精品解析：四川省自贡市蜀光绿盛实验学校2023-2024学年七年级下学期第三次月考数学试题

绿盛实验学校2023-2024学年七年级下学期第三学月学情检测 数 学 试 卷 一、选择题（共8个小题，每题3分，共24分） 1. 16的平方根是（ ） A. 4 B. 4或 C. 2 D. 2或 2. 若点P的坐标为，则点P在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，直线与相交，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 下列调查最适合于全面调查的是（ ） A. 华为公司要检测一款手机的待机时长 B. 市图书馆了解全市学生暑假期间最喜爱的图书种类 C. 班主任统计全班同学的身高、体重以便确定校服尺寸 D. 调查全市人民对政府服务的满意程度 6. 小红开发一种实数数值转换器，原理如图所示，当输出的值为1时，输入x、y的值为（ ） A. B. C. D. 7. 我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，当为（ ）度时，． A. 15 B. 65 C. 70 D. 115 8. 若正整数a既使得关于x一元一次方程有正整数解，又使得关于x的不等式组的解集为，那么所有满足条件的正整数a的值之和为（ ） A. 4 B. 3 C. 0 D. 8 二、填空题(共6个小题，每题3分，共18分) 9. 如图，沿所在直线向右平移得到，已知，，则平移的距离为_____． 10. 某校调查了200名学生的出行方式，并制作了如图所示的扇形统计图．这200名学生中，骑车出行的人数为______． 11. 在实数范围内规定新运算“▲”，其规则是：．已知关于的不等式的解集在数轴上如图表示，则的值是______． 12. 若关于的方程组的解满足，则的值为________． 13. 如图，，平分，，，，则的度数是________． 14. 把6个大小完全相同的长方形按如图所示的位置摆放在平面直角坐标系中．已知点A的坐标为．则点的坐标为_______． 三、解答题（共5个小题，每题5分，共25分） 15. ． 16. ． 17. 解不等式组，将解集表示在所给的数轴上，并求出整数解． 18. 如图，，且平分，，求的度数． 19. 如图，已知，，，请说明的理由． 解：因为（已知）， 所以　　， 因为（已知）， 所以　　， 因为（已知）， 所以， 即　　． 所以　　．（等量代换） 因此　　． 四、解答题（共3个小题，每题6分，共18分） 20. 2020年云南省开始中考体育改革，把体育成绩按100分计入中考总分，每学期都要进行体育测试．为了解我区七年级11000名学生下学期的体育成绩，随机抽查了我区七年级部分学生下学期的体育成绩，发现样本中的成绩均不少于60分，绘制不完整的统计图表： 七年级下学期的体育成绩频数分布表： 组别 1 2 3 4 分数段 频数 20 a 150 230 百分比 b 七年级下学期的体育成绩频数分布直方图： （1）通过计算确定频数分布表中a，b，c的值； （2）补全频数分布直方图； （3）若分数不小于80分，记为“A”，估计我区七年级下学期体育成绩记为“A”的学生有多少人． 21. 已知点，解答下列各题． （1）点P在y轴上，求出点P的坐标； （2）点Q的坐标为，直线轴；求出点P的坐标； （3）若点P在第一象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a的立方根 22. 随着梦天实验舱的顺利发射，我国空间站完成了在轨组装，为了庆祝这令人激动的时刻，某校开展了关于空间站的科学知识问答竞赛．为了奖励在竞赛中表现优异的学生，学校准备一次性购买A，B两种航天器模型作为奖品．已知购买1个A模型和1个B模型共需159元；购买3个A模型和2个B模型共需374元． （1）求A模型和B模型的单价． （2）根据学校的实际情况，需一次性购买A模型和B模型共20个，但要求购买A模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍．请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需的费用． 五、解答题（共2个小题，23题7分，24题8分） 23. 我们约定：给定两个不等式组P和Q，若不等式组P的任意一个解，都是不等式组Q的一个解，则称不等式组P为不等式组Q的“子集”． 例如：不等式组是的“子集”． （1）若不等式组：,，则其中不等式组_______是不等式组的“子集”（填A或B）； （2）若关于x的不等式组不是不等式组的“子集”，则a的取值范围是_________； （3）若关于x的不等式组有解且是不等式组的“子集”，求a的取值范围； （4）若关于x的不等式组是不等式组的“子集”且不等式组M的所有整数解的和为15，请求出m，n的取值范围． 24. 【背景】在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，分别是平行和相交，在相交这种位置关系中，包括垂直这种特殊位置关系． 【应用】 （1）如图1，，，分别在，上，平分交于点，为点右侧的直线上一点，平分交于点． ①当，，求和的度数； ②如图2，过点作，垂足为，设度，度，请求出与的关系式； 【拓展】 （2）中欧班列是高质量共建一带一路的互联互通大动脉，中欧班列为了安全起见在某段铁路两旁安置了，两座可旋转探照灯．如图，假定主道路是平行的，即．连结，且．灯发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，灯发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯转动的速度是度秒，灯转动的速度是度秒．若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当灯射线从转至的过程中，与互相垂直时，请求出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绿盛实验学校2023-2024学年七年级下学期第三学月学情检测 数 学 试 卷 一、选择题（共8个小题，每题3分，共24分） 1. 16的平方根是（ ） A. 4 B. 4或 C. 2 D. 2或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方根，解决本题的关键是熟记平方根的定义．根据平方根的定义，即可解答． 【详解】解：16的平方根是． 故选：B． 2. 若点P的坐标为，则点P在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系各象限点的坐标特点即可求解，熟知四个象限点的坐标的符号特点是解题关键．四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 【详解】解：点的坐标为，则点在第二象限． 故选：B 3. 如图，直线与相交，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，根据“对顶角相等”可得，结合即可求解，理解对顶角相等是解题关键． 【详解】∵，， ∴， 故选：． 4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是利用数轴表示不等式的解集，掌握大于折线向右是解本题的关键．由包含分界点用实心点，大于折线向右，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴1处是实心点，且折线向右． 故选：D． 5. 下列调查最适合于全面调查的是（ ） A. 华为公司要检测一款手机的待机时长 B. 市图书馆了解全市学生暑假期间最喜爱的图书种类 C. 班主任统计全班同学的身高、体重以便确定校服尺寸 D. 调查全市人民对政府服务的满意程度 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查的区别，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据以上区别逐项判断即可． 【详解】解：A、华为公司要检测一款手机的待机时长，适合抽样调查，故不符合题意； B、市图书馆了解全市学生暑假期间最喜爱的图书种类，适合抽样调查，故不符合题意； C、班主任统计全班同学的身高、体重以便确定校服尺寸，适合全面调查，故符合题意； D、调查全市人民对政府服务的满意程度，适合抽样调查，故不符合题意； 故选：C． 6. 小红开发一种实数数值转换器，原理如图所示，当输出的值为1时，输入x、y的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解及题中所给新定义运算是解题的关键；根据题中所给数值转换器可进行求解． 【详解】解：由题意得：， ∴当时，则； 故选B． 7. 我市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，，当为（ ）度时，． A. 15 B. 65 C. 70 D. 115 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；由题意易得， 则有，然后问题可求解． 【详解】解：当为70度时，，理由如下： ∵，都与地面l平行， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； 故选C． 8. 若正整数a既使得关于x一元一次方程有正整数解，又使得关于x的不等式组的解集为，那么所有满足条件的正整数a的值之和为（ ） A. 4 B. 3 C. 0 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求出方程和不等式组的解集，然后求出a的取值范围，即可求出答案． 【详解】解：∵， 解得：， ∵关于x一元一次方程有正整数解， ∴， 解得：，且是2的倍数； 又∵是正整数， ∴，且是2的倍数； ∵， 解得：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴； ∴满足题意的a的值有：、 所有满足条件的正整数a的值之和为： 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解集和一元一次方程组的整数解，正确掌握解方程的方法和解一元一次不等式组的方法是解题的关键． 二、填空题(共6个小题，每题3分，共18分) 9. 如图，沿所在直线向右平移得到，已知，，则平移的距离为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，属于中考常考题型． 利用平移的性质解决问题即可． 【详解】解：由平移的性质可知，， ，， ， ， ∴平移的距离为3， 故答案为：3． 10. 某校调查了200名学生的出行方式，并制作了如图所示的扇形统计图．这200名学生中，骑车出行的人数为______． 【答案】60人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，解题关键是根据图中数据准确进行计算；求出骑车出行的百分比，再乘以200即可． 【详解】解：骑车出行的人所占百分比为， 骑车出行的人数为（人） 故答案为：60人． 11. 在实数范围内规定新运算“▲”，其规则是：．已知关于的不等式的解集在数轴上如图表示，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题中新运算规则列出关于x的不等式，然后解不等式，由数轴得到不等式的解集，进而得到关于k的方程求解即可． 【详解】解：由得，则， 由数轴得不等式的解集为， ∴，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式、解一元一次方程、数轴，理解题中新定义运算规则，能从数轴上得到不等式的解集是解答的关键． 12. 若关于的方程组的解满足，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查加减法解二元一次方程组，得，根据得到，即可求出﹒ 【详解】解： 得， ∵， ∴， 解得﹒ 故答案为：2 13. 如图，，平分，，，，则的度数是________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据两直线平行，同旁内角互补得到，进而得到，则，再由角平分线的定义可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 把6个大小完全相同的长方形按如图所示的位置摆放在平面直角坐标系中．已知点A的坐标为．则点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及坐标与图形性质，设小长方形的长为x，宽为y，根据点A的坐标为，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再结合点B所在的位置，即可得出点B的坐标.找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得：， 解得：， ，， 则点的坐标为 故答案为：． 三、解答题（共5个小题，每题5分，共25分） 15. ． 【答案】方程组的解为． 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减消元法求出解即可，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题的关键． 【详解】解： 得：， 得：，解得：， 把代入得：，解得：， ∴方程组的解为． 16. ． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算立方根，乘方，算术平方根，化简绝对值，再合并即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 17. 解不等式组，将解集表示在所给的数轴上，并求出整数解． 【答案】，整数解为、． 在数轴上表示如下： 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集及求不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．分别解出两个不等式，找出解集的公共部分确定出解集，再把解集在数轴上表示出来，找出整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为，整数解为：、． 18. 如图，，且平分，，求的度数． 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，与角平分线有关的计算，根据角平分线的定义及平行线的性质即可求解，熟练掌握平行线的性质找到角的关系是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴． 19. 如图，已知，，，请说明的理由． 解：因为（已知）， 所以　　， 因为（已知）， 所以　　， 因为（已知）， 所以， 即　　． 所以　　．（等量代换） 因此　　． 【答案】两直线平行，同位角相等；等量代换；；；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记“两直线平行，同位角相等”、“内错角相等，两直线平行”是解题的关键．首先由平行线的性质可得，然后结合已知，通过等量代换推出，最后由内错角相等，两直线平行可得． 【详解】证明：因为（已知）， 所以（两直线平行，同位角相等）， 因为（已知） 所以（等量代换）， 因为（已知）， 所以， 即， 所以， 因此（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；；；内错角相等，两直线平行． 四、解答题（共3个小题，每题6分，共18分） 20. 2020年云南省开始中考体育改革，把体育成绩按100分计入中考总分，每学期都要进行体育测试．为了解我区七年级11000名学生下学期的体育成绩，随机抽查了我区七年级部分学生下学期的体育成绩，发现样本中的成绩均不少于60分，绘制不完整的统计图表： 七年级下学期的体育成绩频数分布表： 组别 1 2 3 4 分数段 频数 20 a 150 230 百分比 b 七年级下学期的体育成绩频数分布直方图： （1）通过计算确定频数分布表中a，b，c的值； （2）补全频数分布直方图； （3）若分数不小于80分，记为“A”，估计我区七年级下学期体育成绩记为“A”的学生有多少人． 【答案】（1），， （2） 补全频数分布直方图如下： （3）8360人 【解析】 【分析】本题考查读频数分布直方图的能力和利用频数分布表获取信息的能力， （1）先利用第一组的频数除以频率得到抽取的总人数，再用总人数乘以百分比可得a的值，用第三组的频数除以抽取的总人数可得b的值，根据各组频率的和等于1可得c的值； （2）根据（1）中求出的a的值即可补全直方图； （3）用该区七年级的总人数乘以样本中体育成绩记为“A”的学生所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，抽取的总人数为（人）， ， ， ，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （人）， 答：估计我区七年级下学期体育成绩记为“A”的学生有8360人． 21. 已知点，解答下列各题． （1）点P在y轴上，求出点P的坐标； （2）点Q的坐标为，直线轴；求出点P的坐标； （3）若点P在第一象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a的立方根 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查图形与坐标，立方根，掌握点的坐标特征是关键； （1）根据y轴上点的横坐标都为零即可解决问题． （2）根据平行于y轴的直线上点的坐标特征即可解决问题． （3）根据第一象限内点的坐标特征及点到坐标轴的距离即可求出a的值，再根据立方根的定义解决问题． 【小问1详解】 解：由点P在y轴上得，， 解得， 则． 点P的坐标为． 【小问2详解】 解：直线轴， 直线上所有点的横坐标都相等，则， 解得， 则． 点P的坐标为． 【小问3详解】 解：点P在第一象限， ，． 点P到x轴和y轴的距离相等， ， 解得． 的立方根是 22. 随着梦天实验舱的顺利发射，我国空间站完成了在轨组装，为了庆祝这令人激动的时刻，某校开展了关于空间站的科学知识问答竞赛．为了奖励在竞赛中表现优异的学生，学校准备一次性购买A，B两种航天器模型作为奖品．已知购买1个A模型和1个B模型共需159元；购买3个A模型和2个B模型共需374元． （1）求A模型和B模型的单价． （2）根据学校的实际情况，需一次性购买A模型和B模型共20个，但要求购买A模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍．请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需的费用． 【答案】（1）56元，103元； （2）购买A模型15个，B模型5个，费用最少，该方案所需的费用为元． 【解析】 【分析】（1）设1个A模型的价格为x元，1个B模型的价格为y元，根据“购买1个A模型和1个B模型共需159元；购买3个A模型和2个B模型共需374元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买A模型m个，则购买B模型（20-m）个，根据“购买A模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出各购买方案，利用总价=单价×数量可求出各方案所需费用，比较后即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 【小问1详解】 解：设1个A模型的价格为x元，1个B模型的价格为y元， 依题意得：， 解得：． 答：1个A模型的价格为56元，1个B模型的价格为103元． 【小问2详解】 设购买A模型m个，则购买B模型个， 依题意得：， 解得：． 又∵m为整数， ∴m可以为， ∴共有3种购买方案， 方案1：购买A模型13个，B模型7个，所需费用为（元）； 方案2：购买A模型14个，B模型6个，所需费用为（元）； 方案3：购买A模型15个，B模型5个，所需费用为（元）． ∵， ∴方案3购买A模型15个，B模型5个费用最少，最少费用为元． 五、解答题（共2个小题，23题7分，24题8分） 23. 我们约定：给定两个不等式组P和Q，若不等式组P的任意一个解，都是不等式组Q的一个解，则称不等式组P为不等式组Q的“子集”． 例如：不等式组是的“子集”． （1）若不等式组：,，则其中不等式组_______是不等式组的“子集”（填A或B）； （2）若关于x的不等式组不是不等式组的“子集”，则a的取值范围是_________； （3）若关于x的不等式组有解且是不等式组的“子集”，求a的取值范围； （4）若关于x的不等式组是不等式组的“子集”且不等式组M的所有整数解的和为15，请求出m，n的取值范围． 【答案】（1）A （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）求出不等式组A与B的解集，利用题中的新定义判断即可； （2）根据“子集”的定义确定出a的范围即可； （3）求出不等式组的解集，根据不等式组有解和子集的意义得出不等式组，解之即可； （4）首先根据子集的意义初步求出m，n的范围，再根据整数解的和，得出可能的两种情况，分别求解． 【小问1详解】 解：解不等式组得：， 解不等式组得：， 解不等式组得：， ∴不等式组是不等式组的子集； 【小问2详解】 解不等式组得：， ∵不等式组不是不等式组的“子集”， ∴； 【小问3详解】 解不等式组得：， 整理不等式组得， ∵不等式组有解且是不等式组的“子集”， ∴， 解得：； 【小问4详解】 整理不等式组得， ∵是不等式组的“子集”， ∴，解得：， ∵不等式组M的所有整数解的和为15， 或， ∴或， 解得：或， 综上：m，n的取值范围是或． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能理解子集的意义和求出不等式组的解集是解此题的关键． 24. 【背景】在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，分别是平行和相交，在相交这种位置关系中，包括垂直这种特殊位置关系． 【应用】 （1）如图1，，，分别在，上，平分交于点，为点右侧的直线上一点，平分交于点． ①当，，求和的度数； ②如图2，过点作，垂足为，设度，度，请求出与的关系式； 【拓展】 （2）中欧班列是高质量共建一带一路的互联互通大动脉，中欧班列为了安全起见在某段铁路两旁安置了，两座可旋转探照灯．如图，假定主道路是平行的，即．连结，且．灯发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，灯发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．灯转动的速度是度秒，灯转动的速度是度秒．若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当灯射线从转至的过程中，与互相垂直时，请求出此时的值． 【答案】（1）①，；②；（2），，， 【解析】 【分析】（1）①根据平行线的性质可得，，进而可得，根据角平分线的定义可得，求得 ②设，，根据角平分线的定义，以及垂直的定义，得出； （2）分三种情况讨论，①当，未相遇时，设射线交于点，射线交于点，②当返回时，③当第次从出发，与垂直时，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：（1）① ， 平分， ， ．． 又平分， ②平分，平分． ， 设， ； ，则 ， （）①当，未相遇时，设射线交于点，于点E，射线交于点， 与互相垂直， ∴， ， 解得：； ②如图所示，当返回，且在的右侧时， 与互相垂直， ， ， 解得：； 或如图所示，当返回，且在的左侧时， 同理可得， ∵， ∴，， ∴， 解得：； ③当第次从出发，与垂直时，如图所示， 同理可得， 解得：； 综上所述，，，，时，与互相垂直． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $