3.4 圆心角（8大题型提分练）数学浙教版九年级上册

九年级数学上册《圆的基本性质》 3.4 垂径定理 知识点一 圆的旋转对称性 圆的旋转对称性 圆是旋转对称图形，具有旋转不变性，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合. 因此，圆是中心对称图形，圆心就是它的对称轴. 知识点二 圆心角 ★1、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.一个圆心角所对的弧是唯一的. ★2、弧、弦、圆心角的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论：在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等． 【注意】 （1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提，如果丢掉了这个前提，即使圆心角相等，圆心角所对的弧、弦也不一定相等． （2）因为弦所对的弧有两条，所以不可以说“在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等”． 题型一 弧、弦、圆心角的概念 解题技巧提炼 正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系：三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． 1．（2024•大庆二模）下列说法正确的是（　　） A．平分弦的直径垂直于弦 B．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．等弧所对的弦必相等 2．（2023•庐阳区一模）如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，CE＝DE，则下列说法错误的是（　　） A． B．OE＝BE C．CA＝DA D．AB⊥CD 3．（2023春•惠山区校级月考）下列说法正确的个数有（　　） ①半圆是弧；②面积相等的两个圆是等圆；③所对的弦长相等的两条弧是等弧；④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等；⑤等弧所对的圆心角相等 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（2023秋•利津县期末）下列语句中不正确的有（　　） ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴； ④长度相等的两条弧是等弧． A．3个 B．2个 C．1个 D．以上都不对 5．如图，AB，CD分别为⊙O的两条弦，OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，且∠AOB＝∠COD，则下列结论中，正确的个数为（　　） ①AB＝CD；②OM＝ON；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（2023秋•凯里市校级期中） 如图，在⊙O中，，则下列结论中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④，正确的是 　 　（填序号）． 题型二 利用弧、弦、圆心角求角度 解题技巧提炼 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，利用半径相等构建等腰三角形是解决问题的关键有时要利用直角三角形的性质等知识点． 1．（2023•资中县一模）如图，AB，CD是⊙O的直径，，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（　　） A．32° B．60° C．68° D．64° 2．（2024•前郭县三模）如图，△ABC顶点A、B、C均在⊙O上，∠BAC+∠BOC＝84°，则∠BOC为（　　） A．56° B．60° C．62° D．28° 3．（2024•碑林区校级模拟）如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（　　） A．42° B．44° C．46° D．48° 4．（2023•西陵区模拟）如图，AB是圆O的直径，BC、CD、DA是圆O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD等于（　　） A．100° B．110° C．120° D．135° 5．（2023秋•宁河区期末）已知圆的半径为2cm，圆中一条弦长为2cm，则这条弦所对的圆心角的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 6．（2023秋•扶沟县期末）如图，AB是⊙O的直径，∠BOC＝42°，，则∠AOE＝　 　°． 7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数． 题型三 利用弧、弦、圆心角求弧的度数 解题技巧提炼 利用弧、弦、圆心角求弧的度数就是求弧所对的圆心角的度数，有时要利用等腰三角形的性质． 1．（2024•凉州区二模）如图，在⊙O中，∠A＝30°，劣弧的度数是（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 2．（2024•桓台县一模）如图，⊙O的直径AB与弦DE交于点C，且CD＝CO．若弧AD的度数为40°，则弧AE的度数为（　　） A．50° B．60° C．75° D．85° 3．如图，AB是⊙O的直径，，∠BOC＝40°，则的度数为　 　． 4．（2023秋•北仑区期中）在半径为1的圆中，长度等于的弦所对的弧的度数为　 　． 5．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连接AD、OD、OC．若的度数是70°，且AD∥OC，求的度数． 6．弦MN把⊙O分成1：3，连接OM、ON，过MN的中点A作AB∥ON，交于B，求的度数． 题型四 利用弧、弦、圆心角求线段长 解题技巧提炼 此类问题主要是利用弧，弦之间的关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 1．（2023秋•保亭县期末）如图，⊙O的半径是8cm，∠AOB＝120°，那么圆心O到弦AB的距离是（　　） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 2．（2023秋•芜湖期末）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝90°，AB，BC＝1，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 3．（2023秋•海陵区校级期末）如图，AB为⊙O的直径，点D是的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F．若，AE＝2，则⊙O的直径长为（　　） A． B．8 C．10 D． 4．如图，点A在半圆O上，BC是直径，．若AB＝2，则BC的长为 　 　． 5．（2023•贵池区二模）如图，点C是直径AB的三等分点（AC＜CB），点D是弧ADB的三等分点（弧BD＜弧AD），若直径AB＝12，则DC的长为 　 　． 6．（2023秋•肇源县月考）如图，C为弧AB的中点，OA⊥CD于点M，CN⊥BD于N，且BD为⊙O的直径，若ON＝2，求CD长． 题型五 利用弧、弦、圆心角比较大小 解题技巧提炼 本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及三角形的三边关系；熟练掌握三角形的三边关系，熟记圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 1．如图，在⊙O中，已知，则AC与BD的关系是（　　） A．AC＝BD B．AC＜BD C．AC＞BD D．不确定 2．如图，在同圆中，若∠AOB＝2∠COD，则AB与2CD的大小关系是（　　） A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．不能确定 3．（2024•丛台区校级三模）如图，在⊙O中，满足，则下列对弦AB与弦CD大小关系表述正确的是（　　） A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．无法确定 4．（2023秋•余姚市月考）如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB、弧CD、弧EF，如果，那么AB+CD与EF的大小关系是（　　） A．AB+CD＝EF B．AB+CD＜EF C．AB+CD＞EF D．大小关系不确定 5．（2023秋•西林县期末）如图，AB是⊙O的直径，CD的是⊙O中非直径的任意一条弦，试比较AB与CD的大小，并说明理由． 6．（2023天河区一模）如图，AB为半圆的直径，点C、D在半圆上． （1）若，求∠DAB和∠ABC的大小； （2）若点C、D在半圆上运动，并保持弧CD的长度不变，（点C、D不与点A、B重合）．试比较∠DAB和∠ABC的大小． 题型六 弧、弦、圆心角中的倍数关系 解题技巧提炼 本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，和30度角的直角三角形，利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数是解答此题的关键． 1．（2023•莱西市二模）如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，若∠AOB是锐角，且∠AOB＝2∠BOC，则下列结论正确的是（　　）个 ①AB＝2BC；②2；③∠ACB＝2∠CAB；④∠ACB＝∠BOC． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2023•陵城区模拟）圆的一条弦把圆分为度数比为1：3的两条弧，则弦心距与弦长的比为（　　） A．1：3 B．2：3 C．1：4 D．1：2 3．（2023•陕西模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且3，则弦AC与弦BC的关系是（　　） A．AC＝3BC B．ACBC C．AC＝（1）BC D．AC＝BC 4．如图，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB．求证：2． 5．如图，在⊙O中，2，AD⊥OC于D．求证：AB＝2AD． 题型七 弧、弦、圆心角中的证明问题 解题技巧提炼 本题主要考查在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，如果其中一对量相等，那么其它两对量也分别相等．同时利用了全等三角形的判定与性质，等腰三角形等图形的性质等，灵活运用圆的性质进行证明是解题的关键． 1．（2024•利辛县开学）如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，，AE交CD于F．求证：CF＝AF． 2．（2023秋•从化区期末）如图，在⊙O中，，求证：∠B＝∠C． 3．（2023秋•船营区校级期中）如图，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，交AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于G，求证：． 4．（2023秋•瑞安市期中）已知：如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上一点，且BE＝CE． 求证：． 5．（2023秋•邯山区校级期末）如图，已知OA，OB是⊙O的半径，C为的中点，M，N分别是OA，OB的中点，求证：MC＝NC． 6．（2023秋•沂源县期末）AB、CD是⊙O的弦，OC、OD分别交AB于点E、F，且OE＝OF．求证：． 7．（2024秋•硚口区期末）如图，⊙O中的弦AB＝CD，AB与CD相交于点E．求证： （1）AC＝BD； （2）CE＝BE． 8．如图，AB为⊙O的直径，C、D分别为OA、OB的中点，CF⊥AB，ED⊥AB，点E、F都在⊙O上， 求证： （1）CF＝DE； （2）； （3）AE＝2CF． 题型八 弧、弦、圆心角中的综合问题 解题技巧提炼 解决此类综合问题，主要是利用了弧、弦、圆心角关系，同时考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质和勾股定理等相关知识的综合运用. 1．（2023秋•南昌期中）如图所示，以ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交⊙A于G． （1）求证：； （2）若的度数为70°，求∠C的度数． 2．（2023秋•路北区期中）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且． （1）求证：AO平分∠BAC； （2）若AB＝4，BC＝8，求半径OA的长． 3．（2023春•永嘉县月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，E都在⊙O上，OC⊥AB，2，DE∥AB交OC于点D，延长OC至点F，使FC＝OC，连接EF． （1）求证：CD＝OD． （2）若⊙O的直径是4，求EF的长． 4．（2023秋•硚口区期末）如图1，AD，BC是⊙O的弦，且AD＝BC，连接AB，CD． （1）求证：AB＝CD； （2）如图2，连接BD，若，BD＝24，，求⊙O的半径． 5．（2023秋•阳春市期末）如图，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是的中点． （1）求证：四边形OACB为菱形； （2）延长OA至点P使得OA＝AP，连结PC，若⊙O的半径R＝1，求PC的长． 6．如图．在四边形ABCF中．FA⊥AB．BC⊥AB．ʘO经过点A，B，C，分别交边AF．FC于点D，E．且E是的中点． （1）求证：E是FC的中点． （2）连结AE，当AB＝6．AE＝5时，求AF的长． 7．（2023•闵行区二模）如图，在扇形AOB中，点C、D在上，，点F、E分别在半径OA、OB上，OF＝OE，联结DE、CF． （1）求证：DE＝CF； （2）设点P为的中点，联结CD、EF、PO，线段PO交CD于点M、交EF于点N．如果PO∥DE，求证：四边形MNED是矩形． 8．（2023秋•拱墅区校级期末）如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，F是圆上一点，D是的中点，连结CF交OB于点G，连结BC． （1）求证：GE＝BE； （2）若OG＝1，CD＝8，求BC的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学上册《圆的基本性质》 3.4 垂径定理 知识点一 圆的旋转对称性 圆的旋转对称性 圆是旋转对称图形，具有旋转不变性，把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合. 因此，圆是中心对称图形，圆心就是它的对称轴. 知识点二 圆心角 ★1、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.一个圆心角所对的弧是唯一的. ★2、弧、弦、圆心角的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论：在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等． 【注意】 （1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提，如果丢掉了这个前提，即使圆心角相等，圆心角所对的弧、弦也不一定相等． （2）因为弦所对的弧有两条，所以不可以说“在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等”． 题型一 弧、弦、圆心角的概念 解题技巧提炼 正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系：三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． 1．（2024•大庆二模）下列说法正确的是（　　） A．平分弦的直径垂直于弦 B．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．等弧所对的弦必相等 【分析】根据圆周角定理、垂径定理及圆的对称性分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，不符合题意； B、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故原命题错误，不符合题意， C、同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故原命题错误，不符合题意； D、等弧所对的圆周角相等，正确，符合题意； 故选：D． 【点评】考查了圆周角定理、垂径定理及圆的对称性等知识，解题的关键是了解有关性质或定理，难度不大． 2．（2023•庐阳区一模）如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，CE＝DE，则下列说法错误的是（　　） A． B．OE＝BE C．CA＝DA D．AB⊥CD 【分析】先利用垂径定理的推论可得AB⊥CD，，，从而可得AC＝AD，再连接OC，BC，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径，CE＝DE， ∴AB⊥CD，，， ∴AC＝AD， 故A、C、D不符合题意； 连接OC，BC， ∵OC≠CB，AB⊥CD ∴OE≠BE， 故B符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，熟练掌握垂径定理的推论是解题的关键． 3．（2023春•惠山区校级月考）下列说法正确的个数有（　　） ①半圆是弧；②面积相等的两个圆是等圆；③所对的弦长相等的两条弧是等弧；④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等；⑤等弧所对的圆心角相等 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据半圆，等圆，等弧等知识一一判断即可． 【解答】解：①半圆是弧，正确； ②面积相等的两个圆是等圆，正确， ③所对的弦长相等的两条弧是等弧，错误，可能一条是优弧，一条是劣弧 ④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等，错误，应该同圆或等圆中． ⑤等弧所对的圆心角相等，正确． 故选：B． 【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，半圆，等圆，等弧等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4．（2023秋•利津县期末）下列语句中不正确的有（　　） ①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦； ③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴； ④长度相等的两条弧是等弧． A．3个 B．2个 C．1个 D．以上都不对 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对①进行判断；根据垂径定理对②进行判断；根据圆的对称性对③进行判断；根据等弧的定义对④进行判断． 【解答】解：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以①的说法错误； 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以②的说法错误； 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，所以③的说法正确； 能完全重合的两条弧是等弧，所以④的说法错误． 故选：A． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理． 5．如图，AB，CD分别为⊙O的两条弦，OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，且∠AOB＝∠COD，则下列结论中，正确的个数为（　　） ①AB＝CD；②OM＝ON；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】结合已知条件，根据“在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等”得到与之间的关系；根据圆心角、弧、弦及弦心距四者之间的关系即可得到弦AB与CD，弦心距OM与ON的数量关系，进而得出正确选项． 【解答】解：∵AB，CD分别为⊙O的两条弦，∠AOB＝∠COD， ∴，故③正确； ∵，OM⊥AB于M，ON⊥CD于N， ∴AB＝CD，OM＝ON，故①②正确． 综上可知，正确的有3个． 故选：D． 【点评】本题主要考查圆心角、弧、弦及弦心距的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦及弦心距四者之间的关系是解题的关键． 6．（2023秋•凯里市校级期中） 如图，在⊙O中，，则下列结论中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④，正确的是 　 　（填序号）． 【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可． 【解答】解：在⊙O中，， ∴AB＝CD，故①正确； ∵BC为公共弧， ∴故④正确； ∴AC＝BD，故②正确； ∴∠AOC＝∠BOD，故③正确． 故答案为：①②③④． 【点评】本题考查了定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 题型二 利用弧、弦、圆心角求角度 解题技巧提炼 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，利用半径相等构建等腰三角形是解决问题的关键有时要利用直角三角形的性质等知识点． 1．（2023•资中县一模）如图，AB，CD是⊙O的直径，，若∠AOE＝32°，则∠COE的度数是（　　） A．32° B．60° C．68° D．64° 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，由得到∠BOD＝∠AOE＝32°，然后利用对顶角相等得∠BOD＝∠AOC＝32°，易得∠COE＝64°． 【解答】解：∵， ∴∠BOD＝∠AOE＝32°， ∵∠BOD＝∠AOC， ∴∠AOC＝32° ∴∠COE＝32°+32°＝64°． 故选：D． 【点评】本题主要考查等弧和圆心角的关系，熟知在同圆中，等弧所对的圆心角相等，和对顶角相等是解题的关键． 2．（2024•前郭县三模）如图，△ABC顶点A、B、C均在⊙O上，∠BAC+∠BOC＝84°，则∠BOC为（　　） A．56° B．60° C．62° D．28° 【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解． 【解答】解：由圆周角定理可知：， ∵∠BAC+∠BOC＝84°， ∴， 解得∠BOC＝56°， 故选：A． 【点评】本题考查圆周角定理，掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是关键． 3．（2024•碑林区校级模拟）如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（　　） A．42° B．44° C．46° D．48° 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC＝∠BOD＝84°，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图，连接OA， ∵AB＝CD， ∴， ∴， ∴， ∴∠AOC＝∠BOD＝84°， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠CAO（180°﹣∠AOC）（180°﹣84°）＝48°， 故选：D． 【点评】此题考查了圆心角、弧的关系，熟练掌握圆心角、弧的关系是解题的关键． 4．（2023•西陵区模拟）如图，AB是圆O的直径，BC、CD、DA是圆O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD等于（　　） A．100° B．110° C．120° D．135° 【分析】由已知可得，弦BC、CD、DA三等分半圆，从而不难求得∠BCD的度数． 【解答】解：连接OC、OD， ∵BC＝CD＝DA， ∴∠COB＝∠COD＝∠DOA， ∵∠COB+∠COD+∠DOA＝180°， ∴∠COB＝∠COD＝∠DOA＝60°， ∴∠BCD2（180°﹣60°）＝120°． 故选：C． 【点评】本题考查了弧、弦与圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．注意半圆对的圆心角为180°． 5．（2023秋•宁河区期末）已知圆的半径为2cm，圆中一条弦长为2cm，则这条弦所对的圆心角的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【分析】先画出几何图形，再证明△OAB为等边三角形，然后利用等边三角形的性质得到∠AOB的度数即可． 【解答】解：如图，连接OA、OB， ∵AB＝2cm，OA＝OB＝2cm， ∴OA＝OB＝AB， ∴△OAB为等边三角形， ∴∠AOB＝60°， 即这条弦所对的圆心角的度数是60°． 故选：C． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：画出几何图形和等边三角形的判定与性质的运用是解决问题的关键． 6．（2023秋•扶沟县期末）如图，AB是⊙O的直径，∠BOC＝42°，，则∠AOE＝　 　°． 【分析】根据同圆或等圆中相等的弧所对的圆心角相等即可求解． 【解答】解：∵， ∴∠COD＝∠DOE＝∠BOC＝42°， ∵AB是直径， ∴∠AOB＝180°， ∴∠AOE＝180°﹣42°×3＝54°． 故答案为：54． 【点评】此题考查了弧与圆心角的关系，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等是解题的关键． 7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数． 【分析】连接AD，根据直角三角形的两锐角互余求出∠C，根据∠ADC＝∠C＝70°，根据三角形内角和定理求出∠CAD＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝40°，求出∠DAE＝50°，再根据等腰三角形的性质得出∠DEA＝∠ADE，再求出答案即可． 【解答】解：连接AD， ∵∠BAC＝90°，∠ABC＝20°， ∴∠C＝90°﹣∠ABC＝70°， ∵AC＝AD， ∴∠ADC＝∠C＝70°， ∴∠CAD＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝40°， ∵∠CAB＝90°， ∴∠DAE＝90°﹣40°＝50°， ∵AD＝AE， ∴∠DEA＝∠ADE（180°﹣∠DAE）＝65°． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和直角三角形的性质等知识点，能熟记等边对等角和直角三角形的两锐角互余是解此题的关键． 题型三 利用弧、弦、圆心角求弧的度数 解题技巧提炼 利用弧、弦、圆心角求弧的度数就是求弧所对的圆心角的度数，有时要利用等腰三角形的性质． 1．（2024•凉州区二模）如图，在⊙O中，∠A＝30°，劣弧的度数是（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° 【分析】连接OB，求出∠AOB，可得结论． 【解答】解：连接OB． ∵OA＝OB， ∴∠A＝∠B＝30°， ∴∠AOB＝180°﹣30°﹣30°＝120°， ∴的度数为120°． 故选：D． 【点评】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题． 2．（2024•桓台县一模）如图，⊙O的直径AB与弦DE交于点C，且CD＝CO．若弧AD的度数为40°，则弧AE的度数为（　　） A．50° B．60° C．75° D．85° 【分析】连接OD，OE，由弧AD的度数为40°，求出∠AOD＝40°，由等腰三角形的性质得到∠E＝∠D＝∠AOD＝40°，求出∠DOE＝180°﹣40°﹣40°＝100°，即可得到∠AOE＝100°﹣40°＝60°，即可求出弧AE的度数 【解答】解：连接OD，OE， ∵弧AD的度数为40°， ∴∠AOD＝40°， ∵CD＝CO， ∴∠ODE＝∠AOD＝40°， ∵OD＝OE， ∴∠E＝∠D＝40°， ∴∠DOE＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∴∠AOE＝100°﹣40°＝60°， ∴弧AE的度数是60°． 故选：B． 【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是由弧AD的度数为40°，求出∠AOD＝40°． 3．如图，AB是⊙O的直径，，∠BOC＝40°，则的度数为　 　． 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得到∠COD＝∠DOE＝∠BOC＝40°，再利用平角的定义得到∠AOE的度数，然后根据弧的度数等于它所对的圆心角的度数求解． 【解答】解：∵， ∴∠COD＝∠DOE＝∠BOC＝40°， 而AB为直径， ∴∠AOE＝180°﹣3×40°＝60°， ∴的度数为60°． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 故答案为60°． 4．（2023秋•北仑区期中）在半径为1的圆中，长度等于的弦所对的弧的度数为　 　． 【分析】如图，⊙O的半径为1，弦AB，连接OA、OB，利用勾股定理的逆定理可判断△OAB为等腰直角三角形，则∠AOB＝90°，然后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数求解． 【解答】解：如图，⊙O的半径为1，弦AB， 连接OA、OB， ∵OA＝OB＝1， ∴OA2+OB2＝AB2， ∴△OAB为等腰直角三角形， ∴∠AOB＝90°， ∴AB所所的弧的度数为90°或270°． 故答案为90°或270°． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 5．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连接AD、OD、OC．若的度数是70°，且AD∥OC，求的度数． 【分析】利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到∠AOC＝70°，则利用平行线的性质得∠A＝∠AOC＝70°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOD＝40°，从而得到的度数． 【解答】解：∵的度数70°， ∴∠AOC＝70°， ∵AD∥OC， ∴∠A＝∠AOC＝70°， ∵OA＝OC， ∴∠D＝∠A＝70°， ∴∠AOD＝180°﹣70°﹣70°＝40°， ∴的度数为40°． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 6．弦MN把⊙O分成1：3，连接OM、ON，过MN的中点A作AB∥ON，交于B，求的度数． 【分析】连接OA、OB利用弦MN把⊙O分成1：3，可计算出∠MON＝90°，而AB∥ON，所以BC⊥OM，加上点A为MN的中点，得到BC垂直平分OM，于是可判断△OMB为等边三角形，则∠BOM＝60°，所以∠BON＝30°，的度数为30°． 【解答】解：连接OA、OB， ∵弦MN把⊙O分成1：3， ∴∠MON360°＝90°， ∵AB∥ON， ∴BC⊥OM， ∵点A为MN的中点， ∴点C为OM的中点， 即BC垂直平分OM， ∴BO＝BM， 而OM＝OB， ∴OM＝OB＝MB， ∴△OMB为等边三角形， ∴∠BOM＝60°， ∴∠BON＝30°， ∴的度数为30°． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 题型四 利用弧、弦、圆心角求线段长 解题技巧提炼 此类问题主要是利用弧，弦之间的关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 1．（2023秋•保亭县期末）如图，⊙O的半径是8cm，∠AOB＝120°，那么圆心O到弦AB的距离是（　　） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 【分析】过O作OC⊥AB于C点，由等腰三角形的性质得∠A＝∠B＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质，可求得OC的长． 【解答】解：如图，过O作OC⊥AB于C点， ∵∠AOB＝120°，OA＝OB， ∴∠A＝∠B＝30°， ∵OC⊥AB， ∴∠ACO＝90°， ∴OCOA＝4（cm）． 故选：B． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 2．（2023秋•芜湖期末）如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝90°，AB，BC＝1，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 【分析】过点A作AE⊥CB交CB的延长线于点E连接AC．证明△AEB是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE，EC，AC，可得结论． 【解答】解：过点A作AE⊥CB交CB的延长线于点E连接AC． ∵∠AOC＝90°， ∴∠ABC（360°﹣90°）＝135°， ∴∠ABE＝45°， ∵∠E＝90°，AB， ∴AE＝EB＝1， ∵BC＝1， ∴EC＝2， ∴AC， ∴OA＝OCAC． 故选：C． 【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 3．（2023秋•海陵区校级期末）如图，AB为⊙O的直径，点D是的中点，过点D作DE⊥AB于点E，延长DE交⊙O于点F．若，AE＝2，则⊙O的直径长为（　　） A． B．8 C．10 D． 【分析】连接OF，首先证明，设OA＝OF＝x，在Rt△OEF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【解答】解：如图，连接OF． ∵DE⊥AB， ∴DE＝EF，， ∵点D是弧AC的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 设OA＝OF＝x， 在Rt△OEF中，则有， 解得x＝4， ∴AB＝2x＝8． 故选：B． 【点评】本题考查勾股定理，垂径定理，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 4．如图，点A在半圆O上，BC是直径，．若AB＝2，则BC的长为 　 　． 【分析】连接OA，由圆心角，弦，弧的关系可得OA⊥BC，结合等腰直角三角形的性质可求解OB的长，进而可求解BC的长． 【解答】解：连接OA， ∵，BC是直径， ∴OA⊥BC， ∵OA＝OB，AB＝2， ∴OA＝OB， ∴BC＝2OA． 故答案为：． 【点评】本题主要考查圆周角，弦，弧的关系，等腰直角三角形的性质，求解OA，OB的长是解题的关键． 5．（2023•贵池区二模）如图，点C是直径AB的三等分点（AC＜CB），点D是弧ADB的三等分点（弧BD＜弧AD），若直径AB＝12，则DC的长为 　 　． 【分析】过D作DE⊥AB于E，求出∠DOB＝60°，解直角三角形求出DE、OE的长度，求出CE，再根据勾股定理求出DC即可． 【解答】解：过D作DE⊥AB于E，则∠DEC＝90°， ∵点C是直径AB的三等分点（AC＜CB），直径AB＝12， ∴AC＝4，BC＝8，OD＝OA＝OB＝6， ∴CO＝2， ∵点D是弧ADB的三等分点（弧BD＜弧AD）， ∴∠DOB60°， ∴∠ODE＝30°， ∴OEOD＝3，DE3， ∴CE＝OE+CO＝3+2＝5， ∴DC2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和直角三角形的性质，能求出∠DOB＝60°和半径的长度是解此题的关键． 6．（2023秋•肇源县月考）如图，C为弧AB的中点，OA⊥CD于点M，CN⊥BD于N，且BD为⊙O的直径，若ON＝2，求CD长． 【分析】连接OC，如图，先根据垂径定理得到∴CM＝DM，，再利用得到∠AOD＝∠AOC＝∠BOC＝60°，接着利用含30度角的直角三角形三边的关系，在Rt△OCN中求出OC＝4，然后在Rt△OCM中求出CM，从而得到CD的长． 【解答】解：连接OC，如图， ∵OA⊥CD， ∴CM＝DM，， ∵C为弧AB的中点， ∴， ∴， ∴∠AOD＝∠AOC＝∠BOC180°， ∵CN⊥BD， ∴∠ONC＝90°， 在Rt△OCN中，∵∠CON＝60°， ∴OC＝2ON＝2×2＝4， 在Rt△OCM中，∵∠COM＝60°， ∴OMOC＝2， ∴CMOM＝2， ∴CD＝2CM＝4． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和含30度角的直角三角形三边的关系． 题型五 利用弧、弦、圆心角比较大小 解题技巧提炼 本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及三角形的三边关系；熟练掌握三角形的三边关系，熟记圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 1．如图，在⊙O中，已知，则AC与BD的关系是（　　） A．AC＝BD B．AC＜BD C．AC＞BD D．不确定 【分析】由，得到，于是推出，根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴AC＝BD． 故选：A． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，正确的理解圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 2．如图，在同圆中，若∠AOB＝2∠COD，则AB与2CD的大小关系是（　　） A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．不能确定 【分析】根据角平分线的性质得出∠AOE＝∠EOB，进而利用圆心角与弧的关系以及三角形的三边关系可直接求解． 【解答】解：作∠AOB的角平分线OE，交圆O于E，如图： ∵OE平分∠AOB， ∴∠AOE＝∠EOB， ∵∠AOB＝2∠COD， ∴∠AOE＝∠EOB＝∠COD， ∴， ∴AE＝BE＝CD， ∵AE+BE＞AB， ∴AB＜2CD． 故选：B． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及三角形的三边关系；熟练掌握三角形的三边关系，熟记圆心角、弧、弦的关系是解题的关键． 3．（2024•丛台区校级三模）如图，在⊙O中，满足，则下列对弦AB与弦CD大小关系表述正确的是（　　） A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．无法确定 【分析】如图，取AB弧的中点E，连接AE，EB．证明AE＝EB＝CD，再利用三角形的三边关系解决问题． 【解答】解：如图，取AB弧的中点E，连接AE，EB． ∵2，， ∴， ∴AE＝EB＝CD， ∵AE+EB＞AB， ∴2CD＞AB． 故选：B． 【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间等分关系，三角形的三边关系等知识，解题的关键是理解题意正确作出辅助线． 4．（2023秋•余姚市月考）如图，在三个等圆上各有一条劣弧：弧AB、弧CD、弧EF，如果，那么AB+CD与EF的大小关系是（　　） A．AB+CD＝EF B．AB+CD＜EF C．AB+CD＞EF D．大小关系不确定 【分析】在弧EF上取一点M使弧EM＝弧CD，推出弧FM＝弧AB，根据圆心角、弧、弦的关系得到AB＝FM，CD＝EM，根据三角形的三边关系定理求出FM+EM＞FE即可． 【解答】解：如图，在弧EF上取一点M使弧EM＝弧CD， 则弧FM＝弧AB， ∴AB＝FM，CD＝EM， 在△MEF中，FM+EM＞EF， ∴AB+CD＞EF． 故选：C． 5．（2023秋•西林县期末）如图，AB是⊙O的直径，CD的是⊙O中非直径的任意一条弦，试比较AB与CD的大小，并说明理由． 【分析】连接OC，OD，再根据三角形的三边关系即可得出结论． 【解答】解：连接OC，OD， ∵AB＝OA+OB＝OC+OD，OC+OD＞CD， ∴AB＞CD． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边是解答此题的关键． 6．（2023天河区一模）如图，AB为半圆的直径，点C、D在半圆上． （1）若，求∠DAB和∠ABC的大小； （2）若点C、D在半圆上运动，并保持弧CD的长度不变，（点C、D不与点A、B重合）．试比较∠DAB和∠ABC的大小． 【分析】（1）根据弧和圆心角之间的关系可以得到圆周角的大小； （2）利用相等的弧所对的圆周角相等可以判断圆周角的大小关系． 【解答】解：（1）∵ ∴∠BOC＝3∠AOD，∠COD＝2∠AOD ∵∠BOC+∠COD+∠AOD＝180° ∴∠AOD＝30°，∠BOC＝90°，∠COD＝60° ∴∠DAB∠BOD（∠BOC+∠COD）＝75° ∠ABC∠AOC（∠AOD+∠COD）＝45° （2）①若，则∠DAB＞∠ABC； ②若，则∠DAB＝∠ABC； ③若，则∠DAB＜∠ABC 【点评】本题考查了圆心角、弦、弧之间的转化，解题的关键是正确的利用三者之间的关系． 题型六 弧、弦、圆心角中的倍数关系 解题技巧提炼 本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，和30度角的直角三角形，利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数是解答此题的关键． 1．（2023•莱西市二模）如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，若∠AOB是锐角，且∠AOB＝2∠BOC，则下列结论正确的是（　　）个 ①AB＝2BC；②2；③∠ACB＝2∠CAB；④∠ACB＝∠BOC． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】首先取的中点D，连接AD，BD，由∠AOB＝2∠BOC，易得AD＝BD＝BC，继而证得AB＜2BC，又由圆周角定理，可得∠AOB＝4∠CAB，∠ACB＝∠BOC＝2∠CAB． 【解答】解：取的中点D，连接AD，BD， ∵∠AOB＝2∠BOC， ∴2，故②正确， ∴， ∴AD＝BD＝BC， ∵AB＜AD+BD， ∴AB＜2BC．故①错误， ∵∠AOB＝2∠BOC，∠BOC＝2∠CAB， ∴∠AOB＝4∠CAB， ∵∠AOB＝2∠ACB， ∴∠ACB＝∠BOC＝2∠CAB，故③④正确． 故选：C． 【点评】此题考查了弧、弦与圆心角的关系以及圆周角定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 2．（2023•陵城区模拟）圆的一条弦把圆分为度数比为1：3的两条弧，则弦心距与弦长的比为（　　） A．1：3 B．2：3 C．1：4 D．1：2 【分析】根据已知条件得到弦所对的圆心角∠AOB360°＝90°；求得△AOB是等腰直角三角形，过O作OC⊥AB于C，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：弦AB将⊙O分成了度数比为1：3两条弧． 则弦所对的圆心角∠AOB360°＝90°； ∴△AOB是等腰直角三角形， 过O作OC⊥AB于C， ∴OCAB， ∴弦心距与弦长的比为1：2， 故选：D． 【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在解答此类问题时要注意是在“同圆或等圆中”才适用，这是此类问题的易错点． 3．（2023•陕西模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且3，则弦AC与弦BC的关系是（　　） A．AC＝3BC B．ACBC C．AC＝（1）BC D．AC＝BC 【分析】如图，过点O作OD⊥AB，交AC于D，连接BD，OC，证明△CDB是等腰直角三角形，且AD＝BD，设CD＝CB＝x，则AD＝BDx，计算AC和BC的比可得结论． 【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB，交AC于D，连接BD，OC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵3， ∴∠AOC＝135°， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO＝22.5°， ∵OD是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD＝22.5°， ∴∠CDB＝∠CBD＝45°， 设CD＝CB＝x，则AD＝BDx， ∴， ∴AC＝（1）BC． 故选：C． 【点评】本题考查了圆心角和弧的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，常通过作辅助线构建等腰直角三角形是解本题的关键． 4．如图，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB．求证：2． 【分析】连接OE、CE，根据等边三角形的判定定理得到△OCE是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠COE＝60°，∠AOE＝30°，根据圆心角、弦、弧之间的关系定理证明结论． 【解答】解：连接OE、CE， ∵OC⊥AB，DE∥AB， ∴DE⊥OC， ∵D是OC中点， ∴CE＝OE， ∴△OCE是等边三角形， ∴∠COE＝60°，∠AOE＝30°， ∴． 【点评】本题考查的是圆心角、弦、弧之间的关系、等边三角形的判定和性质，掌握圆心角、弦、弧之间的关系定理是解题的关键． 5．如图，在⊙O中，2，AD⊥OC于D．求证：AB＝2AD． 【分析】延长AD交⊙O于E，利用圆心角、弧、弦的关系证明即可． 【解答】证明：延长AD交⊙O于E， ∵OC⊥AD， ∴，AE＝2AD， ∵， ∴， ∴AB＝AE， ∴AB＝2AD． 【点评】此题考查圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，关键是根据圆心角、弧、弦的关系解答． 题型七 弧、弦、圆心角中的证明问题 解题技巧提炼 本题主要考查在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，如果其中一对量相等，那么其它两对量也分别相等．同时利用了全等三角形的判定与性质，等腰三角形等图形的性质等，灵活运用圆的性质进行证明是解题的关键． 1．（2024•利辛县开学）如图，已知AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，，AE交CD于F．求证：CF＝AF． 【分析】连接AC，根据垂径定理得，再根据，得，根据圆心角、弧、弦的关系得∠C＝∠CAF，即可得出结论． 【解答】证明：如图，连接AC， ∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴， ∵， ∴弧AD＝弧CE， ∴∠C＝∠CAF， ∴CF＝AF． 【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，掌握以上知识点是解题的关键． 2．（2023秋•从化区期末）如图，在⊙O中，，求证：∠B＝∠C． 【分析】由于，所以AB＝CD，故∠AOB＝∠COD，进而证明即可． 【解答】证明：∵在⊙O中，， ∴AB＝CD， ∴∠AOB＝∠COD， ∵OA＝OB，OC＝OD， ∴在△AOB中，∠B＝90°， 在△COD中，∠C＝90°， ∴∠B＝∠C． 【点评】此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是根据，得出∠AOB＝∠COD． 3．（2023秋•船营区校级期中）如图，以平行四边形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，交AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于G，求证：． 【分析】连接AF，根据平行线的性质及在同圆中圆心角相等，则所对的弧相等求得结论． 【解答】证明：连接AF， ∵AB＝AF， ∴∠ABF＝∠AFB． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∴∠DAF＝∠AFB，∠GAE＝∠ABF． ∴∠GAE＝∠EAF． ∴． 【点评】本题利用了等边对等角，平行线的性质及在同圆中圆心角相等所对的弧相等等知识点的综合运用． 4．（2023秋•瑞安市期中）已知：如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上一点，且BE＝CE． 求证：． 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系得出∴，，再求出答案即可． 【解答】证明：∵圆心角∠BOE＝圆心角∠AOD， ∴， ∵BE＝CE， ， ∴． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，能熟记圆心角、弧、弦的关系是解此题的关键，在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，如果其中一对量相等，那么其它两对量也分别相等． 5．（2023秋•邯山区校级期末）如图，已知OA，OB是⊙O的半径，C为的中点，M，N分别是OA，OB的中点，求证：MC＝NC． 【分析】连接OC，根据圆心角、弧、弦之间的关系求出∠MOC＝∠NOC，求出OM＝ON，根据全等三角形的判定得出△MOC≌△NOC，再得出答案即可． 【解答】证明：连接OC， ∵C为的中点， ∴， ∴∠MOC＝∠NOC， ∵M，N分别是OA，OB的中点， ∴OMOA，ONOB， ∵OA＝OB， ∴OM＝ON， 在△MOC和△NOC中， ， ∴△MOC≌△NOC（SAS）， ∴MC＝NC． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和全等三角形的判定和性质，能求出∠MOC＝∠NOC是解此题的关键． 6．（2023秋•沂源县期末）AB、CD是⊙O的弦，OC、OD分别交AB于点E、F，且OE＝OF．求证：． 【分析】过点O作OG⊥AB于点G，延长OG与⊙O交于H．先由等腰三角形三线合一的性质得出∠EOG＝∠FOG，利用圆心角、弧、弦间的关系可以推知；然后根据垂径定理可知；最后根据图形易证得结论． 【解答】证明：过点O作OG⊥AB于点G，延长OG与⊙O交于H． ∵OE＝OF，OG⊥EF于点G， ∴∠EOG＝∠FOG， ∴． 又∵OG⊥AB于点G， ∴， ∴， 即． 【点评】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质．解答本题时，通过作辅助线OH构建等弧（；）来证明结论． 7．（2024秋•硚口区期末）如图，⊙O中的弦AB＝CD，AB与CD相交于点E．求证： （1）AC＝BD； （2）CE＝BE． 【分析】（1）由AB＝CD得到，则，然后利用圆心角、弧、弦的关系得到结论； ∴（2）根据圆周角定理，由得到∠ADC＝∠DAB，则EA＝ED，然后利用AB＝CD得到CE＝BE． 【解答】证明：（1）∵AB＝CD， ∴， 即， ∴， ∴AC＝BD； （2）∵， ∴∠ADC＝∠DAB， ∴EA＝ED， ∵AB＝CD， 即AE+BE＝CE+DE， ∴CE＝BE． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 8．如图，AB为⊙O的直径，C、D分别为OA、OB的中点，CF⊥AB，ED⊥AB，点E、F都在⊙O上， 求证： （1）CF＝DE； （2）； （3）AE＝2CF． 【分析】（1）连接OF、OE，根据半径相等得到OC＝OD，OF＝OE，则根据“HL”可判断Rt△OCF≌Rt△ODE，所以CF＝DE； （2）由于OCOF，则∠CFO＝30°，易得到∠AOF＝∠FOE＝∠EOB＝60°，根据圆心角、弧、弦的关系即可得到； （3）由OE＝OA得∠A＝∠OEA，根据三角形外角性质有∠DOE＝∠A+∠OEA＝60°，则∠A＝30°，所以AE＝2DE，于是得到AE＝2CF． 【解答】证明：（1）连接OF、OE，如图， ∵AB为⊙O的直径，C、D分别为OA、OB的中点， ∴OC＝OD， 而OF＝OE， ∴Rt△OCF≌Rt△ODE， ∴CF＝DE； （2）在Rt△OCF中，OCOF， ∴∠CFO＝30°， ∴∠COF＝60°， ∴∠BOE＝60°， ∴∠EOF＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠AOF＝∠FOE＝∠EOD， ∴； （3）∵OE＝OA， ∴∠A＝∠OEA， ∵∠DOE＝∠A+∠OEA＝60°， ∴∠A＝30°， ∴AE＝2DE， ∴AE＝2CF． 【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理以及含30度的直角三角形三边的关系． 题型八 弧、弦、圆心角中的综合问题 解题技巧提炼 解决此类综合问题，主要是利用了弧、弦、圆心角关系，同时考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质和勾股定理等相关知识的综合运用. 1．（2023秋•南昌期中）如图所示，以ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交⊙A于G． （1）求证：； （2）若的度数为70°，求∠C的度数． 【分析】（1）要证明，则要证明∠DAF＝∠GAD，由题干条件能够证明之； （2）根据的度数为70°，得到∠BAF＝70°，于是得到∠B＝∠AFB（180°﹣∠BAF）＝55°，根据平行四边形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接AF． ∵A为圆心，∴AB＝AF， ∴∠ABF＝∠AFB， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，∠AFB＝∠DAF，∠GAD＝∠ABF， ∴∠DAF＝∠GAD， ∴； （2）解：∵的度数为70°， ∴∠BAF＝70°， ∵AB＝AF， ∴∠B＝∠AFB（180°﹣∠BAF）＝55°， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠C＝180°﹣∠B＝125°． 【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，等知识点的应用，关键是求出∠DAF＝∠GAD，题目比较典型，难度不大． 2．（2023秋•路北区期中）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，且． （1）求证：AO平分∠BAC； （2）若AB＝4，BC＝8，求半径OA的长． 【分析】（1）已知得到AB＝AC，又OC＝OB，OA＝OA，则△AOB≌△AOC，根据全等三角形的性质知，∠1＝∠2，进而解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【解答】证明：（1）连接OB、OC， ∵． ∴AB＝AC， ∵OC＝OB，OA＝OA， 在△AOB与△AOC中， ． ∴△AOB≌△AOC（SSS）， ∴∠1＝∠2， ∴AO平分∠BAC； （2）连接AO并延长交BC于E，连接OB， ∵AB＝AC，AO平分∠BAC， ∴AE⊥BC， 设OA＝x，可得：AB2﹣BE2＝AE2，OB2＝OE2+BE2， 可得：，x2＝OE2+42，OE+x＝8， 解得：x＝5，OE＝3， ∴半径OA的长＝5． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，利用圆中半径相等的隐含条件，获得全等的条件，从而利用全等的性质解决问题． 3．（2023春•永嘉县月考）如图，AB是⊙O的直径，点C，E都在⊙O上，OC⊥AB，2，DE∥AB交OC于点D，延长OC至点F，使FC＝OC，连接EF． （1）求证：CD＝OD． （2）若⊙O的直径是4，求EF的长． 【分析】（1）连接OE、CE，如图，利用2得到∠COE＝2∠AOE＝60°，则可判定△OCE为等边三角形，接着证明DE⊥OC，然后根据等边三角形的性质得到结论； （2）先利用勾股定理计算出DE，然后在Rt△EFD中利用勾股定理计算EF． 【解答】（1）证明：连接OE、CE，如图， ∵OC⊥AB， ∴∠AOC＝90°， ∵2， ∴∠COE＝2∠AOE， ∴∠COE＝60°， 而OE＝OC， ∴△OCE为等边三角形， ∵DE∥AB，OC⊥AB， ∴DE⊥OC， ∴CD＝OD； （2）解：∵⊙O的直径是4， ∴OE＝OC＝CF＝2，CD＝OD＝1， 在Rt△ODE中，DE， 在Rt△EFD中，EF2． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了等边三角形的判定与性质． 4．（2023秋•硚口区期末）如图1，AD，BC是⊙O的弦，且AD＝BC，连接AB，CD． （1）求证：AB＝CD； （2）如图2，连接BD，若，BD＝24，，求⊙O的半径． 【分析】（1）欲证明AB＝CD，只要证明即可； （2）过点O作OE⊥BD于点E，交⊙O于点F，连接OB，根据若得出AB＝BF，在Rt△BEF中利用勾股定理求出EF＝8，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣8，利用勾股定理求出r即可． 【解答】（1）证明：∵AD＝BC， ∴， ∴， 即， ∴AB＝CD； （2）解：过点O作OE⊥BD于点E，交⊙O于点F，连接OB， ∴，，BE＝DE＝12， ∵， ∴， ∴AB＝BF＝4， ∴在Rt△BEF中，EF8， 设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣8， 根据勾股定理得：122+（r﹣8）2＝r2， 解得r＝13， 即⊙O的半径为13． 【点评】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系以及垂径定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5．（2023秋•阳春市期末）如图，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是的中点． （1）求证：四边形OACB为菱形； （2）延长OA至点P使得OA＝AP，连结PC，若⊙O的半径R＝1，求PC的长． 【分析】（1）连接OC，由C是的中点，∠AOB＝120°，根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到∠AOC＝∠BOC＝60°，易得△OAC和△OBC都是等边三角形，则AC＝OA＝OB＝BC，根据菱形的判定方法即可得到结论． （2）解直角三角形求出PC． 【解答】（1）证明：连接OC，如图， ∵C是的中点，∠AOB＝120°，∴∠AOC＝∠BOC＝60°， 又∵OA＝OC＝OB， ∴△OAC和△OBC都是等边三角形， ∴AC＝OA＝OB＝BC， ∴四边形OACB是菱形． （2）解：由（1）知OA＝AC， 又∵OA＝AP， ∴AP＝AC， ∵∠PAC＝180°﹣∠OAC＝120°， ∴∠P＝∠ACP＝30°， ∴∠PCO＝90°， ∴△OPC是直角三角形， ∴PCOC． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及菱形的判定． 6．如图．在四边形ABCF中．FA⊥AB．BC⊥AB．ʘO经过点A，B，C，分别交边AF．FC于点D，E．且E是的中点． （1）求证：E是FC的中点． （2）连结AE，当AB＝6．AE＝5时，求AF的长． 【分析】（1）连接AC，根据AC为圆O的直径，得到∠AEC为直角，根据E为弧CD的中点，得到弧相等，根据等弧对的圆周角相等，利用ASA得到三角形全等，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）连接CD，利用面积法求出FC与AF比值，设FC，根据勾股定理求出x的值，即可求出AF的长． 【解答】（1）证明：连接AC， ∵BC⊥AB， ∴∠ABC＝90°， ∴AC是圆O的直径， ∴∠AEC＝90°， ∴∠AEF＝180°﹣∠AEC＝90°＝∠AEC， ∵E为的中点， ∴， ∴∠FAE＝∠CAE， 在△AEC和△AEF中， ， ∴△AEC≌△AEF（ASA）， ∴EC＝EF， ∴E为FC的中点； （2）连接CD， ∵FA⊥AB，CB⊥AB， ∴∠ADC＝∠AEC＝90°， ∴四边形ADCB是矩形， ∴CD＝AB＝6， ∵S△AFCFC•AEAF•CD， ∴5FC＝6AF， ∴， 设FC＝12x，则AF＝10x， ∵E为FC的中点， ∴FEFC＝6x， 在Rt△AEF中，根据勾股定理得：AE2+EF2＝AF2， 即52+（6x）2＝（10x）2， 解得：x， ∴AF＝10x． 【点评】此题考查了弧、弦、圆心角的关系，矩形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，知识点较多，难度一般，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 7．（2023•闵行区二模）如图，在扇形AOB中，点C、D在上，，点F、E分别在半径OA、OB上，OF＝OE，联结DE、CF． （1）求证：DE＝CF； （2）设点P为的中点，联结CD、EF、PO，线段PO交CD于点M、交EF于点N．如果PO∥DE，求证：四边形MNED是矩形． 【分析】（1）先证明得到∠AOC＝∠BOC，然后证明△OCF≌△ODE得到DE＝CF； （2）连接AB，如图，利用垂径定理得到OP⊥CD，OP⊥AB，则利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠OEF＝∠OBA＝90°∠EOF，则可判断EF∥AB，所以EF∥CD，加上OP∥DE，于是可得到四边形MNED为平行四边形，然后利用∠NMD＝90°得到四边形MNED为矩形． 【解答】证明：（1）∵， ∴， ∴， ∴∠AOC＝∠BOC， 在△OCF和△ODE中， ， ∴△OCF≌△ODE（SAS）， ∴DE＝CF； （2）连接AB，如图， ∵点P为的中点， ∴OP⊥CD， ∵， ∴， ∴OP⊥AB， ∵OE＝OF，OA＝OB，∠EOF＝∠BOA， ∴∠OEF＝∠OBA＝90°∠EOF， ∴EF∥AB， ∴OP⊥EF， ∴EF∥CD， ∵OP∥DE， ∴四边形MNED为平行四边形， ∵∠NMD＝90°， ∴四边形MNED为矩形． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和矩形的判定． 8．（2023秋•拱墅区校级期末）如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，F是圆上一点，D是的中点，连结CF交OB于点G，连结BC． （1）求证：GE＝BE； （2）若OG＝1，CD＝8，求BC的长． 【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系得到∠FCD＝∠BCD，证明△GCE≌△BCE，根据全等三角形的性质证明即可； （2）连接OC，根据勾股定理求出BE，再根据勾股定理计算，得到答案． 【解答】（1）证明：∵D是的中点， ∴， ∴∠FCD＝∠BCD， 在△GCE和△BCE中， ， ∴△GCE≌△BCE（ASA）， ∴GE＝BE； （2）解：如图，连接OC， 设GE＝BE＝x，则OB＝1+2x， ∵AB⊥CD，CD＝8， ∴CE＝DE＝4， 在△OCE中，OE2+CE2＝OC2，即（1+x）2+42＝（1+2x）2， 解得：x＝2（负值舍去）， ∴BE＝2， ∴BC2． 【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质，掌握垂径定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！47 学科网（北京）股份有限公司 $$