期末）当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一上·安徽六安·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·安徽马鞍山·阶段练习）若对于任意，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 3．（23-24高一上·湖北武汉·期中）已知x，y都是正数，且． (1)求的最小值； (2)已知不等式恒成立，求实数的取值范围． 【经典例题八 对勾函数求最值】 【例8】（2023高一上·全国·专题练习）当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 1．（22-23高二上·陕西宝鸡·期末）下列不等式一定成立的是（    ） A． B．（其中） C．的最小值为2 D．的最小值为2（其中） 2．（2023高三·全国·专题练习）当时，的最小值为 . 3．（2023高三·全国·专题练习）（1）当时，求函数的最小值； （2）当时，求函数的最大值； （3）当时，求函数的最小值； （4）当时，求函数的最大值； （5）设，求函数的值域． （6）①当时，求函数的最大值； ②求函数的最大值； 【经典例题九 基本（均值）不等式的应用】 【例9】（2024·四川成都·三模）设，若，则实数的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 1．（23-24高三下·重庆·阶段练习）对于正数，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）设、是正实数，给出以下不等式：①；②；③，其中恒成立的为 （填序号）． 3．（2024·全国·模拟预测）已知正实数满足．求证： (1)； (2)． 【经典例题十 基本不等式的内容及辨析】 【例10】（23-24高二下·安徽六安·开学考试）设，，则“”是“”的 （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．最小值为2 B．最大值为2 C．最小值为2 D．最大值为2 2．（21-22高一上·海南·阶段练习）若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是 （写出所有正确不等式的编号）．①；②；③；④． 3．（23-24高一上·广东东莞·阶段练习）已知实数，，，求 (1)令，求的取值范围； (2)的取值范围. 【经典例题十一 基本不等式“1”的妙用求最值】 【例11】（23-24高一下·陕西榆林·阶段练习）若正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 1．（2024·浙江·模拟预测）已知，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·浙江丽水·期末）已知，，则的最小值为 . 3．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知，且． (1)证明：； (2)求的最小值． 【经典例题十二 基本（均值）不等式的应用】 【例12】（23-24高三上·上海黄浦·期中）若实数满足，则必有（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高三下·上海闵行·开学考试）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·上海金山·期中）已知，且满足，则的最大值是 ． 3．（23-24高一上·上海·期中）问题：正数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数x，y满足，求的最小值； (2)若实数a，b，x，y满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； (3)利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值． 【经典例题十三 绝对值三角不等式】 【例13】（23-24高一上·上海嘉定·期中）对任意给定的实数a，b，有，且等号当且仅当（    ）成立． A． B． C． D． 1．（22-23高三上·上海宝山·期末）已知若则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023·上海长宁·二模）若对任意，均有，则实数a的取值范围为 ． 3．（22-23高一上·上海嘉定·期中）已知实数a､b､c､d，显然，定义两实数的误差为两数差的绝对值. (1)求证：； (2)若任取a，，a与c的误差､b与d的误差最大值均为0.1，求ab与cd误差的最大值，并求出此时a､b､c､d的值. 1．（2023高一·上海·专题练习）若正数x，y满足x+4y-xy=0，则当x+y取得最小值时，x的值为（    ） A．9 B．8 C．6 D．3 2．（2023·上海浦东新·二模）已知，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件； B．必要不充分条件； C．充要条件； D．既不充分也不必要条件． 3．（22-23高二下·安徽·阶段练习）已知且，不等式恒成立，则正实数m的取值范围是（　　） A．m≥2 B．m≥4 C．m≥6 D．m≥8 4．（22-23高一·全国·课后作业）司机甲、乙的加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析 A．甲合适 B．乙合适 C．油价先高后低甲合适 D．油价先低后高甲合适 5．（22-23高二上·宁夏·期中）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（    ） 已知，求的最小值；解答过程：； 求函数的最小值；解答过程：可化得； 设，求的最小值；解答过程：， 当且仅当即时等号成立，把代入得最小值为4． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（23-24高三上·上海宝山·期中）当时，的最小值是 . 7．（22-23高三下·上海·阶段练习）若正数，满足，则的最大值为 . 8．（22-23高一上·上海浦东新·期中）已知，，且，则的最小值为 . 9．（22-23高三上·上海奉贤·阶段练习）已知、、，，且恒成立，则实数最大值是 ； 10．（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知函数，关于的不等式在区间上总有解，则实数的取值范围为 ． 11．（24-25高一上·上海·课堂例题）解不等式． 12．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知. (1)若a与b均为正数，求的最大值，并指出取最大值时a与b的值； (2)若a与b均为负数，求的最小值. 13．（22-23高一上·上海嘉定·期中）已知，， （1）求的最小值. （2）求的最大值. （3）若不等式对任意及条件中的任意、恒成立，求实数的取值范围. 14．（22-23高一上·上海普陀·期中）设函数的最大值是. （1）求的值； （2）若正实数满足求最小值及此时的值； （3）若正实数满足，求的最小值及此时的值. 15．（2023·上海静安·一模）某学校对面有一块空地要围建成一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（旧墙需要整修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，如图所示．已知旧墙的整修费用为45元/m，新建墙的造价为180元/m，建宽的进出口需2360元的单独费用，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），设修建此矩形场地围墙的总费用（含建进出口的费用）为y（单位：元）． (1)将y表示为x的函数； (2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用（含建进出口的费用）最少，并求出最少总费用． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 不等式的求解及其应用重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优） 题型一 由基本不等式比较大小 题型二 由基本不等式证明不等关系 题型三 基本不等式求积的最大值 题型四 基本不等式求和的最小值 题型五 二次与二次（或一次）的商式的最值 题型六 条件等式求最值 题型七 基本不等式的恒成立问题 题型八 对勾函数求最值 题型九 基本（均值）不等式的应用 题型十 基本不等式的内容及辨析 题型十一 基本不等式“1”的妙用求最值 题型十二 基本（均值）不等式的应用 题型十三 绝对值三角不等式 知识点一：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） 基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. 知识点二：利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 知识点三：基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 知识点四：三个正数的基本不等式 如果，，，那么（当且仅当时，取“”号） 【经典例题一 由基本不等式比较大小】 【例1】（2023·上海·模拟预测）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据基本不等式即可判断选项A是否正确，对选项B化简可得，由此即可判断B是否正确；对选项C、D通过举例即可判断是否正确. 【详解】A.由基本不等式可知，故A不正确； B.，即恒成立，故B正确； C.当时，不等式不成立，故C不正确； D.当时，不等式不成立，故D不正确. 故选：B. 1．（2023高一·上海·专题练习）今有一台坏天平，两臂长不等，左、右臂长分别是，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，物体放在左、右托盘称得重量分别为（），若真实重量为为G，则下列结论中正确的为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】由天平知识可得，进而利用基本不等式可得. 【详解】由题意可得 故选：C 2．（2023高一·上海·专题练习）已知，其中，，其中，则之间的大小关系是 . 【答案】 【分析】分别求得的范围即可比较之间的大小关系. 【详解】因为,所以， 又因为， 所以，当且仅当时取等号， 由，得， 所以， 综上可知. 故答案为： 3．（22-23高二上·河南郑州·期中）已知对于正数、，存在一些特殊的形式，如：、、等．判断上述三者的大小关系，并证明. 【答案】，证明见解析 【分析】利用基本不等式可得出、、的大小关系. 【详解】解：，证明如下： 因为、均为正数，由基本不等式可得， 则，则，所以， 由上可知，则，即， 所以，， 综上所述，，当且仅当时，两个等号都成立. 【经典例题二 由基本不等式证明不等关系】 【例2】（22-23高一上·河南·阶段练习）若，且，则下列不等式中不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用特殊值判断B,根据基本不等式，判断ACD. 【详解】解： ，即，故A恒成立， 取，此时，故B不恒成立， 因为，所以，所以，故C恒成立， 因为，所以，所以，故D恒成立， 故选：B 1．（2023·河南开封·三模）设，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】由，，可得，得，利用基本不等式即证，反之可以取值举反例. 【详解】先证充分性成立， ，，，，得，则，当且仅当时等号成立，所以“”是“”的充分条件； 再证必要性不成立， 由，，，即令，， 得成立，但， 所以“”是“”的不必要条件； 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（22-23高三下·上海徐汇·阶段练习）已知、为实数且，有下列不等式：① ；② ；③ ；④ ；其中恒成立的不等式序号为 ． 【答案】①② 【分析】根据基本不等式，结合特例法逐一判断即可. 【详解】因为，所以不等式①正确； 因为，所以，当且仅当时取等号，所以不等式②正确； 当一正一负时，显然，所以不等式③不正确； 当时，，，显然不等式④不正确， 故答案为：①② 3．（2023高一·上海·专题练习）已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等.求证： 【答案】证明见解析. 【分析】根据式子结构，轮换对称形式，构造基本不等式即可证明. 【详解】证明　∵a>0，b>0，c>0， ∴， ， . 当且仅当a=b=c时上式等号均成立， 又a，b，c不全相等， 故上述等号至少有一个不成立. 故三个式子相加，得 ∴. 【经典例题三 基本不等式求积的最大值】 【例3】 （22-23高二下·上海浦东新·期末）已知a，b为正整数且，实数x､y满足.若的最大值为40，则满足条件的数对的数目为（    ） A．5 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】利用基本不等式化简已知条件，求得，由此确定正确选项. 【详解】依题意可知 由两边平方并化简得 ， 由基本不等式得， 所以， ， 依题意， 对于，其对称轴， 所以当时取得最大值. 故当时，， 故. 由于a，b为正整数且，所以共组. 故选：A 1．（2023高一·上海·专题练习）已知在中，，是上一点，则点到的距离乘积的最大值是 （　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】首先利用等面积公式可知，再利用基本不等式求的最大值. 【详解】设点到的距离为，到的距离为，由于为直角三角形，所以根据等面积法有，即，所以有，则，当且仅当，即，时，等号成立. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用等面积建立方程，即得. 2．（22-23高一上·上海普陀·期中）若，，，则ab的最大值为 ． 【答案】/4.5 【分析】由已知可得，结合，解不等式即可求解． 【详解】∵，，， ∴， ∵，∴，∵， ∴解可得，则ab的最大值为． 故答案为：． 3．（22-23高一上·上海徐汇·期中）已知正实数满足， (1)求的最大值，并求取得最大值时的值； (2)求的最小值，并求取得最小值时的值． 【答案】(1)时，取得最大值． (2)，时，取得最小值． 【分析】（1）由基本不等式得出关于的不等式，解之可得． （2）由已知得，代入，然后凑配出积为定值，再用基本不等式得最小值． 【详解】（1）因为， 所以，当且仅当时等号成立， ，，， 所以， ，取等号时，（负的舍去）， 所以时，取得最大值． （2）由得， 所以， 取等号时，，（负数舍去），， 所以，时，取得最小值． 【经典例题四 基本不等式求和的最小值】 【例4】（23-24高一上·上海·期中）下列命题中错误的是（    ） A．当时，一定成立 B．若实数x，y满足，则 C．对任意，都有 D．对任意，都有 【答案】B 【分析】A项利用基本不等式进行判断；B项取特殊值判断；C、D项利用作差判断. 【详解】解：对于A项，由，等号成立时，，而，则成立，故A项正确； 对于B项，因为实数x，y满足，取，则， 故B错误； 对于C项，因为 ，等号成立时，，故C项正确； 对于D项，因为，故D项正确. 1．（22-23高三上·上海浦东新·期中）已知正实数满足,则的最小值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式求最值. 【详解】. 当且仅当，时取等号， 故选：C. 2．（24-25高一上·上海·期中）若正实数a、b的几何平均值为，则2a与b的算术平均值的最小值为 ． 【答案】8 【分析】根据几何平均数求出，再利用基本不等式“积定，和最小”求解． 【详解】因为，所以 又因为，，所以,当且仅当，即时，等号成立． 故答案为：8. 3．（22-23高一上·上海黄浦·期末）已知a、b都是正实数，且 （1）求证:a>1； （2）求b的最小值. 【答案】（1）答案见解析；（2）时，b的最小值为4. 【解析】（1）把b用a表示,根据a、b都是正实数可证明a>1; （2）由可得,利用基本不等式可出b的最小值 【详解】（1） 又a、b都是正实数, ∴ . 即证. （2） 令,则 当且仅当,即时取最小值. 所以时，b的最小值为4. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方． 【经典例题五 二次与二次（或一次）的商式的最值】 【例5】（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果. 【详解】，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为. 故选：D. 1．（22-23高二上·江苏无锡·阶段练习）函数的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．-1 【答案】D 【解析】将函数的解析式进行变形，再利用基本不等式，即可得答案； 【详解】 ， 当且仅当,即等号成立. 故选：D. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查运算求解能力，求解时注意等号成立的条件. 2．（22-23高一上·上海浦东新·期中）函数的值域是 ． 【答案】 【分析】分三种情况讨论，运用基本不等式求值域. 【详解】当时， 当，. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时 ，即. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时，即. 综上所述，函数的值域为. 故答案为： 3．（2023高一·上海·专题练习）求下列函数的最小值 （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）3；（2）；（3）10. 【分析】对分式函数利用分离常数法构造基本不等式（对勾函数）的结构，或利用基本不等式（1,、2）或利用函数单调性求最值. 【详解】（1） ∵（当且仅当，即x=1时取“=”） 即的最小值为3； （2）令，则在是单增， ∴当t=2时，y取最小值； 即y的最小值为 （3）令，则可化为： 当且仅当t=3时取“=” 即y的最小值为10 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； (2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方． 【经典例题六 条件等式求最值】 【例6】（22-23高一上·上海奉贤·阶段练习）已知，，且，则错误的选项是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据均值不等式即可判断AD；根据不等式的性质结合指数函数的性质即可判断B；根据基本不等式结合对数的运算及对数函数的性质即可判断C. 【详解】解：对于A，由，得， 所以，当且仅当时，取等号，故A正确； 对于B，由，，且，得， 则，所以，故B正确； 对于C，， 因为， 所以，即，当且仅当时，取等号，故C错误； 对于D，由，得， 所以，当且仅当时，取等号，故D正确. 故选：C. 1．（2023·上海松江·二模）已知实数､满足，有结论：①若，，则有最大值；②若，，则有最小值；正确的判断是（    ） A．①成立，②成立 B．①不成立，②不成立 C．①成立，②不成立 D．①不成立，②成立 【答案】C 【分析】由已知结合基本不等式及其应用条件分别检验①②即可判断． 【详解】解：因为， 所以， ①，，，当且时取等号， 所以， 解得，即取到最大值2；①正确； ②，， 当时，， 当且仅当时取等号，此时不符合，不满足题意； 当时，， 当且仅当时取等号，此时 此时取得最大值，没有最小值，②错误. 故选：C. 【点睛】方法点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 2．（2023·上海浦东新·二模）已知、、、均为正实数，且满足，，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由得出，进而得出，再由基本不等式得出最值. 【详解】由得 则 令 当且仅当，即时取等号 即的取值范围为 故答案为： 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 3．（22-23高一上·上海浦东新·期中）已知正实数x、y满足． (1)求xy的最小值，并求取最小值时x、y的值； (2)若的最小值为9，求a的值． 【答案】(1)8，， (2)2 【分析】（1）利用基本不等式求最小值即可； （2）利用基本不等式得到，然后列方程，解方程即可. 【详解】（1），即，解得，当且仅当，即，时等号成立，所以的最小值为8，此时，，. （2）由得，则，所以，令，则，解得或-4（舍去），所以， 当时，，解得，所以时，取得最小值9，满足要求， 所以. 【经典例题七 基本不等式的恒成立问题】 【例7】（23-24高一上·重庆·期末）当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把恒成立问题转化成求最值问题，利用基本不等式求出的最小值，然后解二次不等式即可. 【详解】因为即且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因为不等式恒成立，所以， 即，解得，故的取值范围为. 故选：A 1．（23-24高一上·安徽六安·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可算出，再将最小值代入，即可求解 【详解】不等式恒成立 ，，且 当且仅当，即时取等号 ，即 解得 故实数的取值范围是 故选：C 2．（23-24高二下·安徽马鞍山·阶段练习）若对于任意，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意结合基本不等式求出即可. 【详解】由题意可得当时，恒成立， 因为，当且仅当即时取等号， 所以，即实数的取值范围是， 故答案为：. 3．（23-24高一上·湖北武汉·期中）已知x，y都是正数，且． (1)求的最小值； (2)已知不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)9 (2)． 【分析】（1）应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，并确定取值条件. （2）将问题化为恒成立，利用基本不等式求右侧的最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）， 当且仅当即时取等号，此时的最小值为9． （2）解法一：由题意知的最小值． 因为，，所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立． 所以． 解法二：由，得，又恒成立， 所以的最小值，因为 ， 当且仅当，且，即，时等号成立．所以． 【经典例题八 对勾函数求最值】 【例8】（2023高一上·全国·专题练习）当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决. 【详解】因为，所以， 当且仅当 ，即时，等号成立． 故选：B． 1．（22-23高二上·陕西宝鸡·期末）下列不等式一定成立的是（    ） A． B．（其中） C．的最小值为2 D．的最小值为2（其中） 【答案】B 【分析】对于A，分、利用基本不等式求解即可； 对于B，由题意可知，利用基本不等式求解即可； 对于C，D由对勾函数的性质求解即可. 【详解】解：对于A，当时，，当时，等号成立； 当时，，当时，等号成立； 所以或，故错误； 对于B，因为，所以， 所以，当，即时，等号成立，故正确； 对于C，因为， 所以， 令，则有， 由对勾函数的性质可知，在上单调递增， 所以， 所以，故错误； 对于D，因为，所以， 令，由对勾函数的性质可知，在上单调递增， 所以， 即，故错误. 故选：B. 2．（2023高三·全国·专题练习）当时，的最小值为 . 【答案】3 【分析】根据对勾函数的单调性求最值. 【详解】设，则， 又由得， 而函数在上是增函数， 因此时，取得最小值， 故答案为：. 3．（2023高三·全国·专题练习）（1）当时，求函数的最小值； （2）当时，求函数的最大值； （3）当时，求函数的最小值； （4）当时，求函数的最大值； （5）设，求函数的值域． （6）①当时，求函数的最大值； ②求函数的最大值； 【答案】（1）；（2）；（3）;（4）;（5）;（6）①1；②. 【分析】（1）将函数变形为，利用基本不等式求解； （2）将函数变形为，利用基本不等式求解； （3）将函数变形为，利用基本不等式求解； （4）将函数变形为，再用换元法，利用基本不等式求解； （5）将函数变形为，利用基本不等式求解； （6）①利用换元法，以及基本不等式求解；②利用换元法，结合对勾函数的单调性求解. 【详解】（1）因为，所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为. （2）因为，所以， ， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以 ， 所以函数的最大值为. （3）因为，所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为. （4）， 令，则， 所以， 因为，所以， 当且仅当，即，也即时，取得等号， 所以， 所以函数的最大值为. （5）, 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，取得等号， 所以， 所以函数的值域为. （6）①令，因为，所以， 所以， 因为， 当且仅当，即，也即时，取得等号， 所以， 所以函数的最大值为1. ②令，则，所以， 所以， 因为函数在单调递增， 所以当时，即时，有最小值为4， 所以， 所以函数的最大值为. 【经典例题九 基本（均值）不等式的应用】 【例9】（2024·四川成都·三模）设，若，则实数的最大值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】由不等式可得，求出右边的最小值，进而可得的最大值． 【详解】因为，若，可得， 设，只需要小于等于右边的最小值即可， 则， 令，可得， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以， 即的最大值为． 故选：A． 1．（23-24高三下·重庆·阶段练习）对于正数，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得利用基本不等式可得，再结合二次函数不等式求解方法即可求解. 【详解】由题可知：， 因为都是正数，所以（当且仅当时取等）， 所以（当且仅当时取等）， 化简可得，解得，故C正确. 故选：C. 2．（24-25高一上·上海·课后作业）设、是正实数，给出以下不等式：①；②；③，其中恒成立的为 （填序号）． 【答案】③ 【分析】对于①③，利用基本不等式分析判断，对于②，作差分析判断. 【详解】对于①，∵、是正实数时，， ∴，当且仅当时等号成立，∴①不恒成立； 对于②，∵，当且仅当时取等号，∴②不恒成立； 对于③，∵，∴③恒成立． 故答案为：③ 3．（2024·全国·模拟预测）已知正实数满足．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题意，根据基本不等式可得，利用作差法，结合立方和公式和基本不等式计算即可证明； （2）由题意可得，结合基本不等式计算即可证明. 【详解】（1）由，且可得， 故，当且仅当时等号成立． ， ，当且仅当时等号成立． （2） ， 当且仅当时等号成立．故． 【经典例题十 基本不等式的内容及辨析】 【例10】（23-24高二下·安徽六安·开学考试）设，，则“”是“”的 （    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】 根据基本不等式以及必要不充分条件的定义求解. 【详解】∵，，∴，当且仅当时等号成立， 若时，，则， 即“”是“”的必要不充分条件， 而无法推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：. 1．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．最小值为2 B．最大值为2 C．最小值为2 D．最大值为2 【答案】C 【分析】利用基本不等式的概念及运算逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】当时，，当且仅当即时，等号成立； 当时，， 当且仅当即时，等号成立；故选项AB错误； 任意，，当且仅当时， 即也即时，等号成立，所以最小值为2，故选项C正确； 当趋向于无穷大时，也趋向于无穷大，所以无最大值， 故D错误. 故选：C. 2．（21-22高一上·海南·阶段练习）若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是 （写出所有正确不等式的编号）．①；②；③；④． 【答案】①③④ 【分析】由基本不等式判断①；由结合基本不等式判断②；由结合①可判断③；由基本不等式“1”的代换判断④. 【详解】因为，，， 对于①，，当且仅当时等号成立，，故①正确； 对于②，，当且仅当时等号成立，，故②错误； 对于③，，当且仅当时等号成立，故③正确； 对于④，，当且仅当，即时等号成立，故④正确. 故答案为：①③④ 3．（23-24高一上·广东东莞·阶段练习）已知实数，，，求 (1)令，求的取值范围； (2)的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据基本不等式，代入题设中得到关于的不等式，进而得到的取值范围. （2）将通分，结合题干得到，根据的范围，从而得到的取值范围. 【详解】（1）实数，，， 根据基本不等式可得，当且仅当，等号成立， 令，即，即， 解得. 所以的取值范围 （2）， 由（1）得，所以，即， 所以 所以的取值范围为. 【经典例题十一 基本不等式“1”的妙用求最值】 【例11】（23-24高一下·陕西榆林·阶段练习）若正数，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【详解】由正数，满足， 得， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 故选：B 1．（2024·浙江·模拟预测）已知，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先变形，化简后换元，转化为关于的式子，利用基本不等式求最值. 【详解】， ， 设， 则， ， 当，即，时等号成立， 所以的最大值为. 故选：D 2．（23-24高二下·浙江丽水·期末）已知，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】令，把已知式用表示，也用表示后，利用基本不等式求得最小值. 【详解】令，则，且， 所以，又， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是换元法后利用“1”的代换，使用基本不等式求解最值. 3．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知，且． (1)证明：； (2)求的最小值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)3 【分析】（1）由二次函数性质即可得证； （2）由基本不等式结合乘“1”法即可求解. 【详解】（1）由题意得，等号成立当且仅当. （2）由题意，且， 所以， 等号成立当且仅当即当且仅当， 所以的最小值为3. 【经典例题十二 基本（均值）不等式的应用】 【例12】（23-24高三上·上海黄浦·期中）若实数满足，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】选项A利用基本不等式可判断正误；选项B用特殊值法代入，令可求；选项C用特殊值法代入，令可求；选项D用基本不等式分析即可. 【详解】对于A，，整理可得，当且仅当取等号，故A错误； 对于B，因为，设， 则方程变为，解得， 所以，故B错误； 对于C，当时，代入等式成立，但， 故C错误； 对于D,由可得， 整理可得，当且仅当时取等号；所以， 因为，所以，故D正确； 故选：D 1．（22-23高三下·上海闵行·开学考试）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，题干条件变形利用基本不等式可得，代入所求式子化简整理，再次利用均值不等式即可求解. 【详解】因为正实数，且， 所以，当且仅当时取等号， 则， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值， 故选：． 2．（22-23高二上·上海金山·期中）已知，且满足，则的最大值是 ． 【答案】3 【分析】分类讨论结合基本不等式即求. 【详解】∵，当异号时，，当有一个为零时，， 当时，因为， 所以，当且仅当，即时取等号， 综上所述，的最大值为3． 故答案为：3. 3．（23-24高一上·上海·期中）问题：正数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数x，y满足，求的最小值； (2)若实数a，b，x，y满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； (3)利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值． 【答案】(1) (2)，当时，等号成立 (3)的最小值为， 【分析】（1）根据题意，由，结合基本不等式，即可求解； （2）由，结合,即可求解； （3）令,得到,结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：若正实数满足,则， 所以,当且仅当且, 即时，取等号,所以的最小值. （2）解：若正实数满足,且， 由 因为,当且仅当时取等号,所以 ，所以. （3）解：若, 令,则, 所以, 当且仅当即时取等号, 又因为,解得,即,所以. 【经典例题十三 绝对值三角不等式】 【例13】（23-24高一上·上海嘉定·期中）对任意给定的实数a，b，有，且等号当且仅当（    ）成立． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据取等号时的等式分析出之间的关系，然后再逐项分析选项是否与所得到的之间的关系等价即可. 【详解】当不等式取等号时有， 所以，所以， 所以，所以， 所以或， 对于A：等价于或，不满足； 对于B：等价于或，不满足； 对于C：等价于或，不满足； 对于D：等价于或，即为或，满足； 故选：D. 1．（22-23高三上·上海宝山·期末）已知若则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先表示出，利用绝对值三角不等式即可求解. 【详解】由得，因为所以，由绝对值三角不等式得，故一定成立. 故选C. 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的灵活应用，在求最值时要注意等号成立的条件，考查逻辑推理能力，属基础题. 2．（2023·上海长宁·二模）若对任意，均有，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由绝对值三角不等式可得在恒成立，即有或在恒成立，分别求解即可得答案. 【详解】解：因为在绝对值三角不等式中，当同号时有， 又因为， 所以在恒成立， 所以或在恒成立， 即有或在恒成立， 由，解得， 由，解得， 综上所述实数a的取值范围为. 故答案为： 3．（22-23高一上·上海嘉定·期中）已知实数a､b､c､d，显然，定义两实数的误差为两数差的绝对值. (1)求证：； (2)若任取a，，a与c的误差､b与d的误差最大值均为0.1，求ab与cd误差的最大值，并求出此时a､b､c､d的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)2.01，此时，，， 【分析】（1）由，根据即可得证； （2）根据（1）的结论及两个实数误差的定义运算即可得解. 【详解】（1） . （2）因为， 由（1） ， 此时只需等号成立. 1．（2023高一·上海·专题练习）若正数x，y满足x+4y-xy=0，则当x+y取得最小值时，x的值为（    ） A．9 B．8 C．6 D．3 【答案】C 【分析】根据式子结构，利用基本不等式中“1的代换进行求解即可.” 【详解】∵x>0，y>0，x+4y=xy，∴， ∴x+y=（x+y）=5+当且仅当x=2y时，等号成立，此时x=6，y=3. 故选：C. 2．（2023·上海浦东新·二模）已知，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件； B．必要不充分条件； C．充要条件； D．既不充分也不必要条件． 【答案】B 【分析】解出不等式的解集，判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】解，当时，即，则，此时解集为， 当时，即，则，此时解集为， 当时，即，则，此时解集为， 故“”成立时，等价于； 当“”成立时，等价于， 故成立时，不一定推出成立，反之成立， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 3．（22-23高二下·安徽·阶段练习）已知且，不等式恒成立，则正实数m的取值范围是（　　） A．m≥2 B．m≥4 C．m≥6 D．m≥8 【答案】D 【分析】由条件结合基本不等式可求的范围，化简不等式可得，利用二次函数性质求的最大值，由此可求m的取值范围. 【详解】不等式可化为，又，， 所以， 令，则， 因为，，所以，当且仅当时等号成立， 又已知在上恒成立，所以 因为，当且仅当时等号成立， 所以m≥8，当且仅当，或，时等号成立， 所以m的取值范围是， 故选：D. 4．（22-23高一·全国·课后作业）司机甲、乙的加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析 A．甲合适 B．乙合适 C．油价先高后低甲合适 D．油价先低后高甲合适 【答案】B 【分析】设司机甲每次的加油量为，司机乙每次的加油花费为，两次加油的单价分别为，，从而可得司机甲两次加油的均价为，司机乙两次加油的均价为，作差比较大小即可． 【详解】设司机甲每次的加油量为，司机乙每次的加油花费为，两次加油的单价分别为，， 则司机甲两次加油的均价为， 司机乙两次加油的均价为 又，，即. 故这两次加油的均价，司机乙的较低，故乙更合适， 故选B. 【点睛】本题考查函数在实际问题中的应用，以及作差法比较大小，属于中档题． 5．（22-23高二上·宁夏·期中）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（    ） 已知，求的最小值；解答过程：； 求函数的最小值；解答过程：可化得； 设，求的最小值；解答过程：， 当且仅当即时等号成立，把代入得最小值为4． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】利用基本不等式成立的条件，对三个求解过程分别进行判断即可得到答案． 【详解】对：基本不等式适用于两个正数，当，均为负值， 此时， 当且仅当，即时等号成立，故的用法有误，故错误； 对：， 当且仅当，即时取等号， 但，则等号取不到，故的用法有误； 对：，，， 当且仅当，即时取等号，故的用法有误； 故使用正确的个数是0个， 故选：. 6．（23-24高三上·上海宝山·期中）当时，的最小值是 . 【答案】 【分析】根据题意，由原式可得，然后结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，， 其中 ，当且仅当时，即时，等号成立，此时 即的最小值是. 故答案为： 7．（22-23高三下·上海·阶段练习）若正数，满足，则的最大值为 . 【答案】2 【分析】根据得出，得出，，根据的范围求出的范围即可. 【详解】，，，所以，即，， 根据二次函数的性质可知时，上式取得最大值2. 故答案为：2. 8．（22-23高一上·上海浦东新·期中）已知，，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】令，，从而可得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】令，， 则，且， ∴， ∴ ， 当且仅当取等号，即时成立. 故答案为：. 9．（22-23高三上·上海奉贤·阶段练习）已知、、，，且恒成立，则实数最大值是 ； 【答案】3 【分析】将恒成立，转化为恒成立，根据条件得到，则恒成立，根据基本不等式得到的最小值，从而得到的范围，得到答案. 【详解】因为恒成立， 所以恒成立， 因为， 所以， 所以得到恒成立， 即 而 . 当且仅当，即时，等号成立. 所以，即的最大值为. 故答案为. 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，利用基本不等式求和的最小值，属于中档题. 10．（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知函数，关于的不等式在区间上总有解，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题知，进而根据对勾函数性质求解最值，解不等式即可. 【详解】解：当时，，当且仅当时取得等号， 因为当时，； 当时，； 所以，根据对勾函数性质，当时，， 所以，当时，， 因为关于的不等式在区间上总有解， 所以，，解得， 所以，实数的取值范围为 故答案为： 11．（24-25高一上·上海·课堂例题）解不等式． 【答案】答案见解析 【分析】分类讨论参数即可解. 【详解】解：因为，故分以下两种情况讨论： ①当，即时，原不等式无解，即不等式的解集为． ②当，即时，原不等式可变为． 所以． 综上可知，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 12．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知. (1)若a与b均为正数，求的最大值，并指出取最大值时a与b的值； (2)若a与b均为负数，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等式直接利用基本不等式即可得出所求的答案； （2）灵活运用1的代换，并结合基本不等式即可得出所求的答案． 【详解】（1）因为与均为正数， 所以由基本不等式可得：， 当且仅当，即 时，等号成立， 所以， 所以的最大值为． （2）因为与均为负数， 所以，， 所以， 当且仅当，即 时，等号成立， 所以 的最小值为． 13．（22-23高一上·上海嘉定·期中）已知，， （1）求的最小值. （2）求的最大值. （3）若不等式对任意及条件中的任意、恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）由已知变形, 展开后利用基本不等式求最小值. （2）结合已知条件, 可以先求出的最大值, 从而求出的最大值. （3）由（1）问可知, 结合, 求解即可. 【详解】解：（1）∵, , , ∴, 即的最小值为4, 当且仅当时等号成立. 故答案为4. （2）, 当且仅当,即时取等号. 所以的最大值为. 故答案为. （3）由（1）问可知的最小值为4, ∵, ∴, 解得. 故答案为. 【点睛】本题考查了基本不等式，考查了的代换，考查了含绝对值不等式的求解，在应用基本不等式求最值时，注意一正二定三相等.绝对值不等式可以应用绝对值的几何含义 14．（22-23高一上·上海普陀·期中）设函数的最大值是. （1）求的值； （2）若正实数满足求最小值及此时的值； （3）若正实数满足，求的最小值及此时的值. 【答案】（1） ；（2）最小值为此时；（3）最小值为 此时. 【解析】（1）根据绝对值三角不等式：即可求出的最大值为1，即得出； （2）由（1）可知，所以利用乘“1”法求出最小值； （3）由（1）得，，，所以，再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：（1）根据绝对值三角不等式：即可求出的最大值为1，即得出； （2）由（1）可知，因为，， 所以 当且仅当，即，又，所以，时取等号； 所以最小值为，此时，； （3）由（1）得，，，所以 当且仅当，即时取等号； 【点睛】考查绝对值不等式的性质：，以及基本不等式的应用，属于中档题． 15．（2023·上海静安·一模）某学校对面有一块空地要围建成一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（旧墙需要整修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，如图所示．已知旧墙的整修费用为45元/m，新建墙的造价为180元/m，建宽的进出口需2360元的单独费用，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），设修建此矩形场地围墙的总费用（含建进出口的费用）为y（单位：元）． (1)将y表示为x的函数； (2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用（含建进出口的费用）最少，并求出最少总费用． 【答案】(1) (2)x=24,12800 【分析】（1）设矩形的另一边长为am，根据旧墙的整修费用为45元/m，新建墙的造价为180元/m，建宽的进出口需2360元的单独费用，且面积为求解； （2）由（1）得到，利用基本不等式求解. 【详解】（1）解：设矩形的另一边长为am， 则， ， 因为， 所以， 则； （2）由（1）知：， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 此时最少总费用为12800元. 学科网（北京）股份有限公司 $$