数学（上海专用，沪教版）-2024年新八年级开学摸底考试卷

新八年级开学摸底考试卷 数学•全解全析 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．下列式子中，是二次根式的是…………………………………………………………………………（    ） A． B． C． D． 2．下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知，，则的依据是……………………………………（    ）    A． B． C． D． 4．若等式成立，则实数a的取值范围是…………………………………………………（    ） A． B． C． D． 5．二次根式的一个有理化因式是………………………………………………………………（    ） A． B． C． D． 6．如果二次三项式能在实数范围内分解因式，那么p的取值范围是……………………（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分． 7．若式子有意义，则的取值范围是 ． 8．若与最简二次根式是同类二次限式，则m的值为 ． 9．分母有理化： ． 10．一元二次方程的一次项系数为 ． 11．方程的根是 ． 12．某种商品原价是100元，经两次降价后的价格是85元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为 ． 13．经过点且平行于x轴的直线可以表示为直线 ． 14．等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长为 ． 15．若方程是关于的一元二次方程，则 ． 16．关于的一元二次方程有一个根为0，则 ． 17．已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝8．则x2+y2的值为 ． 18．如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是 ． 三、简答题（本大题共 4 题，每题 6 分，满分24分） 19．计算 20．计算：． 21．解方程： 22．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根. （1）求实数的取值范围； （2）写出满足条件的的最小整数值，并求此时方程的根. 四、解答题（本大题共2题，每题9分，满分18分） 23．某服装店在销售中发现：衬衫平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接“双十一”购物节，该服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么平均每天就可多售出3件． (1)若每件衬衫降价5元，那么平均每天就可售出______件； (2)为保持节后销售价格的稳定性，规定降价不能超过15元．要想平均每天销售这种衬衫盈利1800元，那么每件衬衫应降价多少元？ 24．已知若的一边长为，另外两边长为关于的方程的两个实数根，求的取值范围． 五、探究题（本大题共2题，第25题满分10分，第26小题满分12分） 25．先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：． 26．在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到如下图所示的位置时，求证：①；②； (2)当直线绕点C旋转到如下图所示的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不必证明； (3)当直线绕点C旋转到如图的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不必证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新八年级开学摸底考试卷 数学·答案及评分标准 一、单项选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 C B D B D A 二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分． 7． 8．4 9． 10． 11．， 12．100（1﹣x）2＝85 13． 14． 15． 16． 17．1 18． 三、简答题（本大题共 4 题，每题 6 分，满分24分） 19．解：原式 ． ……………………6分 20．解： ． ……………………6分 21．解： ……………………6分 22．（1）由题意得：， 解得：且； ……………………3分 （2）∵取整数， ∴， ∴原方程为， 解得：，. ……………………6分 四、解答题（本大题共2题，每题9分，满分18分） 23．（1）（件）， ……………………2分 （2）设每件童装应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又∵降价不能超过15元， ∴舍去， 故． ……………………9分 答：每件童装应降价10元． 24．解：∵，…………1分 为任意实数，方程有两个实数根， 解方程得， ∴， ∴，， ……………………6分 根据三角形三边之间的关系得，， ． ……………………9分 五、探究题（本大题共2题，第25题满分10分，第26小题满分12分） 25．解:（1）小莉的化简结果正确，理由如下： ……………………4分 （2）原式 ……………………10分 26．解:（1）证明：①∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ∵ ， ∴； ……………………3分 ②∵， ∴，， ∴． ……………………6分 （2）解：． ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴． ……………………9分 （3）解：． ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴． ……………………12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 八年级开学摸底考试卷 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、单项选择题（每小题6分，共12分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题2分，共24分） 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 三、简答题（本大题共 4 题，每题 6 分，满分24分） 19．（6分）计算 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（6分）计算：． 21．（6分）解方程： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（本大题共2题，每题9分，满分18分） 23．（9分） 24．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 五、探究题（本大题共2题，第25题满分10分，第26小题满分12分） 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新八年级开学摸底考试卷 数学•全解全析 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．下列式子中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，掌握一般地，我们把形如的式子叫做二次根式是解题的关键． 【详解】根据二次根式的定义可得：是二次根式 故选：C． 2．下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数．据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、是最简二次根式，故本选项符合题意； C、，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、，被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．如图，已知，，则的依据是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定定理可进行求解． 【详解】解：在和中， ， ∴； 故选D． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 4．若等式成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键． 【详解】解：∵等式成立， ∴， 故选：B． 5．二次根式的一个有理化因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次根式的有理化的目的就是去掉根号，所以的一个有理化因式是． 【详解】解：， 故一个有理化因式是， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的有理化，根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．本题二次根式有理化主要利用平方公式． 6．如果二次三项式能在实数范围内分解因式，那么p的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了实数范围内分解因式，一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键． 根据多项式能分解因式，得到多项式为0时方程有解，确定出的范围即可． 【详解】解：二次三项式能在实数范围内分解因式， ， 解得：， 故选：A． 二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分． 7．若式子有意义，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式及二次根式有意义的条件的条件，解题的关键是掌握分式及二次根式有意义的条件是分母不等于零．根据分式及二次根式有意义的条件可得，再解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为： 8．若与最简二次根式是同类二次限式，则m的值为 ． 【答案】4 【分析】此题主要考查了同类二次根式，正确把握同类二次根式的定义：被开方相同的最简二次根式叫同类二次根式是解题关键． 直接化简二次根式，进而利用同类二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：，与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得． 故答案为：4． 9．分母有理化： ． 【答案】 【分析】本题考查了分母有理化，根据，分子和分母同时乘上，化简即可作答． 【详解】解：依题意， 故答案为： 10．一元二次方程的一次项系数为 ． 【答案】 【分析】去括号、移项变形为一元二次方程的一般形式，从而得到一次项系数． 【详解】解：， 去括号得，， 移项得，， 所以一般形式为；一次项系数为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：，，，为常数），叫二次项系数，叫一次项系数，叫常数项． 11．方程的根是 ． 【答案】， 【分析】先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴或， 解得：，． 故答案为：，． 【点睛】本题考查解一元二次方程—因式分解法．因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 12．某种商品原价是100元，经两次降价后的价格是85元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为 ． 【答案】100（1﹣x）2＝85 【分析】易得第一次降价后的价格为：100×（1-x），那么第二次降价后的价格为：100×（1-x）×（1-x），那么相应的等量关系为：原价×（1-降低的百分率）2=第二次降价后的价格，把相关数值代入即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，可列方程为100（1﹣x）2＝85， 故答案为：100（1﹣x）2＝85． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次降价后商品的售价方程，再根据题意列出第二次降价后售价的方程，令其等于85即可． 13．经过点且平行于x轴的直线可以表示为直线 ． 【答案】 【分析】根据平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等，又直线经过点，则该直线上所有点的共同特点是纵坐标都是． 【详解】解：∵所求直线经过点且平行于x轴， ∴该直线上所有点纵坐标都是， 故可以表示为直线． 故答案为：． 【点睛】此题考查与坐标轴平行的直线的特点：平行于x轴的直线上点的纵坐标相等，平行于y轴的直线上点的横坐标相等． 14．等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三级形的定义，构成三角形的条件．分3为腰长和6为腰长，进行讨论求解即可． 【详解】解：当3为腰长时：，不能构成三角形； ∴6为腰长， ∴它的周长为； 故答案为：15． 15．若方程是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据一元二次方程的定义得出即可得到答案． 【详解】∵是关于的一元二次方程， ∴， ∴ 故答案为：． 16．关于的一元二次方程有一个根为0，则 ． 【答案】 【分析】根据方程根的定义，将代入关于的一元二次方程得到，解这个关于的一元二次方程，结合一元二次方程定义即可得到答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有一个根为0， ，即，解得或， 是关于的一元二次方程， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程根的定义、一元二次方程的定义及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的二次项系数不等于0是解决问题的关键． 17．已知（x2+y2+1）（x2+y2+3）＝8．则x2+y2的值为 ． 【答案】1． 【分析】设x2+y2＝a，把原方程化为关于a的一元二次方程，解方程求出a，根据非负数的性质判断即可． 【详解】解：设x2+y2＝a， 原方程变形为：（a+1）（a+3）＝8， 即a2+4a﹣5＝0， 解得，a1＝1，a2＝﹣5， ∵x2+y2≥0， ∴x2+y2＝1， 故答案为：1． 【点睛】此题考查的是解一元二次方程，掌握用换元法将原方程变成一元二次方程是解决此题的关键. 18．如果关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到，列出方程求解即可．掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 三、简答题（本大题共 4 题，每题 6 分，满分24分） 19．计算 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，掌握运算法则是解题的关键． 类比乘法对加法的分配率对根号前的数字先合并即可． 【详解】解：原式 ． 20．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了实数的运算．根据分数指数幂、负整数指数幂、绝对值的性质以及分母有理化的方法分别进行计算，即可得出答案． 【详解】解： ． 21．解方程： 【答案】 【分析】利用因式分解法即可求解． 【详解】解： 【点睛】本题考查利用因式分解法求解一元二次方程．移项利用平方差公式求解是关键． 22．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根. （1）求实数的取值范围； （2）写出满足条件的的最小整数值，并求此时方程的根. 【答案】（1）且；（2）；，. 【分析】（1）根据一元二次方程的定义及根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围； （2）根据题意得出k值，进而可得出原方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）由题意得：， 解得：且； （2）∵取整数， ∴， ∴原方程为， 解得：，. 【点睛】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据一元二次方程的定义及根的判别式△＞0，找出关于k的一元一次不等式组；（2）根据题意，确定k的值. 四、解答题（本大题共2题，每题9分，满分18分） 23．某服装店在销售中发现：衬衫平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了迎接“双十一”购物节，该服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么平均每天就可多售出3件． (1)若每件衬衫降价5元，那么平均每天就可售出______件； (2)为保持节后销售价格的稳定性，规定降价不能超过15元．要想平均每天销售这种衬衫盈利1800元，那么每件衬衫应降价多少元？ 【答案】(1)45 (2)10元 【分析】（1）根据题意可求得销售数量件； （2）设每件童装应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件，利用每天销售童装获得的总利润＝每件童装的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合降价不能超过15元即可求得． 【详解】（1）（件）， 故答案为：45； （2）设每件童装应降价x元，则每件盈利元，每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又∵降价不能超过15元， ∴舍去， 故． 答：每件童装应降价10元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24．已知若的一边长为，另外两边长为关于的方程的两个实数根，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，利用公式法解方程，三角形的三边关系，由一元二次方程根的判别式得为任意实数，方程有两个实数根，利用公式法可得方程的解为，，最后根据三角形的三边关系即可求解，正确求出一元二次方程的根是解题的关键． 【详解】解：∵， 为任意实数，方程有两个实数根， 解方程得， ∴， ∴，， 根据三角形三边之间的关系得，， ． 五、探究题（本大题共2题，第25题满分10分，第26小题满分12分） 25．先阅读再求值． 在计算的过程中，小明和小莉的计算结果不一样． 小明的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ 小莉的计算过程如下： ＝ ＝ ＝ ＝ (1)请判断小明与小莉谁的计算结果正确，并说明理由； (2)计算：． 【答案】(1)小莉的化简结果正确，见解析 (2) 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质结合小明与小莉谁的计算过程分析即可； （2）仿照小莉的解答过程求解即可． 【详解】（1）小莉的化简结果正确，理由如下： （2）原式 26．在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到如下图所示的位置时，求证：①；②； (2)当直线绕点C旋转到如下图所示的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不必证明； (3)当直线绕点C旋转到如图的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不必证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) (3) 【分析】（1）①用证明即可； ②根据全等三角形的性质，得出，，进而得出； （2）先证明，可得，，进而得出； （3）先证明，可得，，进而得出． 【详解】（1）证明：①∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ∵ ， ∴； ②∵， ∴，， ∴． （2）解：． ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴． （3）解：． ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，垂线的定义，余角的性质．解题的关键熟练掌握三角形全等的条件，证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$