第04讲 3.2.2双曲线的简单几何性质（知识清单+12类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）

第04讲 3.2.2双曲线的简单几何性质 课程标准 学习目标 ①掌握双曲线的简单几何性质，了解双曲线中a，b，c，e的几何意义及范围。 ②会根据双曲线的方程解决双曲线的几何性质，会用双曲线的几何意义解决相关问题。 通过本节课的学习，要求掌握双曲线的几何量a，b，c，e的意义，会利用几何量之间的关系，求相关几何量的大小，会利用双曲线的几何性质解决与双曲线有关的点、弦、周长、面积等问题 知识点01：双曲线的简单几何性质 标准方程 （） （） 图形 性质 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 ， , 渐近线 离心率 ，， a，b，c间的关系 【即学即练1】（2024·陕西铜川·三模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意判断，由双曲线方程写出其渐近线方程，比较即得，代入方程即可求得其焦点坐标. 【详解】易知，令，解得，依题有，即， 双曲线方程为，从而，从而的焦点坐标为. 故选：A. 知识点02：等轴双曲线 （，）当时称双曲线为等轴双曲线 ①； ②离心率； ③两渐近线互相垂直，分别为； ④等轴双曲线的方程，； 【即学即练2】（2024高二·江苏·专题练习）等轴双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出等轴双曲线方程，根据方程即可求出其渐近线方程. 【详解】由题意，若等轴双曲线方程为， 则，则其渐近线方程为； 若等轴双曲线方程为， 则，则其渐近线方程为， 综上，等轴双曲线的渐近线方程为. 故选：C 知识点03：直线与双曲线的位置关系 1、代数法：设直线，双曲线联立解得： （1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； ，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点； （2）时， 存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若， 时，，直线与双曲线相交于两点； 时，，直线与双曲线相离，没有交点； 时，直线与双曲线有一个交点；相切 不存在，时，直线与双曲线没有交点； 直线与双曲线相交于两点； 【即学即练3】（2024高三·全国·专题练习）若过原点的直线l与双曲线x2－y2＝1没有公共点，则直线l倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由双曲线的几何性质可知，当直线l的斜率不存在或斜率的绝对值不小于1（渐近线斜率的绝对值）时，l与双曲线没有公共点． 知识点04：弦长公式 1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则 为直线斜率 2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长. 知识点05：双曲线与渐近线的关系 1、若双曲线方程为渐近线方程： 2、若双曲线方程为（，）渐近线方程： 3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为， 4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上） 【即学即练4】（2024·湖南衡阳·模拟预测）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把双曲线方程中的1换为0，可得渐近线方程. 【详解】由题可知双曲线的渐近线方程为，即． 故选：B. 知识点06：双曲线中点弦的斜率公式 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：设，，则有， 两式相减得： 整理得：，即，因为是弦的中点， 所以： ， 所以 【即学即练5】（23-24高二上·福建莆田·期末）给定双曲线．过的直线与双曲线交于两点及，求线段的中点P的轨迹方程． 【答案】 【分析】设，代入双曲线方程后相减，再根据中点坐标公式代入即可求得中点P的轨迹方程．再讨论斜率不存在时是否满足方程即可． 【详解】设，代入方程得 两式相减得： 又设中点 将代入，当时得 又 代入得 当弦斜率不存在时，其中点的坐标也满足上述方程 因此所求轨迹方程是 【点睛】本题考查了直线与曲线相交的中点弦问题，点差法解决中点问题的用法，属于基础题． 题型01由双曲线的方程求几何性质 【典例1】（23-24高三下·湖南·阶段练习）已知F1，F2是双曲线C：（，）的两个焦点，C的离心率为5，点在C上，，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，得，要由，解得，故当时，即可得到答案. 【详解】设的焦距为，离心率为．当时，由平面几何知识得 ，解得．∵，∴．根据双曲线上点的横坐标的取值范围以及平面向量内积的几何意义可知，当时，实数的取值范围是． 故选：D. 【典例2】（2024·全国·一模）已知双曲线的渐近线上有一点，是双曲线的两个焦点，且点在以为直径的圆内，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出渐方程，则由点是渐近线上一点，，由点在以为直径的圆内，得，化简可求得结果. 【详解】由题可知：，渐近线为， 因为点是渐近线上一点， 所以， 因为点在以为直径的圆内， 所以，即， 所以，得， 解得， 即的取值范围为， 故选：A 【典例3】（23-24高二上·全国·课后作业）指出双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、实轴、虚轴、焦点及离心率． 【答案】答案见解析. 【分析】根据双曲线的性质求解. 【详解】方程表示焦点在轴上的双曲线， 的范围为；的范围为或； 图象关于轴、轴成轴对称，关于原点成中心对称； 上顶点坐标为，下顶点坐标为； 渐近线为； 实轴为线段，长为，虚轴为线段，长为； 上焦点为，下焦点为； 离心率. 【变式1】（23-24高三下·全国·开学考试）在x轴上方作圆与x轴相切，切点为，分别从点､，作该圆的切线AM和BM，两切线相交于点M，则点M的横坐标的取值范围(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意作出图像，根据几何关系研究动点M的轨迹即可. 【详解】当M在第一象限时，如图，设直线AM，BM与圆分别相切于点E，F， 由题可知，，， 又∵， ∴ ∴根据双曲线的可知，M在以A、B为焦点的双曲线的右支上(不能取顶点)， ∴此时M恒坐标； 当M在第三象限时，如图， 同理可得， ∴根据双曲线的定义可知，此时M是以A、B为焦点的双曲线的左支上的点(不能为顶点)，∴此时M恒坐标； 综上，M点的横坐标的取值范围. 故选：A. 【变式2】（多选）（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知，则关于双曲线与双曲线，下列说法中正确的是（     ）. A．有相同的焦距 B．有相同的焦点 C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线 【答案】AC 【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，则焦距为， 焦点坐标为，渐近线方程为，离心率为； 又由双曲线，可得，则焦距为， 焦点坐标为，渐近线方程为，离心率为， 所以双曲线和有相同的焦距，离心率相同，焦点坐标和渐近线方程不同. 故选：AC. 【变式3】（23-24高二下·上海·阶段练习）双曲线的右焦点坐标为 . 【答案】 【分析】利用双曲线的标准方程,直接求出双曲线的右焦点即可. 【详解】由双曲线的标准方程为，可得 ， 由可得， 所以双曲线的右焦点坐标. 故答案为：.      题型02根据双曲线几何性质求其标准方程 【典例1】（23-24高二上·辽宁营口·期末）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的标准方程可求焦点坐标为，根据焦点坐标及点可求双曲线的方程. 【详解】椭圆的标准方程为，故，可得焦点坐标为. 设双曲线的方程为， 故，解得， 故双曲线的标准方程为. 故选:A. 【典例2】（2024高二上·全国·专题练习）以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定双曲线的焦点和顶点，进而可得双曲线方程. 【详解】椭圆的长轴端点为， 椭圆焦点为， 即双曲线的焦点为，顶点为， 所以双曲线方程为. 故选：A. 【典例3】（23-24高二下·浙江·阶段练习）过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据渐近线相同可设所求为，将点代入求得即可得解. 【详解】因为所求双曲线与双曲线有相同的渐近线，所以设其方程为， 又点在双曲线上，所以，解得， 则双曲线方程为. 故选：B． 【典例4】（多选）（23-24高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）过点且与椭圆有相同焦点的圆锥曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法和双曲线的简单性质和双曲线的标准方程，考查计算能力．求出椭圆的焦点坐标，设出方程利用圆锥曲线经过的点，求解即可． 【详解】解：椭圆的焦点，可得， 设椭圆的方程为， 可得，， 解得，， 所求的椭圆方程为 设双曲线的方程为：， 可得，， 解得，， 所求的双曲线方程为． 故选：BC 【变式1】（23-24高二上·广东佛山·期末）已知双曲线的虚轴长为，两个顶点分别为椭圆的两个焦点，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设双曲线的标准方程为，根据题意求出、的值，由此可得出双曲线的标准方程. 【详解】由题，设双曲线的标准方程为，则，可得， 又因为双曲线的两个顶点分别为椭圆的两个焦点，则， 因此，双曲线的标准方程为. 故选：A. 【变式2】（2024·北京东城·二模）已知双曲线过点，且一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据渐近线方程可设双曲线方程为，代入点运算求解即可. 【详解】由题意可知：双曲线的一条渐近线方程为， 设双曲线方程为， 代入点，可得， 所以双曲线的方程为. 故选：A. 【变式3】（2024·全国·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为，且的一条渐近线与直线平行，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用已知条件求出a、b、c的值代入方程即可 【详解】由题意知，解得，故双曲线的标准方程为． 故选：A． 【变式4】（23-24高三上·浙江宁波·期末）与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求双曲线方程为，代入已知点坐标求解． 【详解】由题意设所求双曲线方程为，又双曲线过点， ∴，即， ∴双曲线方程为，即， 故选：D． 题型03双曲线的渐近线问题 【典例1】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知双曲线的顶点为，，虚轴的一个端点为，且是一个直角三角形，则双曲线的渐近线为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的对称性可得，求出即可得解. 【详解】设双曲线的实轴长为，虚轴长为， 由双曲线的对称性可得是一个等腰直角三角形， 且，则， 即， 所以双曲线的渐近线为.    故选：B. 【典例2】（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的渐近线公式计算. 【详解】双曲线的焦点在轴上，，得， 所以渐近线方程为. 故选：B． 【典例3】（2024·上海·三模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则 . 【答案】 【分析】首先表示出双曲线的渐近线方程，即可得到方程组，解得即可. 【详解】双曲线的渐近线为， 依题意，解得. 故答案为： 【变式1】（2024·河北石家庄·三模）已知双曲线的实半轴长为，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设双曲线的上焦点为，由题意可得，可求，由已知可求，可求渐近线方程. 【详解】设双曲线的上焦点为， 双曲线的渐近线方程为， 由点到直线的距离公式可得， 又双曲线的实半轴长为，所以， 所以双曲线的渐近线方程为，即. 故选：B. 【变式2】（2024·山东威海·二模）已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据公式求出，结合焦点位置即可得渐近线方程. 【详解】由题知，，解得， 又双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为. 故选：D 【变式3】（23-24高三下·江西·阶段练习）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的渐近线方程的求解即可. 【详解】由题可知双曲线的渐近线方程为. 故选：D 题型04双曲线的离心率问题（定值） 【典例1】（2024·湖南长沙·三模）已知双曲线的左､右焦点分别为为的渐近线上一点.若的面积为，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算再来求数量积，可得，再利用底边为的焦半径三角面积，可求出高为，从而可得一条渐近线的斜率，则即可解得离心率. 【详解】 不妨设点在第一象限内，为坐标原点， 由，得. 由的面积为，结合三角形面积公式得：点到轴的距离为， 所以的一条渐近线的倾斜角为，其斜率为， 因此的离心率. 故选：B. 【典例2】（24-25高三上·云南·阶段练习）已知为双曲线的左焦点，是的右顶点，点在过点且斜率为的直线上，且线段的垂直平分线经过点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，，由两角差的正切公式计算可得，根据正弦定理建立a与c的方程，结合离心率的定义即可求解. 【详解】因为且的垂直平分线经过点A， 所以为等腰三角形且， 在中，， 由， 得，解得，由正弦定理可知： ，即， 有，整理得， 即，解得. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据和，结合正弦定理建立关于a与c的方程，解方程即可. 【典例3】（23-24高二下·上海闵行·期末）设分别是双曲线的左，右焦点，若存在过点的直线与的左支交于两点，且为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 ． 【答案】或 【分析】分和两种情况，结合双曲线的定义以及通径分析求解即可. 【详解】因为为等腰直角三角形，则或或， 结合对称性可知：，结果是相同的， 所以只需讨论或即可，则有： 若，可知直线与轴垂直，则，即， 整理得，解得或（舍去）； 若，设，则， 因为，即，可得， 且，即，解得， 又因为，则， 即，整理可得， 所以双曲线的离心率为； 综上所述：双曲线的离心率为或. 故答案为：或. 【变式1】（2024·湖北武汉·模拟预测）设双曲线：（，）的右焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】D 【分析】运用数量积的定义,长度角度全部用表示，构造之间的一个等式,运用离心率公式求解即可. 【详解】由双曲线的几何性质知道，，， ∵， ∴，∴离心率. 故选：D. 【变式2】（2024·四川雅安·模拟预测）已知双曲线C：的右焦点为F，过点F作双曲线的一条渐近线的垂线l，垂足为M，若直线l与双曲线C的另一条渐近线交于点N，且（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为 . 【答案】/ 【分析】由确定与线段的位置关系，求出到渐近线的距离，接着由的关系结合以及离心率公式即可求解. 【详解】因为，故即， 故、、三点共线，且为线段靠近一端的四等分点， 又由题意知，斜率为正的渐近线方程为， 所以到渐近线的距离为，即， 所以，， 所以， 又由渐近线性质知， 故， 即，故， 故答案为：. 【变式3】（23-24高二下·浙江·期中）已知圆上恰有3个点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】求出圆心和半径，渐近线方程，得到圆心到的距离为1，从而得到方程，求出，进而得到离心率. 【详解】的渐近线方程为， ，圆心为，半径为2， 由几何关系得，圆心到的距离为1， 即，解得， 故离心率为 故答案为： 题型05双曲线的离心率问题（最值或范围） 【典例1】（2024·浙江杭州·三模）已知双曲线上存在关于原点中心对称的两点A，B，以及双曲线上的另一点C，使得为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，则可取，代入双曲线方程整理可得，结合渐近线列式求解即可. 【详解】由题意可知：双曲线的渐近线方程为， 设点，则可取， 则，整理得， 解得，即，可得，则， 所以该双曲线离心率的取值范围是． 故选：A. 【点睛】关键点点睛：1.巧妙设点：设点，根据垂直和长度关系可取； 2.根据渐近线的几何意义可得：. 【典例2】（2024·广东东莞·模拟预测）若双曲线C：的右支上存在，到点的距离相等，则双曲线C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，根据点在双曲线上和，可求最小时，的取值范围，从而得离心率的范围. 【详解】根据题意，结合双曲线的对称性可知， 存在以点为圆心的圆与双曲线的右支有四个交点， 所以当双曲线上的点到点P的距离最小时，点Q不可为双曲线的右顶点， 设点，则， 又因为由，可得， 所以， 要使最小，，则，解得， 所以， 又因为双曲线中，所以. 故选：A 【典例3】（2024·四川宜宾·模拟预测）已知为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为.若有最大值，则双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】由双曲线的定义，得到，则，当三点共线时，取得最大值，结合直线的斜率小于渐近线的斜率，即可求解. 【详解】由双曲线的定义，为双曲线右支上任意一点，可得，即， 则， 当三点共线时，取得最大值， 由点为双曲线右支上任意一点，可得直线的斜率小于渐近线的斜率， 即，所以，即双曲线的离心率的取值范围为. 故答案为：. 【变式1】（江苏省盐城市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题）若双曲线C：的渐近线与圆没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离大于半径求得a和b的关系，进而利用求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求． 【详解】双曲线渐近线为，且与圆没有公共点， 圆心到渐近线的距离大于半径，即，，，． 故选：B． 【变式2】（2024·山东菏泽·二模）已知分别为椭圆和双曲线的离心率，双曲线渐近线的斜率不超过，则的最大值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据椭圆与双曲线的几何性质，求出，令，结合，即可求解. 【详解】由椭圆的离心率， 双曲线的离心率，可得， 令，因为双曲线的渐近线的斜率不超过，即， 则此时，即， 则的最大值是. 故选：B. 【变式3】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别是，若双曲线左支上存在点，使得，则该双曲线离心率的最大值为 ． 【答案】3 【分析】由已知可求得，进而可得，求解即可. 【详解】由双曲线左支上一点，可得， 又，所以， 又，所以，所以， 所以该双曲线离心率的最大值为. 故答案为：. 题型06根据双曲线的离心率求参数 【典例1】（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）已知双曲线的离心率，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线方程，代入离心率公式，求解不等式. 【详解】由题意可知，，， 所以，所以，且， 所以. 故选：D 【典例2】（23-24高三上·内蒙古巴彦淖尔·期末）焦点在x轴上的双曲线的离心率为2，则的值为（    ） A．3 B． C． D．或3 【答案】B 【分析】利用双曲线标准方程及离心率公式求解. 【详解】因为双曲线方程为， 所以，，， 因为离心率为2，所以， 解得：，所以. 故选：B. 【典例3】（23-24高二上·北京平谷·期末）已知双曲线的离心率，则 . 【答案】1 【分析】由双曲线的标准方程确定，求得，再利用离心率求得． 【详解】由题意显然有，，因此，，解得， 故答案为：1. 【变式1】（23-24高二上·河北邢台·期中）若双曲线的离心率大于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据离心率的范围计算a的范围即可. 【详解】 由题意得，得． 故选：C. 【变式2】（23-24高一上·江苏连云港·期末）设k为实数，已知双曲线的离心率，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意确定，根据双曲线离心率的范围可得不等式，即可求得答案. 【详解】由题意双曲线方程为,可得， 故实半轴，则， 由得，则， 即k的取值范围为， 故选：A． 【变式3】（2024高二·全国·专题练习）双曲线的离心率为，则实数m的值为（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】由双曲线方程求得a，b，进而由离心率求解． 【详解】解：由双曲线， 得a2＝m，b2＝4， ∴a，c， 则e， 解得m＝2． 故选：B． 题型07直线与双曲线的位置关系 【典例1】（23-24高三下·四川绵阳·阶段练习）过双曲线：左焦点为和点直线与双曲线的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】求出直线l的斜率，即可得其方程，判断该直线和双曲线渐近线平行，即可判断答案. 【详解】由题意得双曲线：左焦点为， 则直线l的斜率为， 故直线l的方程为，而双曲线的渐近线方程为， 故直线l与平行，且l过双曲线的左焦点， 故直线与双曲线的交点个数是1， 故选：B 【典例2】（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ． 【答案】（或，答案不唯一） 【分析】联立直线方程与双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解. 【详解】联立，化简并整理得：， 由题意得或， 解得或无解，即，经检验，符合题意. 故答案为：（或，答案不唯一）. 【典例3】（2024高三·全国·专题练习）过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有 条，它们的方程分别是 ． 【答案】 和 【分析】若直线的斜率不存在，可得直线方程为满足条件；若直线的斜率存在，设直线的方程为，代入到双曲线方程，分二次项系数为0和判别式等于0讨论，即可得到答案． 【详解】解：若直线的斜率不存在，则直线方程为，此时仅有一个交点，满足条件； 若直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立方程组， 整理得到， 当时，方程无解，不满足条件； 当时，方程有一解，满足条件； 当时，令， 解得，此时恰好为渐近线的斜率，不满足条件， 所以满足条件的直线有两条，直线方程分别为和． 故答案为：；和. 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线，过点作直线，使与有且只有一个公共点，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】结合双曲线的性质与点位置，画出对应图形即可得. 【详解】易知双曲线的焦点，顶点，渐近线为， 由可得该点在双曲线右顶点上方， 易得过点与双曲线有且只有一个公共点的直线中， 有两条和双曲线的渐近线分别平行的直线（图1）， 有两条双曲线右支的切线（图2），共4条. 故选：D. 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）若直线y＝kx与双曲线相交，则k的取值范围是 ． 【答案】 【详解】 将直线方程代入双曲线方程得(－)x2＝1.因为直线与双曲线相交，所以－>0，解得－<k<，所以k的取值范围是(－，). 【变式3】（23-24高二上·福建福州·期末）已知双曲线方程为（），若直线与双曲线左右两支各交一点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出渐近线方程，结合直线与双曲线左右两支各交一点，比较斜率即可得结果. 【详解】因为双曲线方程为（）， 所以双曲线的渐近线方程为， 因为直线与双曲线左右两支各交一点， 所以，解得， 即实数的取值范围为， 故答案为： 题型08弦长问题 【典例1】（23-24高二上·天津河西·期末）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定直线的方程，代入双曲线方程，求出，的坐标，即可求线段的长． 【详解】由双曲线的方程得，，直线的方程为① 将其代入双曲线方程消去得，，解之得，． 将，代入①，得，， 故． 故选：C． 【典例2】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线交于两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）利用双曲线定义可得，即可求得的方程为； （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理由弦长公式计算即可求得，可得直线的方程. 【详解】（1）根据题意由可知， 动点的轨迹为以为焦点，实轴长为的双曲线， 即，所以， 所以可得的方程为； （2）如下图所示： 依题意设， 联立与的方程， 消去整理可得，则； 且，解得； 所以， 解得，满足，符合题意； 所以直线的方程为. 【典例3】（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为10，且它的一条渐近线方程为 (1)求C的标准方程； (2)过C的右顶点，斜率为2的直线l交C于A，B两点，求 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由条件设双曲线的方程为，根据条件列方程求即可；(2)联立方程组，求出交点坐标，利用两点距离公式求 【详解】（1）因为焦点在x轴上，故设C的标准方程为 双曲线的焦距为10，， 的一条渐近线为，， 又，联立上式解得，， 故所求方程为 （2）由(1)的右顶点为，又直线的斜率为2，所以直线l的方程为 联立消去变量y可得，， 解得或 则A，B两点的坐标分别为， 故 【变式1】（23-24高二下·北京·开学考试）已知双曲线，则双曲线的离心率为 ；直线与双曲线相交于两点，则 . 【答案】 【分析】由已知可判断双曲线的焦点在轴上，利用方程可求得的值，即可得到离心率；由可求得交点坐标，利用两点间的距离公式计算即可. 【详解】因为双曲线， 则故； 当时，，不妨设, 故， 故答案为：；. 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，求弦长． 【答案】 【分析】利用公式计算可得； 【详解】解：双曲线中，，，所以， 利用公式，代入得． 【变式3】（23-24高二上·安徽亳州·期中）已知双曲线：的左右顶点分别为，，点，在双曲线上． (1)求直线，的斜率之积； (2)若直线MN的斜率为2，且过点，求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设，求出直线，的斜率后利用点在双曲线上可求斜率的乘积； （2）利用弦长公式可求. 【详解】（1）设， 由双曲线：可得，， 故， 即. （2）直线，设 由可得，即， 故. 题型09三角形面积问题 【典例1】（2024·河北·模拟预测）点为等轴双曲线的焦点，过作轴的垂线与的两渐近线分别交于两点，则的面积为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】先求出双曲线的方程，进而求出双曲线的渐近线方程，即可求出两点的坐标，即可求出的面积. 【详解】设双曲线为：， 因为，解得：， 所以双曲线为：，则双曲线的渐近线为：， 所以，解得：，则， 所以为等腰直角三角形， 所以的面积为. 故选：B. 【典例2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，过右焦点作其中一条渐近线的垂线，垂足为，且直线与另一条渐近线交于点，设为坐标原点，则的面积为 . 【答案】 【分析】求出渐近线方程，写出直线的方程，联立渐近线求出和，求出三角形面积. 【详解】由题意，得双曲线的渐近线方程为. 不妨设直线为过右焦点且与渐近线垂直的直线， 则直线的方程为，联立， 解得，即. 同理，联立，解得，即， 所以. 故答案为：. 【典例3】（23-24高二上·黑龙江·期中）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，焦距为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，直线l：交双曲线C于A，B两点，求的面积． 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）由双曲线的渐近线方程和焦距，列方程组求出，得到双曲线C的标准方程； （2）直线与双曲线联立方程组，求出弦长，点到直线距离公式求出的高，可求面积． 【详解】（1）由题意得：，解得，，， 所以双曲线C的标准方程为． （2）设，联立方程组消去y整理得， 则，，， ， 原点到直线AB的距离， 所以． 【典例4】（23-24高二下·湖南湘潭·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据，，以及，求解即可； （2）设直线的方程为与椭圆联立，利用弦长公式表示，根据点到直线的距离公式求解高，即可根据三角形面积公式进行求解. 【详解】（1）由题意得：，，， 解得：，，， 双曲线的标准方程为． （2）由题意可知，直线的斜率一定存在， 设直线的方程为，，，，， 联立方程组，消去整理得， 则， 原点到直线的距离为 ， 所以， 解得或，故 或， 故直线方程为或 【变式1】（23-24高二上·陕西西安·期末）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为关于双曲线的一条渐近线对称的点为．若，则的面积为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】根据离心率求出渐近线方程，从而得到点关于的对称点，并得到，根据求出，进而求出，得到三角形面积. 【详解】由题意得，，渐近线方程为，， ，故渐近线方程为， 连接，则由对称性得， 又，所以， 故，， 由于，故， 设点关于的对称点， 则，解得， 则， 由得，解得， 故，，， 故的面积为. 故选：D 【变式2】（23-24高二上·天津北辰·期末）设双曲线：的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则的面积为 . 【答案】 【分析】根据两点间距离公式，结合三角形面积公式进行求解即可. 【详解】设点P坐标为，则有， 由， 因为，所以，或舍去， 因此的面积为， 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·陕西咸阳·期末）已知双曲线C：的离心率为，右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由题意列出关于的方程，求出它们的值，即得答案； （2）由题意可确定P点坐标，根据三角形面积公式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意可得：，据此可得， 故双曲线的标准方程为． （2）由双曲线的标准方程可得，由于，则， 双曲线的渐近线方程为， 不妨设点P在双曲线的渐近线上，则， 则△PFO的面积． 【变式4】（23-24高二下·新疆和田·期中）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，，且过点 (1)求双曲线的方程； (2)求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】 （1）利用双曲线参数关系及点在双曲线上列方程求，即得方程； （2）根据所得双曲线方程确定，且到轴距离为，结合三角形面积公式求面积即可. 【详解】（1）由且，则， 又点在双曲线上，则， 综上，，即双曲线的方程为. （2）由（1）知：，而到轴距离为， 所以的面积为. 题型10中点弦和点差法 【典例1】（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知直线与双曲线交于两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】利用点差法可求的关系，从而可求双曲线的离心率. 【详解】设，则，且， 所以，整理得到：， 因为是弦的中点， 所以，所以即 所以， 故选：A. 【典例2】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线，直线与双曲线交于两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为 . 【答案】 【分析】利用点差法求直线的斜率. 【详解】设，则， 两式相减得， 故，即直线的斜率为. 故答案为：. 【典例3】（2024·广东·二模）已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)若为双曲线上的两点且不关于原点对称，直线过的中点，求直线的斜率. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）先求出焦点坐标，再根据渐近线方程可求基本量，从而可得双曲线的方程. （2）利用点差法可求直线的斜率，注意检验. 【详解】（1）椭圆的焦点为，故， 由双曲线的渐近线为，故，故， 故双曲线方程为：. （2）设，的中点为， 因为在直线，故， 而，，故， 故， 由题设可知的中点不为原点，故，所以， 故直线的斜率为. 此时， 由可得，整理得到：， 当即或， 即当或时，直线存在且斜率为1. 【变式1】（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，代入双曲线方程，两式相减可得，由题目条件经整理后可得答案. 【详解】设，，则直线l的斜率为 代入，得，两式相减得：. 又线段AB的中点为点，则. 则.经检验满足题意. 故选：D 【变式2】（23-24高二下·湖南株洲·开学考试）双曲线的方程是．求过点作直线，使其被双曲线截得的弦恰被点平分，求直线的方程． 【答案】 【分析】 利用点差法可得直线的斜率，即可根据点斜式求解． 【详解】 设直线与双曲线交于,、,两点， 点为的中点，则，． 由，， 两式相减得，即 ， 的方程为，即． 把此方程代入双曲线方程，整理得， 满足， 即所求直线的方程为． 【变式3】（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）已知双曲线的渐近线方程是，实轴长为2. (1)求双曲线的方程; (2)若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用渐近线方程、实轴长求出可得答案； （2）设直线的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理可得答案. 【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程是，实轴长为2， 所以，， 所以双曲线的方程为； （2）双曲线的渐近线方程为，由双曲线关于坐标轴的对称性可知， 若线段的中点为，则直线的斜率存在， 设为，且，， 可得直线的方程为， 与双曲线方程联立， 可得， 设， 则， 解得，经检验符合题意. 题型11双曲线的定点、定值、定直线问题问题 【典例1】（23-24高二下·江西·阶段练习）已知双曲线的左､右顶点分别为，右焦点为，一条渐近线的倾斜角为的离心率为在上. (1)求的方程； (2)过的直线交于两点（在轴上方），直线分别交轴于点，判断（为坐标原点）是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)是， 【分析】（1）由渐近线的倾斜角为，可得，从而可求出离心率，则可得，代入双曲线方程，再结合可求得，从而可求出双曲线的方程； （2）设的方程为，代入双曲线方程化简利用根与系数的关系，表示出直线的方程和直线的方程，从而可表示出两点的坐标，然后化简计算即可. 【详解】（1）因为的一条渐近线的倾斜角为，所以其斜率为， 所以，所以， 又，即在上，所以， 所以，故的方程为. （2）由（1）得，设， 由题意知的斜率不为0，设的方程为， 代入的方程并整理，得， 则， 所以，且. 直线的方程为，令，得，故， 直线的方程为，令，得，故， 所以 所以为定值，且定值为. 【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线中的定值问题，（2）问解题的关键是设出直线方程代入双曲线方程化简后，再利用根与系数的关系，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题. 【典例2】（2024·上海·三模）设A，B是双曲线H：上的两点．直线l与双曲线H的交点为P，Q两点． (1)若双曲线H的离心率是，且点在双曲线H上，求双曲线H的方程； (2)设A、B分别是双曲线H：的左、右顶点，直线l平行于y轴．求直线AP与BQ斜率的乘积，并求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程； (3)设双曲线H：，其中，，点M是抛物线C：上不同于点A、B的动点，且直线MA与双曲线H相交于另一点P，直线MB与双曲线H相交于另一点Q，问：直线PQ是否恒过某一定点？若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)，， (3)直线PQ恒过定点为． 【分析】（1）根据所给条件得到关于、的方程组，解得即可； （2）设（或），，则，表示出，，利用点在双曲线上得到，再由三点共线得到，，代入双曲线方程，整理可得； （3）设，，则，即可得到、的方程，表示出、，根据对称性定点在轴上，利用特殊值求出定点坐标，再证明即可. 【详解】（1）依题意，解得，所以双曲线方程为； （2）设（或），则，，，， 则，，所以， 又，即， 所以， 则，， 由，，三点共线得：； 又，， 由，，三点共线得：， ，， ， ，即，则，， 直线与直线的交点的轨迹的方程为，； （3）设，，则， 直线：，即； 直线：，即． 由得， 所以，即，则， 同理，， 由对称性知，若过定点，则定点在轴上． 取，可得，，则直线PQ：，过点． 下证明直线恒过定点为． 由且得， 所以直线恒过定点为． 【点睛】方法点睛：处理定点问题的三个常用策略： （1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，通过等量关系代入化简变形，分析研究出变化的量与参数无关，从而找到定点； （2）特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明存在着动态变化中不受变量影响的该定点； （3）定位分析法：先根据几何性质（如：图形对称性、点线相对性、动态趋势等）探索出定点大致位置，从而确定证明方向再加以证明. 【典例3】（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且. (1)求双曲线C的方程； (2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）. （i）求m的取值范围； （ii）设直线AD与直线BE交于点Q，求证：点Q在定直线上. 【答案】(1) (2)（i）或；（ii）证明见解析 【分析】（1）由已知条件去设点的坐标，表示斜率之积，通过点在双曲线上，代入并消元一个变量，即可得到，从而求出双曲线方程； （2）（i）利用过点的直线与双曲线的左右两支相交，必满足,从而去求出的取值范围； （ii）先用交点坐标去表示直线的方程，然后猜想交点的横坐标为定值，所以消去纵坐标得到关于交点的横坐标的表达式，最后利用韦达定理代入化简，可得定值，即问题可得证. 【详解】（1） 由题意可知， 因为，所以. 设，则，所以， 又， 所以. 所以双曲线C的方程为. （2）（i）由题意知直线l的方程为. 联立，化简得， 因为直线l与双曲线左右两支相交，所以， 即满足：， 所以或； （ii）， 直线AD的方程为 直线BE的方程为. 联立直线AD与BE的方程，得， 所以， 所以， 所以 . 所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线上. 【变式1】（23-24高二下·上海·期末）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线的方程． (2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在出直线l的方程；若不存在，说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析； (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意列式求，进而可得双曲线方程； （2）设，联立方程，利用韦达定理判断是否为零即可； （3）用两点坐标表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值． 【详解】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，所以双曲线的方程为． （2）双曲线的左焦点为， 当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，不符合题意， 当直线的斜率不为0时，设， 由，消去得， 显然，， 设，则，得， 于是， ， 即，因此与不垂直， 所以不存在直线，使得点在以为直径的圆上． （3）由直线，得， 则，又， 于是 ， 而，即有，且， 所以，即为定值． 【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 【变式2】（2024高三下·四川成都·专题练习）已知双曲线的焦距为，点在C上． (1)求C的方程； (2)直线与C的右支交于两点，点与点关于轴对称，点在轴上的投影为. ①求的取值范围； ②求证：直线过点． 【答案】(1) (2)① ；②证明见解析 【分析】（1）由题可得，解方程即可得到答案； （2）①设，联立，消去得，由于与的右支交于，两点，双曲线的渐近线方程为，可得，以及，解不等式可得的取值范围； ②由①得，，由题可得，利用向量关系可得，从而可得，，三点共线，即可证明. 【详解】（1）由已知得，解得， 所以的方程为. （2）①设，，则， 联立， 消去得， 则，， 解得，且. 又与的右支交于，两点，的渐近线方程为， 则，即， 所以的取值范围为. ②由①得，， 又点在轴上的投影为，所以，， 所以， ， 所以， 又，有公共点，所以，，三点共线，所以直线过点. 【点睛】关键点睛：（1）直线与双曲线一支相交于两点，可利用韦达定理、根的判别式以及直线斜率与渐近线斜率的关系进行求解； （2）证明直线过定点，可利用向量平行关系进行证明. 【变式3】（2024·贵州毕节·三模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，动点P满足，设点P的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点的直线l与曲线在y轴右侧交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点D，满足．证明：点D在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设点P的坐标为，根据斜率乘积为定值化简即可； （2）设直线l的方程为，联立双曲线方程得到韦达定理式，化简弦长得，代入韦达定理式计算即可. 【详解】（1）设点P的坐标为， 由得，化简整理得， 所以曲线的方程为. （2）若直线l的斜率不存在，则直线l与曲线只有一个交点，不符合题意， 所以直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为， 设点， 联立方程组，整理得，易知， ，解得， ，解得或， 综上或， 因为， 同理由得， 化简整理得， 所以， 化简整理得，代入， 化简整理得， 所以点D在定直线上．    【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法联立双曲线方程得到韦达定理式，再对化简得，代入韦达定理式计算即可. 题型12双曲线中的向量问题 【典例1】（2024·上海·高考真题）已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若离心率时，求的值． (2)若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标． (3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据离心率公式计算即可； （2）分三角形三边分别为底讨论即可； （3）设直线，联立双曲线方程得到韦达定理式，再代入计算向量数量积的等式计算即可. 【详解】（1）由题意得，则，． （2）当时，双曲线，其中，， 因为为等腰三角形，则 ①当以为底时，显然点在直线上，这与点在第一象限矛盾，故舍去； ②当以为底时，， 设，则 , 联立解得或或， 因为点在第一象限，显然以上均不合题意，舍去； （或者由双曲线性质知，矛盾，舍去）； ③当以为底时，，设，其中， 则有，解得，即． 综上所述：. （3）由题知， 当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则， 则设直线， 设点，根据延长线交双曲线于点， 根据双曲线对称性知， 联立有， 显然二次项系数， 其中， ①，②，   ， 则，因为在直线上， 则，， 即，即， 将①②代入有， 即 化简得， 所以 , 代入到 , 得 , 所以 , 且，解得，又因为，则， 综上知，，． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0. 【典例2】（23-24高二下·上海·阶段练习）如图:双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交轴于点. (1)当直线平行于的斜率大于的渐近线时，求直线与的距离； (2)当直线的斜率为时，在的右支上是否存在点，满足?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由; 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）首先得到双曲线的渐近线方程及直线的方程，再由两平行线间解距离公式计算可得； （2）先根据斜率求出直线l的方程，从而得点Q，再设出点的坐标，根据得出点的横、纵坐标之间的关系式，与双曲线联立消去，由韦达定理即可解答. 【详解】（1）双曲线，焦点在轴上，， 则双曲线左、右焦点分别为，，渐近线方程为， 当直线平行于的斜率大于的渐近线时，则直线的方程为，即， 又渐近线为， 所以直线与的距离. （2）不存在，理由如下： 当直线l的斜率为1时，直线方程为，因此， 又，所以， 设的右支上的点，则， 由得， 又，联立消去得， 因为，但是，，所以此方程无正根， 因此，在的右支上不存在点，满足. 【变式1】（2024·湖北襄阳·模拟预测）设双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，，且的渐近线方程为，直线交双曲线于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)当直线过点时，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，解方程即可得出答案； （2）讨论直线的斜率存不存在，存在时设直线的方程为，，联立直线与双曲线的方程，将韦达定理代入，由反比例函数的单调性即可得出答案. 【详解】（1）由题意可得：，解得：，，. 双曲线的方程为：. （2）当直线的斜率不存在时，，， 此时，，所以， 当直线的斜率存在时，设，，因为直线过点， 设直线的方程为：， 联立可得：， 当时，， ，， ， 令，则，令， 在，上单调递减， 又，所以， 所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是设直线，再将其联立双曲线方程，得到韦达定理式，计算相关向量，代入韦达定理式再利用换元法求出函数值域即可. 【变式2】（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线l：分别与x轴，直线交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线上的一点（P不在x轴负半轴上）且. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足，延长MA交C于点N，求的最小值. 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）结合题意得出几何关系，由抛物线定义即可得解； （2）一方面：设，，联立与抛物线的方程，由韦达定理得，设，，同理可得，，结合向量数量积的坐标运算、基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意， 如图， ∵， ∴， 又∵不在轴负半轴上， ∴与直线垂直， 又∵， ∴点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， ∴点的轨迹方程为. （2） 由得， ∵与交于两点， ∴， 设，，则， 又∵， ∴， ∵的斜率为， ∴直线的方程为， 设，，同理得，， ∴ ， 当且仅当即时取到“=”， ∴的最小值为16. A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）若双曲线的实轴长为，则正数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】由双曲线实轴长为，有，又， . 故选：A. 2．（2024·湖南邵阳·三模）已知双曲线的焦点在圆上，且圆与直线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用已知条件可求得和，从而可求离心率的取值范围. 【详解】由题可得：，则， 由直线与圆有公共点，则点到直线的距离， 所以，由离心率． 故选：B． 3．（2024·河北衡水·三模）已知双曲线：，圆与圆的公共弦所在的直线是的一条渐近线，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】两圆的方程相减可得双曲线的一条渐近线方程，据此可求双曲线的离心率. 【详解】因为，，所以两圆方程相减可得， 由题意知的一条渐近线为，即， 双曲线的离心率． 故选：C． 4．（2024高三上·全国·专题练习）与双曲线1共渐近线，且过点的双曲线的标准方程是（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 【答案】D 【分析】由题意，设要求的双曲线为，将点的坐标代入，计算可得t的值，将其方程变形为标准方程，即可得答案． 【详解】由题意知，要求双曲线与双曲线共渐近线， 设要求的双曲线为. 又该双曲线经过点，则，解得， 则要求的双曲线的标准方程为. 故选：D. 5．（2024·浙江绍兴·三模）已知，为曲线：的焦点，则下列说法错误的是（    ） A．若，则曲线的离心率 B．若，则曲线的离心率 C．若曲线上恰有两个不同的点，使得，则 D．若，则曲线上存在四个不同的点，使得 【答案】C 【分析】根据给定的方程，结合椭圆、双曲线的性质逐项分析判断即可得解. 【详解】对于A，当时，曲线是椭圆，离心率，A正确； 对于B，当时，曲线是双曲线，离心率，B正确； 对于C，当时，曲线是椭圆，其短半轴长，半焦距， 显然以线段为直径的圆恰过这个椭圆短轴端点，即符合条件的可以是8，C错误； 对于D，当时，则曲线是焦点在x上的双曲线，则， 以线段为直径的圆与双曲线有4个交点，即符合条件的点有4个，D正确. 故选：C 6．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作直线与双曲线的左右两支分别交于两点，且，，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用焦半径三角形及双曲线的几何定义，再结合余弦定理，就可以求得离心率，从而也就可以求得渐近线方程. 【详解】 边接，由关于原点对称，可知四边形是平行四边形， 即，，由得：， 又由双曲线的定义得，解得， 再由余弦定理得：， ， 即，再由， 故渐近线方程为：， 故选：C. 7．（2024·湖南·模拟预测）已知点，点，动点M满足直线AM，BM的斜率之积为4，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点斜率公式即可列等量关系化简求解即可. 【详解】设动点 由于，，根据直线与的斜率之积为． 整理得，化简得：． 故选：D 8．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，M为双曲线右支上的一点，若M在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，设，则，，则，进而可得，即可得出答案． 【详解】由于M在以为直径的圆上，故， 设，则，， 根据双曲线的定义， 所以， 所以，， 所以， 故在单调递增， 当时，， 当时，， 所以，所以， 故选：D．    二、多选题 9．（2024·河北保定·三模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与的左支相交于，两点，若，且，则（    ） A． B． C．的离心率为 D．直线的斜率为 【答案】ACD 【分析】设，，结合双曲线的定义与勾股定理可以求得的值，即可判断出A，B选项；再结合勾股定理可以求得的关系，再求出离心率；求直线的斜率，在直角三角形中，用斜率的定义求正切值可以求得直线的斜率. 【详解】如图，由，可设，. 因为，所以. 设，，则，，，解得， 则，， 所以，故A选项正确；，故B选项错误； 在中，由，得，则， 从而的离心率为，故C选项正确. 又，所以直线的斜率为，故D选项正确. 故选：ACD. 10．（2024·河北邯郸·三模）已知双曲线，则（    ） A．的取值范围是 B．的焦点可在轴上也可在轴上 C．的焦距为6 D．的离心率的取值范围为 【答案】AC 【分析】根据双曲线方程的特征，易于求得，判断方程中分母的符号即可判断A,B项，计算易得C项，先算出离心率的表达式，再根据的范围，即可确定的范围. 【详解】对于A，表示双曲线，，解得，故A正确； 对于B，由A项可得，故，的焦点只能在轴上，故B错误； 对于C，设的半焦距为，则，，即焦距为，故C正确； 对于D，离心率，，，的取值范围是，故D错误． 故选：AC. 三、填空题 11．（2024·北京·三模）已知双曲线．则的离心率是 ；若的一条渐近线与圆交于，两点，则 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的标准方程，得到的值，结合双曲线的几何性质，求得双曲线的离心率和渐近线方程，再利用圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，则， 所以双曲线的离心率为； 又由双曲线的其中一条渐近线方程为，即， 因为圆的圆心为，半径， 所以圆心到渐近线的距离为， 由圆的弦长公式，可得. 故答案为：；. 四、解答题 12．（2024高二·全国·专题练习）已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使： (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 【答案】(1)或或； (2)或 (3)或 【分析】（1）联立直线方程和双曲线方程，根据直线与双曲线有两交点，则，注意二次项系数不等于0； （2）根据直线与双曲线仅有一交点，分二次项系数等于0和不等于0两种情况讨论.当二次项系数不等于0时，由即可得出答案； （3）根据直线与双曲线没有交点，得，注意二次项系数不等于0. 【详解】（1）联立， 消整理得，（*） 因为直线l与双曲线C有两个公共点， 所以，整理得 解得： 或或. （2）当即时，直线l与双曲线的渐近线平行， 方程（*）化为，故方程（*）有唯一实数解， 即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点，满足题意． 当时， 因为直线l与双曲线C仅有一个公共点， 则，解得； 综上，或. （3）因为直线l与双曲线C没有公共点， 所以， 解得： 或. 13．（23-24高二下·陕西榆林·开学考试）已知点在双曲线：（）上. (1)求双曲线的方程； (2)是否存在过点的直线与双曲线相交于，两点，且满足是线段的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由点在双曲线上，可得，求解可得双曲线的方程； （2）设直线的方程为，且设交点，，先利用点差法求得，进而求得直线的方程，代入双曲线方程消去可得的一元二次方程，利用判别式判断方程的根的情况即可得结论. 【详解】（1）已知点在双曲线：（）上， 所以，整理得，解得，则， 所以双曲线方程为； （2）由题可知若直线存在，则直线的斜率存在，故设直线的方程为， 且设交点，， 则，两式相减得， 由于为中点，则，， 则， 即有直线的方程为，即， 由，可得， 检验判别式为，方程有实根， 故存在过点的直线与该双曲线相交于，两点，且满足是线段的中点. 此时的方程为. B能力提升 1．（2024·江苏苏州·三模）已知分别为双曲线的左、右焦点，过作的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于点，此时，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意，联立直线方程可得点坐标，再由可得，在中可得，从而得到，再由离心率公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 因为双曲线，则其渐近线方程为， 且，过作的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于点， 则直线方程为，联立直线方程，解得， 所以，过点作轴的垂线，交轴于点， 因为，则， 则，且， 即，化简可得，则. 故选：C 2．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知双曲线的左顶点是，右焦点是，点是双曲线右支上异于顶点的动点，的平分线与直线交于点，过作轴，垂足是，若恒成立，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【分析】过点作，根据题意，得到，设，由为的角平分线，求得，化简得到，结合任意的都成立，列出方程组，求得，即可求解. 【详解】如图所示，过点作交于点，可得， 因为，所以， 设，则， 由为的角平分线，可得， 所以， 由，可得， 所以， 整理得， 若对于任意的都成立，则必有，解得， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：.    3．（23-24高二下·浙江·期中）已知，且，点P的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)直线l：与C相交于M，N两点，第一象限上点T在轨迹C上． （ⅰ）若是等边三角形，求实数k的值； （ⅱ）若，求面积的取值范围． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】 （1）根据双曲线的定义即可求解； （2）（ⅰ）由直线分别与双曲线联立，得到的横坐标，进而求得，，再根据为等边三角形，得到即可求解； （ⅱ）根据，再利用换元法求得的取值范围即可． 【详解】（1） 根据双曲线的定义，可得C是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线， 设其方程为，则，可得， 故C的方程为； （2） （ⅰ）由题意知是等边三角形，点T在第一象限， 显然，直线的斜率均存在且不为0，设直线的斜率分别为， 如下图所示： 则直线MN的方程为，直线OT的方程为， 设，则由，得， 可得，所以，且， ， 同理可得：，且， 若为等边三角形，则， 即，可得； （ⅱ）若，则， ， 设，，故， 设，则，可得， 易知在上单调递增，上单调递减， ，∴， 即的面积的取值范围为． 4．（23-24高二下·上海·期末）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线的方程． (2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在出直线l的方程；若不存在，说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析； (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意列式求，进而可得双曲线方程； （2）设，联立方程，利用韦达定理判断是否为零即可； （3）用两点坐标表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值． 【详解】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，所以双曲线的方程为． （2）双曲线的左焦点为， 当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，不符合题意， 当直线的斜率不为0时，设， 由，消去得， 显然，， 设，则，得， 于是， ， 即，因此与不垂直， 所以不存在直线，使得点在以为直径的圆上． （3）由直线，得， 则，又， 于是 ， 而，即有，且， 所以，即为定值． 【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 3.2.2双曲线的简单几何性质 课程标准 学习目标 ①掌握双曲线的简单几何性质，了解双曲线中a，b，c，e的几何意义及范围。 ②会根据双曲线的方程解决双曲线的几何性质，会用双曲线的几何意义解决相关问题。 通过本节课的学习，要求掌握双曲线的几何量a，b，c，e的意义，会利用几何量之间的关系，求相关几何量的大小，会利用双曲线的几何性质解决与双曲线有关的点、弦、周长、面积等问题 知识点01：双曲线的简单几何性质 标准方程 （） （） 图形 性质 范围 或 或 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点坐标 ， , 渐近线 离心率 ，， a，b，c间的关系 【即学即练1】（2024·陕西铜川·三模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 知识点02：等轴双曲线 （，）当时称双曲线为等轴双曲线 ①； ②离心率； ③两渐近线互相垂直，分别为； ④等轴双曲线的方程，； 【即学即练2】（2024高二·江苏·专题练习）等轴双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 知识点03：直线与双曲线的位置关系 1、代数法：设直线，双曲线联立解得： （1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； ，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点； （2）时， 存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若， 时，，直线与双曲线相交于两点； 时，，直线与双曲线相离，没有交点； 时，直线与双曲线有一个交点；相切 不存在，时，直线与双曲线没有交点； 直线与双曲线相交于两点； 【即学即练3】（2024高三·全国·专题练习）若过原点的直线l与双曲线x2－y2＝1没有公共点，则直线l倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点04：弦长公式 1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于，两点，则 为直线斜率 2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于、两点，则弦长. 知识点05：双曲线与渐近线的关系 1、若双曲线方程为渐近线方程： 2、若双曲线方程为（，）渐近线方程： 3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为， 4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在轴上） 【即学即练4】（2024·湖南衡阳·模拟预测）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 知识点06：双曲线中点弦的斜率公式 设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有 证明：设，，则有， 两式相减得： 整理得：，即，因为是弦的中点， 所以： ， 所以 【即学即练5】（23-24高二上·福建莆田·期末）给定双曲线．过的直线与双曲线交于两点及，求线段的中点P的轨迹方程． 题型01由双曲线的方程求几何性质 【典例1】（23-24高三下·湖南·阶段练习）已知F1，F2是双曲线C：（，）的两个焦点，C的离心率为5，点在C上，，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·全国·一模）已知双曲线的渐近线上有一点，是双曲线的两个焦点，且点在以为直径的圆内，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高二上·全国·课后作业）指出双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、实轴、虚轴、焦点及离心率． 【变式1】（23-24高三下·全国·开学考试）在x轴上方作圆与x轴相切，切点为，分别从点､，作该圆的切线AM和BM，两切线相交于点M，则点M的横坐标的取值范围(    ) A． B． C． D． 【变式2】（多选）（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知，则关于双曲线与双曲线，下列说法中正确的是（     ）. A．有相同的焦距 B．有相同的焦点 C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线 【变式3】（23-24高二下·上海·阶段练习）双曲线的右焦点坐标为 . 题型02根据双曲线几何性质求其标准方程 【典例1】（23-24高二上·辽宁营口·期末）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024高二上·全国·专题练习）以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高二下·浙江·阶段练习）过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【典例4】（多选）（23-24高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）过点且与椭圆有相同焦点的圆锥曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·广东佛山·期末）已知双曲线的虚轴长为，两个顶点分别为椭圆的两个焦点，则的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·北京东城·二模）已知双曲线过点，且一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2024·全国·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为，且的一条渐近线与直线平行，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4】（23-24高三上·浙江宁波·期末）与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 题型03双曲线的渐近线问题 【典例1】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知双曲线的顶点为，，虚轴的一个端点为，且是一个直角三角形，则双曲线的渐近线为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·上海·三模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则 . 【变式1】（2024·河北石家庄·三模）已知双曲线的实半轴长为，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·山东威海·二模）已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高三下·江西·阶段练习）双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 题型04双曲线的离心率问题（定值） 【典例1】（2024·湖南长沙·三模）已知双曲线的左､右焦点分别为为的渐近线上一点.若的面积为，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【典例2】（24-25高三上·云南·阶段练习）已知为双曲线的左焦点，是的右顶点，点在过点且斜率为的直线上，且线段的垂直平分线经过点，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高二下·上海闵行·期末）设分别是双曲线的左，右焦点，若存在过点的直线与的左支交于两点，且为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 ． 【变式1】（2024·湖北武汉·模拟预测）设双曲线：（，）的右焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（    ） A． B．3 C．2 D． 【变式2】（2024·四川雅安·模拟预测）已知双曲线C：的右焦点为F，过点F作双曲线的一条渐近线的垂线l，垂足为M，若直线l与双曲线C的另一条渐近线交于点N，且（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为 . 【变式3】（23-24高二下·浙江·期中）已知圆上恰有3个点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为 ． 题型05双曲线的离心率问题（最值或范围） 【典例1】（2024·浙江杭州·三模）已知双曲线上存在关于原点中心对称的两点A，B，以及双曲线上的另一点C，使得为正三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024·广东东莞·模拟预测）若双曲线C：的右支上存在，到点的距离相等，则双曲线C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·四川宜宾·模拟预测）已知为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为.若有最大值，则双曲线的离心率的取值范围是 . 【变式1】（江苏省盐城市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题）若双曲线C：的渐近线与圆没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·山东菏泽·二模）已知分别为椭圆和双曲线的离心率，双曲线渐近线的斜率不超过，则的最大值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别是，若双曲线左支上存在点，使得，则该双曲线离心率的最大值为 ． 题型06根据双曲线的离心率求参数 【典例1】（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）已知双曲线的离心率，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三上·内蒙古巴彦淖尔·期末）焦点在x轴上的双曲线的离心率为2，则的值为（    ） A．3 B． C． D．或3 【典例3】（23-24高二上·北京平谷·期末）已知双曲线的离心率，则 . 【变式1】（23-24高二上·河北邢台·期中）若双曲线的离心率大于，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·江苏连云港·期末）设k为实数，已知双曲线的离心率，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2024高二·全国·专题练习）双曲线的离心率为，则实数m的值为（　　） A． B．2 C． D．3 题型07直线与双曲线的位置关系 【典例1】（23-24高三下·四川绵阳·阶段练习）过双曲线：左焦点为和点直线与双曲线的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【典例2】（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ． 【典例3】（2024高三·全国·专题练习）过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有 条，它们的方程分别是 ． 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线，过点作直线，使与有且只有一个公共点，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）若直线y＝kx与双曲线相交，则k的取值范围是 ． 【变式3】（23-24高二上·福建福州·期末）已知双曲线方程为（），若直线与双曲线左右两支各交一点，则实数的取值范围为 . 题型08弦长问题 【典例1】（23-24高二上·天津河西·期末）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线交于两点，且，求直线的方程． 【典例3】（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为10，且它的一条渐近线方程为 (1)求C的标准方程； (2)过C的右顶点，斜率为2的直线l交C于A，B两点，求 【变式1】（23-24高二下·北京·开学考试）已知双曲线，则双曲线的离心率为 ；直线与双曲线相交于两点，则 . 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，求弦长． 【变式3】（23-24高二上·安徽亳州·期中）已知双曲线：的左右顶点分别为，，点，在双曲线上． (1)求直线，的斜率之积； (2)若直线MN的斜率为2，且过点，求的值． 题型09三角形面积问题 【典例1】（2024·河北·模拟预测）点为等轴双曲线的焦点，过作轴的垂线与的两渐近线分别交于两点，则的面积为（    ） A． B．4 C． D．8 【典例2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，过右焦点作其中一条渐近线的垂线，垂足为，且直线与另一条渐近线交于点，设为坐标原点，则的面积为 . 【典例3】（23-24高二上·黑龙江·期中）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，焦距为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，直线l：交双曲线C于A，B两点，求的面积． 【典例4】（23-24高二下·湖南湘潭·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程. 【变式1】（23-24高二上·陕西西安·期末）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为关于双曲线的一条渐近线对称的点为．若，则的面积为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【变式2】（23-24高二上·天津北辰·期末）设双曲线：的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则的面积为 . 【变式3】（23-24高二上·陕西咸阳·期末）已知双曲线C：的离心率为，右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若，求的面积． 【变式4】（23-24高二下·新疆和田·期中）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，，且过点 (1)求双曲线的方程； (2)求的面积. 题型10中点弦和点差法 【典例1】（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知直线与双曲线交于两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D．3 【典例2】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线，直线与双曲线交于两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为 . 【典例3】（2024·广东·二模）已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)若为双曲线上的两点且不关于原点对称，直线过的中点，求直线的斜率. 【变式1】（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·湖南株洲·开学考试）双曲线的方程是．求过点作直线，使其被双曲线截得的弦恰被点平分，求直线的方程． 【变式3】（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）已知双曲线的渐近线方程是，实轴长为2. (1)求双曲线的方程; (2)若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，求直线的斜率. 题型11双曲线的定点、定值、定直线问题问题 【典例1】（23-24高二下·江西·阶段练习）已知双曲线的左､右顶点分别为，右焦点为，一条渐近线的倾斜角为的离心率为在上. (1)求的方程； (2)过的直线交于两点（在轴上方），直线分别交轴于点，判断（为坐标原点）是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. 【典例2】（2024·上海·三模）设A，B是双曲线H：上的两点．直线l与双曲线H的交点为P，Q两点． (1)若双曲线H的离心率是，且点在双曲线H上，求双曲线H的方程； (2)设A、B分别是双曲线H：的左、右顶点，直线l平行于y轴．求直线AP与BQ斜率的乘积，并求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程； (3)设双曲线H：，其中，，点M是抛物线C：上不同于点A、B的动点，且直线MA与双曲线H相交于另一点P，直线MB与双曲线H相交于另一点Q，问：直线PQ是否恒过某一定点？若是，求该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【典例3】（23-24高二下·黑龙江大庆·期中）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且. (1)求双曲线C的方程； (2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）. （i）求m的取值范围； （ii）设直线AD与直线BE交于点Q，求证：点Q在定直线上. 【变式1】（23-24高二下·上海·期末）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线的方程． (2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在出直线l的方程；若不存在，说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 【变式2】（2024高三下·四川成都·专题练习）已知双曲线的焦距为，点在C上． (1)求C的方程； (2)直线与C的右支交于两点，点与点关于轴对称，点在轴上的投影为. ①求的取值范围； ②求证：直线过点． 【变式3】（2024·贵州毕节·三模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，动点P满足，设点P的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)过点的直线l与曲线在y轴右侧交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点D，满足．证明：点D在定直线上． 题型12双曲线中的向量问题 【典例1】（2024·上海·高考真题）已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若离心率时，求的值． (2)若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标． (3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围． 【典例2】（23-24高二下·上海·阶段练习）如图:双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交轴于点. (1)当直线平行于的斜率大于的渐近线时，求直线与的距离； (2)当直线的斜率为时，在的右支上是否存在点，满足?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由; 【变式1】（2024·湖北襄阳·模拟预测）设双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，，且的渐近线方程为，直线交双曲线于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)当直线过点时，求的取值范围. 【变式2】（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线l：分别与x轴，直线交于点A，B，点P是线段AB的垂直平分线上的一点（P不在x轴负半轴上）且. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)设l与C交于E，F两点，点M在C上且满足，延长MA交C于点N，求的最小值. A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）若双曲线的实轴长为，则正数（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南邵阳·三模）已知双曲线的焦点在圆上，且圆与直线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·河北衡水·三模）已知双曲线：，圆与圆的公共弦所在的直线是的一条渐近线，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 4．（2024高三上·全国·专题练习）与双曲线1共渐近线，且过点的双曲线的标准方程是（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 5．（2024·浙江绍兴·三模）已知，为曲线：的焦点，则下列说法错误的是（    ） A．若，则曲线的离心率 B．若，则曲线的离心率 C．若曲线上恰有两个不同的点，使得，则 D．若，则曲线上存在四个不同的点，使得 6．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作直线与双曲线的左右两支分别交于两点，且，，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·湖南·模拟预测）已知点，点，动点M满足直线AM，BM的斜率之积为4，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，M为双曲线右支上的一点，若M在以为直径的圆上，且，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2024·河北保定·三模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点的直线与的左支相交于，两点，若，且，则（    ） A． B． C．的离心率为 D．直线的斜率为 10．（2024·河北邯郸·三模）已知双曲线，则（    ） A．的取值范围是 B．的焦点可在轴上也可在轴上 C．的焦距为6 D．的离心率的取值范围为 三、填空题 11．（2024·北京·三模）已知双曲线．则的离心率是 ；若的一条渐近线与圆交于，两点，则 ． 四、解答题 12．（2024高二·全国·专题练习）已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使： (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 13．（23-24高二下·陕西榆林·开学考试）已知点在双曲线：（）上. (1)求双曲线的方程； (2)是否存在过点的直线与双曲线相交于，两点，且满足是线段的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. B能力提升 1．（2024·江苏苏州·三模）已知分别为双曲线的左、右焦点，过作的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于点，此时，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 2．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知双曲线的左顶点是，右焦点是，点是双曲线右支上异于顶点的动点，的平分线与直线交于点，过作轴，垂足是，若恒成立，则双曲线的离心率为 ． 3．（23-24高二下·浙江·期中）已知，且，点P的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)直线l：与C相交于M，N两点，第一象限上点T在轨迹C上． （ⅰ）若是等边三角形，求实数k的值； （ⅱ）若，求面积的取值范围． 4．（23-24高二下·上海·期末）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线的方程． (2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在出直线l的方程；若不存在，说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$