12.4 综合与实践 一次函数模型的应用（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪科版）

八年级沪科版数学上册 第十二章 一次函数 12.4 综合与实践 一次函数模型的应用 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题; 2.有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决实际问题的能力;（重点） 3.认识数学在现实生活中的意义，提高运用数学知识解决实际问题的能力．（难点） 情景导入 现实生活或具体情境中的很多问题或现象都可以抽象成数学问题，并通过建立合适的数学模型来表示数量关系和变化规律，再求出结果并讨论结果的意义. 下面，有一个实际问题，你能否利用已学的知识给予解决？ 当t=0 min 时 h为1 800m 当t=1 min 时 h为1 830m 当t=2min 时 h为1 860m 当t=3min 时 h为1 890m 一次函数模型的应用 新知探究 （课本P57）问题 1 奥运会每4年举办一次，奥运会的游泳记录在不断地被突破，如男子400m自由泳项目，1996年奥运会冠军的成绩比1960年提高了约30s.下面是该项目冠军的一些数据： 年份 冠军成绩/s 年份 冠军成绩/s 1980 231.31 1996 227.97 1984 231.23 2000 220.59 1988 226.95 2004 223.10 1992 225.00 2008 221.86 根据上面资料，能否估计2012年伦敦奥运会时该项目的冠军成绩？ 年份 冠军成绩/s 年份 冠军成绩/s 1980 231.31 1996 227.97 1984 231.23 2000 220.59 1988 226.95 2004 223.10 1992 225.00 2008 221.86 以下是奥运会赛事男子400m自由泳冠军的成绩 请以1980年为原点，年份为x轴（每4年为一个单位长度），成绩为y轴建立平面直角坐标系， （1）建立如下图所示的坐标系并描点； x/年 y/s 240 230 220 210 O(1980) 1(1984) 2(1988) 3(1992) 4(1996) 5(2000) 6(2004) 7(2008) 8(2012) • • • • • • • • （2）根据图中描出点的分布情况，根据已知条件来猜测x与y之间的函数形式（或“近似”的函数形式），并写出表达式； x/年 y/s 240 230 220 210 O(1980) 1(1984) 2(1988) 3(1992) 4(1996) 5(2000) 6(2004) 7(2008) 8(2012) • • • • • • • • 解：这里我们选取第1个点（1，231.23）及第7个点（7，221.86）的坐标代入y=kx+b中,得 直线的表达式： y=-1.56x+232.79 （3）根据你建立的模型，估计2012年伦敦奥运会该项目的冠军成绩； 解：直线的表达式：y=-1.56x+232.79 当x=8时，y=220.31 220.31s接近220.14s. （4）能否用上述模型预测2016年里约热内卢奥运会该项目的冠军成绩？ 可以，2016年奥运会男子400m自由泳冠军成绩为218.98秒. 通过上面的学习，你知道如何建立两个变量之间的函数模型了吗？ （1）将实验得到的数据在直角坐标系中描出； （2）观察这些点的特征，确定选用的函数形式，并根据 已知数据求出具体的函数表达式； （3）进行检验； （4）应用这个函数模型解决问题. 建立两个变量之间的函数模型可以从以下4个方面进行 概念归纳 (课本P59)问题2.球从高处下落再反弹起来，可以直观地看出球的下落高度越高，反弹高度也就越高，那么球下落高度与反弹高度具有怎样的关系呢？请你进行实验，将实验数据填入下表，并根据实验数据建立球下落高度和反弹高度之间关系的函数模型. 典例剖析 实验中用刻度尺测量下落高度和反弹高度，记录数据如下： 实验次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 下落高度/cm 50 100 150 180 200 240 反弹高度/cm 20 40 60 72 80 96 通过分析实验数据，可得到反弹高度y与下落高度x的函数式： y=kx，k= 所以y=x 所以下落高度x和反弹高度y之间的函数关系式为y=x (课本P59)问题3.请你选择一个可以应用函数模型解决的问题，并建立合适的函数模型. 典例剖析 1.世界上大部分国家都使用摄氏温度(℃)计量法，但美、英等国的天气预报仍然使用华氏温度(。F)计量法．两种计量法之间有如下的对应关系： x/℃ 0 10 20 30 40 50 y/。F 32 50 68 86 104 122 (1)在平面直线坐标系中描出相应的点，观察这些点的分布情况，并猜想y与x之间的函数关系； 解：(1)如图所示，以表中对应值为坐标的点大致分布在一条直线上，据此，可猜想：y与x之间的函数关系为一次函数； (1)在平面直线坐标系中描出相应的点，观察这些点的分布情况，并猜想y与x之间的函数关系； o 10 20 30 40 50 60 70 20 40 60 80 100 y（ 。F ） x(。 C) 120 (2)确定y与x之间的函数表达式，并加以检验； 解：设y＝kx＋b，把(0，32)和(10，50)代入得 解得 经检验，点(20，68)，(30，86)，(40，104)，(50，122)的坐标均能满足上述表达式，所以y与x之间的函数表达式为 o 10 20 30 40 50 60 70 20 40 60 80 100 y（ 。F ） x(。 C) 120 (3)华氏0度时的温度应是多少摄氏度？ 解：当y＝0时， 解得 ∴华氏0度时的温度应是 摄氏度； (4)华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能吗？ ∴ 华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可能，此值为－40. 解：把y＝x代入， 解得 1.请同学们伸出一只手掌，把大拇指与小拇指尽量张开，两指间的距离称为指距. 已知指距与身高具有如下关系： 指距x（cm） 19 20 21 身高y（cm） 151 160 169 练一练 （1） 求身高y与指距x之间的函数表达式； 分析：上表3组数据反映了身高y与指距x之间的对应关系，观察这两个变量之间的变化规律，当指距增加1cm，身高就增加9cm，可以尝试建立一次函数模型. 解：设身高y与指距x之间的函数表达式为y = kx + b. 将x=19， y=151与x = 20，y=160代入上式，得 19k + b = 151， 20k + b = 160. 得到 y = 9x -20. 解 当x = 22时， y = 9×22-20 = 178. 因此，李华的身高大约是178 cm. （2） 当李磊的指距为22cm时，你能预测他的身高吗？ （3） 测量同桌的指距，你能测出他（她）的身高吗？ D 随堂练 y＝1.8x＋32 随堂练 随堂练 随堂练 D 分层练习-基础 D 分层练习-基础 D 分层练习-基础 12800 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-基础 1.6 2.4 分层练习-基础 分层练习-基础 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 C 课堂反馈 D 课堂反馈 一次函数模型的应用 ①将实验得到的数据在直角坐标系中描出 ②观察这些点的特征，确定选用的函数形式，并根据已知数据求出具体的函数表达式 ③进行检验 ④应用这个函数模型解决问题 课堂小结 1．随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，即含氧量y(g/m3)与大气压强x(kPa)成正比例关系．当x＝36(kPa)时，y＝108(g/m3)，则y与x的函数表达式为(　　) A．y＝36x　　　　　　 B．y＝eq \f(1,3)x C．y＝－3x D．y＝3x 2．对于气温，有的地方用摄氏温度表示，有的地方用华氏温度表示，摄氏温度与华氏温度之间存在着某种函数关系．从温度计上可以看出摄氏温度x(℃)与华氏温度y()有如下表所示的对应关系，则y与x之间的函数解析式是 . x/℃ … －10 0 10 20 30 … y/ … 14 32 50 68 86 … 3.(深圳中考)有A、B两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，A发电厂比B发电厂多发40度电，A厂焚烧20吨垃圾比B厂焚烧30吨垃圾少发1800度电． (1)求焚烧1吨垃圾，A和B两厂各发电多少度？ (2)A、B两个发电厂共焚烧90吨的垃圾，A厂焚烧的垃圾不多于B厂焚烧的垃圾的两倍，求A厂和B厂总发电量的最大值． 解：(1)设焚烧1吨垃圾，A发电厂发电a度，B发电厂发电b度，根据题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a－b＝40,30b－20a＝1800))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝300,b＝260)).答：焚烧1吨垃圾，A发电厂发电300度，B发电厂发电260度； (2)设A发电厂焚烧x吨垃圾，则B发电厂焚烧(90－x)吨垃圾，总发电量为y度，则y＝300x＋260(90－x)＝40x＋23400，∴x≤2(90－x)，∴x≤60，∵y随x的增大而增大，∴当x＝60时，y有最大值为40×60＋23400＝25800(度)．答：A厂和B厂总发电量的最大值是25800度． 1．(邵阳中考)小明参加100m短跑训练，2018年1～4月的训练成绩如下表所示： 月份 1 2 3 4 成绩(s) 15.6 15.4 15.2 15 体育老师夸奖小明是“田径天才”．请你预测小明5年(60个月)后100m短跑的成绩为(　　) (温馨提示：目前100m短跑世界记录为9秒58) A．14.8s 　　　　　　 B． 3.8s C．3s D．预测结果不可靠 2．某学校春季运动会期间，负责发放奖品的张也同学，在发放运动鞋(奖品)时，对运动鞋的鞋码进行了统计(如下表)．如果获奖运动员李伟领取的奖品是43号(原鞋码)的运动鞋，则这双运动鞋的新鞋码是(　　) 新鞋码(y) 225 245 … 285 原鞋码(x) 35 39 … 47 A.270　　 B．255　　 C．260　　 D．265 3．如图，当大拇指与小拇指尽量张开时，大拇指与小拇指指尖的距离称为指距．根据最近人体构造学的研究成果表明：一般情况下，人的身高h(cm)是指距d(cm)的一次函数．下表是测得的指距与身高的相应数据： 指距d/cm 20 21 22 23 身高h/cm 160 169 178 187 根据上表解决下面的实际问题：姚明的身高是226cm，他的指距约为(　　) A．26.8cm B．26.9cm C．27.5cm D．27.3cm 4．某出版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物出版印刷的印数不少于5000册时，投入的成本y(元)与印数x(册)间的相应数据如下表： 印数x/册 5000 8000 10000 15000 … 投入的成 本y/元 28500 36000 41000 53500 … 经过对上表中数据的探究，发现这种读物投入的成本y(元)是印数x(册)的一次函数．如果出版社投入的成本是48000元，那么印数是 册． 5．暑假期间，小亮到某地高山旅游，导游提醒大家上山要多带一件衣服，并介绍山上气温会随着海拔高度的增加而下降，沿途小亮利用随身带的仪器测得以下数据： 海拔高度 x(米) 300 400 500 600 700 … 气温y(℃) 29.2 28.6 28.0 27.4 26.8 … (1)根据上表提供的数据，在下列直角坐标系中画出y关于x的函数关系图象； (2)观察(1)中所画的图象，猜想y与x之间的函数关系，求出所猜想的函数关系表达式； (3)你能预测出海拔高度为800米处的气温吗？ 解：(1)图略； (2)猜测y与x之间是一次函数关系．设其表达为y＝kx＋b，将(400,28.6)、(600,27.4)代入表达式得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(400k＋b＝28.6,600k＋b＝27.4))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝－0.006,b＝31)).故函数表达式为y＝－0.006x＋31； (3)能．当x＝800时，y＝－0.006×800＋31＝26.2.即海拔高度为800米处的气温为26.2℃. 6．随着地球上的水资源日益枯竭，各级政府越来越重视倡导节约用水．某市民生活用水按“阶梯水价”方式进行收费，人均月生活用水收费标准如图所示，图中x(吨)表示人均月生活用水的吨数，y(元)表示收取的人均月生活用水费．请根据图象信息，回答下列问题： (1)该市人均月生活用水的收费标准是：不超过5吨，每吨按 元收取；超过5吨的部分，每吨按 元收取； (2)请写出y与x的函数表达式； (3)若某个家庭有5人，五月份的生活用水费共76 元，则该家庭这个月人均用了多少吨生活用水？ 解：(2)y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1.6x0≤x≤5,2.4x－4x＞5))； (3)把y＝eq \f(76,5)代入y＝2.4x－4得，2.4x－4＝eq \f(76,5)解得x＝8.答：该家庭这个月人均用了8吨生活用水． 7．元旦联欢会前某班布置教室，同学们利用彩纸条粘成一环套一环的彩纸链，小颖测量了部分彩纸链的长度，她得到的数据如下表： 纸环数x(个) 1 2 3 4 … 彩纸链长度y(cm) 19 36 53 70 … (1)把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式； (2)教室天花板对角线长10m，现需沿天花板对角线各 拉一根彩纸链，则每根彩纸链至少要用多少个纸环？ 解：(1)由图象猜想到y与x之间满足一次函数关系．设经过(1,19)、(2,36)两点的直线为y＝kx＋b.易求得y＝17x＋2.当x＝3时，y＝17×3＋2＝53.当x＝4时，y＝17×4＋2＝70.∴点(3,53)、(4,70)都在一次函数y＝17x＋2的图象上，∴彩纸链的长度y(cm)与纸环数x(个)之间满足一次函数关系y＝17x＋2；　 (2)10m＝1000cm，根据题意，得17x＋2≥1000.解得x≥58eq \f(12,17)，故每根彩纸链至少要用59个纸环． 8．在北方冬季，对某校一间坐满学生、门窗关闭的教室中CO2的总量进行检测，部分数据如下表： 教室连续使用时间x/分 5 10 15 20 CO2总量y/ m3 0.6 1.1 1.6 2.1 (1)请根据表中数据判断：该教室空气中CO2总量y(m3)与教室连续使用时间x(分)存在何种函数关系？并求出函数关系式； (2)根据有关资料得知，当该教室空气中CO2总量达到6.7 m3时，学生将会感到不适．请通过计算说明，该教室连续使用多长时间学生将会开始感到不适？ 解：(1)根据所给数据猜想y是x的一次函数．设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(5k＋b＝0.6,10k＋b＝1.1))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝0.1,b＝0.1))，所以y＝0.1x＋0.1.当x＝15时，y＝0.1×15＋0.1＝1.6；当x＝20时，y＝0.1×20＋0.1＝2.1.所以y＝0.1x＋0.1是符合条件的函数关系式；　 (2)当y＝6.7时，0.1x＋0.1＝6.7，解得x＝66.所以该教室连续使用66分钟学生将会开始感到不适． 9．化工商店销售某种新型化工原料，其市场指导价是每千克160元(化工商店的售价还可以在市场指导价的基础上进行浮动)，这种原料的进货价是市场指导价的75%. (1)为了扩大销售量，化工商店决定适当调整价格，调整后的价格按八折销售，仍可获得实际售价的20%的利润，求化工商店调整价格后的标价是多少元？打折后的实际售价是多少元？ (2)化工商店为了解这种原料的月销售量y(千克)与实际售价x(元/千克)之间的关系，每个月调整一次实际售价试销一段时间后，部门负责人把试销情况列成下表： 实际售价 x(元/千克) … 150 160 168 180 … 月销售量 y(千克) … 500 480 464 440 … ①请你在所给的平面直角坐标系中，以实际售价x(元/千克)为横坐标，月销售量y(千克)为纵坐标描出各点，观察这些点的发展趋势，猜想y与x之间可能存在怎样的函数关系； ②请你用所学过的函数知识确定一个满足这些数据的y与x之间的函数表达式，并验证你在①中的猜想； ③若化工商店某月按同一实际售价共卖出这种原料450千克，请你求出化工商店这个月销售这种原料的利润是多少元？ 解：(1)每千克原料的进货价为160×75%＝120(元)．设化工商店调整价格后的售价为x元，则0.8x－120＝0.8x×20%∴x＝187.5,187.5×0.8＝150(元)，∴调整价格后的标价是187.5元，打折后的实际售价是150元；　 (2)①描点画图，观察图象，可知这些点的发展趋势近似是一条直线，所以猜想y与x之间存在着一次函数关系；②根据①中的猜想，设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b，由(150,500)和(160,480)可求得y＝－2x＋800.将点(168,464)和(180,440)代入y＝－2x＋800均成立．∴①中猜想y与x之间存在着一次函数关系是正确的；③当y＝450，由y＝－2x＋800得，x＝175，即本月实际售价为175元，则本月利润为450×(175－120)＝24750(元)． 建立函数模型 1. 已知一个函数的关系满足下表(x为自变量)： x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y … －7 －5 －3 －1 1 3 5 7 9 … 则这个函数的表达式为(　　) A．y＝2x　　　　　　 B．y＝－2x C．y＝2x＋1　　　　　　 D．y＝－2x－1 建立函数模型解决实际问题 2. 如图，当大拇指与小拇指尽量张开时，大拇指与小拇指指尖的距离称为指距．根据最近人体构造学的研究成果表明：一般情况下，人的身高h(cm)是指距d(cm)的一次函数．下表是测得的指距与身高的相应数据： 指距d/cm 20 21 22 23 身高h/cm 160 169 178 187 根据上表解决下面的实际问题：姚明的身高是226 cm，他的指距约为(　　) A．26.8 cm B．26.9 cm C．27.5 cm D．27.3 cm $$