专题02 求一元二次不等式的解重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优） -2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练 （沪教版2020必修第一册）

专题02 求一元二次不等式的解重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优） 题型一 一元二次不等式的概念及辨析 题型二 解不含参数的一元二次不等式 题型三 解含有参数的一元二次不等式 题型四 由一元二次不等式的解确定参数 题型五 一元二次方程根的分布问题 题型六 分式不等式 题型七 一元一次不等式及一元一次不等式组的求解 知识点一：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） 基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. 【经典例题一 一元二次不等式的概念及辨析】 【例1】（22-23高一·全国·课后作业）“”的一个充分不必要条件是“”，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高一上·上海闵行·期中）关于的一元二次不等式与的解集分别为，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 2．（24-25高一上·全国·课前预习）一般地，我们把只含有 未知数，并且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是 或 ，其中均为常数，. 3．（24-25高一上·上海·课前预习）一元二次不等式在求解时应当注意些什么？ 【经典例题二 解不含参数的一元二次不等式】 【例2】（2024·宁夏银川·一模）设全集，则集合（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高一上·辽宁·期中）设，用表示不超过的最大整数，则满足不等式解集是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三下·上海·竞赛）若3个整数满足，则这样的有序整数组共有 组. 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为万元/辆，出厂价为万元/辆，年销售量为辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，年销售量也相应增加．已知年利润（每辆车的出厂价每辆车的投入成本）年销售量．若年销售量增加的比例为，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例应在什么范围内？ 【经典例题三 解含有参数的一元二次不等式】 【例3】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）若一元二次不等式，的解集分别为、，、、、、、均不为0，、既不是也不是，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 1．（22-23高一上·上海黄浦·阶段练习）已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海·期末）设，若关于的不等式的解集是区间的真子集，则的取值范围是 ． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）解下列关于的不等式： (1)； (2)． 【经典例题四 由一元二次不等式的解确定参数】 【例4】（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海·开学考试）设，若时均有，则 ． 3．（2023高一·上海·专题练习）已知不等式的解集为． (1)求的值； (2)若且解关于的不等式． 【经典例题五 一元二次方程根的分布问题】 【例5】（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）已知方程的两根都大于1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高三上·山西·阶段练习）已知关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（    ） A．13 B．18 C．21 D．26 2．（22-23高一上·上海宝山·开学考试）已知是实数，若a，b是关于x的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是 . 3．（22-23高一上·上海黄浦·阶段练习）已知关于的不等式的解集为． (1)若，求实数的取值范围； (2)若存在两个不相等的正实数，使得，求实数的取值范围． 【经典例题六 分式不等式】 【例6】（23-24高三上·上海静安·期末）已知：，：，则是的（    ） A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 1．（2023高三·全国·专题练习）已知，不等式的解集为，且，则的取值范围为(　　) A．(－3，＋∞) B．(－3,2) C．(－∞，2)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪[2，＋∞) 2．（23-24高一上·上海·期中）定义区间、，、的长度均为，其中.若不等式组的解集中各区间长度和等于8，则实数t的取值范围是 . 3．（22-23高一上·上海青浦·期末）已知关于x的不等式的解集为S. (1)当时，求集合S； (2)若且，求实数m的取值范围. 【经典例题七 一元一次不等式及一元一次不等式组的求解】 【例7】（22-23高二上·河南郑州·阶段练习）若，不等式不成立，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若不等式组的解集为，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 2．（22-23高一上·江苏连云港·阶段练习）若不等式的解集是，则不等式的解集是 ． 3．（22-23高一上·全国·课后作业）把16根火柴首尾相接，围成一个长方形（不包括正方形），试找到围出不同形状的长方形个数最多的办法？最多个数是多少？ 1．（2023高二上·全国·专题练习）不等式的解集为 A． B． C． D． 2．（22-23高一下·广东汕头·期中）若关于的不等式 的解集恰好是，则 的值为 A． B．4 C． D．5 3．（23-24高一上·上海黄浦·期中）设表示不超过x的最大整数，如，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一上·江苏·课后作业）已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，则m的值为（    ） A．15 B．17 C． D．18 5．（23-24高一上·上海黄浦·阶段练习）已知关于的不等式的解集为A，关于的不等式的解集为，其中、都是非零常数，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 6．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）不等式的解集为 . 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式组的解集为 ． 8．（24-25高一上·上海·课堂例题）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围 . 9．（22-23高一上·上海杨浦·期末）设a为实数，若关于x的一元一次不等式组的解集中有且仅有4个整数，则a的取值范围是 . 10．（23-24高一上·上海嘉定·期中）研究问题：“已知关于x的不等式的解集为，解关于x的不等式”，有如下解决方案： 解：由，令，则， 所以不等式的解集为. 参考上述解法，已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 . 11．（24-25高一上·上海·假期作业）解关于的不等式. 12．（24-25高一上·上海·课后作业）若不等式组有解，求实数的取值范围． 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）若，关于x的不等式的解集是．求实数a，b的值； （2）若，，，解关于x的不等式． 14．（22-23高一·上海·课后作业）已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1＝0. （1）若方程两根均在区间（0，1）内，求m的取值范围. （2）若方程有两根，其中一根在区间（﹣1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的取值范围. 15．（22-23高一下·北京昌平·阶段练习）某物流公司购买了一块长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地块，计划把图中矩形ABCD建设为仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B、D分别在边AM、AN上，假设AB的长度为x米 (1)求矩形ABCD的面积S关于x的函数解析式； (2)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，则AB的长度应在什么范围内？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 求一元二次不等式的解重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优） 题型一 一元二次不等式的概念及辨析 题型二 解不含参数的一元二次不等式 题型三 解含有参数的一元二次不等式 题型四 由一元二次不等式的解确定参数 题型五 一元二次方程根的分布问题 题型六 分式不等式 题型七 一元一次不等式及一元一次不等式组的求解 知识点一：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） 基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. 【经典例题一 一元二次不等式的概念及辨析】 【例1】（22-23高一·全国·课后作业）“”的一个充分不必要条件是“”，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由真子集列不等式组求解可得. 【详解】易知．∵“”的一个充分不必要条件是“”， ∴，则或，解得． ∴实数a的取值范围为． 故选：D 1．（22-23高一上·上海闵行·期中）关于的一元二次不等式与的解集分别为，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式性质，若对应二次函数的开口不同即便对应系数，解集也是不同，而解集相同，若解析为空，则对应系数可以各不相同，据此即可得解. 【详解】由，若异号， 则一元二次不等式与的解集不同， 则“”不是“”的充分条件， 反之当， 如和， 此时不成立， 则“”不是“”的必要条件， 故“”是“”既不充分也不必要条件， 故选：D 2．（24-25高一上·全国·课前预习）一般地，我们把只含有 未知数，并且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是 或 ，其中均为常数，. 【答案】 一个 【分析】略 【详解】略 3．（24-25高一上·上海·课前预习）一元二次不等式在求解时应当注意些什么？ 【答案】求解时注意将二次项系数化正，然后结合图像写解集． 【分析】借助相对应的二次函数与一元二次不等式、一元二次方程的关系，在解一元二次不等式时应该注意开口方向和根的大小，以及解集的表达. 【详解】解形如或的一元二次不等式，一般可分为三步: ①确定对应方程的解; ②画出对应二次函数图象的简图; ③由图象写出不等式的解集. 所以在求解过程中，要注意考虑对应的二次函数图象的开口方向(或)， 如果是二次项系数是负数，则需利用不等式的性质化二次项系数为正系数， 然后再根据对应的一元二次方程的判别式符号、两根的大小关系，来表示一元二次不等式的解集， 此时要注意不等号的方向， 最后一个要特别注意的是判别式为负数或零时，解集的表示形式有空集，全集等特殊形式. 【经典例题二 解不含参数的一元二次不等式】 【例2】（2024·宁夏银川·一模）设全集，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由交集，补集和解不等式运算可得. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以， 故ABD错误，故C正确； 故选：C 1．（22-23高一上·辽宁·期中）设，用表示不超过的最大整数，则满足不等式解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次不等式的解法结合题设条件求解即可. 【详解】由不等式，解得，因为表示不超过的最大整数，所以，故不等式解集为 故选：C 2．（2024高三下·上海·竞赛）若3个整数满足，则这样的有序整数组共有 组. 【答案】14 【分析】涉及整数的不等式问题，先使用常见的不等式缩小范围，进一步求解即可. 【详解】由 （1）或2时,,此时共有6组; （2）或2时,,此时共有4组; （3）或2时,,此时共有4组. 综上,满足题意的有序整数组共有14组. 故答案为：14. 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为万元/辆，出厂价为万元/辆，年销售量为辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，年销售量也相应增加．已知年利润（每辆车的出厂价每辆车的投入成本）年销售量．若年销售量增加的比例为，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例应在什么范围内？ 【答案】 【分析】由题意表示利润，解不等即可. 【详解】由题意得本年度每辆车的投入成本为； 出厂价为；年销售量为， 因此本年度的利润为 即：， 由，得, 所以，投入成本增加的比例应在内． 【经典例题三 解含有参数的一元二次不等式】 【例3】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）若一元二次不等式，的解集分别为、，、、、、、均不为0，、既不是也不是，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】通过两个一元二次不等式解集的关系，结合充分、必要条件判断即可. 【详解】若一元二次不等式，的解集分别为、， 、、、、、均不为0，、既不是也不是，若，则， 反之，若，则，例如， 不等式的解集与不等式即的解集不一样， 因此“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 1．（22-23高一上·上海黄浦·阶段练习）已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】求出第一个不等式的解，讨论的范围得出第二个不等式的解，根据不等式组只含有一个整数得出第二个不等式解的端点的范围，从而得出的范围． 【详解】解：解不等式得或， 解方程得，． （1）若即时，不等式的解集是， 若不等式组只有1个整数解，则，解得：， （2）若即时，不等式的解集是，， 若不等式组只有1个整数解，则，解得：， 综上，的取值范围是，，， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，分类讨论思想，借助数轴可方便得出区间端点的范围，属于中档题． 2．（23-24高一上·上海·期末）设，若关于的不等式的解集是区间的真子集，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】讨论参数求不等式解集，由不等式的解集是区间的真子集，列不等式求解即可. 【详解】不等式可化为， 当时，不等式的解集为， 由不等式的解集是区间的真子集，可得； 当时，不等式的解集为，不符合题意； 当时，不等式的解集为，符合题意， 综上可得，的取值范围是. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·随堂练习）解下列关于的不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）将原不等式等价转换为即可求解； （2）由一元二次不等式与一元二次方程根的关系，只需对进行分类讨论即可求解. 【详解】（1）原不等式等价于，即，． ∵，∴原不等式的解集为． （2）∵的两根为，． ①当即时，，即； ②当即时，，即或； ③当即时，，即或． 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 【经典例题四 由一元二次不等式的解确定参数】 【例4】（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于的不等式的解集中恰有个正整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因式分解得到，对分类讨论，求出不等式的解，再根据条件，即可求出结果. 【详解】由，得到， 当时，不等式的解为，又不等式的解集中恰有4个正整数解，所以， 当时，不等式的解为，不满足题意， 当时，不等式的解为，最多含1个正整数解，不满足题意， 故选：A. 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的不等式组的整数解只有，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出每一个不等式，然后由不等式组整数解只有，列出关于的不等式组，从而可求出的取值范围. 【详解】解集为， 当时， 的解集为， 因为关于x的不等式组的整数解只有， 所以，即， 当时，的解集为空集，不满足题意， 当时，的解集为，不满足题意， 综上，的取值范围. 故选：D 2．（23-24高一下·上海·开学考试）设，若时均有，则 ． 【答案】0 【分析】分，和三种情况求出满足成立时的取值范围，再时均有成立确定的值． 【详解】当时，显然成立，此时； 当时，由成立，得成立， ，， 当时，由成立，得成立， ，， 时均有，． 故答案为：0． 3．（2023高一·上海·专题练习）已知不等式的解集为． (1)求的值； (2)若且解关于的不等式． 【答案】(1)． (2)答案见解析 【分析】（1）根据方程的两根为和，且，利用根与系数的关系求解； （2）由（1）得到，再分，，讨论求解. 【详解】（1）解：由题意可得方程的两根为和，且， 根据根与系数的关系可得解得． （2）由（1）知：， 即， 即， 当时，解得 ， 当时，原不等式化为，无解； 当时，解得． 综上所述，当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为． 【经典例题五 一元二次方程根的分布问题】 【例5】（22-23高一上·上海浦东新·阶段练习）已知方程的两根都大于1，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得判别式，再借助韦达定理及两根都大于1的条件列出不等式，求解即得. 【详解】设方程的两根为，依题意有：， 因都大于1，则，且，显然成立， 由得，则有，解得， 由解得：，于是得， 所以的取值范围是. 故选：A 1．（22-23高三上·山西·阶段练习）已知关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是（    ） A．13 B．18 C．21 D．26 【答案】C 【分析】设，根据二次函数的性质，结合题意可得，，代入计算，即可得答案. 【详解】设，其图象为开口向上，对称轴为的抛物线， 根据题意可得，，解得， 因为解集中有且仅有3个整数，结合二次函数的对称性可得 ，即， 解得，又 所以a=6，7，8，所以符合题意的a的值之和6+7+8=21. 故选：C 2．（22-23高一上·上海宝山·开学考试）已知是实数，若a，b是关于x的一元二次方程的两个非负实根，则的最小值是 . 【答案】 【分析】a，b是关于的一元二次方程的两个非负实根，根据根与系数的关系，化简即可求解． 【详解】解：a，b是关于x的一元二次方程的两个非负实根， 可得，， ， 又 ，可得， ， 又 ， ， 又， ， 故答案为：． 3．（22-23高一上·上海黄浦·阶段练习）已知关于的不等式的解集为． (1)若，求实数的取值范围； (2)若存在两个不相等的正实数，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对二次项系数是否为零分类讨论，当系数为零时，直接写出不等式进行判断，当系数不为零时，结合二次函数图象得到关于k的不等式组，解不等式组得到k的取值范围； （2）根据一元二次不等式的解集得到对应的一元二次方程的根特点，根据根与系数的关系得到关于k的不等式组，解不等式组得到k的取值范围. 【详解】（1）当时，或， 当时，不等式化为，解集不是空集，舍去； 当时，不等式化为，此时解集为空集； 当且时，要使， 则需满足， 解得． 综上可得，实数的取值范围是． （2）要存在两个不相等的正实数，使得， 则且方程的两个相异正根为a，b， 则， 解得，即实数的取值范围是． 【经典例题六 分式不等式】 【例6】（23-24高三上·上海静安·期末）已知：，：，则是的（    ） A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】根据充分不必要条件和分式不等式解出结果. 【详解】因为， 解得或， 根据“谁大谁必要，谁小谁充分”得出是充分不必要条件， 故选：B 1．（2023高三·全国·专题练习）已知，不等式的解集为，且，则的取值范围为(　　) A．(－3，＋∞) B．(－3,2) C．(－∞，2)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪[2，＋∞) 【答案】D 【详解】∵，∴或－2＋a＝0， 解得或. 故选：D. 【点睛】解分式不等式时，一般是把分式不等式转化为整式不等式求解，如果不等号中含有“等号”，但在转化时特别要注意分母不为零，否则就是错误的结论．本题中－2不是题中不等式的解，则就有使分母为零的一种情形，不能遗漏． 2．（23-24高一上·上海·期中）定义区间、，、的长度均为，其中.若不等式组的解集中各区间长度和等于8，则实数t的取值范围是 . 【答案】 【分析】先解不等式，并求出解集区间的长度，再从分类讨论解不等式，结合题意即可得出答案. 【详解】由，得且， 由得，解得， 由得，解得或， 所以不等式的解集为， 此不等式解集的长度恰好为， 由得， 当时，此不等式的解集为空集，舍去； 当时，此不等式的解集为， 要满足题意则，解得； 当时，此不等式的解集为， 要满足题意则，解得， 综上所述，实数t的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：分别解不等式和是解决本题的关键. 3．（22-23高一上·上海青浦·期末）已知关于x的不等式的解集为S. (1)当时，求集合S； (2)若且，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入后，将分式不等式转化为一元二次不等式求解； （2）根据元素与集合的关系，转化为不等关系，列式求m的取值范围. 【详解】（1）当时，， 解得：， 所以不等式的集合为； （2）若且， 则或，解得：或， 所以的取值范围是. 【经典例题七 一元一次不等式及一元一次不等式组的求解】 【例7】（22-23高二上·河南郑州·阶段练习）若，不等式不成立，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合已知条件，将一元一次不等式问题转化成一次函数问题即可求解. 【详解】由不等式在上都不成立， 只需要考虑函数在的最小值都大于即可， 由于的正负不确定，但是一次型函数， 因此只需要考虑，解得，， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若不等式组的解集为，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过画数轴即可求解. 【详解】通过画数轴，根据解集为，判断出和的关系，得． 故选：C. 2．（22-23高一上·江苏连云港·阶段练习）若不等式的解集是，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】根据题意得到是方程的根，求得且，进而化简不等式，即可求解. 【详解】因为不等式的解集是， 所以是方程的根，且， 即，且，可得， 则不等式可化为， 因为，解得， 即不等式的解集为. 故答案为：. 3．（22-23高一上·全国·课后作业）把16根火柴首尾相接，围成一个长方形（不包括正方形），试找到围出不同形状的长方形个数最多的办法？最多个数是多少？ 【答案】办法见解析，3个． 【分析】设出每根火柴长度为1，则其周长为16，设长方形相邻两边长为x、，由边长关系得出不等式组，且，可得答案. 【详解】不妨假设每根火柴长为1，则16根火柴长为16，围成长方形，设相邻两边长为x、， 由围成一个长方形不是正方形，则长方形的两两边不相等，不妨设 可得不等式组等价于． 所以x所取的值为1，2，3． 由此只要分别取1根火柴，2根火柴，3根火柴作相邻两边中较短的一条边， 则对应的邻边也分别取7根火柴，6根火柴，5根火柴，就能围成所有不同形状的长方形， 所以这样的长方形一共有3个． 1．（2023高二上·全国·专题练习）不等式的解集为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化为，等价于且，再解不等式得解. 【详解】不等式可化为，其等价于且， 所以原不等式的解集为．故选D． 【点睛】(1)本题主要考查分式不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)分式不等式的解法：把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成的形式→化成不等式组→解不等式组得解集.把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成的形式→化成不等式组→解不等式组得解集. 2．（22-23高一下·广东汕头·期中）若关于的不等式 的解集恰好是，则 的值为 A． B．4 C． D．5 【答案】B 【详解】试题分析：令．对称轴为 ，若，则 ，是方程 的两个实根，解得，矛盾，C错；若 ，则， ，相减得，代入可得 ，矛盾，A错；若，因为 ，所以．因为 时与时，函数值相同，所以 ，故选B. 3．（23-24高一上·上海黄浦·期中）设表示不超过x的最大整数，如，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解不等式得到，再根据定义确定范围. 【详解】，则，故. 故选：D. 4．（22-23高一上·江苏·课后作业）已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，则m的值为（    ） A．15 B．17 C． D．18 【答案】C 【分析】本题实际考查二次方程的两根的关系，可利用韦达定理转化为含参数的方程来解决问题． 【详解】设的方程有两个实数根为，， ，， 这两根的平方和比两根的积大21， ， 即：， ， 解得：或， △， 解得：．故舍去， ． 故选：C. 【点睛】在解决关于二次方程这类问题时，一定要注意对于判别式的讨论，以免造成不必要的失误． 5．（23-24高一上·上海黄浦·阶段练习）已知关于的不等式的解集为A，关于的不等式的解集为，其中、都是非零常数，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【分析】对、的符号分情况讨论，得出的充要条件，即可判断出“”是“”的充要条件关系. 【详解】因为、都是非零常数，且， 若，，则，， 可知，可得； 若，，则，， 可知，可得； 若，，则，，此时； 若，时，则，，此时； 综上所述，“”是“”的充要条件. 故选：C. 6．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）不等式的解集为 . 【答案】或 【分析】将原不等式变形为一元二次不等式组求解即可. 【详解】将不等式变为，即，所以， 解得，所以或，所以不等式解集为或. 故答案为：或 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】先解每一个不等式，然后求其交集即可 【详解】由，得，即， 解得或， 由，得，解得， 所以 所以不等式组的解集为. 故答案为： 8．（24-25高一上·上海·课堂例题）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围 . 【答案】 【分析】根据题意和不等式与对应一元二次方程的关系，对参数分类讨论即可求解. 【详解】当时，不等式为，解集为； 当时，关于的不等式的解集为，则，解得， 综上，实数的取值范围是． 故答案为： 9．（22-23高一上·上海杨浦·期末）设a为实数，若关于x的一元一次不等式组的解集中有且仅有4个整数，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】求得不等式组的解集为，则0一定为不等式组的一个整数解，分不等式的4个整数解为0，1，2，3和不等式的4个整数解为两种情况讨论，即可得出答案. 【详解】解：关于x的一元一次不等式组的解集为，则， 故0一定为不等式组的一个整数解， 若不等式的4个整数解为0，1，2，3时， 则，解得； 当不等式的4个整数解为时， 则，不等式组无解， 综上所述，a的取值范围是. 故答案为：. 10．（23-24高一上·上海嘉定·期中）研究问题：“已知关于x的不等式的解集为，解关于x的不等式”，有如下解决方案： 解：由，令，则， 所以不等式的解集为. 参考上述解法，已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】参考题中所给解法，通过变形将不等式中的变为的形式，再令，解不等式即可. 【详解】由得，， 令，因为，所以. 所以不等式的解集为. 故答案为：. 11．（24-25高一上·上海·假期作业）解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【分析】不等式等价于，然后分和的大小关系，利用不等式取解集的方法分别求出各自的解集即可. 【详解】等价于 当时，或，； 当时，或，； 当时，，. 综上所述：或，无解； 当或时，解集为； 当时，解集为. 12．（24-25高一上·上海·课后作业）若不等式组有解，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】分别求解两个不等式，根据不等式组有解可得. 【详解】解不等式，得． 解不等式，得． 因为不等式组有解，所以，即． 所以实数的取值范围为. 13．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）若，关于x的不等式的解集是．求实数a，b的值； （2）若，，，解关于x的不等式． 【答案】（1），；（2）答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式解集与一元二次方程根之间的关系，结合韦达定理可解； （2）运用一元二次不等式的解法分类讨论，求解即可. 【详解】（1）因为关于x的不等式的解集是， 所以－1和3是方程的根， 故，，由，解得，，； （2）因为，，，所以不等式可化为，故． ①当时，原不等式可化为，解得； ②当时，方程有解－1和，且， 不等式的解集为； ③当时，不等式可化为， 则不等式的解集为； ④当时，方程有解－1和，且， 不等式的解集为． 14．（22-23高一·上海·课后作业）已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1＝0. （1）若方程两根均在区间（0，1）内，求m的取值范围. （2）若方程有两根，其中一根在区间（﹣1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的取值范围. 【答案】（1）（﹣，1﹣]；（2）（﹣，﹣）. 【解析】设f（x）＝x2+2mx+2m+1，问题转化为抛物线f（x）＝x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间（﹣1，0）和（1，2）内，由根与系数的关系得出不等式组解不等式组即可； （2）利用根与系数的关系可得解不等式组可得答案. 【详解】设关于x的方程f（x）＝x2+2mx+2m+1， （1）f（x）＝0的两根均在区间（0，1）内， 则需要满足：，即， 即﹣＜m≤1﹣， 故m的取值范围是. （2）f（x）是关于x的一元二次方程，其图象为开口向上的抛物线， 若函数（x）的两个零点x1，x2满足x1∈（﹣1，0），x2∈（1，2）， 则需要满足 ，即， 即﹣＜m＜﹣. 故m的取值范围是. 【点睛】本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次方程的实根分布问题，可以借助二次函数图象，利用数形结合的方法来研究． 15．（22-23高一下·北京昌平·阶段练习）某物流公司购买了一块长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地块，计划把图中矩形ABCD建设为仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B、D分别在边AM、AN上，假设AB的长度为x米 (1)求矩形ABCD的面积S关于x的函数解析式； (2)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，则AB的长度应在什么范围内？ 【答案】(1) S＝20x－x2(0<x<30)(2)[12,18]． 【分析】(1) 根据三角形相似，利用x表示出AD，进而用x表示出矩形ABCD的面积． (2) 根据面积不小于144平方米，列出一元二次不等式，解不等式即可． 【详解】(1)根据题意，得△NDC与△NAM相似，所以，即，解得AD＝20－x. 所以矩形ABCD的面积S关于x的函数为S＝20x－x2(0<x<30)． (2)要使仓库占地ABCD的面积不少于144平方米，即20x－x2≥144，化简得x2－30x＋216≤0，解得12≤x≤18，所以AB的长度的取值范围为[12,18]． 【点睛】本题考查了二次函数、一元二次不等式在实际问题中的应用，关键是注意自变量的取值范围，属于基础题． 学科网（北京）股份有限公司 $$