1.3.1空间直角坐标系（1课时）（教学课件）-2024-2025学年高二数学同步教学一课到位（人教A版2019选择性必修第一册）

人教A版选择性必修第一册 1.3.1《 空间直角坐标系》 （1 课 时 ） 第一章 空间向量与立体几何 教学目标 学习目标：1.认识与理解空间直角坐标系的概念及作法；（数学抽象、直观想象） 2.理解与掌握空间点的坐标、空间向量的坐标以及空间点的坐标的确定方法，并能运用其来求解相关的实际问题.（数学运算、逻辑推理） 教学重点：空间直角坐标系、空间点的坐标、空间向量的坐标以及空间点的坐标的确定方法. 教学难点：空间直角坐标系、空间点的坐标、空间向量的坐标以及空间点的坐标的确定方法的实际运用. 一 复习导入（互学） 如果三个向量 , , 不共面，那么对任意一个空间向量 ，存在唯一的有序实数组，使得 由空间向量基本定理可知： 如果三个向量 , , 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是 这个集合可看作由向量 , , 生成的，我们把叫做空间的一个基底， , , 都叫做基向量， 注：空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. （一）空间向量基本定理 提示：学习了空间向量基本定理，建立了“空间基底”的概念，我们就可以利用基底表示任意一个空间向量，进而把空间向量的运算转化为基向量的运算. 所以，基底概念的引入为几何问题代数化奠定了基础. 一 复习导入（互学） 如图（1），在平面直角坐标系中，设与 轴, 轴正方向相同的两个单位向量分别为，取 作为基底. 对于平面内的任意一个向量 ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 使得 如图2所示，我们把 中的有序数对 叫做向量 的坐标， 记作 ① 其中， 叫做 在 轴上的坐标，叫做 在 轴上的坐标，①式叫做向量 的坐标表示. （二）平面向量的坐标表示 （三）问题： 类似于平面向量的坐标表示，为了把空间向量的运算化归为数的运算，能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢?下面我们就来研究这个问题. 二 探究新知1——空间直角坐标系（互学） 如图，在空间选定一点和一个单位正交基底 ， 以点为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系 叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面，平面，平面，它们把空间分成八个部分. (一)空间直角坐标系 空间直角坐标系 二 探究新知1——空间直角坐标系（互学） 画空间直角坐标系 时，一般使(或 ). 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系 注：本书建立的坐标系都是右手直角坐标系. (二)空间直角坐标系的作法 右手直角坐标系 三 探究新知2——空间点的坐标与空间向量的坐标（互学） 在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢? (一)探究1 (二)空间点的坐标 在空间直角坐标系 中(如图所示)，为坐标向量，对空间任意一点 ，对应一个向量 ，且点 的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组使 . 在单位正交基底下与向量 OA 对应的有序实数组，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标. 空间点的坐标 三 探究新知2——空间点的坐标与空间向量的坐标（互学） (三)空间向量的坐标 在空间直角坐标系 中，给定向量，作(如图).由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使 . 有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作 . 这样，在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示. 温馨提示：符号具有双重意义，它既可以表示向量，也可以表示点，在表述时要注意区分. 空间向量的坐标 三 探究新知2——空间点的坐标与空间向量的坐标（互学） (四)探究2 在空间直角坐标系中，对空间任意一点，或任意一个向量，你能借助几何直观确定它们的坐标吗? 空间中点的坐标确定——垂面法 (五)空间中点的坐标确定——垂面法 如图，过点分别作垂直于轴、轴和轴的平面，依次交轴 轴和轴于点和. 可以证明在轴、轴和轴上的投影向量分别为 ，且， 设点 轴、轴和轴上的坐标分别是和，那么点(向量)的坐标为. 四 小组合作、讨论交流(自学) 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 方法提示：这道题考察了空间点的坐标与空间向量的坐标. 例1 如图 ，在长方体 中，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 . (1)写出 四点的坐标; (2)写出向量，,,的坐标. 五 成果展示(迁移变通) 例1 如图 ，在长方体 中，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 . (1)写出 四点的坐标; (2)写出向量， , , 的坐标. 3 4 2 解:(1)分别设 , ∵点 在轴上，且, ∴ , ∴点的坐标是, 同理，点的坐标是, 又∵点 在轴、轴、轴上的射影分别为，它们在坐标轴上的坐标分别为, ∴点的坐标是, 又∵点 在轴、轴、轴上的射影分别为它们在坐标轴上的坐标分别为, ∴点的坐标是(3，4，2). 五 成果展示(迁移变通) 例1 如图 ，在长方体 中，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 . (1)写出 四点的坐标; (2)写出向量， , , 的坐标. 3 4 2 (2)由图可知 , 提示：求空间向量的坐标的关键是——利用空间向量基本定理，把所求向量用各基底向量表示出来. 六 提升演练(检测实践) 解： ∵ 在长方体中，，，， ∴ 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 又∵点是线段的中点， ∴由中点坐标公式得：的坐标为． 例2 在长方体中，，，，与相交于点，建立如图所示的空间直角坐标系． 写出点，，的坐标； 写出向量，的坐标． 3 4 3 解： 由题意知 则 . 课堂小结 七 今天我们学习了哪些内容？ 1.认识与理解了空间直角坐标系的概念及作法；（数学抽象、直观想象） 2.理解与掌握了空间点的坐标、空间向量的坐标以及空间点的坐标的确定方法，并能运用其来求解相关的实际问题.（数学运算、逻辑推理） 八 学生自评 请小老师组对所负责组员的课堂表现进行评价 九 家庭作业 1.整理导学案中本节课知识点并记背； 2.完成导学案上相关题型. $$