第1章 特殊平行四边形（单元复习课件）（教学课件）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

第一章 特殊平行四边形 九年级北师大版数学上册 单元考点串讲 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 直角 直角 相等且互相平分 一半 相等 直角 相等 相等 互相垂直平分 相等 互相垂直 直角 相等 相等 直角 互相垂直平分且相等 矩形 菱形 考点透视 C 典例剖析 24 3 典例剖析 典例剖析 典例剖析 B 典例剖析 B 典例剖析 典例剖析 典例剖析 D 典例剖析 C 典例剖析 典例剖析 典例剖析 典例剖析 易错易混 【易错分析】 1．将特殊平行四边形的判定相混淆导致出错． 2．将特殊平行四边形的性质相混淆导致出错． 3．错误地运用菱形的面积公式导致出错． 易错点一 解无图问题时，未分情况讨论 正解： 当点E在点O左边时，如左图，CE=OC+OE= ；当点E在点O右边时，如下图，CE=OC-OE= 2.综上所述，CE的长为或 . 例 1.已知四边形 ABCD 是菱形，∠BAD=60°，AB =6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上.若OE =，则CE 的长为 . 或 易错点二 特殊平行四边形的判定误区 例 2.如图，已知四边形ABCD，有下列条件： ①AC⊥BD，OC=OA；②∠1= ∠2= ∠3= ∠4；③OA=OC，OB=OD，AC⊥BD；④AB=BC=CD，AC⊥BD.其中一定能判定四边形ABCD为菱形的有（ ） A.1 个 B.2 个 C.3个 D.4个 正解： ①当AC⊥BD，OC=OA时，不能确定BO是否等于DO，故不能判定四边形ABCD为菱形； ②可利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判定；③可利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行判定；④可利用四条边相等的四边形是菱形进行判定.故选 C. 易错点三 对图形的考虑不全面 例 3. 如图①，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），D是OA的中点，点P在BC上运动.当△ODP是以OD为腰的等腰三角形时，点P的坐标为 . 正解：∵四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4）， ∵BC = OA=10，AB=OC=4. ∵D是OA的中点，∴OD=AD=5. ①当O是顶角顶点时，OP = OD = 5.在 Rt △OPC 中， CP= ，点P的坐标是（3，4）. ②当D是顶角顶点时，PD=OD=5.如图②，过点D作DM ⊥BC于点M. 在Rt△PDM 中，PM=. 当点P在点M的左侧时，CP=5-3=2，此时点P的坐标是（2，4）； 当点P在点M的右侧时，CP=5+3=8，此时点P的坐标是（8，4）. 综上所述，点P的坐标为（3，4）或（2，4）或（8，4）. 故答案为（3，4）或（2，4）或（8，4）. 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 B 考场练兵 B 考场练兵 A 考场练兵 C 考场练兵 D 考场练兵 C 考场练兵 C 考场练兵 D 考场练兵 A 考场练兵 B 考场练兵 ∠BAD＝90° 考场练兵 2 考场练兵 16 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 菱形的性质和判定 1．(陕西中考)如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN，若四边形MBND是菱形，则eq \f(AM,MD)等于(　　) A．eq \f(3,8)　 　 B．eq \f(2,3)　　 C．eq \f(3,5)　　 D．eq \f(4,5) 2．(宜宾中考)如图，在菱形ABCD中，若AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的面积是 . 3．如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AD于点E，PF⊥AB于点F，PF＝3 cm，则P点到AD的距离是 cm. 4．(滨州中考)如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG. (1)求证：四边形CEFG是菱形； (2)若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积． (1)证明：由题意可得，△BCE≌△BFE，∴∠BEC＝∠BEF，FE＝CE.∵FG∥CE，∴∠FGE＝∠CEB，∴∠FGE＝∠FEG，∴FG＝FE，∴FG＝EC，∴四边形CEFG是平行四边形，又∵CE＝FE，∴四边形CEFG是菱形； (2)解：∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF，∴∠BAF＝90°，AD＝BC＝BF＝10，∴AF＝8，∴DF＝2.设EF＝x，则CE＝x，DE＝6－x，∵∠FDE＝90°，∴22＋(6－x)2＝x2，解得x＝eq \f(10,3)，∴CE＝eq \f(10,3)，∴四边形CEFG的面积是：CE·DF＝eq \f(10,3)×2＝eq \f(20,3). 矩形的性质与判定 5．(兰州中考)如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC等于(　　) A．5 B．4 C．3.5 D．3 6．(陕西中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3.若点E是边CD的中点，连接AE，过点B作BF⊥AE交AE于点F，则BF的长为(　　) A．eq \f(3\r(10),2) B．eq \f(3\r(10),5) C．eq \f(\r(10),5) D．eq \f(3\r(5),5) 7(荆州中考)如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE. (1)求证：△ACD≌△EDC； (2)请探究△BDE的形状，并说明理由． (1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，AC＝BD，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC＝90°，由平移的性质得：DE＝AC，CE＝BC，∠DCE＝∠ABC＝90°，DC＝AB，∴AD＝EC.在△ACD和△EDC中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AD＝EC,∠ADC＝∠DCE,CD＝DC))，∴△ACD≌△EDC(SAS)； (2)解：△BDE是等腰三角形．理由如下：∵AC＝BD，DE＝AC，∴BD＝DE，∴△BDE是等腰三角形． 正方形的性质与判定 8．(威海中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF.添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是(　　) A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF 9．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE； ④S△AOB＝S四边形DEOF中，正确的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．(泰安中考)如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF＝90°，FG⊥AD，垂足为点G. (1)试判断AG与FG是否相等？并给出证明； (2)若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由． 解：(1)AG＝FG.证明如下：如图，在BC边上取BM＝BE，连接EM、AF.∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，AE＝CM，∵∠CEF＝90°，∴∠AEF＋∠BEC＝90°，∵∠BEC＋∠BCE＝90°，∴∠AEF＝∠BCE，又∵CE＝EF，∴△AEF≌△MCE，∴∠EAF＝∠EMC＝135°，又∵∠BAD＝90°，∴∠DAF＝45°，又∵FG⊥AD，∴AG＝FG；　 (2)DH⊥HG.理由如下：如图，延长GH交CD于点Q，∵四边形ABCD是正方形，∴AD⊥CD，∵FG⊥AD，∴FG∥CD，∴∠GFH＝∠DCH，又∵∠GHF＝∠CHQ，FH＝CH，∴△FGH≌△CQH，∴GH＝HQ，FG＝CQ，∴AG＝CQ，∴DG＝DQ，∴△DGQ是等腰三角形，∴DH⊥GH. 强化技巧1：利用勾股定理求线段长 1．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6.若点P在边AC上移动，求BP的最小值． 解：过点A作AD⊥BC于点D，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BD＝CD＝3.由勾股定理，得AD＝4，又∵S△ABC＝eq \f(1,2)BC·AD＝12，∴当BP⊥AC时，BP最小，此时S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BP＝12，∴BP的最小值为eq \f(24,5). 强化技巧2：矩形中的折叠与勾股定理 2．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝12，BC＝5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在BD上的点A′处．求AE的长． 解：由题意知，DA′＝DA＝5，A′B＝8，设AE＝EA′＝x，则BE＝12－x，∴x2＋82＝(12－x)2，x＝eq \f(10,3)，∴AE＝eq \f(10,3). 3．把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合(E、F均在BD上)，折痕分别为BH、DG. (1)求证：△BHE≌△DGF； (2)若AB＝6，BC＝8，求FG的长． (1)证明：由题意知∠ABD＝∠BDC，∠HBE＝eq \f(1,2)∠ABD，∠GDF＝eq \f(1,2)∠CDB，∴∠HBE＝∠GDF.又∵AB＝BE＝CD＝DF，在△BHE与△DGF中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(∠HBE＝∠GDF,BE＝DF,∠HEB＝∠GFD))，∴△BHE≌△DGF(ASA)； (2)解：∵AB＝6，BC＝8，∴BD＝10，设FG＝CG＝x，BG＝8－x，CD＝DF＝6，BF＝4，∴x2＋42＝(8－x)2，x＝3，∴FG＝3. 强化技巧3：灵活运用菱形的性质和判定 4．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使顶点B落在边AD上的E点，折痕的一端G点在边BC上，另一端F在AD上，AB＝8，BG＝10. (1)求证：四边形BGEF为菱形； (2)求FG的长． (1)证明：易知BG＝EG，BF＝EF， 证∠EFG＝∠BGF＝∠FGE，EF＝EG即可； (2)解：作FM⊥BC于M，∵AB＝8，BF＝BG＝10，∴AF＝6＝BM，∴MG＝4，∴FG＝eq \r(FM2＋MG2)＝4eq \r(5). 5．如图，菱形ABCD的边长为5，点M、N分别是边AB、BC的中点，点P是对角线AC上一点，且PM＋PN的值最小． (1)在图中画出点P的位置，并写出作法； (2)求PM＋PN的最小值． 解：(1)作点M关于AC的对称点M′，连M′N交AC于P； (2)连PM，证PM＋PN＝M′N＝AB＝5. 6．(盐城中考)如图，矩形ABCD中，∠ABD、∠CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F. (1)求证：四边形BEDF是平行四边形； (2)当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由． (1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠ABD＝∠CDB.∵BE平分∠ABD，DF平分∠BDC，∴∠EBD＝eq \f(1,2)∠ABD，∠FDB＝eq \f(1,2)∠BDC，∴∠EBD＝∠FDB，∴BE∥DF，又∵AD∥BC，∴四边形BEDF是平行四边形； (2)解：当∠ABE＝30°时，四边形BEDF是菱形．∵BE平分∠ABD，∴∠ABD＝2∠ABE＝60°，∠EBD＝∠ABE＝30°.∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴∠EDB＝90°－∠ABD＝30°，∴∠EDB＝∠EBD＝30°，∴EB＝ED，又∵四边形BEDF是平行四边形，∴四边形BEDF是菱形． 7．(聊城中考)在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E、F是AP上的两点，连接DE、BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF.求证： (1)△ABF≌△DAE； (2)DE＝BF＋EF. 证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AD∥BC，∴∠BPA＝∠DAE.在△ABP和△DAE中，又∵∠ABC＝∠AED，∴∠BAF＝∠ADE.∵∠ABF＝∠BPF且∠BPA＝∠DAE，∴∠ABF＝∠DAE，又∵AB＝DA，∴△ABF≌△DAE(ASA)； (2)∵△ABF≌△DAE，∴AE＝BF，DE＝AF，∵AF＝AE＋EF＝BF＋EF，∴DE＝BF＋EF. 强化技巧4：正方形中的简单证明 8．(青岛中考)已知：如图，在菱形ABCD中，点E、O、F分别是边AB、AC、AD的中点，连接CE、CF、OE、OF. (1)求证：△BCE≌△DCF； (2)当AB与BC满足什么条件时，四边形AEOF为正方形？请说明理由． (1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝DC＝AD，∠B＝∠D，又E、F分别为AB、AD的中点，∴BE＝DF，∴△BCE≌△DCF(SAS)； (2)解：若AB⊥BC时，则四边形AEOF为正方形．理由如下：∵E、O分别是AB、AC中点，∴EO∥BC，又BC∥AD，∴OE∥AD，即OE∥AF.同理可证OF∥AE，所以四边形AEOF为平行四边形．由(1)可知AE＝AF，所以平行四边形AEOF为菱形，因为AB⊥BC，∠BAD＝90°，所以菱形AEOF为正方形． 9．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B、D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG. (1)写出线段AG、GE、GF长度之间的数量关系，并说明理由； (2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长． 解：(1)AG2＝GE2＋GF2.理由：连接CG.∵四边形ABCD是正方形，∴A、C关于对角线BD对称，∵点G在BD上，∴GA＝GC，∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，∴∠GEC＝∠ECF＝∠CFG＝90°，∴四边形EGFC是矩形，∴CF＝GE，在Rt△GFC中，∵CG2＝GF2＋CF2，∴AG2＝GF2＋GE2； (2)过点A作AH⊥BG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠GBF＝45°，∵GF⊥BC，∴∠BGF＝45°，∵∠AGF＝105°，∴∠AGB＝∠AGF－∠BGF＝105°－45°＝60°.在Rt△ABH中，∵AB＝1，∴AH＝BH＝eq \f(\r(2),2)，在Rt△AGH中，∵AH＝eq \f(\r(2),2)，∠GAH＝30°，∴设HG＝x，则AG＝2x，则有(2x)2＝x2＋(eq \f(\r(2),2))2，∴x＝eq \f(\r(6),6)，∴BG＝BH＋HG＝eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(6),6). 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．对角线互相平分且相等的四边形是(　　) A．菱形 B．矩形 C．平行四边形 D．等腰梯形 2．如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是(　　) A．△ABD与△ABC的周长相等 B．△ABD与△ABC的面积相等 C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍 D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍 3．如图，菱形ABCD的边长为4，过点A、C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E、F，AE＝3，则四边形AECF的周长为(　　) A．22 B．18 C．14 D．11 4．如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD＝35°，∠AEF＝15°，则∠B的度数为(　　) A．50° B．55° C．70° D．75° 5．将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1＝40°，则∠2的度数是(　　) A．40° B．50° C．60° D．70° 6．如图，四边形ABCD、AEFG都是正方形，点E、G分别在AB、AD上，连接FC，过点E作EH∥FC交BC于点H.若AB＝4，AE＝1，则BH的长为(　　) A．1 B．2 C．3 D．3eq \r(2) 7．一木匠有32米木围栏材料，要把一块花园地围起来，花园地有四种可能的设计： 其中能把花园围起来的设计方案有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为(　　) A.eq \f(9,5) B.eq \f(12,5) C.eq \f(16,5) D.eq \f(18,5) 9．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是(　　) A．2eq \r(3) B．3eq \r(3) C．4 D．4eq \r(3) 10．如图，在矩形ABCD中，边AB的长为3，点E、F分别在AD、BC上，连接BE、DF、EF、BD.若四边形BEDF是菱形，且EF＝AE＋FC，则边BC的长为(　　) A．2eq \r(3) B．3eq \r(3) C．6eq \r(3) D.eq \f(9,2) eq \r(3) 二、填空题(每小题3分，共24分) 11．▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件： ，使得▱ABCD为正方形． 12．菱形的周长为20cm，两个相邻的内角的度数之比为1∶2，则较长的对角线长度是　 　cm. 5eq \r(3) 13．如图，矩形ABCD中，已知AB＝6，BC＝8，BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F，则△BOF的面积为　 　. 14．如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a、b满足(a－1)2＋eq \r(b－4)＝0，那么菱形的面积等于　　. eq \f(75,8) 15．如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一个足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB的延长线交于点E.则四边形AECF的面积是　 　. 16．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为　　. 17．如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E为AB上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP)，使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是　 　. eq \f(7,2) 5eq \r(2)或4eq \r(5)或5 18．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H.若AB＝eq \r(2)，AG＝1，则EB＝　 　. eq \r(5) 三、解答题(共66分) 19．(7分)如图，在菱形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF. (1)图中有哪几对全等三角形，请一一列举； (2)求证：ED∥BF. (1)解：三对　△AED≌△CFB　△DEC≌△BFA　△ABC≌△CDA；　 (2)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD綊BC，∴∠DAE＝∠BCF，∵AE＝FC，∴△AED≌△CFB，∴∠AED＝∠BFC，∴∠DEC＝∠BFA，∴DE∥BF. 20．(7分)如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1. (1)证明：△A1AD1≌△CC1B； (2)若∠ACB＝30°，试问当点C1在线段AC上的什么位置时，四边形ABC1D1是菱形(直接写出答案)． (1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD綊BC，由平移知，∴A1D1綊AD，A1A＝C1C，∴A1D1綊BC，∴∠A1＝∠ACB，∴△A1D1A≌△CBC1；　 (2)解：点C1在线段AC的中点处，四边形ABC1D1是菱形． 21．(10分)如图，在一正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB、ED. (1)求证：△BEC≌△DEC； (2)延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°，求∠AFE的度数． (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DC＝CB，∠DCA＝∠BCA，∵CE＝CE，∴△DCE≌△BCE；　 (2)解：由①知△DCE≌△BCE，∴∠CDE＝∠CBE，∵∠DCB＝90°，∠DEB＝140°，∴∠CBF＝eq \f(360°－90°－140°,2)＝65°，∵DA∥BC，∴∠AFE＝∠CBF＝65°. 22．(10分)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)若AB＝eq \r(5)，BD＝2，求OE的长． (1)证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA.∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠DCA，∴AD＝CD.∵AB＝AD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形； (2)解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝2，∴AO＝eq \f(1,2)AC，BO＝eq \f(1,2)BD＝1，∠AOB＝90°，∴AO＝eq \r(AB2－OB2)＝2.∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∴OE＝eq \f(1,2)AC＝AO＝2. 23．(10分)如图，在△ABC中，点D在AB上，且CD＝CB，点E为BD的中点，点F为AC的中点，连接EF交CD于点M，连接AM. (1)求证：EF＝eq \f(1,2)AC； (2)若∠BAC＝45°，求线段AM、DM、BC之间的数量关系． (1)证明：∵CD＝CB，点E为BD的中点，∴CE⊥BD，∵点F为AC的中点，∴EF＝eq \f(1,2)AC；　 (2)解：∵∠BAC＝45°，CE⊥BD，∴△AEC是等腰直角三角形，∵点F为AC的中点，∴EF垂直平分AC，∴AM＝CM，∵CD＝CM＋DM＝AM＋DM，CD＝CB，∴BC＝AM＋DM. 24．(10分)如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF＝AE. (1)求证：BF＝DE； (2)当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变)，问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由． (1)证明：∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵AF⊥AC，∴∠EAF＝90°，∴∠BAF＝∠EAD，∵AE＝AF，∴△ADE≌△ABF(SAS)，∴BF＝DE；　 (2)解：当点E运动到AC的中点时，四边形AFBE是正方形，理由：∵点E运动到AC的中点，AB＝BC，∴BE⊥AC，BE＝AE＝eq \f(1,2)AC，∵AF＝AE，∴BE＝AF＝AE，又∵BE⊥AC，∠FAE＝∠BEC＝90°，∴BE∥AF，∵BE＝AF，∴得平行四边形AFBE，∵∠FAE＝90°，AF＝AE，∴四边形AFBE是正方形． 25．(12分)如图，ON为∠AOB中的一条射线，点P在边OA上，PH⊥OB于H，交ON于点Q，PM∥OB交ON于点M，MD⊥OB于点D，QR∥OB交MD于点R，连接PR交QM于点S. (1)求证：四边形PQRM为矩形； (2)若OP＝eq \f(1,2)PR，试探究∠AOB与∠BON的数量关系，并说明理由． (1)证明：∵PH⊥OB，MD⊥OB，∴PH∥MD，∵PM∥OB，QR∥OB，∴PM∥QR，∴四边形PQRM是平行四边形，∵PH⊥OB，∴∠PHO＝90°，∵PM∥OB，∴∠MPQ＝∠PHO＝90°，∴四边形PQRM为矩形；　 (2)解：∠AOB＝3∠BON.理由如下：∵四边形PQRM为矩形，∴PS＝SR＝SQ＝eq \f(1,2)PR，∴∠SQR＝∠SRQ，又∵OP＝eq \f(1,2)PR，∴OP＝PS，∴∠POS＝∠PSO，∵QR∥OB，∴∠SQR＝∠BON，在△SQR中，∠PSO＝∠SQR＋∠SRQ＝2∠SQR＝2∠BON，∴∠POS＝2∠BON，∴∠AOB＝∠POS＋∠BON＝2∠BON＋∠BON＝3∠BON，即∠AOB＝3∠BON. $$