专题01 等式性质与不等式性质重难点题型专训（7大题型+15道拓展培优） -2024-2025学年高一数学重难点专题提升精讲精练 （沪教版2020必修第一册）

专题01 等式性质与不等式性质重难点题型专训（7大题型+20道拓展培优） 题型一 由已知条件判断所给不等式是否正确 题型二 由不等式的性质比较数（式）的大小 题型三 作差法比较代数式的大小 题型四 作商法比较代数式的大小 题型五 由不等式的性质证明不等式 题型六 用不等式表示不等关系 题型七 等式性质与不等式性质的综合运用 知识点一：不等式的概念 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式. 自然语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于 符号语言 知识点二：实数大小的比较 1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. 2、作差法比大小：①；②；③ 3、不等式性质 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 知识点三：不等式的探究 一般地，，有，当且仅当时，等号成立. 知识点四：不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 可开方性 【经典例题一 由已知条件判断所给不等式是否正确】 【例1】（24-25高一上·上海·课后作业）若，则下列结论中正确的是（    ） A．不等式和均不能成立 B．不等式和均不能成立 C．不等式和均不能成立 D．不等式和均不能成立 1．（23-24高一上·上海杨浦·期末）如果，那么下列式子中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·上海普陀·期中）给出下列命题：①若，，则；②若，，则；③对于正数，若，则.其中真命题的序号是 . 3．（2023高三·全国·专题练习）（1）若，且，能否判断与的大小？举例说明． （2）若，，且，，能否判断与的大小？举例说明 【经典例题二 由不等式的性质比较数（式）的大小】 【例2】（23-24高一上·上海浦东新·期中）有四个命题：①；②，；③；④．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（23-24高一上·上海普陀·阶段练习）已知，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）下面四个条件中，使成立的充分而非必要的条件是 （填写序号）． ①    ②   ③    ④ 3．（2023高一·上海·专题练习）当ab＞0时，． 【经典例题三 作差法比较代数式的大小】 【例3】（22-23高一上·上海长宁·阶段练习）设是实数，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 1．（23-24高一上·上海静安·期中）若，下面有六个结论：①；②；③；④；⑤；⑥.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（22-23高二·全国·课后作业）若x∈R，则与的大小关系为 . 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）比较下列各组中两式的大小： (1)已知，试比较与的大小； (2)已知，比较与的大小． 【经典例题四 作商法比较代数式的大小】 【例4】（2023·湖南益阳·一模）已知：，则3，，的大小关系是 A． B． C． D． 1．（22-23高一上·江苏南通·开学考试）同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同.爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”这个时候小明若有所思，如果爸爸､妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为x元/升，第二次加油汽油单价是y元/升，妈妈每次加满油箱，需加油a升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸､妈妈谁更合算呢？（    ） A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定 2．（2023高一·上海·专题练习），则的大小关系为 ． 3．（22-23高一上·上海徐汇·阶段练习）已知，试比较与的大小. 【经典例题五 由不等式的性质证明不等式】 【例5】（23-24高三上·江西·期中）已知为实数，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 1．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二·江苏·单元测试）设a，b，c是互不相等的正数，则在四个不等式： （1）；      （2）； （3）；          （4） 其中恒成立的有 （把你认为正确的答案的序号都填上） 3．（2023高一上·全国·专题练习），，，，设，证明：. 【经典例题六 用不等式表示不等关系】 【例6】（23-24高一上·四川南充·阶段练习）火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（    ） A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节 C．A货箱31节，B货箱19节 D．A货箱30节，B货箱20节 1．（2023高三·全国·专题练习）王老师是高三的班主任，为了更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成．已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该钉钉群人数的最小值为（    ） A．18 B．20 C．22 D．28 2．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）已知甲、乙、丙三种食物的维生素含量及成本如下表： 甲 乙 丙 维生素A(单位/kg) 600 700 400 维生素B(单位/kg) 800 400 500 成本(元/kg) 11 9 4 若用甲、乙、丙三种食物各x kg、y kg、z kg配成100 kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.试用x，y表示混合食物成本c元 ，并写出x，y所满足的不等关系 ． 3．（22-23高一上·广东·期末）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积与地板面积分别为，． (1)若这所公寓的窗户面积与地板面积的总和为，求这所公寓的窗户面积至少为多少平方米； (2)若同时增加窗户面积和地板面积各，判断这所公寓的采光效果是否变好了，并说明理由． 【经典例题七 等式性质与不等式性质的综合运用】 【例7】（22-23高三下·浙江·阶段练习）已知，，为正整数，，则方程的解得个数为（    ） A．8 B．10 C．11 D．12 1．（22-23高一下·四川成都·期中）实数，，满足且，则下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河北邯郸·三模）记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为 ． 3．（2023高一·上海·专题练习）给定无理数．若正整数满足． (1)试比较三数，，的大小； (2)若，证明下面三个不等式中至少有一个不成立 ①；②；③． 1．（22-23高二上·广东广州·期末）如果，，那么下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·上海黄浦·阶段练习）下列关系中，可以作为“”的充分非必要条件的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·山西朔州·阶段练习）已知，记，则M与N的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 4．（22-23高一上·福建福州·期中）若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（23-24高一上·上海·期末）是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必奖条件 6．（24-25高一上·上海·随堂练习），则 ． 7．（2023高二上·全国·专题练习）已知且，，，则与的大小关系为 ． 8．（24-25高一上·上海·课后作业）设，若不等式的解集是，则等于 ． 9．（22-23高一上·上海杨浦·期中）已知，下列命题中正确的是 (将正确命题的序号填在横线上) ①若，则      ②若，则; ③若，则;        ④若，则. 10．（2023高一·全国·专题练习）对于实数，给出下列命题： ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则 其中正确命题的序号是 ． 11．（24-25高一上·上海·课堂例题）设、均为正实数，试比较和的大小． 12．（2023高三·全国·专题练习）已知－1<x＋y<4，2<x－y<3，求3x＋2y的取值范围？ 13．（22-23高一·全国·随堂练习）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若，则； (2)若，则； (3)若，，则； (4)若，则． 14．（2023高一·上海·专题练习）（1）设，是不全为零的实数，试比较与的大小． （2）已知，，求证： 15．（22-23高三上·上海·阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，其中是常数. （1）求的解析式； （2）求实数的值，使得函数，的最小值为； （3）已知函数满足：对任何不小于的实数，都有，其中为不小于的正整数常数，求证：. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 等式性质与不等式性质重难点题型专训（7大题型+20道拓展培优） 题型一 由已知条件判断所给不等式是否正确 题型二 由不等式的性质比较数（式）的大小 题型三 作差法比较代数式的大小 题型四 作商法比较代数式的大小 题型五 由不等式的性质证明不等式 题型六 用不等式表示不等关系 题型七 等式性质与不等式性质的综合运用 知识点一：不等式的概念 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式. 自然语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于 符号语言 知识点二：实数大小的比较 1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. 2、作差法比大小：①；②；③ 3、不等式性质 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 知识点三：不等式的探究 一般地，，有，当且仅当时，等号成立. 知识点四：不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 可开方性 【经典例题一 由已知条件判断所给不等式是否正确】 【例1】（24-25高一上·上海·课后作业）若，则下列结论中正确的是（    ） A．不等式和均不能成立 B．不等式和均不能成立 C．不等式和均不能成立 D．不等式和均不能成立 【答案】B 【分析】利用不等式的性质结合已知条件逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，所以，即成立， 因为，所以，，所以，所以， 所以不成立，所以A错误， 对于B，由选项A可知不成立， 因为，所以，，所以，， 所以，所以，所以不成立，所以B正确， 对于CD，因为，所以， 所以，所以， 所以成立，所以CD错误， 故选：B 1．（23-24高一上·上海杨浦·期末）如果，那么下列式子中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式性质进行判断. 【详解】因为所以，所以，所以，故A不正确. 因为所以，故B不正确. 因为所以，所以，故C不正确. 因为所以，即，故D正确. 故选：D 2．（22-23高一上·上海普陀·期中）给出下列命题：①若，，则；②若，，则；③对于正数，若，则.其中真命题的序号是 . 【答案】①. 【分析】根据不等式的性质结合题设条件逐一证明即可. 【详解】因为，，所以，即，故①正确； 若，则，故②错误； 若，则，所以，所以，又，所以，故③错误； 综上，真命题的序号是：①. 故答案为：①. 3．（2023高三·全国·专题练习）（1）若，且，能否判断与的大小？举例说明． （2）若，，且，，能否判断与的大小？举例说明 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【分析】因为的正负不确定，因此可举例说明每个小题中两式的大小关系不确定. 【详解】解析：（1）不能判断与的大小， 举例：取，满足条件，且，此时； 取，满足条件，且，此时； 取，满足条件，且，此时； （2）不能判断与的大小 举例：取，满足条件，且，此时； 取，满足条件，且，此时； 取，满足条件，且，此时； 【经典例题二 由不等式的性质比较数（式）的大小】 【例2】（23-24高一上·上海浦东新·期中）有四个命题：①；②，；③；④．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由不等式的性质及特殊值法判断各项的正误即可. 【详解】①，则，对于任意实数都有，对； ②，，若，此时，错； ③，则，故，对； ④由不等式性质知，对. 所以共有3个正确命题. 故选：C 1．（23-24高一上·上海普陀·阶段练习）已知，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用不等式的基本性质得解. 【详解】对A选项，设，则，A错误； 对B选项，若,又,所以,故B正确; 对C选项，，但，C错误; 对D选项，，但，D错误. 故选:B. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）下面四个条件中，使成立的充分而非必要的条件是 （填写序号）． ①    ②   ③    ④ 【答案】② 【分析】通过举出反例，可得①③都不是充分条件，说明它们不正确．根据充分条件、必要条件的定义，可知②正确；而④给出的是一个充要条件，也不符合题意 【详解】对于①，取，则，但，不是充分条件，故①错误； 对于②，当时，因为，所以成立； 反之，由“”不能推出“”， 所以“”是“”成立的充分而不必要的条件，故②正确； 对于③，取，满足“”，但“”不成立， 故“”不是“”的充分条件，故③错误； 对于④，根据立方的意义，当“”成立时，必定有“”成立， 反之，当“”成立时，也有“”成立， 故“”是“”的充分必要条件，④不正确. 故答案为：②. 3．（2023高一·上海·专题练习）当ab＞0时，． 【答案】证明见解析 【分析】根据不等式的性质证明即可. 【详解】由ab＞0，知． 又∵a＞b，∴，即； 若，则 ∴a＞b． 即ab＞0时，. 【经典例题三 作差法比较代数式的大小】 【例3】（22-23高一上·上海长宁·阶段练习）设是实数，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】利用反例可判断ACD，由不等式的基本性质可判断B. 【详解】对于A选项，令，满足，，此时，故A错误； 对于B选项，若，则，而， 所以，则，故B选项正确； 对于C选项，当时满足，此时，故C选项错误； 对于D选项，时满足，，此时，所以结论错误，故D选项错误； 故选：B 1．（23-24高一上·上海静安·期中）若，下面有六个结论：①；②；③；④；⑤；⑥.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】举反例得到③⑤错误，利用不等式性质确定①②④⑥正确，得到答案. 【详解】对①：，，，故，正确； 对②：，， ，故，正确； 对③：取，，则，，，错误； 对④：，，，故，正确； 对⑤：取，，则，，，错误； 对⑥：要证，即，即，正确； 故选：D. 2．（22-23高二·全国·课后作业）若x∈R，则与的大小关系为 . 【答案】 【分析】利用作差比较法,将化简后的代数式与0比较大小,得出结论. 【详解】∵－＝＝≤0，∴≤. 故答案为: 【点睛】本题考查不等式的应用,考查作差法比较大小,考查学生的计算能力,属于基础题. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）比较下列各组中两式的大小： (1)已知，试比较与的大小； (2)已知，比较与的大小． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）（2）利用作差法比较大小即得. 【详解】（1）依题意，，由，得， 则，且，即， 所以． （2）依题意， ， 由，得，而，因此， 所以． 【经典例题四 作商法比较代数式的大小】 【例4】（2023·湖南益阳·一模）已知：，则3，，的大小关系是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将指数式化为对数式，再根据对数函数单调性以及运算法则比较大小，确定选项. 【详解】，， ∴； 又 ，∴.故选D. 【点睛】本题考查指数式化与对数式关系以及对数函数单调性，考查基本分析求解能力，属基础题. 1．（22-23高一上·江苏南通·开学考试）同学们在生活中都有过陪同爸爸妈妈去加油站加油的经历，小明发现一个有趣的现象：爸爸和妈妈加油习惯有所不同.爸爸每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”这个时候小明若有所思，如果爸爸､妈妈加油两次，第一次加油汽油单价为x元/升，第二次加油汽油单价是y元/升，妈妈每次加满油箱，需加油a升，我们规定谁的平均单价低谁就合算，请问爸爸､妈妈谁更合算呢？（    ） A．爸爸 B．妈妈 C．一样 D．不确定 【答案】A 【分析】由题意，先计算爸爸和妈妈两次加油的平均单价，再作差法比较大小，即得解 【详解】由题意，妈妈两次加油共需付款元，爸爸两次能加升油 设爸爸两次加油的平均单价为元/升，妈妈两次加油的平均单价为元/升 则，且 所以爸爸的加油方式更合算 故选：A 2．（2023高一·上海·专题练习），则的大小关系为 ． 【答案】≥ 【分析】用作商法比较的大小关系，化简即可得结果. 【详解】因为， 则 由 所以 故答案为： 3．（22-23高一上·上海徐汇·阶段练习）已知，试比较与的大小. 【答案】 【分析】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可. 【详解】， ，. 两数作商 ， . 【经典例题五 由不等式的性质证明不等式】 【例5】（23-24高三上·江西·期中）已知为实数，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式性质逐选项判断即可. 【详解】对于A，若，当时，根据不等式性质，故A错误； 对于B，若，当时，大小无法确定，故B错误； 对于C，若，则，，对不等式两边同时乘以，则，故C正确； 对于D，若时，，故D错误， 故选：C. 1．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于选项A根据题干用作差法比较大小，对于B，C，D均用取特殊值验证的方法验证即可. 【详解】对于A，，因为，所以，所以即，故选项A正确. 对于B，，取，，，，则，故选项B错误. 对于C，，取，，，，则，故选项C错误. 对于D，，取，，则，故选项D错误. 故选：A. 2．（22-23高二·江苏·单元测试）设a，b，c是互不相等的正数，则在四个不等式： （1）；      （2）； （3）；          （4） 其中恒成立的有 （把你认为正确的答案的序号都填上） 【答案】（1）（2）（4） 【解析】根据不等式的性质判断（1）（4），根据的单调性证明，取特殊值判断（3）. 【详解】（1），故（1）恒成立 （2）由于函数在单调递减，在单调递增 当a＞1时，a2＞a＞1，f（a2）＞f（a）即， 当0＜a＜1，0＜a2＜a＜1，f（a2）＞f（a）即 当a＝1， 故（2）恒成立； （3）若a﹣b＝﹣1，则该不等式不成立，故（3）不恒成立； （4）由于．故C恒成立． 故答案为 ：（1）（2）（4） 【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，属于中档题. 3．（2023高一上·全国·专题练习），，，，设，证明：. 【答案】证明见解析 【分析】直接将每个分式缩小，即可证明；通过可得，且类似可以得到其它三个不等式，然后相加即可证明. 【详解】 因为，故，，，. 故有 ； 由于 ， 故，同理还有 ， 所以. 这就证明了. 【经典例题六 用不等式表示不等关系】 【例6】（23-24高一上·四川南充·阶段练习）火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（    ） A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节 C．A货箱31节，B货箱19节 D．A货箱30节，B货箱20节 【答案】C 【分析】设A、B货箱分别有x，y节，则，结合已知判断各选项是否能够装运所有货物即可． 【详解】设A、B货箱分别有x，y节，则， A：共50节且，，满足； B：共50节且，，满足； C：共50节且，，不满足； D：共50节且，，满足； 故选：C. 1．（2023高三·全国·专题练习）王老师是高三的班主任，为了更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成．已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该钉钉群人数的最小值为（    ） A．18 B．20 C．22 D．28 【答案】C 【分析】设教师、家长、女生、男生人数分别为，根据给定的信息，建立不等关系，即可求解作答. 【详解】依题意，设教师、家长、女生、男生人数分别为，且， 于是，则， 又，解得，因此，此时， 所以当时，，即该钉钉群人数的最小值为22. 故选：C 2．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）已知甲、乙、丙三种食物的维生素含量及成本如下表： 甲 乙 丙 维生素A(单位/kg) 600 700 400 维生素B(单位/kg) 800 400 500 成本(元/kg) 11 9 4 若用甲、乙、丙三种食物各x kg、y kg、z kg配成100 kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.试用x，y表示混合食物成本c元 ，并写出x，y所满足的不等关系 ． 【答案】 且 【分析】理解题意，由题意得出的关系式，再列出不等式组并进行化简，再根据图表中的食品成本数据，用x，y表示混合食物成本c元即可. 【详解】由已知得 , 又， 则 , 由 及 , 整理化简, 得 , 于是得 x，y所满足的不等关系为且 故答案为：；且 3．（22-23高一上·广东·期末）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积与地板面积分别为，． (1)若这所公寓的窗户面积与地板面积的总和为，求这所公寓的窗户面积至少为多少平方米； (2)若同时增加窗户面积和地板面积各，判断这所公寓的采光效果是否变好了，并说明理由． 【答案】(1)20； (2)变好了，详细见解析. 【分析】（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为，则，化简得即得解； （2）设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积，再比较和的大小即得解. 【详解】（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为，则， 所以，所以，所以. 所以这所公寓的窗户面积至少为20平方米. （2）设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同），由题意得：， 则. 因为，所以. 又因为，所以. 因此，即. 所以窗户和地板同时增加相等的面积，住宅的采光条件变好了. 【经典例题七 等式性质与不等式性质的综合运用】 【例7】（22-23高三下·浙江·阶段练习）已知，，为正整数，，则方程的解得个数为（    ） A．8 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【解析】首先根据题中所给的条件，可以断定，之后对分别求解，得到结果. 【详解】因为，所以， 当时，则，即， 可得可取； 当时，则， 可得可取； 当时，则，解得，或， 进而解得为； 当时，则，可得为； 所以方程的解的个数为， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关根据题中条件，判断方程根的个数的问题，在解题的过程中，注意结合不等式的性质，求得某个变量的取值，分类讨论求得结果. 1．（22-23高一下·四川成都·期中）实数，，满足且，则下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等式可变形为，利用完全平方可得大小，由得，做差，配方法比较大小. 【详解】由可得，则， 由可得，利用完全平方可得 所以， ， ， 综上， 故选：D 【点睛】本题主要考查了做差法比较两个数的大小，考查了推理与运算能力，属于难题. 2．（2024·河北邯郸·三模）记表示x，y，z中最小的数．设，，则的最大值为 ． 【答案】2 【分析】分是否大于进行讨论，由此即可简化表达式，若，则可以得到，并且存在，，使得，，同理时，我们可以证明，由此即可得解. 【详解】若，则，此时， 因为，所以和中至少有一个小于等于2， 所以，又当，时，， 所以的最大值为2． 若，则，此时， 因为，所以和中至少有一个小于2， 所以． 综上，的最大值为2． 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：关键是分是否大于进行讨论，结合不等式的性质即可顺利得解. 3．（2023高一·上海·专题练习）给定无理数．若正整数满足． (1)试比较三数，，的大小； (2)若，证明下面三个不等式中至少有一个不成立 ①；②；③． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）作差法比较大小； （2）利用反证法，因，又，故可分，与证明. 【详解】（1）由题意可知，，所以bc＞ad， 所以，所以， ，所以， 所以； （2）证明：由（1） ，又 若 假设①；②；③都成立， ①③之和可得：④， ②③之和可得：⑤， ④化简得，⑤化简得， 由④⑤之和可得：， 即，则， 又为正整数，所以是有理数，故矛盾；假设不成立 若且，同理可证下列三个不等式中至少有一个不成立； ①；②；③ 所以三个不等式中至少有一个不成立． 1．（22-23高二上·广东广州·期末）如果，，那么下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的性质依次判断即可 【详解】由，，可知，所以选项A正确； 由，得，无法比较与的大小，所以与无法比较大小，选项B错误； 由，，无法比较与的大小，所以也不一定成立，选项C，D错误． 故选：A 2．（22-23高一上·上海黄浦·阶段练习）下列关系中，可以作为“”的充分非必要条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于AB，通过找特殊值举反例即可排除； 对于C，先证明充分性，再举反例说明非必要性即可； 对于D，利用不等式的性质可证得其为充要条件. 【详解】根据题意，可知是“选项”为“”的充分非必要条件， 对于A，令，则有，即，但， 故不是的充分条件，故A错误； 对于B，令，则有，即，但， 故不是的充分条件，故B错误； 对于C，若，则且，即，所以，即， 故是的充分条件； 若，令，则， 故不是的必要条件， 综上：是的充分非必要条件，故C正确； 对于D，若，因为，所以，即， 故是的充分条件； 若，因为，即，所以，即， 故是的必要条件； 综上：是的充要条件，故D错误. 故选：C. 3．（22-23高一上·山西朔州·阶段练习）已知，记，则M与N的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】通过作差法比较代数式的大小. 【详解】，因为，所以，所以. 故选:B 4．（22-23高一上·福建福州·期中）若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式的性质或赋值逐项判断即可. 【详解】对于A选项：当时，，，则，故A选项不正确； 对于B选项：当时，，故B选项不正确； 对于C选项：当时，，，又，， 故C选项正确； 对于D选项：， ，，，，故D选项不正确； 故选：C 5．（23-24高一上·上海·期末）是的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必奖条件 【答案】B 【分析】借助充分条件与必要条件的性质计算即可得. 【详解】当时，可取、符合题意，但此时不能得到； 当时，有，，即成立； 故是的必要非充分条件. 故选：B. 6．（24-25高一上·上海·随堂练习），则 ． 【答案】 【分析】通过作差法即可判断. 【详解】由作差法得， 所以. 故答案为：. 7．（2023高二上·全国·专题练习）已知且，，，则与的大小关系为 ． 【答案】 【分析】当时， 当0＜a＜1时，a3+1a2+1，由此能求出结果． 【详解】． 当时，，所以，则； 当时，，所以，则． 综上可知，当且时，，即． 【点睛】本题考查两数大小的比较，是基础题，解题时要注意对数性质的合理运用． 8．（24-25高一上·上海·课后作业）设，若不等式的解集是，则等于 ． 【答案】 【分析】根据不等式的解集分别得出与以及与的关系即可求解. 【详解】由， 得， 因为， 所以 因为不等式的解集为， 所以，即， 解得， 所以． 故答案为：. 9．（22-23高一上·上海杨浦·期中）已知，下列命题中正确的是 (将正确命题的序号填在横线上) ①若，则      ②若，则; ③若，则;        ④若，则. 【答案】②③ 【分析】①取检验即可；②和③利用不等式两端同时乘以一个正数，不等式的方向不改变；④取检验即可 【详解】①若，当时，则，故①错误； ②若，不等式两边同时乘以，则，故②正确； ③若，不等式两边同时乘以，则，故③正确； ④若，当时，则，故④错误； 故答案为：②③ 10．（2023高一·全国·专题练习）对于实数，给出下列命题： ①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则 其中正确命题的序号是 ． 【答案】②④ 【分析】根据不等式的基本性质即可逐一判断. 【详解】对于①∵，∴只有时才成立，∴①不正确； 对于②，；，∴②正确； 对于③，若，如，但，∴③不正确； 对于④，，∴，， 又∵，∴，∴，∴，∴④正确． 故答案为：②④. 11．（24-25高一上·上海·课堂例题）设、均为正实数，试比较和的大小． 【答案】答案见解析 【分析】利用作差法，再充分变形化简，结合条件，分类讨论，即可求出结果. 【详解】∵ 又，，∴． ①当时，，即； ②当时，，即； ③当时，，即． 12．（2023高三·全国·专题练习）已知－1<x＋y<4，2<x－y<3，求3x＋2y的取值范围？ 【答案】 【分析】由不等式的基本性质求解即可. 【详解】设3x＋2y＝m（x＋y）＋n（x－y）， 则，所以，即. 又∵－1<x＋y<4，2<x－y<3，∴，， ∴，即， ∴3x＋2y的取值范围为. 13．（22-23高一·全国·随堂练习）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)若，则； (2)若，则； (3)若，，则； (4)若，则． 【答案】(1)假命题 (2)真命题 (3)假命题 (4)假命题 【分析】（1）取即可判断， （2）根据不等式的性质即可求解， （3）（4）举反例即可求解. 【详解】（1）若，当时，则；故为假命题， （2）由于，故，则，进而可得；故为真命题， （3）若，，则， 此时满足，，但是无法得到，故为假命题 （4）若，不妨取，则无意义，故无法得到，故为假命题 14．（2023高一·上海·专题练习）（1）设，是不全为零的实数，试比较与的大小． （2）已知，，求证： 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）由作差法比较与的大小即可； （2）由作差法证明即可. 【详解】解：、是不全为零的实数， ， ； 证明： 若时，，， ． 若时，，， ． 若时，， 综上可知，对于，，，都有 15．（22-23高三上·上海·阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，其中是常数. （1）求的解析式； （2）求实数的值，使得函数，的最小值为； （3）已知函数满足：对任何不小于的实数，都有，其中为不小于的正整数常数，求证：. 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析. 【分析】（1）由函数是上的奇函数得出，可解出，再令，求出，利用奇函数的定义得出的表达式，从而得出函数在上的解析式； （2）由题意得出，令，可得出，再分、、三种情况讨论，分析该二次函数在区间上的单调性，得出该二次函数的最小值为，求出的值； （3）先求出，任取且，利用作差法证明出，由此得出，，，，再利用同向不等式的可加性可得出所证不等式成立. 【详解】（1）由于函数是上的奇函数，则， 那么，当时，. 当时，，， .也适合. 因此，； （2）当时，， 则， 令，则， 该二次函数图象开口向上，对称轴为直线. ①当时，即当时，函数在区间上单调递增，此时，，解得，合乎题意； ②当时，即当时，函数在上取得最小值，即，整理得，解得， 均不符合题意； ③当时，即当时，函数在区间上单调递减， 此时，，不合乎题意. 综上所述，当时，函数在区间上的最小值为； （3）当时，. 当时，，则， 整理得，解得. 任取且， ， 且，，，所以，， ，，，， 上述不等式全部相加得. 【点睛】本题考查奇函数解析式的求解、二次函数在定区间上的最值以及不等式的证明，在求解二次函数在定区间上的最值时，要对二次函数的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，结合二次函数的单调性进行求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 学科网（北京）股份有限公司 $$