1.2.2 等差数列与一次函数（教学课件）数学湘教版2019选择性必修第一册

湘教版2019高一数学（选修一） 第一章 数列 1.2.2 等差数列与一次函数 1.2 等差梳理 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 1.理解等差数列的通项公式与一次函数的关系. 2.掌握等差数列的判定和证明方法. 情景导入 前面我们学习了等差数列的通项公式，现在我们对它进行变形： an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)， 你知道它与我们熟悉的哪一类函数有关吗？ 1.等差数列与一次函数 新知探究 数列可以看成以正整数集N+（或它的有限子集{1，2，…，n}）为定义域的函数an = f (n)，因而可以利用函数知识来研究数列的性质．我们先看两个具体例子： 求下列等差数列{an }的通项公式，并画出这个数列的图象，判断数列的单调性： （1）a1 =7，d =3； （2）a1 =7，d =－2． 不难求得，等差数列{an }的通项公式分别 （1） an=3n－2；（2）an=－2n＋9． 上述通项公式可以看成自变量 n 取正整数值的函数，将通项公式中的正整数自变量 n 换成实数自变量x，得到一次函数y=3x－2 和 y=－2x＋9，它们的图象都是直线． 当x取正整数值 n 时，就得到an ，等差数列的图象由直线上横坐标为正整数 n 的孤立点(n，an )组成．如图 1.2-2（1）、（2）所示． 由于一次函数y=3x－2的一次项系数3>0，函数递增， 因此数列{3n－2}也递增； 而一次函数y=－2x＋9的一次项系数一2<0，函数递减， 因此数列{－2n＋9}也递减． 对于一般的等差数列{an }，其通项公式为an=a1＋(n－1)d ，将其中的 正整数自变量n换成实数自变量x，得到 y = a1＋(x－1)d = dx＋(a1－d)． 当d≠0 时，是一次函数(其中一次项系数为等差数列的公差d )； 当d=0时，y=a1(a1为常数)，这两种情形的函数图象都是直线． 等差数列的图象由这条直线上横坐标为正整数 n 的孤立点(n，an )组成． 当d>0时，直线 y=d x＋(a1－d )从左至右上升，等差数列{an }递增； 当d<0时，直线 y=d x＋(a1－d )从左至右下降，等差数列{an }递减； 当d=0时，y=a1 为水平方向的直线，数列{an }为常数列． 概念归纳 例 4　已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋q，其中p，q为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？ 取数列{an}中任意相邻两项an与an－1(n≥2)，作差得an－an－1＝pn＋q－[p(n－1)＋q]＝p， 它是一个与n无关的常数，所以数列{an}一定是等差数列，且一次项系数p为该等差数列的公差. 课本例题 注：若 p=0，则an= q，数列{an}是常数列，也是等差数列． 9 例 5 已知(2，－1)，(4，－7)是等差数列{an}的图象上的两点. (1)求数列{an}的通项公式； 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. 因为(2，－1)，(4，－7)是等差数列{an}的图象上的两点， 所以a2＝－1，a4＝－7， 因此，an＝2＋(n－1)×(－3)＝－3n＋5. 课本例题 10 (2)画出数列{an}的图象； 由(1)可知， 数列{an}的图象是均匀分布在直线 y＝－3x＋5上的一系列孤立点，如图. (3)判断数列{an}的单调性. 由(1)可知公差d＝－3<0，所以等差数列{an}为递减数列. 11 例 6 已知等差数列{an}满足ap=q，aq=p，(p，q∈N+，p ≠ q)，求ap+q的值． 解： 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 a1＋(p－1) d=q，a1＋(q－1) d=p， 解得 a1=p＋q－1，d=－1， 因此， ap+q=a1＋(p+q－1) d =(p＋q－1)＋(p+q－1) ×(－1) = 0． 课本例题 12 性质 如果数列{an}为等差数列，那么 an= am ＋ (n－m)d，(n，m∈N+) ． 证明：记等差数列{an}的公差为d，则 an=a1＋(n－1)d， am=a1＋(m－1)d， 两式相减，得 an－am= (n－m)d， 即 an=am＋(n－m)d ． 概念归纳 13 例1　已知(1，3)，(3，－1)是等差数列{an}图象上的两点，若5是p，q的等差中项，求ap＋aq的值． 解析：设等差数列通项公式为an＝xn＋y， 代入两点的坐标得解得x＝－2，y＝5， 即an＝－2n＋5，由于5是p，q的等差中项， 故p＋q＝10，所以ap＋aq＝2a5＝2(－10＋5)＝－10. 典例剖析 题型1　等差数列的通项公式的函数特征 利用等差数列通项公式与一次函数的对应关系，列方程组求解． 例 6 已知等差数列{an}满足ap=q，aq=p，(p，q∈N+，p ≠ q)，求ap+q的值． 解： 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 ap=a1＋(p－1) d=q， ① aq=a1＋(q－1) d=p，② ①－②得 ap－aq=(p－q) d，则 ③ ③式从函数的观点看，等差数列{an}的任意两项的函数值之差与相 应自变量之差的比为公差d．于是将ap，aq，与ap+q，aq分别代入③式得 解得ap+q=0． 课本例题 15 1.在等差数列{an}中，am＝n，an＝m，则am＋n(　　) A．0 B．m C．n D．m＋n 解析：方法一　构造等差数列{an}使得a1＝2，a2＝1，这里m＝1，n＝2，于是am＋n＝a3＝0，排除B、C、D. 方法二　因为是等差数列且m≠n，所以d≠0，即通项公式是关于n的一次函数，一次函数图象是一条直线，则(n，m)，(m，n)，(m＋n，am＋n)三点共线，所以利用每两点形成直线斜率相等，即＝，得am＋n＝0. 练一练 A 例2　已知(1，1)，(3，5)是等差数列{an}图象上的两点． (1)求这个数列的通项公式； (2)画出这个数列的图象； (3)判断这个数列的单调性． 解析：(1)d＝＝2，∴an－1＝2(n－1)．即an＝2n－1. (2)图象是直线y＝2x－1上一些等间隔的点．图略． (3)因为一次函数y＝2x－1是增函数，所以数列{an}是递增数列． 题型2　等差数列的图象与一次函数的图象 典例剖析 数列是一个特殊的函数，因此也可以用图象来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即以(n，an)为坐标描点画图，就可以得到数列的图象．因为它的定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n})，所以其图象是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的． 归纳总结 2.[2022·山东莱州一中二月考]在数列{an}中，a1＝3，对任意大于1的正整数n，点()在直线x－y－＝0上，那么a5＝(　　) A．5 B．5 C．50 D．75 解析：∵点()在直线x－y－＝0上，即＝， 又＝，∴{}是以为首项，为公差的等差数列， ∴＝＋(n－1)×＝n，即an＝3n2， 所以a5＝3×52＝75. D 练一练 例3　已知{an}是递增数列，且对于任意的n∈N＋，an＝n2＋λn恒成立，求实数λ的取值范围． 解析：方法一　构造一次函数，因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N＋，都有an＋1>an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，整理得2n＋1＋λ>0，即λ>－(2n＋1)(*)．设f(n)＝－(2n＋1)，则只需求出f(n)的最大值即可，因为n≥1，显然f(n)有最大值f(1)＝－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3. 方法二　构造二次函数，设f(n)＝an＝n2＋λn，其图象的对称轴为直线n＝－，要使数列{an}为递增数列，只需使定义在正整数集上的函数f(n)为增函数，故只需满足f(1)<f(2)，即λ>－3. 典例剖析 题型3　等差数列的单调性与一次函数的单调性 归纳总结 数列单调性与函数单调性的区别和联系 区别：二者定义不同．函数单调性的定义：函数f(x)的定义域为D，设D⊇I，对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，若f(x1)>f(x2)，则f(x)在I上单调递减，若f(x1)<f(x2)，则f(x)在I上单调递增，定义中的x1，x2不能用有限个数值来代替．数列单调性的定义：只需比较相邻的an与an＋1的大小来确定单调性． 联系：若函数f(x)在[1，＋∞)上单调，则数列f(n)也单调．反之不正确，例如f(x)＝，数列f(n)单调递增，但函数f(x)在(1，＋∞)上不是单调递增． 3.在数列{an}中，an＝－3n＋18，则an的最大值为(　　) A．15 B．0 C．6 D．不存在 解析：an＝－3n＋18对应的函数为y＝－3x＋18，易知它是R上的递减函数， 因此可知数列是递减数列，首项最大， 所以(an)max＝a1＝15. 练一练 A 1.对于数列{an}，“an＝kn＋b(k，b为常数)”是“数列{an}为等差数列”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 随堂练 2.已知点(1,5)，(2,3)是等差数列{an}图象上的两点，则数列{an}为（ ） A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.无法确定 C B 3.在等差数列{an}中，若a2＋a6＝6，a5＝8，则a10等于（ ） A.20 　　　　B.25 　　　　C.30 　　　　D.33 随堂练 D （ ） D 错因分析 易错辨析　忽视等差数列中的隐含条件致误 例4　已知{an}为等差数列，首项为，它从第10项开始比1大，那么公差d的取值范围是(　　) A．d> B．d< C．<d< D．<d≤ 解析：由题意可得a1＝，且， 即，解得<d≤，故选D. D 【易错警示】 出错原因 (1)错选A，只看到了a10>1而忽视了a9≤1，是审题不仔细而致误； (2)错选C，误认为a9<1，是由不会读题，马虎造成错误． 纠错心得 认真审题，充分挖掘题目中的隐含条件． 错因分析 1.已知数列{an}满足a1＝3，且an＝an＋1＋3(n∈N＋)，则下列说法正确的是（ ） A.数列{an}是以3为首项，3为公差的等差数列 B.数列{an}是以3为首项，－3为公差的等差数列 C.数列{an}是以－3为首项，3为公差的等差数列 D.数列{an}是以－3为首项，－3为公差的等差数列 B 分层练习-基础 2.在递增的等差数列{an}中，a3＋a6＝－6，a4a5＝8，公差d 等于（ ） A.4 B.2 C.－2 D.2或－2 B 27 分层练习-基础 3.已知数列{an}是等差数列，a4＝15，a7＝27，则过点P(3，a3)，Q(5，a5)的直线斜率为（ ） 4.已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有（ ） A.a1＋a101>0 B.a1＋a101<0 C.a3＋a99＝0 D.a51＝51 A C 5.在数列{an}中，a1＝5,3an＋1＝3an－2(n∈N＋)，则an等于（ ） 分层练习-基础 B 分层练习-基础 BD （ ） 7.在数列{an}中，a1＝2，a8＝16，已知该数列的通项公式是关于n的一次函数，则a2 023＝________. 4 046 分层练习-基础 9.在等差数列{an}中，已知am＝n，an＝m，求am＋n的值. 从而am＋n＝am＋(m＋n－m)d＝n＋n·(－1)＝0. 方法二　设等差数列的通项公式为an＝an＋b(a，b为常数)， 得a＝－1，b＝m＋n. 所以am＋n＝a(m＋n)＋b＝0. 分层练习-基础 分层练习-基础 (2)求数列{an}的通项公式. 分层练习-基础 11.(多选)下列关于公差d>0的等差数列{an}的结论中，正确的是（ ） A.数列{an}是递增数列 B.数列{nan}是递增数列 C.数列 是递增数列 D.数列{an＋3nd}是递增数列 分层练习-巩固 AD 12.等差数列an中，若a2，a2 022为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a1＋a1 012＋a2 023等于（ ） A.10 　　　　B.15 　　　　C.20 　　　　D.40 分层练习-巩固 B （ ） B 分层练习-巩固 分层练习-巩固 15.在下表所示的5×5正方形的25个空格中填入正整数，使得每一行，每一列都成等差数列，问标有*号的空格应填的数是______.       *     74       2y       186 y   103     0 x 2x     142 分层练习-拓展 记aij为第i行第j列的格中所填的数，则a52＝x，a41＝y. 由第3列得a33＝2×103－2x， 所以2x＋y＝113. ① 由第1列得a21＝3y， 则由第2行得a23＝2×74－3y， a33＋103＝a23＋2x，a23＝3×103－4x， 所以2×74－3y＝3×103－4x， 即4x－3y＝161， ② 由①②，得x＝50，y＝13， 故标有*号的空格应填142.       *     74       2y       186 y   103     0 x 2x     分层练习-拓展 所以满足条件的数列{an} 不唯一. 16.定义数列“从第二项起，若数列{an} 的每一项与前一项的平方差为同一常数d，则称数列{an} 为等平方差数列，d 叫作此数列的公平方差.” 已知数列{an} 为“等平方差数列”，且a1＝1，a5＝3. (1)判断满足条件的数列{an} 是否唯一，并说明理由； 分层练习-拓展 (2)求正项数列{an} 的通项公式，并判断其单调性. 所以an＜an＋1，所以数列{an} 是递增数列. 分层练习-拓展 分层练习-拓展 分层练习-拓展 课堂小结 1.知识清单： (1)等差数列通项公式与一次函数的关系. (2)证明等差数列的方法. (3)等差数列的项与项之间的性质及应用. 2.方法归纳：定义法、公式法、构造法、解方程组法. 3.常见误区： (1)不注意运用性质而出错或解法烦琐. (2)实际问题中项数的确定. 对于一般的等差数列{an }，其通项公式为an=a1＋(n－1)d ，将其中的正整数自变量n换成实数自变量x，得到 y = a1＋(x－1)d = dx＋(a1－d)． 等差数列的图象由这条直线上横坐标为正整数 n 的孤立点(n，an )组成． 当d>0时，直线y=d x＋(a1－d )从左至右上升，等差数列{an }递增； 当d<0时，直线 y=d x＋(a1－d )从左至右下降，等差数列{an }递减； 当d=0时，y=a1为水平方向的直线，数列{an }为常数列． 课堂小结 46 即解得 4.已知数列{an}中，a1＝1，＝1＋(n∈N＋)，则a10等于 A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. A.4 　　　　B. 　　　　C.－4 　　　　D.－ A.n＋ B.－n＋ C.－n－ D.n－ 6.(多选)在数列{an}中，a1＝3，且对任意大于1的正整数n，点在直线x－y－＝0上，则 A.数列{an}是等差数列 B.数列是等差数列 C.数列{an}的通项公式为an＝3n D.数列的通项公式为＝n 8.在数列{an}中，an＋1＝，a1＝2，则a20＝______. 方法一　设公差为d，则d＝＝＝－1， 则 即－＝，n∈N＋， 故数列是等差数列. 10.已知数列{an}满足an＋1＝，且a1＝3(n∈N＋). (1)证明：数列是等差数列； 由＝＝＝＝＋， 由(1)知＝＋(n－1)×＝， 所以an＝，n∈N＋. 13.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，则满足an>的n的最大值为 A.6 　　　　B.7 　　　　C.8 　　　　D.9 14．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－3n. (1)试问10是数列{an}中的项吗？ (2)求数列中的最小项． (3)若Dn＝An2＋Bn(A，B均为非零常数)，证明：数列为等差数列． 解析：(1)令n2－3n＝10，即n2－3n－10＝0， 解得n＝－2(舍去)或n＝5，因此10是数列{an}中的第5项． (2)由＝n－3，且n∈N＋知，为递增数列． 当n＝1时，取得最小值－2. 所以数列中的最小项为－2. (3)由题意可知＝An＋B， 则－＝A(n＋1)＋B－(An＋B)＝A， 因为A为常数，所以数列为等差数列． 由第3行得a33＝， 所以a15＝2×186－a55＝2×186－4x＝172， a13＝2a33－a53＝112，a14＝＝142， 所以an＝±， 根据“等平方差数列”的定义，及a1＝1，a5＝3，得a＝a＋d＝a＋2d＝a＋3d＝a＋4d，即9＝1＋4d，解得d＝2. 依题意，得a＝a＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1， 因为an＞0，所以由(1)得an＝. 因为an－an＋1＝－＝＜0， 17．在数列{an}中，a1＝1，3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N＋). (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式； (3)若λan＋≥λ对任意的n≥2恒成立，求实数λ的取值范围． 解析：(1)由3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N＋)， 整理得－＝3(n≥2，n∈N＋)， 所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列． (2)由(1)可得＝1＋3(n－1)＝3n－2⇒an＝. (3)由(2)，问题等价于＋3n－2≥λ对任意的n≥2恒成立， 即λ≤对任意的n≥2恒成立． 记f(n)＝，则f(n＋1)－f(n)＝－＝＝3－， 则当n≥2时，f(n)>0，即f(n)是递增数列，f(n)min＝f(2)＝. 所以λ∈. $$