数学02（全国通用，人教B版2019）-2024年新高二开学摸底考试卷

新高二开学摸底考试卷02 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试范围：人教版B版2019 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设为虚数单位，已知复数，则（    ） A． B． C． D．2 2．已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量满足，且，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 4．斜三棱柱中，设，，，若，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，从一个半径为的圆形纸板中剪出一块最大的正三角形纸板，并将此正三角形纸板折叠成一个正四面体，则该正四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作，则下列命题正确的是（    ） A．函数的对称中心为 B．若，则的最大值为 C．若，且，则圆心角为，半径为3的扇形的面积为 D．若，则 7．将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，，则（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．在上的投影向量的坐标为 10．已知函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 11．在正四棱柱中，，，则（    ） A．正四棱柱的侧面积为24 B．与平面所成角的正切值为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．三棱锥内切球的半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，，则向量与的夹角为 13．若关于x的方程无解，则实数k的取值范围是 . 14．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为67°、30°，此时气球的高是46m，河流的宽度约等于 m. （参考数据：，，，，） 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分）已知复数，其中i为虚数单位，． (1)若z为纯虚数，求； (2)若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围． 16．（本题满分15分）已知函数 从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一. 条件①：； 条件②：在区间单调，且； 条件③：函数相邻两个零点间的距离为. 选__________作为条件 (1)求值； (2)求在区间上的最大值与最小值及对应的的值. 17．（本题满分15分）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 18．（本题满分17分）如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上．记．（提示：直径所对的圆周角是直角，即图中） (1)用表示的长； (2)若，求如图中阴影部分的面积； (3)记梯形的周长为，将表示成的函数，并求出的最大值． 19．（本题满分17分）点A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与P，Q两点均不重合），我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记；若点M在线段PQ外，记. (1)若M在正方体的棱AB的延长线上，且，由对AB施以视角运算，求的值； (2)若M在正方体的棱AB上，且，由对AB施以视角运算，得到，求的值； (3)若是边BC的等分点，由A对BC施以视角运算，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新高二开学摸底考试卷02 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试范围：人教B版2019 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B C A B D B B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 BD AC ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分）已知复数，其中i为虚数单位，． (1)若z为纯虚数，求； (2)若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由已知求出，再由模的意义求出结果. （2）由给定条件列出不等式组，求解即可得范围. 【详解】（1）由z为纯虚数，得，解得，则， 所以. （2）由复数z在复平面内对应的点在第四象限，得，解得， 所以实数a的取值范围是. 16．（本题满分15分）已知函数 从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一. 条件①：； 条件②：在区间单调，且； 条件③：函数相邻两个零点间的距离为. 选__________作为条件 (1)求值； (2)求在区间上的最大值与最小值及对应的的值. 【答案】(1) (2)当时，；当时， 【分析】先化简，（1）若选条件，分别求解，舍掉不满足存在且唯一，逐一检验即可得解，（2）由（1）得到解析式，求出相位范围即可求解. 【详解】（1）， 若选条件①，,，即，无解，不合题意； 若选条件②，因为， 所以且 所以过图象的最高点，过图象的最低点， 又因为在区间单调，所以 解得， 当时，， 当时，，所以在区间不单调，不符合题意，所以； 若选条件③， 因为相邻两个零点间的距离为， 所以，即，又，解得，不合题意； 综上，； （2）由（1）知， 当时，， 所以，当时，； 当时，. 17．（本题满分15分）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，即可得到，根据面面垂直的性质得到平面，从而证明平面，即可得到，再由，即可得证； （2）由（1）可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为是的中点，所以， 因为平面，且， 所以平面. （2）因为，由（1）知四边形为矩形，则， 又平面，所以平面， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 取平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以. ， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18．（本题满分17分）如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上．记．（提示：直径所对的圆周角是直角，即图中） (1)用表示的长； (2)若，求如图中阴影部分的面积； (3)记梯形的周长为，将表示成的函数，并求出的最大值． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）连接，过作，由几何关系可得，由三角函数可表示出的长； （2）图中阴影部分的面积等于和扇形的面积，分别求出即可得出答案. （3）根据给定条件，利用圆的性质，结合直角三角形的边角关系表示出，利用二倍角的余弦公式变形函数，再利用换元法，结合二次函数求出最大值. 【详解】（1）连接，过作，则， 所以. （2）． ， ， 所以， （3）， 则 ， 令，则， 则，当时，. 19．（本题满分17分）点A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与P，Q两点均不重合），我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记；若点M在线段PQ外，记. (1)若M在正方体的棱AB的延长线上，且，由对AB施以视角运算，求的值； (2)若M在正方体的棱AB上，且，由对AB施以视角运算，得到，求的值； (3)若是边BC的等分点，由A对BC施以视角运算，求的值. 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）根据锐角三角函数的定义，结合和差角公式可得，即可代入公式求解， （2）根据的计算公式，代入即可求解， （3）由正弦定理可得，即可结合对施以视角运算，即可求证. 【详解】（1）如图1， 因为，所以. 由正方体的定义可知，则， 故， . 因为， 所以， 则. （2）如图2，设， 则. 因为， 所以， 则，解得， 故. （3）如图3， 因为是的等分点， 所以. 在中，由正弦定理可得， 则. 在中，同理可得. 因为，所以， 则. 同理可得. 故 【点睛】方法点睛：对于新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好定义的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的定义的性质的一些因素. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新高二开学摸底考试卷02 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试范围：人教B版2019 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设为虚数单位，已知复数，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用复数的商的运算法则求得，进而可求. 【详解】， 则. 故选：B. 2．已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件结合任意角的三角函数的定义求出，然后代入计算即可. 【详解】因为角的终边过点， 所以， 所以， 故选：B 3．已知向量满足，且，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】根据已知条件直接化简求解即可. 【详解】因为向量满足，且， 所以. 故选：C. 4．斜三棱柱中，设，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，结合图形，利用向量的线性运算，即可求出结果. 【详解】因为 . 故选：A. 5．如图，从一个半径为的圆形纸板中剪出一块最大的正三角形纸板，并将此正三角形纸板折叠成一个正四面体，则该正四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出最大正三角形的边长，进而得到正四面体的棱长及高，再由空间几何关系利用勾股定理求解外接球半径即可. 【详解】圆内最大正三角形即圆内接正三角形. 设该圆内接正三角形的半径为，边长为， 则， 解得， 如图，设折叠后正四面体的棱长为，高为， 则， 过点作平面，为底面正三角形的中心，连接， 则在中，由正弦定理得，则， 所以高， 设正四面体外接球球心为，则 于是外接球的半径， 在中，，则， 所以，解得， 则其外接球的表面积为． 故选：B. 6．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作，则下列命题正确的是（    ） A．函数的对称中心为 B．若，则的最大值为 C．若，且，则圆心角为，半径为3的扇形的面积为 D．若，则 【答案】D 【分析】根据新定义，把新函数转化为熟悉的三角函数，再分析它们的有关性质即可. 【详解】对A：. 由，，，所以函数的对称中心为，故A错误； 对B：. 设，则，且， 所以， 当时，.故B错误； 对C：. 因为且，所以. 所以. 所以圆心角为，半径为3的扇形的面积为：，故C错误； 对D：由. 所以，故D正确. 故选：D 7．将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据三角函数变换规律求出，然后求出的单调递增区间，再由函数在上单调递增，得，从而可求出的取值范围. 【详解】将函数的图象先向左平移个单位长度，得， 再把所得函数图象上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得 ， 所以， 由， 得， 所以， 因为函数在上单调递增， 所以（）， 即（）， 解得， 因为，所以，所以. 故选：B 8．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合条件由余弦定理可得，再由，结合正切函数的和差角公式以及基本不等式代入计算可得，即可得到结果. 【详解】因为，且，则， 由余弦定理可得，所以， 即，由正弦定理可得， 其中，则，所以， 又， 化简可得， 且为锐角三角形，则， 所以， 即， 解得或（舍）， 所以，当且仅当时，等号成立， 则的最大值为. 故选：B 【点睛】关键点睛：本题主要考查了余弦定理，正切函数的和差角公式以及基本不等式求最值问题，难度较大，解答本题的关键在于由余弦定理得到，然后结合基本不等式代入计算，即可求解. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，，则（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．在上的投影向量的坐标为 【答案】BD 【分析】根据向量模的坐标表示即可判断A；根据向量平行和垂直的坐标表示即可判断BC；根据投影向量的公式即可判断D. 【详解】对A，，故A错误； 对B，若，则，解得，故B正确； 对C，若，则，则，故C错误； 对D，在上的投影向量的坐标为，故D正确. 故选：BD. 10．已知函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用图象的特征求出各参数即可求解. 【详解】由图象可知：，周期，故． 由，解得， 故函数，选项A正确； 选项B，，B错误； 选项C，，C正确； 选项D，，D错误． 故选：AC． 11．在正四棱柱中，，，则（    ） A．正四棱柱的侧面积为24 B．与平面所成角的正切值为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．三棱锥内切球的半径为 【答案】ABD 【分析】由侧面积公式即可求解A，根据线面垂直可得与平面所成的角为，即可由三角形的边角关系求解B，根据线线平行可得异面直线与所成的角为或其补角，由三角形的边角关系求解C，利用等体积法即可求解D. 【详解】正四棱柱的侧面积为，正确． 设，由于四边形为正方形，故， 又平面，平面，故， 由平面，故平面， 则与平面所成的角为， 且，，则，B正确． 在正方体中，，则异面直线与所成的角为或其补角， ， 则，C错误． 三棱锥的表面积， 三棱锥的体积， 所以三棱锥内切球的半径为，D正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，，则向量与的夹角为 【答案】 【分析】利用空间向量夹角的余弦公式求出答案. 【详解】设向量与的夹角为， 则， 故. 故答案为： 13．若关于x的方程无解，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】分析可知与没有交点，利用辅助角公式结合正弦函数值域分析求解. 【详解】由题意可知：与没有交点， 因为， 且，可得， 可知，所以实数k的取值范围是. 故答案为：. 14．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B、C的俯角分别为67°、30°，此时气球的高是46m，河流的宽度约等于 m. （参考数据：，，，，） 【答案】60 【分析】先作辅助线，过点作垂直于的延长线于点，先解求出，再在中利用正弦定理即可求. 【详解】 如图，过点作垂直于的延长线于点， 在中，，， 所以， 在中，，，， 由正弦定理可得： 可得：， 所以河流的宽度约等于， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分）已知复数，其中i为虚数单位，． (1)若z为纯虚数，求； (2)若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由已知求出，再由模的意义求出结果. （2）由给定条件列出不等式组，求解即可得范围. 【详解】（1）由z为纯虚数，得，解得，则， 所以. （2）由复数z在复平面内对应的点在第四象限，得，解得， 所以实数a的取值范围是. 16．（本题满分15分）已知函数 从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一. 条件①：； 条件②：在区间单调，且； 条件③：函数相邻两个零点间的距离为. 选__________作为条件 (1)求值； (2)求在区间上的最大值与最小值及对应的的值. 【答案】(1) (2)当时，；当时， 【分析】先化简，（1）若选条件，分别求解，舍掉不满足存在且唯一，逐一检验即可得解，（2）由（1）得到解析式，求出相位范围即可求解. 【详解】（1）， 若选条件①，,，即，无解，不合题意； 若选条件②，因为， 所以且 所以过图象的最高点，过图象的最低点， 又因为在区间单调，所以 解得， 当时，， 当时，，所以在区间不单调，不符合题意，所以； 若选条件③， 因为相邻两个零点间的距离为， 所以，即，又，解得，不合题意； 综上，； （2）由（1）知， 当时，， 所以，当时，； 当时，. 17．（本题满分15分）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，即可得到，根据面面垂直的性质得到平面，从而证明平面，即可得到，再由，即可得证； （2）由（1）可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为是的中点，所以， 因为平面，且， 所以平面. （2）因为，由（1）知四边形为矩形，则， 又平面，所以平面， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 取平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以. ， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18．（本题满分17分）如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形的形状，它的下底是半圆的直径，上底的端点在圆周上．记．（提示：直径所对的圆周角是直角，即图中） (1)用表示的长； (2)若，求如图中阴影部分的面积； (3)记梯形的周长为，将表示成的函数，并求出的最大值． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）连接，过作，由几何关系可得，由三角函数可表示出的长； （2）图中阴影部分的面积等于和扇形的面积，分别求出即可得出答案. （3）根据给定条件，利用圆的性质，结合直角三角形的边角关系表示出，利用二倍角的余弦公式变形函数，再利用换元法，结合二次函数求出最大值. 【详解】（1）连接，过作，则， 所以. （2）． ， ， 所以， （3）， 则 ， 令，则， 则，当时，. 19．（本题满分17分）点A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与P，Q两点均不重合），我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记；若点M在线段PQ外，记. (1)若M在正方体的棱AB的延长线上，且，由对AB施以视角运算，求的值； (2)若M在正方体的棱AB上，且，由对AB施以视角运算，得到，求的值； (3)若是边BC的等分点，由A对BC施以视角运算，求的值. 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）根据锐角三角函数的定义，结合和差角公式可得，即可代入公式求解， （2）根据的计算公式，代入即可求解， （3）由正弦定理可得，即可结合对施以视角运算，即可求证. 【详解】（1）如图1， 因为，所以. 由正方体的定义可知，则， 故， . 因为， 所以， 则. （2）如图2，设， 则. 因为， 所以， 则，解得， 故. （3）如图3， 因为是的等分点， 所以. 在中，由正弦定理可得， 则. 在中，同理可得. 因为，所以， 则. 同理可得. 故 【点睛】方法点睛：对于新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好定义的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的定义的性质的一些因素. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$