2.4.1线段、角的轴对称性：垂直平分线的性质与判定（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

第2章轴对称图形 2.4.1线段、角的轴对称性：垂直平分线的性质与判定 苏科版 八年级上册 教学目标 01 理解线段垂直平分线的性质定理 02 理解线段垂直平分线的判定定理 03 掌握“将军饮马”问题 垂直平分线的性质 01 课堂引入 如图，直线l是线段AB的垂直平分线，l交AB于点O。 把OA沿直线l翻折， ∵∠1=∠2=90°，OA与OB， ∴OA与OB重合。 A B O l 1 2 线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴。 01 课堂引入 思考——如图，线段AB的垂直平分线l交AB于点O，点P在l上。 PA与PB相等吗？ B O 2 l A P 01 课堂引入 我们可以运用图形运动的方法，利用线段的轴对称性，证明PA=PB。 把△PAO沿直线l翻折，∵∠POA=∠POB，∴OA落在射线OB上。∴OA=OB重合，∴点A与点B重合。 B O 2 l A P B(A) O 2 l P 依据基本事实“两点确定一条直线”，可知PA与PB重合，∴PA=PB。 于是，我们得到如下定理： 02 知识精讲 垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 02 知识精讲 线段的垂直平分线外的点到这条线段两端的距离相等吗？为什么？ 如图，点P在线段AB的垂直平分线l外，PA交l于点Q，连接QB。 B O 2 l A P Q ∵点Q在线段AB的垂直平分线上，∴QA=QB， ∴PA=PQ+QA=PQ+QB>PB。 线段的垂直平分线外的点到这条线段两端的距离相等。 03 典例精析 例1、如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=30°，AC边的垂直平分线MN交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（　　） A．50° B．60° C．70° D．80° 【分析】∵在△ABC中，∠B=50°，∠C=30°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C==100°， ∵MN是AC边的垂直平分线， ∴DA=DC，（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） ∴∠DAC=∠C=30°， ∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=100°-30°=70°。 C 03 典例精析 例2、如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若AB=4，BC=9，则△AEF的周长为（　　） A．4 B．5 C．9 D．13 【分析】 ∵EG垂直平分AB，FH垂直平分AC， ∴AE=BE，AF=CF， （线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） ∴C△ABC=AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=9。 C 03 典例精析 例3、已知：如图，AB=AE，BC=ED，AF垂直平分CD，∠B=110°，求∠E的度数。 解：如图，连接AC，AD， ∵AF垂直平分CD，∴AC=AD， （线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） 在△ABC与△AED中， ， ∴△ABC≌△AED（SSS），∴∠E=∠B=110°。 垂直平分线的判定 01 课堂引入 思考——如果一个点在一条线段的垂直平分线上，那么这个点到这条线段两端的距离相等。反过来，如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上吗？ 01 课堂引入 ①如图，若点Q在线段AB上，且QA=QB，则Q是线段AB的中点。 A B Q 点Q在线段AB的垂直平分线上 01 课堂引入 ②如图，若点Q在线段AB外，且QA=QB，则作QM⊥AB，垂足为M。 B M A Q 由作图可知：QM⊥AB， ∴∠QMA=∠QMB， 在Rt△AQM和Rt△BQM中， ， ∴Rt△AQM≌△BQM（HL）， ∴AM=BM， 即点Q在线段AB的垂直平分线上。 于是，我们得到如下定理： 02 知识精讲 垂直平分线的判定定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合。 复习——尺规作图：按下列方法画AB的垂直平分线。 02 知识精讲 作法 图形 1.分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧在相交于点C、D； 2.过C、D两点作直线； 直线CD就是线段AB的垂直平分线。 D C A B 垂直平分线（尺规作图） 交流——在△ABC中，用直尺和圆规分别作AB、AC的垂直平分线l1、l2，l1、l2相交于点O，再作BC的垂直平分线。由此你有什么发现？ 02 知识精讲 A B C l1 l2 O l3 作BC的垂直平分线l3，l3也经过点O。 你能证明上述结论吗？ 02 知识精讲 A B C l1 l2 O 已知：如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O。 求证：点O在BC的垂直平分线上。 证明：如图，OA、OB、OC， ∵点O在AB的垂直平分线上l1， ∴OA=OB（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）， 同理：OA=OC，∴OB=OC， ∴点O在BC的垂直平分线上（到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上）。 02 知识精讲 三角形的垂直平分线 如图，三角形的3条垂直平分线交于一点，且该点到三角形三个顶点的距离相等。 A B C l1 l2 O l3 03 典例精析 例1、在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是（　　） A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三条垂直平分线的交点 C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点 B 03 典例精析 例2、如图，△ABC中，∠ABC的平分线上有一点D，点D恰好在线段AC的垂直平分线上，点E在边BC上，BE=AB，求证：点D在线段CE的垂直平分线上。 证明：如图，连接AD，CD， ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠EBD， 在△ABD与△EBD中， ， ∴△ABD≌△EBD（SAS），∴DA=DE， 03 典例精析 ∵点D在AC的垂直平分线上， ∴DA=DC， （线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） ∴DC=DE， ∴点D在线段CE的垂直平分线上。 （到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上） “将军饮马”问题 A B 水面 河岸 l 03 典例精析 例1、传说一位古罗马将军提出了一个有名的“将军饮马”问题：如图甲，将军从军营A出发先到河边饮马，再去同侧的B地开会，若途中速度不变，应该怎样走才能用时最短？ 【分析】若途中速度不变，则用时最短即路程最短。 A’ P 如图，过点A关于l的对称点A’， 连接A’B交l于点P， 连接AP。 03 典例精析 A B 水面 河岸 l A’ P 由作图可知：l是线段AA’的垂直平分线， ∴PA=PA’（线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）， 依据“两点之间线段最短”，可知A’P+BP，即AP+BP为所求的最短路程。 03 典例精析 例2、如图，点Q在∠AOB内部，点M，N分别在射线OA，OB上，若OQ为定值，何种情况下△QMN的周长最小。 A B O P P’ P’’ M N 【分析】如图，过点P关于OA的对称点P’，过点P关于OB的对称点P’’， 连接P’P’’交OA于点M，交OB于点N， 连接MP、NP。 03 典例精析 依据“两点之间线段最短”，可知P’M+MN+P’’N，即PM+MN+PN为所求的最小周长。 A B O P P’ P’’ M N 由作图可知：OA是线段PP’的垂直平分线，OB是线段PP’’的垂直平分线， ∴PM=P’M，PN=P’’N，（线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） 课后总结 线段垂直平分线的性质： ①线段的垂直平分线垂直并且平分这条线段； ②线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 线段垂直平分线的判定： ①定义：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线； ②到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 如图，三角形的3条垂直平分线交于一点，且该点到三角形三个顶点的距离相等。 2.4.1线段、角的轴对称性：垂直平分线的性质与判定 苏科版 八年级上册 谢谢观看 $$